关于四元数体上矩阵对角化的几个定理

常熟理工学院学报（自然科学）Journal of Changshu Institute Technology （Natural Sciences ）第26卷第10Vol.26No.102012年10月Oct.,2012收稿日期：2012-09-12作者简介：韦刚和（1974—），男，江苏盐城人，讲师，硕士，研究方向：微积分.关于四元数体上矩阵对角化的几个定理韦刚和（盐城生物工程高等学校机械工程系，江苏盐城224051）摘要：近年来矩阵对角化理论研究得到了充分的发展，并且在分析方法、研究领域、研究的深度和广度上都有了突破.但在四元数体上，由于四元数乘法的非交换性，人们对四元数体上矩阵对角化的研究甚少.对四元数体上矩阵对角化进行研究，得到了几个重要结论.关键词：四元数体；矩阵对角化；定理中图分类号：O151文献标识码：A文章编号：1008-2794（2012）10-0037-041引言与符号约定矩阵对角化问题不仅可解决数学中的非线性规划问题、数学计算问题等，而且在计算物理、量子力学中都有重要的应用.矩阵对角化理论研究近年来得到充分的发展，并且在分析方法、研究领域、研究的深度和广度上都有了突破[1-5].但在四元数体上，由于四元数乘法的非交换性，人们对四元数体上矩阵对角化的研究甚少.本文对四元数体上矩阵对角化进行了研究，得到了几个重要结论.文中，用R 表示实数域，Q 表示实四元数体，Q m×n 表示m×n 阶四元数矩阵的全体，Q n×n 表示实四元数体Q上n 阶矩阵的集合，SC n （Q ）表示自共轭四元数矩阵全体，Q n 表示Q 上n 维右列空间，用A ＊＝-A ′表示A 的共轭转置.2基本概念定义1设Q 是一个实四元数体，A ∈Q n ×n ，如果存在四元数0≠a ∈Q 与n 维非零列四元数向量α，使得Aα=α⋅a ，称a 是A 的一个右特征值，α为A 的对应于右特征值a 的右特征向量；如果存在四元数0≠b ∈Q 与n 维非零列四元数向量β，使得Aβ=b ⋅β，称b 是A 的一个左特征值，β为A 的对应于左特征值b 的左特征向量[6].四元数矩阵A 的右特征值不一定是左特征值，反之，左特征值也不一定为右特征值.如取A =æèöø1-k k 1，则1+i 是A 的一个左特征值，但不是A 的右特征值.定义2设矩阵A ∈Q n ×n ，如果A ＊＝A ，则称矩阵A 为四元数自共轭矩阵.定义3设A ∈Q n ×n ，如果A *A =AA *，则称A 为四元数正规矩阵.定义4设矩阵A ∈Q n ×n ，如果A ＊A ＝AA ＊＝I n ，则称矩阵A 为四元数酉矩阵.定义5设矩阵A ,B ∈Q n ×n ，如果存在酉矩阵U ∈U n ×n ，使得B ＝U -1AU ，则称矩阵A 与矩阵B 是酉相似.常熟理工学院学报（自然科学）2012年3两个重要引理[7]引理1设矩阵A ∈SC n （Q ），则存在酉矩阵U ∈U n ×n ，使得U *AU ＝diag(λ1,λ2…,λn )其中λ1，λ2…，λn ∈R.引理2设矩阵A =()a ij ∈Q n ×n ，则矩阵A 为正规矩阵的充分必要条件是矩阵A 酉相似于对角阵，即存在酉矩阵U ∈U n ×n ，使得U *AU =diag ()λ1,λ2,…,λn ,其中λ1,λ2,…,λn ∈C ，且为矩阵A 的n 个右特征值.4主要结果定理1设矩阵A 为n 阶自共轭四元数矩阵，矩阵B 为n 阶正规四元数矩阵[8].则存在n 阶广义酉矩阵U ，使U *AU 与U *BU 都为对角矩阵的充要条件是AB =BA .证明先证必要性：存在n 阶广义酉矩阵U ，使U *AU 与U *BU 都为对角矩阵，即存在酉矩阵U ∈U n ×n ，使得U *AU =diag ()a 1,a 2,…,a n ,U *BU =diag ()b 1,b 2,…,b n ,其中a 1,a 2,…,a n 为矩阵A 的特征值，b 1,b 2,…,b n 为矩阵B 的n 个右特征值.根据引理1和引理2知道，a 1,a 2,…,a n 为实数，b 1,b 2,…,b n 为复数.从而有a ib j =b j a i ,()i ,j =1,2,…，n .得AB =BA .再证充分性：因为矩阵A 为n 阶自共轭四元数矩阵，则存在酉矩阵U 1∈U n ×n ，使得U 1*AU 1=diag ()a 1,a 2,…,a n ,其中a 1,a 2,…,a n ∈R .为了方便起见，把相同的特征值进行合并，不妨设合并后的式子为U 1*AU 1=æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n 2⋱a s I n s=A 0,n 1+n 2+…+n s =n .其中a 1,a 2,…,a s ()s ≤n 为互不相同的实数.这时我们记矩阵B 0=U 1*BU 1，则显然矩阵B 0是正规矩阵.由于AB =BA ，易知A 0B 0=B 0A 0.令B 0=()B ij 为与A 0分法相同的分块矩阵，由A 0B 0=B 0A 0，知：B 0=U 1*BU 1=æèçççöø÷÷÷B 11B 22⋱B ss 由于B 0是正规矩阵，则有B ii ()i =1,2,…，s 均为正规矩阵，由引理2知，存在四元数酉矩阵V 1,V 2,…,V s ，使得V 1*B 11V 1,V 2*B 22V 2,…,V s *B ss V s均为复对角矩阵.这时取3810韦刚和：关于四元数体上矩阵对角化的几个定理U =U 1⋅æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s 则对于矩阵B 有U *BU =æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s *U 1*BU 1æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s =æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s *æèçççöø÷÷÷B 11B 22⋱B ss æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s =æèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*B 11V 1V 2*B 22V 2⋱V s *B ss V s 因为V 1*B 11V 1,V 2*B 22V 2,…,V s *B ss V s 为复对角矩阵，所以U *BU 为对角阵.对于矩阵A 有U *AU =æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s *U 1*AU 1æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s =æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s *æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n 2⋱a s I n sæèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s =æèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*V 2*⋱V s *æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n 2⋱a s I n sæèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s （1）=æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n2⋱a s I n sæèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*V 2*⋱V s *æèçççöø÷÷÷V 1V 2⋱V s （2）=æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n2⋱a s I n sæèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*V 1V 2*V 2⋱V s *V s =æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n2⋱a s I n sæèçççöø÷÷÷I 1I 2⋱I s 39=æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n1a 2I n2⋱a s I n s从而，矩阵U *AU 也为对角矩阵.定理2设矩阵A ,B 均为n 阶自共轭四元数矩阵，则存在n 阶广义酉矩阵U ，使U *AU 与U *BU 都为对角矩阵的充要条件是AB =BA .证明因为自共轭四元数矩阵必是正规矩阵，从而根据定理1，定理2得证.定理2是对定理1中条件的更严格的限制，从而结论仍然成立.如果放松对定理1条件的限制，即定理1中的两个矩阵A ,B 均为正规四元数矩阵时，我们认为结论就不成立了.这是因为在由（1）式向（2）式转化时，是将矩阵æèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*V 2*⋱V s *和矩阵æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n 2⋱a s I n s乘积交换，它们之间的乘积交换是成立的（由于矩阵A 为自共轭四元数矩阵，特征值a 1,a 2,…,a s 为实数）；若将矩阵A 换为正规四元数矩阵时，根据引理2，它的特征值为复数，则由（1）式向（2）式转化是不成立的，即矩阵æèççççççöø÷÷÷÷÷÷V 1*V 2*⋱V s *和矩阵æèççççççöø÷÷÷÷÷÷a 1I n 1a 2I n 2⋱a s I n s不满足乘法交换率.这正是由于四元数的不可交换性造成的.这很好地说明了四元数体上的矩阵性质与实（复）数域上矩阵性质的差异.定理3设矩阵A ,B 为Q n ×n 上的自共轭矩阵，且矩阵B 正定，则有可逆矩阵P ∈Q n ×n ，使得üýþïïïïP *AP =æèçççöø÷÷÷λ1λ2⋱λn ,λi ∈R ,i =1,2,…,n P *BP =I n 证明由于矩阵B 是四元数自共轭正定矩阵，则存在可逆矩阵P 0∈Q n ×n ，使得P 0*BP 0=I n又由于矩阵A 为四元数自共轭矩阵，矩阵P 0*AP 0仍为四元数自共轭矩阵，于是存在酉矩阵U ∈U n ×n ，使得U *P 0*AP 0U =æèçççöø÷÷÷λ1λ2⋱λn ,λi ∈R ,i =1,2,…,n .令P =P 0U ，则P 可逆，且P *AP =æèçççöø÷÷÷λ1λ2⋱λn ,λi ∈R ,i =1,2,…,nP *BP =()P 0U *B ()P 0U =U *P 0*BP 0U =U *I n U =I n .（下转第44页）[6]张弘.微分中值定理的又一证明方法[J].重庆交通学院学报，2004（23）：129-130.[7]侯谦民.中值定理的推广[J].武汉职业技术学院学报，2003（6）：81-82.[8]胡付高.微分中值定理的推广及其应用[J].孝感学院学报（自然科学版），2000（04）：16-18.[9]宋基华，彭鑫根.微分中值定理的一种证明方法[J].北京石油化工学院学报，1995（6）：26-28.[10]童子双，杨志芳.Lagrange微分中值定理的分析证明法[J].金华职业技术学院学报，2003（3）：56-57.A Discussion of the Method of Proving LagrangeMean Value Theorem and Its GeneralizationZHANG De-jiang(Department of Electronic Engineering,Yancheng Higher Vocational School of Biological Engineering,Yancheng224051,China) Abstract:The differential mean value theorem is the fundamental theorem of differential calculus.It not only connects relationship on the function and derivative,but it is also the cornerstone and the bridge of the differen⁃tial theory application.In this paper,a variety of methods are used to prove Lagrange's theorem,and give the generalization theorem of the Lagrange differential mean value theorem.Key words:Lagrange mean value theorem;generalization theorem;method of proof（上接第40页）参考文献：[1]庄瓦金.体上矩阵理论导引[M].北京：科学出版社，2006.[2]李文亮，四元数矩阵[M].长沙：国防科技大学出版社，2002：6.[3]屠伯埙.正性除环上矩阵的正定自共轭分解[J].数学杂志，1989（3）：11-16.[4]屠伯埙.四元数矩阵的UL分解[J].复旦大学学报（自然科学版），1989（2）：45-49.[5]庄瓦金.四元数矩阵的特征值与奇异值不等式[J].自然杂志，1989（4）：27-32.[6]姜同松，陈丽.四元数体上矩阵的广义对角化[J].应用数学和力学，1999，20（11）：1203-1210.[7]庄瓦金.四元数矩阵的极分解及其GL偏序[J].数学进展，2005（2）：5-9.[8]陈龙玄.四元数矩阵的Jordan标准形[J].应用数学和力学，1996（6）：581-585.Several Matrix Diagonalization Theorems on the QuaternionWEI Gang-he(Department of Mechanical Engineering,Yancheng Higher Vocational School of Biological Engineering,Yancheng224051,China) Abstract:In the recent years,matrix diagonalization theoretical research has been fully developed,and has achieved a breakthrough in the analysis methods,research areas,the depth and breadth of research.But on the Quaternion body,the quaternion multiplication is non-exchangeable,and there has been little study of matrix di⁃agonalization on the quaternion.In this paper,some study is made of the quaternion matrix diagonalization,and several important conclusions are reached.Key words:the quaternion matrix;diagonalization;theorem。