2013北京中考一模数学试题

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2023年北京市西城区中考一模数学试卷(含答案解析)

2023年北京市西城区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．根据地区生产总值统一核算的结果，年北京市全年地区生产总值41610.9亿元，按不变价格计算，年增长0.7%4161090000000用科学记数法表示应为（．41.610910⨯．4.16109⨯ 4.1610910⨯134.1610910⨯．如图，点O 上，OC ⊥50AOC = ，则的度数是（A ．120B ．130 140 4．下列图形都是轴对称图形，其中恰有条对称轴的图形是（A ．B ．．．5．a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（A ．2a >-B ．a b <0ab >a b <-6．平面直角坐标系xOy 中，若点12(,A x ,4)在反比例函数0)k >图像上，则下列关系式正确的是（）A ．120x x >>B ．210x x >>120x x <<210x x <<7．x 的方程231mx x +-=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（）A ．94m >-B ．94m ≥-94m >-且m 94m ≥-且m ≠8．设备每年都需要检修，该设备使用年数n （单位：年，n 为正整数且110n ≤≤）与每年至第n 年该设备检修支出的费用总和y （单位：万元）满足关系式 1.40.5y n =-，下列结论正确的是（）A ．从第2年起，每年的检修费用比上一年增加1.4万元B ．从第2年起，每年的检修费用比上一年减少0.5万元C ．第1年至第5年平均每年的检修费用为3.7万元D ．第6年至第10年平均每年的检修费用为1.4万元二、填空题FD14．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为门洞的半径为__________m ．15．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着放回并混合在一起，再随机抽取的概率是__________．16．A ，B ，C 三种原料每袋的重量（单位：万元）依次是3，2，5．现生产某种产品需要A ，B ，C 这三种原料的袋数依次为123,,x x x （123,,x x x 均为正整数），则生产这种产品时需要的这三类原料的总重量W （单位：kg ）=__________（用含123,,x x x 的代数式表示）：为了提升产品的品质，要求13W ≥，当123,,x x x 的值依次是_______时，这种产品的成本最低．方法一证明：如图，过点E 作∥MN AB21．在ABC 中，AD 是在线段AD 上，点F 在线段上，CE FB ∥，连接BE (1)如图1，求证：四边形BFCE 是平行四边形．b．丙家民宿“综合满意度”评分：，，，，，，，，，2.64.74.55.04.54.84.53.84.53.1c．甲、乙、丙三家民宿“综合满意度”评分的平均数、中位数：甲乙丙平均数m 4.5 4.2(1)求证：DE AB ∥；(2)若5OA =，3sin 5A =，求线段25．如图1，利用喷水头喷出的水对小区草坪进行喷灌作业是养护草坪的一种方法，如图2，点O 处由一个喷水头，距离喷水头棵树10m 的N 处有一面高灌时，喷水头喷出的水柱的竖直高度函数关系2(y ax bx c a =++(1)某次喷水浇灌时，测得x 与y 的几组数据如下：x 02610121416y0.882.162.802.882.802.56①根据上述数据，求这些数据满足的函数关系；②判断喷水头喷出的水柱能否越过这棵树，并说明理由．(2)某次喷水浇灌时，已知喷水头喷出的水柱的竖直高度y 与水平距离系20.04y x bx =-+，假设喷水头喷出的水柱能够越过这棵树，且不会浇到墙外，下面有四个关于b 的不等式：A .20.0488 2.3b -⨯+>；B .20.041818 2.2b -⨯+>；(1)求证：MEN AOC ∠=∠；(2)点F 在线段NO 上，点G 在线段NO 延长线上，连接补全图形，用等式表示线段NF ，OG ，OM 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，给定图形W 和点T 满足2ST PM =．其中点M 为线段ST 的中点，则称点(1)已知点(2A ，0)①在点12341133(,),(1,3),(,),(2,1)2222P P P P --中，线段②若直线y x b =+上存在线段OA 的相关点，求(2)已知点(3Q -，0)，线段CD 的长度为d ，当线段能在线段CD 上找到一点K ，使得在y 轴上存在以的取值范围．参考答案：共有36种等可能的结果，其中第二次取出的数字是第一次取出数字的整数倍的有方法二证明：如图，延长AE ，交CD 于点F ，∵AB CD ，∴A AFC ∠=∠．∵AEC AFC C ∠=∠+∠，∴AEC A C ∠=∠+∠．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)①见解析；②见解析【分析】（1）证明BDF CDE ≌，可得FB CE =，再根据CE FB ∥，即可得出结论；（2）由A ABC CB =∠∠，可得AB AC =，再由等腰三角形的性质可证AD BC ⊥，再利用菱形的判定即可得出结论．【详解】（1）证明：∵CE FB ∥，∴BFE CEF ∠=∠，∵AD 是BC 边上的中线，∴BD DC =，∵BDF CDE =∠∠，∴BDF CDE ≌，∴FB CE =，∴四边形BFCE 是平行四边形．（2）解：①依题意补全图2，如图；②证明：∵ABC ∠∴AB AC =，∵AD 是BC 边上的中线，∴AD BC ⊥，由（1）证明方法可得∴四边形BFCE 为菱形．【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质及菱形的判定，22．(1)4.5，4.5(2)2s 乙<2s 甲<2s 丙(3)推荐乙，理由见解析【分析】（1）根据折线统计图得出甲家民宿“综合满意度”评分，重新排序，求得中位数即可求解；（2）根据数据的波动范围即可求解；（3）根据平均数与方差两方面分析即可求解．【详解】（1）解：甲家民宿∴(1 3.2 4.210m =+丙家民宿“综合满意度2.64.74.55.04.5，，，，，从小到大排列为：∴中位数 4.52n +=故答案为：4.5，（2）解：作BH DE ⊥于∴90BHD BHE ∠∠︒==．∵OD DE ⊥，90AOD ∠=4【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，圆周角定理及推论，锐角三角函数之间的转化，关键是连接过切点的半径，得垂直于半径的直线，过点形．25．(1)①2=-+y x0.020.48(2)A，C【分析】(1)①设抛物线解析式为即可．②根据抛物线的对称性解答即可．（2）根据题意，得到当x∴[]2121()()211a x x x x t a a -+-⨯⨯≥≥，∴3a ≥，又∵0a >，∴03a <≤．∴a 的取值范围是03a <≤．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，关键是根据抛物线上的点与抛物线顶点的关系，结合图象求解．27．(1)见解析(2)OM NF OG ＝＋，理由见解析【分析】（1）先根据角的平分线的性质，过点E 作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，得EH EK ＝，再根据三角形全等的判定，证明Rt EHN Rt EKM ≌即可得结论．（2）作辅助线，在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，先证明1EOG EOG ≌，得1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠，再证明1ENF EMG ≌，得1NF MG ＝，再推导得出结论．【详解】（1）（1）证明：作EH CD ⊥，EK AB ⊥，垂足分别是H ，K ，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EH EK ＝．∵ME NE ＝，∴Rt EHN Rt EKM ≌．∴ENH EMK ∠∠＝．记ME 与OC 的交点为P ，∴EPN OPM ∠∠＝．∴MEN AOC ∠∠＝．（2）（2）OM NF OG ＝＋．证明：在线段OM 上截取1OG OG ＝，连接EG 1，如图．∵OE 是BOC ∠的平分线，∴EON EOB ∠∠＝．∵MOF DOB ∠∠＝，∴EOM EOD ∠∠＝．∵OE OE =，∴1EOG EOG ≌．∴1EG EG =，1EG O EGF ∠=∠．∵EF EG ＝，∴1EF EG =，EFG EGF ∠=∠．∴1EFG EG O ∠=∠．∴1EFN EG M ∠=∠．∵1ENF EMG ∠=∠．∴1ENF EMG ≌．∴1NF MG ＝．∵11OM MG OG ＝＋，∴OM NF OG ＝＋．【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．故答案为：1P，3P．(2A ，0)，∴(1H ，0)．当直线y x b =+与H 相切，且将直线y x b =+与x 轴的交点分别记为则点B 的坐标是(b -，0)．∴1BH b =+．BH =2，∴12b +=，解得21b =-．当直线y x b =+与H 相切，且同理可求得21b =--．所以b 的取值范围是21--b ≤（2）解：设点K 是直线2x =-上一点，且点一相关点，设()2,K k -，则以QK 为直径的圆上两点如图所示，设以QK 为直径的圆，圆心是C ．则C ⎛- ⎝∴52CP =M 是ST 的中点，2ST PM =，∴2SP PM=当ST CP ⊥且ST PC =时，y 轴上存在以QK 在Rt CSM 中，22552224CS CP ==⨯=∴5222QK CS ==，∴2225246122KB KQ QB ⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎝⎭根据对称性可得当K 点在x 轴的下方时，也符合题意，∴d ≥46．【点睛】本题考查了几何新定义，切线的性质，垂径定理，勾股定理，理解新定义是解题的。

2023年北京市延庆区中考数学一模试卷【答案版】

2023年北京市延庆区中考数学一模试卷一、选择题：（共16分，每小题2分）第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A ．B ．C ．D ．2．2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F 运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F 运载火箭的重量大约是500000kg ．将数据500000用科学记数法表示，结果是（） A ．5×105B ．5×106C ．0.5×105D ．0.5×1063．下列图形中，是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（） A ．34B ．12C ．13D ．145．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ＝﹣b6．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（ab ）2＝a 2b 27．如图是作线段AB 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A ．AC ＝BCB ．AE ＝EBC ．∠B ＝45°D ．AB ⊥CD8．如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为x m ，它的邻边长为y m ．当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．正比例函数关系D ．反比例函数关系二、填空题（共16分，每小题2分）9．若√x −2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是． 10．分解因式：3m 2﹣3n 2＝． 11．方程组{x +y =−12x −3y =8的解为．12．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B ＝ °．13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，△ADE 的面积是2，则△ABC 的面积是．14．如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2）．将△ABC 向左平移3个单位得到△A 'B 'C '，再向下平移1个单位得到△A ″B ″C ″，则点B 的对应点B ″的坐标为．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2，请你写出一个符合要求的k 的值．16．甲、乙两种物质的溶解度y （g ）与温度t （℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中， ①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ； ④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是．三、解答题（共68分，17-22题，每小题5分；23-26题，每小题5分；27-28题，每小题5分） 17．计算：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12． 18．解不等式组：{3x −1＞x +14x−53≤x ．19．已知x 2+x ﹣3＝0，求代数式（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）的值．20．已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m的取值范围．21．如图，在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC＝90°．点M为边AD的中点，连接CM并延长，交BA的延长线于点E，连接DE．（1）求证：四边形ACDE是矩形；（2）若BE＝10，DE＝12，求四边形BCDE的面积．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，且经过点（2，3）．（1）求k，b的值；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠BAC=12，AD＝3，求⊙O的半径．24．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a ＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是；（2）求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．25．（6分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a．抽取七年级20名学生的成绩如下：66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 7880 89b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：请根据以上信息，完成下列问题：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n．比较m，n的大小，并说明理由．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当m＝1时，求b的值；（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．（1）如图，D（﹣2，6），E（2，6），F（﹣3，1），G（﹣1，3），H（0，3），在线段DE，FG中，⊙O 的点H对称弦是；（2）等边△ABC的边长为1，点C（0，t）．若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；（3）点M在直线y=√3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=√3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．2023年北京市延庆区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（共16分，每小题2分）第1--8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A．B．C．D．解：A、主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不合题意；B、主视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故本选项不合题意；C、主视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；D、主视图和俯视图完全相同，是等圆，故本选项符合题意．故选：D．2．2022年6月5日，中华民族再探苍穹，神舟十四号载人飞船通过长征二号F运载火箭成功升空，并与天和核心舱顺利进行接轨．据报道，长征二号F运载火箭的重量大约是500000kg．将数据500000用科学记数法表示，结果是（）A．5×105B．5×106C．0.5×105D．0.5×106解：数据500000用科学记数法表示为5×105．故选：A．3．下列图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形；B、是中心对称图形；C、不是中心对称图形；D、不是中心对称图形；故选：B．4．不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到白色小球的概率为（） A ．34B ．12C ．13D ．14解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都取到白色小球的结果有1种， ∴两次都取到白色小球的概率为14．故选：D ．5．实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A ．a ＞bB ．a ＝bC ．a ＜bD ．a ＝﹣b解：根据数轴得：a ＜b ，|a |＞|b |，故C 选项符合题意，A ，B ，D 选项不符合题意；故选：C ．6．如图，是利用割补法求图形面积的示意图，下列公式中与之相对应的是（）A ．（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2B ．（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2C ．（a +b ）（a ﹣b ）＝a 2﹣b 2D ．（ab ）2＝a 2b 2解：根据题意，大正方形的边长为a +b ，面积为（a +b ）2，由边长为a 的正方形，2个长为a 宽为b 的长方形，边长为b 的正方形组成，所以（a +b ）2＝a 2+2ab +b 2．故选：A ．7．如图是作线段AB 垂直平分线的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（）A ．AC ＝BCB ．AE ＝EBC ．∠B ＝45°D ．AB ⊥CD解：由作图可知，CD 垂直平分线段AB ， ∴CA ＝CB ，AE ＝EB ，AB ⊥CD ，故选项A ，B ，D 正确．故选：C ．8．如图，用绳子围成周长为10m 的矩形，记矩形的一边长为x m ，它的邻边长为y m ．当x 在一定范围内变化时，y 随x 的变化而变化，则y 与x 满足的函数关系是（）A ．一次函数关系B ．二次函数关系C ．正比例函数关系D ．反比例函数关系解：由题意得， 2（x +y ）＝10， ∴x +y ＝5， ∴y ＝5﹣x ，即y 与x 是一次函数关系，故选：A ．二、填空题（共16分，每小题2分）9．若√x −2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 x ≥2 ．解：根据题意得：x ﹣2≥0，解得：x ≥2．故答案为：x ≥2．10．分解因式：3m 2﹣3n 2＝ 3（m +n ）（m ﹣n ）．解：3m 2﹣3n 2＝3（m 2﹣n 2）＝3（m +n ）（m ﹣n ）．故答案为：3（m +n ）（m ﹣n ）．11．方程组{x +y =−12x −3y =8的解为 {x =1y =−2 ．解：{x +y =−1①2x −3y =8②，①×3得：3x +3y ＝﹣3③， ②+③得是：5x ＝5，解得：x ＝1，把x ＝1代入①得：1+y ＝﹣1，解得：y ＝﹣2，故原方程组的解是：{x =1y =−2．故答案为：{x =1y =−2．12．如图，⊙O 的弦AB ，CD 相交于点P ．若∠A ＝48°，∠APD ＝80°，则∠B ＝ 32 °．解：∵∠A ＝48°， ∴∠D ＝∠A ＝48°， ∵∠APD ＝80°，∴∠B ＝∠APD ﹣∠D ＝80°﹣48°＝32°．故答案为：32．13．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且DE ∥BC ，若AD ＝2，DB ＝3，△ADE 的面积是2，则△ABC 的面积是 12.5 ．解：∵AD ＝2，DB ＝3， ∴AB ＝AD +BD ＝2+3＝5， ∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，∴S △ADE S △ABC=(AD AB)2=425，∵△ADE 的面积是2， ∴2S △ABC=425，∴S △ABC ＝12.5．故答案为：12.5．14．如图，在△ABC 中，点A （3，1），B （1，2）．将△ABC 向左平移3个单位得到△A 'B 'C '，再向下平移1个单位得到△A ″B ″C ″，则点B 的对应点B ″的坐标为（﹣2，1）．解：根据题意知，点B （1，2）平移后对应点B ″的坐标为（1﹣3，2﹣1），即（﹣2，1），故答案为：（﹣2，1）．15．在平面直角坐标系xOy 中，点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2，请你写出一个符合要求的k 的值 ﹣1（答案不唯一）．解：∵点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）在反比例函数y =kx (k ≠0)的图象上，且y 1＞y 2， ∴点A （﹣1，y 1）在第二象限，点B （2，y 2）在第四象限， ∴反比例函数y =kx(k ≠0)的图象在二、四象限， ∴k ＜0，∴k 的值可以为﹣1．故答案为：﹣1（答案不唯一）．16．甲、乙两种物质的溶解度y （g ）与温度t （℃）之间的对应关系如图所示，下列说法中， ①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度小； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ；④当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相同．所有正确结论的序号是 ①③ ．解：由图象可以看出，①甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大，说法正确； ②当温度升高至t 2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大，原说法错误．； ③当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g ，说法正确； ④当温度为t 1℃时，甲、乙的溶解度相同，原说法错误．所有正确结论的序号是①③．故答案为：①③．三、解答题（共68分，17-22题，每小题5分；23-26题，每小题5分；27-28题，每小题5分） 17．计算：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12．解：|−3|−2tan60°+(12)−1+√12＝3﹣2√3+2+2√3＝5． 18．解不等式组：{3x −1＞x +14x−53≤x．解：{3x −1＞x +1①4x−53≤x②，由①得：x ＞1，由②得：x ≤5，则不等式组的解集为1＜x ≤5．19．已知x 2+x ﹣3＝0，求代数式（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）的值．解：（2x +3）（2x ﹣3）﹣x （x ﹣3）＝4x 2﹣9﹣x 2+3x ＝3x 2+3x ﹣9，当x 2+x ﹣3＝0时，原式＝3（x 2+x ﹣3）＝3×0＝0．20．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +m ﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）如果方程有一个根为正数，求m 的取值范围．（1）证明：∵Δ＝m 2﹣4（m ﹣1）＝m 2﹣4m +4＝（m ﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根；（2）x =−m±(m−2)2，解得x 1＝﹣1，x 2＝﹣m +1， ∵方程只有一个根是正数， ∴﹣m +1＞0， ∴m ＜1．21．如图，在平行四边形ABCD 中，连接AC ，∠BAC ＝90°．点M 为边AD 的中点，连接CM 并延长，交BA 的延长线于点E ，连接DE ．（1）求证：四边形ACDE 是矩形；（2）若BE ＝10，DE ＝12，求四边形BCDE 的面积．（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ， ∴∠MAE ＝∠MDC ， ∵点M 为边AD 的中点， ∴MA ＝MD ，在△MAE 和△MDC 中，{∠MAE =∠MDCMA =MD ∠AME =∠DMC，∴△MAE ≌△MDC （ASA ）， ∴ME ＝MC ，∴四边形ACDE 是平行四边形， ∵∠ACD ＝∠BAC ＝90°，∴四边形ACDE是矩形．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ACDE是矩形，∴AE＝CD，AB＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥BE，∵BE＝10，DE＝12，∴AE＝AB＝CD=12BE=12×10＝5，∵BE∥CD，∴S四边形BCDE=12×（5+10）×12＝90，∴四边形BCDE的面积是90．22．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，且经过点（2，3）．（1）求k，b的值；（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，直接写出m的取值范围．解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由正比例函数y=12x的图象平移得到，∴k=1 2，∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点（2，3），∴3=12×2+b，∴b＝2；（2）如图所示：当x＝2时，mx﹣2≤12x+2，即2m﹣2≤3，解得m≤5 2，结合图象可知，当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝mx﹣2（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b（k≠0）的值，m的取值范围是12≤m≤52．23．（6分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，OD⊥OC，且∠ADO＝∠BOC．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若tan∠BAC=12，AD＝3，求⊙O的半径．（1）证明：∵OD⊥OC，∴∠DOC＝90°．∴∠AOD+∠BOC＝90°．∵∠ADO＝∠BOC，∴∠AOD+∠ADO＝90°．∴∠DAO＝90°．∵AB是⊙O的直径，∴AD是⊙O的切线．（2）解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∴∠BAC+∠B＝90°．过点C作CE⊥AB于点E，∴∠ECB +∠B ＝90°． ∴∠BAC ＝∠ECB ． ∴tan ∠ECB ＝tan ∠BAC =12，设BE ＝a （a ＞0），则CE ＝2a ，BC =√5a ． ∴AC ＝2√5a ，AB ＝5a ． ∴OA ＝OB ＝2.5a ． ∴OE ＝1.5a ． ∵△ADO ∽△EOC ， ∴AD AO =OE EC． ∴AD AO=1.5a 2a=34．∵AD ＝3， ∴OA ＝4． ∴⊙O 的半径为4．24．（6分）原地正面掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图所示，建立平面直角坐标系xOy ，实心球从出手到落地的过程中，它的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）．小明训练时，实心球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，解决下列问题：（1）直接写出实心球竖直高度的最大值是 3.24 ；（2）求出满足的函数关系y ＝a （x ﹣h ）2+k （a ＜0）；（3）求实心球从出手到落地点的水平距离．解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：（4，3.24），∴实心球竖直高度的最大值是3.24m，故答案为：3.24；（2）由表格数据可知，抛物线的顶点坐标为（4，3.24），设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+3.24，将点（0，1.8）代入，得1.8＝16a+3.24，解得a＝﹣0.09．∴抛物线的表达式为y＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24；（3）令y＝0，∴0＝﹣0.09（x﹣4）2+3.24，∴x1＝10，x2＝﹣2（舍）．答：实心球从出手到落地点的水平距离为10米．25．（6分）为了增强同学们的消防安全意识，普及消防安全知识，提高自防自救能力，某中学开展了形式多样的培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了消防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，80～89分为良好，60～79分为及格，59分及以下为不及格．学校随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a．抽取七年级20名学生的成绩如下：66 87 57 96 79 67 89 97 77 100 80 69 89 95 58 98 69 7880 89b．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1：（数据分成5组：50≤x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）c．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图2：d．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数如表：请根据以上信息，完成下列问题：（1）补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中a 的值；（2）该校八年级有学生200人，估计八年级测试成绩达到优秀的学生有多少人？（3）在七年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为m ；在八年级抽取的学生成绩中，高于他们平均分的学生人数记为n ．比较m ，n 的大小，并说明理由．解：（1）成绩在60≤x ＜70组的人数为：20﹣2﹣3﹣6﹣5＝4（人），补全频数分布直方图如下：将七年级20名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为80+802=80，因此中位数是80，即a ＝80；（2）抽取的八年级20名学生成绩的优秀率为：1﹣5%﹣45%−72360=30%，此次八年级测试成绩达到优秀的学生为：200×30%＝60（人），答：八年级测试成绩达到优秀的学生大约有60人；（3）抽取的七年级20名学生成绩在平均分81分以上的有9人，即m ＝9，抽取的八年级20名学生成绩中80分及以上的学生有：20×（72360+30%）＝10（人），把八年级20名学生的成绩由高到低排列，设第十名的成绩为x ，第十一名的成绩为80﹣b （b ＞0）． ∵抽取的八年级20名学生成绩的中位数是81， ∴x +80﹣b ＝81×2．∴x ＝82+b ．∵抽取的八年级20名学生成绩的平均数是82，∴第十名的成绩高于他们的平均分，第十一名的成绩低于他们的平均分， ∴n ＝10．∴m ＜n ．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．（1）当m＝1时，求b的值；（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．解：（1）当m＝1时，点A的坐标为（4，1），∵点A在抛物线y＝x2﹣2bx+1上，∴1＝42﹣2b×4+1上，∴b＝2；（2）∵抛物线的对称轴x＝b，当m＝n时，即（x0，n）和（4，m）关于对称轴对称，所以对称轴x＝b＝（x0+4）÷2．从而得到x0＝2b﹣4，∵0＜x0＜b，∴0＜2b﹣4＜b，解得2＜b＜4∴2＜b＜4．27．（7分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接CE交AD于点F．将线段CF绕点C顺时针旋转90°得到线段CG，连接AG．（1）如图1，当CE是∠ACB的角平分线时，①求证：AE＝AF；②直接写出∠CAG＝45°．（2）依题意补全图2，用等式表示线段AF，AC，AG之间的数量关系，并证明．（1）①证明：在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠B ＝45°，∵AD 是BC 边上的高，∴∠BAD ＝∠CAD =12∠BAC ＝45°，∴∠B ＝∠CAD ，∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝∠BCE ，∵∠AFE ＝∠CAD +∠ACE ，∠AEF ＝∠B +∠BCE ，∴∠AFE ＝∠AEF ，∴AE ＝AF ．②解：如图1，过点C 作CM ⊥AC 于点C ，交AD 的延长线于点M ，则∠ACM ＝90°，∵∠CAD ＝45°，∴△ACM 是等腰直角三角形，∴CA ＝CM ，∠M ＝45°，∵∠ACM ＝90°，∴∠ACF +∠MCF ＝90°，由旋转的性质得：∠FCG ＝90°，CF ＝CG ，∴∠ACF+∠ACG＝90°．∴∠MCF＝∠ACG，∴△MCF≌△ACG（SAS），∴∠CAG＝∠M＝45°，故答案为：45；（2）解：依题意补全图2，√2AC＝AF+AG，证明如下：过点C作CM⊥AC于点C，交AD的延长线于点M，则∠ACM＝90°，∵∠CAD＝45°，∴△ACM是等腰直角三角形，∴∠M＝45°，CA＝CM，AM=√2AC，∵∠ACM＝90°，∴∠ACF+∠MCF＝90°，由旋转的性质得：∠FCG＝90°，CF＝CG，∴∠ACF+∠ACG＝90°．∴∠MCF＝∠ACG，∴△MCF≌△ACG（SAS），∴MF＝AG，∵AM＝AF+MF，∴AM＝AF+AG，∴√2AC＝AF+AG．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2．对于线段AB和点C（点C不在直线AB上），给出如下定义：过点C作直线AB的平行线l，如果线段AB关于直线l的对称线段A'B'是⊙O的弦，那么线段AB称为⊙O的点C对称弦．（1）如图，D（﹣2，6），E（2，6），F（﹣3，1），G（﹣1，3），H（0，3），在线段DE，FG中，⊙O 的点H对称弦是DE、FG；（2）等边△ABC的边长为1，点C（0，t）．若线段AB是⊙O的点C对称弦，求t的值；（3）点M在直线y=√3x上，⊙M的半径为1，过点M作直线y=√3x的垂线，交⊙M于点P，Q．若点N在⊙M上，且线段PQ是⊙O的点N对称弦，直接写出点M的横坐标m的取值范围．解：（1）如图1，设⊙O与x轴交于点D′和E′，交y轴的正半轴于点G′，DE关于GH的对称弦是D′E′，FG关于AH的对称弦是D′G′，故答案为：DE ，FG ；（2）如图2，设AB 关于直线l 的对称弦是A ′B ′，连接OA ′，在Rt △A ′DO 中，A ′D =12A ′B ′=12AB =12，OA ′＝2， ∴OD =√22−(12)2=√152，∴CD =√32AB =√32，∴OC ＝OD ﹣OC =√15−√32，∴t 1=√3−√152，当AB 在A ′B ′下方时，t 2=−√3+√152，根据圆的对称性可得：t 3=√15−√32，t 4=√3+√152；（3）如图3，当PQ在图中位置时，点M的横坐标最大，∵PQ⊥OM，P′Q′与PQ关于过N点的直线l对称，∴OM⊥P′Q′，∴∠OHP′＝90°，P′H=12P′Q′=12PQ＝1，∴OH=√3，∵HM＝2MN＝2，∴OM＝2+√3，∵直线OM的解析式为：y=√3x，∴∠MOG＝60°，∴OG＝OM•cos60°=2+√3 2，∴m最大=2+√3 2，当点N在P′Q′上时，PQ不存在对称弦，此时OG=√32，由对称可知，当⊙M在第三象限时，m最小=−2+√32，∴−√3+22≤m≤√3+22，且m≠±√32．。

2024北京市房山区中考一模数学试题(带答案)

2024北京市房山区中考一模数学试题1．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A ．圆柱B ．圆锥C ．三棱柱D ．球2．据中国国家铁路集团有限公司消息：在2024年为期40天的春运期间，全国铁路累计发送旅客4.84亿人次，日均发送12089000人次．将12089000用科学记数法表示应为（）A ．612.08910⨯B ．61.208910⨯C ．71.208910⨯D ．80.1208910⨯3．如图四个博物馆标志，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．4．如图，a b ，点A ，C 在直线a 上，点B 在直线b 上，AB BC ⊥，若135∠=︒，则2∠的度数是（）A ．25︒B ．35︒C ．45︒D ．55︒5．若关于x 的一元二次方程20x x m +-=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．4-B ．14-C ．14D ．46．不透明的袋子中装有1个红球，1个白球，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么两次都摸到红球的概率是（）A ．19B ．16C ．14D ．497．若0a b <<，则下列结论正确的是（）A ．a b a b-<-<<B ．b a a b-<-<<C ．a b b a <<-<-D ．a b a b<<-<-8．如图，在四边形ABCD 中，90B BCD ∠=∠=︒，点E 在BC 上，CE BE <，连接AE 并延长交DC 的延长线于点F ，连接DE ，ABE ECD ≌．给出下面三个结论：①AE DE ⊥；②AB CD AE +>EF AD CF ⋅=⋅．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．若代数式23x -有意义，则实数x 的取值范围是．10．分解因式：x 2y -4y =．11．方程4135x x=+的解为．12．在平面直角坐标系xOy 中，若点1(1)A y -，，2(3)B y -，在反比例函数3y x=的图像上，则1y 2y （填“>”，“=”或“<”）．13．某校为了调查学生家长对课后服务的满意度，从600名学生家长中随机抽取150名进行问卷调查，获得了他们对课后服务的评分数据（评分记为x ），数据整理如下：家长评分6070x ≤<7080x ≤<8090x ≤<90100x ≤≤人数15456030根据以上数据，估计这600名学生家长评分不低于80分的有名．14．如图，在矩形ABCD 中，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，则MNAC的值为．15．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，CD AB ⊥，垂足为点D ，若4AB =，22.5A ∠=︒，则BD 的长为．16．在一次综合实践活动中，某小组用I 号、II 号两种零件可以组装出五款不同的成品，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个成品的总零件个数及所需的I 号、II 号零件个数如下：成品编号I 号零件个数II 号零件个数总零件个数A 347B549C4610D 437E628选用两种零件总数不超过25个，每款成品最多组装一个．（1）如果I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，写出一种满足条件的组装方案（写出要组装成品的编号）；（2）如果I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，同时所需的II 号零件最多，写出满足条件的组装方案（写出要组装成品的编号）．17．计算：116sin 453182-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭18．解不等式组：471352x x x x ->-⎧⎪⎨-<⎪⎩19．已知30x y --=，求分式22222x xy y x y-+-的值．20．在房山区践行“原色育人，生态发展”教育发展理念的引领下，某校为提升实践育人实效，积极组织学生建设劳动基地，参与校园种植活动．计划在校园内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为6:1，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？21．如图，在ABCD Y 中，AC ，BD 交于点O ，ABD CBD ∠=∠，过点D 作∥DE AC 交BC 延长线于点E ．(1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)若3OB =60ABC ∠=︒，求DE 的长．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图像由函数2y x =的图像平移得到，且经过点()2,3．(1)求该函数的解析式；(2)当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出m 的取值范围．23．2024年1月3日北京市生态环境局召开了“2023年北京市空气质量”新闻发布会，通报了2023年北京市空气质量状况：北京2023年PM2.5年均浓度为32微克/立方米，PM2.5最长连续优良天数为192天，“北京蓝”已成为常态．下面对2023年北京市九个区PM2.5月均浓度的数据进行整理，给出了部分信息：a ．2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的折线图：b ．2023年9月和10月北京市九个区PM2.5月均浓度的平均数、中位数、众数：PM2.5月均浓度平均数中位数众数9月29.6m n 10月37.43636(1)写出表中m ，n 的值；(2)2023年9月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为21S ，2023年10月北京市九个区PM2.5月均浓度的方差为22S ，则21S 22S （填“>”，“=”或“<”）；(3)2013年至2023年，北京市空气优良级别达标天数显著增加，2013年空气优良达标天数为176天，2023年比2013年增幅达到约54%，2023年达标天数约为天．24．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上一点，过点C 作O 的切线CD 与AB 的延长线交于点D ，过点B 作BE CD ∥，BE 与O 交于点E ，连接AE ，CE ．(1)求证：ACE D ∠=∠；(2)若3tan 4ACE ∠=，3AE =，求CE 的长．25．如图，点P 是半圆O 的直径AB 上一动点，点Q 是半圆O 内部的一定点，作射线PQ 交AB 于点C ，连接BC ．已知10cm AB =，设AP 的长度为cm x ，BC 的长度为1cm y ，PC 的长度为2cm y ．（当点P 与点A 重合时，x 的值为0）．小山根据学习函数的经验，对函数1y ，2y 随自变量x 的变化而变化的规律进行探究．对于点P 在AB 上的不同位置，画图、测量，得到了x ，1y ，2y 的几组值，如下表：/cm x 0123456789101/cmy 4.32 4.91 5.78 6.938.088.819.189.379.489.559.602/cmy 9.027.866.635.464.795.005.736.647.618.609.60(1)在同一平面直角坐标系xOy 中，小山已画出函数1y 的图像，请你画出函数2y 的图像；(2)结合函数图象，解决问题：①当AP 的长度为6.5cm 时，则BC 的长度约为cm （结果保留小数点后一位）．②当BCP 为等腰三角形时，则AP 的长度约为cm （结果保留小数点后一位）．26．在平面直角坐标系xOy 中，()11,A x y ，()22,B x y 是抛物线2222y x a x a =-+-上任意两点．(1)当1a =时，求抛物线与y 轴的交点坐标及顶点坐标；(2)若对于110x 2<<，2112x <<，都有12y y >，求a 的取值范围．27．在△ABC 中，AB AC =，2(4590)BAC αα∠=︒<<︒，D 是BC 上的动点(不与点C 重合)，且BD DC >，连接AD ，将射线AD 绕点A 顺时针旋转α得到射线AG ，过点D 作DE AD ⊥交射线AG 于点E ，连接BE ，在BD 上取一点H ，使HD CD =，连接EH ．(1)依题意补全图形；(2)直接写出ABE ∠的大小，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，将中心为M 的等边三角形记作等边三角形M ，对于等边三角形M 和点P （不与O 重合）给出如下定义：若等边三角形M 的边上存在点N ，使得直线OP 与以MN 为半径的⊙M 相切于点P ，则称点P 为等边三角形M 的“相关切点”．(1)如图，等边三角形M 的顶点分别为点()0,0O ，(A ，(3,B ．①在点13,22P ⎛ ⎝⎭，23,2P ⎛ ⎝⎭，()32,2P 中，等边三角形M 的“相关切点”是；②若直线y x b =+上存在等边三角形M 的“相关切点”，求b 的取值范围；(2)已知点(2)M m m -，，等边三角形M 的边长为M 的两个“相关切点”E，F，使得△OEF为等边三角形，直接写出m的取值范围.参考答案：1．B【分析】根据主视图和左视图都是三角形，俯视图是圆，即可判断该几何体为圆锥．【详解】解：长方体的三视图都是圆锥，故选：B ．【点睛】本题考查了几何体的三视图，解题的关键是熟知基本几何体的三视图，正确判断几何体．2．C【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将12089000用科学记数法表示应为71.208910⨯，故选：C ．3．B【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．根据轴对称图形定义及“将图形绕着某一点旋转180︒与原图形重合的图形叫做中心对称图形”，逐一进行判断即可．【详解】解：A 、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B 、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；C 、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D 、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B ．4．D【分析】本题考查平行线的性质，平角的定义．根据“两直线平行，内错角相等”与平角为180︒进行解题即可．【详解】解： a b ，∴3135∠=∠=︒，又 AB BC⊥∴90ABC ∠=︒，∴21803180903555ABC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，故选D ．5．B【分析】本题考查了根的判别式．利用根的判别式的意义得到2140m ∆=+=，然后解方程即可．【详解】解：根据题意得2140m ∆=+=，解得14m =-，即m 的值为14-，故选：B ．6．C【分析】本题考查的是用树状图法求概率．画树状图，共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：共有4种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，∴两次都摸到红球的概率是14，故选：C ．7．C【分析】本题考查的是不等式的性质．根据不等式的性质解答即可．【详解】解：0a b <<Q ，0a b ∴->->，a b b a ∴<<-<-．故选：C ．8．D【分析】本题考查了全等三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、三角形三边关系、相似三角形的判定与性质等知识点，由全等三角形的性质可得BAE CED ∠=∠，AE ED =，BE CD =，结合90B BCD ∠=∠=︒，求出90AED ∠=︒，即可判断①；由三角形三边关系即可判断②；证明FEC AEB ∽，得出EF CF AE AB=，即可判断③，从而得解．【详解】解：ABE ECD ≌，BAE CED ∴∠=∠，AE ED =，BE CD =，90B BCD ∠=∠=︒ ，90AEB CED AEB BAE ∴∠+∠=∠+∠=︒，()18090AED AEB CED ∴∠=︒-∠+∠=︒，AE DE ∴⊥，故①正确，符合题意；AB BE AE +> ，且BE CD =，AB CD AE ∴+>，故②正确，符合题意；AE ED = ，90AED ∠=︒，AD ∴=，2AE AD ∴=，90FCE B ∠=∠=︒ ，FEC AEB ∠=∠，FEC AEB ∴ ∽，EF CF AE AB∴=，2AB EF AD CF ∴⋅=⋅，EF AD CF ⋅=⋅，故③正确，符合题意；故选：D ．9．x ≠3【分析】根据分母不等于0解答．【详解】∵23x -有意义，∴x -3≠0，∴x ≠3．故答案为x ≠3．【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解决此类问题的关键是分母不等于0．10．y (x +2)(x -2)【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．【详解】x 2y -4y =y (x 2-4)=y (x +2)(x -2)，故答案为：y (x +2)(x -2)．【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．11．5x =【分析】本题考查解分式方程．利用去分母将原方程化为整式方程，解方程求得x 的值后进行检验即可．【详解】解：原方程去分母得：435x x =+，解得：5x =，检验：当5x =时，(35)0x x +≠，故原方程的解为5x =，故答案为：5x =．12．<【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数的解析式得出反比例函数图像在第一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，结合310-<-<即可得出答案．【详解】解：3y x= ，30k =>，∴反比例函数图像在第一、三象限，在每个象限内y 随x 的增大而减小，310-<-< ，12y y ∴<，故答案为：<．13．360【分析】本题考查了利用样本估计总体，熟练掌握利用样本估计总体的方法是解题关键．利用600名学生家长乘以评分不低于80分的学生家长所占百分比即可得．【详解】解：由题意得：6030600360150+⨯=（名），即估计这600名学生家长评分不低于80分的有360名，故答案为：360．14．12/0.5【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接BD ，利用三角形中位线定理得出12MN BD =，进而利用矩形的性质解答即可．【详解】解：连接BD ，四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，MN ∴是CDB △是中位线，∴12MN BD =，∴12MN AC =，故答案为：12．15．2【分析】本题考查圆周角定理、解直角三角形，由圆周角定理得出245BOC A ∠=∠=︒，解直角三角形得出OD =BD OB OD =-即可得出答案．【详解】解：4AB = ，2OA OC OB ∴===，22.5A ∠=︒Q ，245BOC A ∴∠=∠=︒，CD AB ⊥ ，cos 22DO OC COD ∴=⋅∠=⨯=2BD OB DO ∴=-=-故答案为：216．ABD （答案不唯一）ACE【分析】本题考查了方案的设计选择，分析题意合理使用方案是解题关键．（1）根据I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，设计出I 号零件的组法，再分别求出II 号零件个数，满足两种零件总数不超过25个即可；（2）根据（1）中方案，计算总数，判断即可．【详解】解：（1）设I 号零件个数为x ，II 号零件的个数为y ，I 号零件个数不少于11个，且不多于13个，1113x ∴≤≤，∴由表得满足I 号零件的组法为：组ABC 用Ⅰ号零件12个，组ABD 用I 号零件12个，组ACD 用I 号零件11个，组BCD 用I 号零件13个，组ACE 用I 号零件13个，组ADE 用I 号零件13个，以上六种方案中使用Ⅱ号零件个数为：组ABC 用II 号零件14个，组ABD 用II 号零件11个，组ACD 用II 号零件13个，组BCD 用II 号零件13个，组ACE 用II 号零件12个，组ADE 用II 号零件9个，两种零件总数不超过25个，25x y ∴+≤，∴满足题意的方案为组ABD ，ACD ，ACE ，ADE ，∴一种满足条件的组装方案可以是ABD ，故答案为：ABD ；（2）解：由（1）得，组ACE 用的零件最多，为25个，故答案为：ACE ．17．5【分析】本题考查实数的运算．利用特殊锐角三角函数值，负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质计算即可．【详解】解：116sin 4532-⎛⎫︒++-- ⎪⎝⎭6232=⨯++-23=+-5=．18．25x <<【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为471352x x x x ->-⎧⎪⎨-<⎪⎩①②，解不等式①，得2x >．解不等式②，得5x <．∴原不等式组的解集为25x <<．19．2x y -，32【分析】此题考查了分式的求值能力．先化简，再由题意得3x y -=，最后代入求解．【详解】解：22222x xy y x y-+-2()2()x y x y -=-2x y -=．∵30x y --=，∴3x y -=．∴原式322x y -==．20．预留通道的宽度是0.5米，矩形菜园的宽是1.5米【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设矩形菜园的宽为x 米，则长为6x ，根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，可列一元一次方程，解得x 的值即为矩形菜园的宽，可求得预留通道的宽度．【详解】解：设矩形菜园的宽为x 米，则矩形菜园的长为6x 米．由题意可得，106 4.5223x x --=．解得 1.5x =．∴1060.52x -=．答：预留通道的宽度是0.5米，矩形菜园的宽是1.5米．21．(1)见解析(2)2DE =【分析】此题考查了解直角三角形、菱形的性质判断和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握解直角三角形、菱形的性质判断和性质是解题的关键．（1）根据平行四边形的性质得到AD BC ∥．则ADB CBD ∠=∠，由已知ABD CBD ∠=∠得到ABD ADB ∠=∠，则AB AD =，即可得到结论；（2）由四边形ABCD 是菱形得到AC BD ⊥，2BD OB =，12DBE ABC ∠=∠．证明90BDE BOC ∠=∠=︒．再得到2BD OB ==．1302DBE ABC ∠=∠=︒．在Rt △BDE 中，tan3DBE ∠=，BD =tan 3DE DBE BD ∠==，即可得到答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥．∴ADB CBD ∠=∠．∵ABD CBD ∠=∠，∴ABD ADB ∠=∠．∴AB AD =．∴四边形ABCD 是菱形．（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，2BD OB =，12DBE ABC ∠=∠．∵DE AC ，∴90BDE BOC ∠=∠=︒．∵OB =∴2BD OB ==∵60ABC ∠=︒，∴1302DBE ABC ∠=∠=︒．在Rt BDE 中，tan 3DBE ∠=，BD =∴tan DE DBE BD ∠==∴2DE =．22．(1)21y x =-(2)m 1≥【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，根据不等式的解集得12m +≥是解题的关键．（1）根据函数(0)y kx b k =+≠的图像由函数2y x =的图像平移得到的，可求出k 的值，再代入()2,3即可；（2）当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值时，即21x m x +>-，得1x m <+，可得12m +≥，即可求解．【详解】（1）∵函数(0)y kx b k =+≠的图象平行于函数2y x =的图像，∴2y x b =+，把()2,3代入，得：223b ⨯+=，解得，1b =-，∴该函数的表达式为21y x =-；（2）当函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值时，21x m x +>-，∴1x m <+，∵当2x <时，对于x 的每一个值，函数y x m =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，∴12m +≥，∴m 1≥．23．(1)30m =，26n =(2)<(3)271【分析】（1）根据中位数和众数的概念即可解答；（2）根据方差的概念和意义即可解答；（3）根据增幅=（末期量-基期量）/基期量和已知条件，求解即可．【详解】（1）解：将九月份的数据从小到大排列为：26、26、26、29、30、31、31、33、34根据中位数和众数的概念，可以知道这组数据的第五个数为30，即中位数为30m =，这组数据26出现的次数最多，即众数为26n =；（2）解：根据折线图可以看出，九月份的数据大约分布于26至34，十月份的数据大约分布于32至42，可以发现九月份的数据比十月份的数据波动较小，更加稳定，所以九月份数据的方差小于十月份数据的方差，故答案为：<．（3）解：根据已知条件可以列式为：17654%176271.04271⨯+=≈（天)故答案为：271．【点睛】本题考查的是折线图、方差、中位数、众数、增幅等相关知识，解题的关键是掌握方差、中位数、众数等概念，从统计图中获得相关信息，并利用相关信息解答实际问题．24．(1)见解析(2)CE =【分析】（1）根据»»AE AE =，得出ACE ABE ∠=∠，根据BE CD ∥，得出ABE D ∠=∠，即可证明结论；（2）连接OC ，交BE 于点F ，根据切线的性质得出90OCD ∠=︒，证明OF 为AEB △的中位线，得出12OF AE =，解直角三角形得出4BE =，5AB =．最后根据勾股定理求出CE ==．【详解】（1）证明：∵»»AE AE =，∴ACE ABE ∠=∠，又∵BE CD ∥，∴ABE D ∠=∠．∴ACE D ∠=∠．（2）解：连接OC ，交BE 于点F ，如图所示：∵CD 是O 的切线，切点为C ，∴90OCD ∠=︒，∵BE CD ∥，∴90OFB OCD ∠=∠=︒，∴BE ⊥OC ，∴F 为BE 中点．∵O 为直径AB 中点，∴OF 为AEB △的中位线，∴12OF AE =，∵3AE =，∴32OF =．∵»»AE AE =，∴ACE ABE ∠=∠，∵3tan 4ACE ∠=，∴3tan 4ABE ∠=，∵AB 是O 的直径，∴90AEB ∠=︒，在Rt AEB 中∵3tan 4ABE ∠=，∴4BE =，由勾股定理得5AB =．∴52OC =．∴1CF =．∵F 为BE 中点，4BE =，∴2EF =．在Rt ECF 中，由勾股定理得CE ==．【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，中位线的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．25．(1)见详解(2)①9.2；②2.3，3.1，5.0【分析】本题考查动点问题函数图象、圆的有关知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．（1）利用描点法画出图象即可；（2）当 6.5cm x =时，从图象上找出对应函数1y 的函数值即可；（3）图中寻找PB 长关于x 的函数：直线10y x =-与两个函数的交点的横坐标，以及1y 与2y 的交点的横坐标即可．【详解】（1）解：函数图象如图示：（2）①：当 6.5x =时，由图像可知19.2cm BC y =≈，故答案为9.2．②当CP CB =时，即12y y =，观察两个函数图像交点的横坐标即为AP 长，由图象得2.3cm x ≈；当PC PB =时，即210y x =-，画出函数10y x =-图象，如图示：观察图像即为直线10y x =-与函数2y 图像交点，故 5.0cm x ≈；当BC BP =时，即110y x =-，观察图像即为直线10y x =-与函数1y 图像交点，故 3.1cm x ≈．故答案为：2.3，3.1，5.0．26．(1)抛物线与y 轴的交点坐标为()0,1-，抛物线的顶点坐标为()1,2-(2)34a ≥【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．（1）令0x =，则22y a =-代入a 的值即可得出此时抛物线与y 轴的交点坐标，将抛物线化为顶点式，代入a 的值即可得出此时抛物线的顶点坐标；（2）由题意得出211()2y x a =--，222()2y x a =--，从而得出2212121212()()()(2)y y x a x a x x x x a -=---=-+-，结合110x 2<<，2112x <<，得出122x x a +<，即可得到322a ≥，求解即可．【详解】（1）解：令0x =，则22y a =-．当1a =时，1y =-．∴抛物线与y 轴的交点坐标为(01)-，；∵22222()2y x ax a x a =-+-=--，∴当1a =时，抛物线的顶点坐标为(12)-，．（2）解：∵11()A x y ，，22()B x y ，是抛物线2222y x ax a =-+-上任意两点，∴211()2y x a =--，222()2y x a =--．∴2212121212()()()(2)y y x a x a x x x x a -=---=-+-．∵110x 2<<，2112x <<，∴12x x <，121322x x <+<．∵12x x <，12y y >，∴1220x x a +-<．即122x x a +<．∴322a ≥．∴34a ≥．27．(1)见解析(2)90ABE ∠=︒，见解析【分析】本题考查作图-旋转变换，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．（1）根据要求作出图形；（2）证明2BAT α∠=∠=，可得90ABE ∠=︒．【详解】（1）解：依题意补全图形，如图．；（2）解：结论：90ABE ∠=︒．理由：过点A 作AT BC ⊥于点T ，设AE ，BC 交于点O ．AB AC = ，AT BC ⊥，12BAT CAT BAC α∴∠=∠=∠=，AD DE ⊥ ，90ADE ∴∠=︒，90EAD AED ∴∠+∠=︒，90ATB ∠=︒ ，190BAT ∴∠+∠=︒，BAT EAD α∠=∠= ，1AED ∴∠=∠，AOB DOE ∠=∠ ，AOB DOE ∴ ∽，∴AO OB DO OE =，∴AO DO OB EO=，AOD BOE ∠=∠ ，AOD BOE ∴△∽△，2OAD α∴∠=∠=，2BAT α∴∠=∠=，2190∴∠+∠=︒，90ABE ∴∠=︒．28．(1)①1P ，2P ；②3122b --≤；(2)21m +≤≤10m ≤．【分析】（1）①根据新定义即可求解；②找到关键点先求出此时b 的值，然后即可求解；（2）由().2M m m -可知，点在2y x =-直线上，再根据新定义分四种情况画出图即可；本题考查了圆的切线，勾股定理和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）①如图，根据题意，直线OP 与以MN 为半径的M 相切，由图可知，等边三角形M 的“相关切点”是12P P 、，故答案为：12P P 、；②根据题意，满足题意的P 点是以()1,0，半径为1的弧上，如图，若直线y x b =+上存在等边三角形M 的“相关切点”，如图，由HIK ，OSK 是等腰直角三角形，1HI =，∴2KI =，∴21OK OS ==，即21b =-∵33,22P ⎛ ⎝⎭，∴32PL =，32KL =，∴332OG +=此时332b +=∴b 的取值范围为b 332122b -+≤≤；（2）如图，此时OEM △中30EOM ∠=︒，90OEM ∠=︒，(),2M m m -，此时4OM =，()22224m m +-=，解得：17m =，如图，此时OEM △中30EOM ∠=︒，90OEM ∠=︒，(),2M m m -，此时4OM =，()22224m m +-=，解得：17m =，如图，此时2OM =，()22222m m +-=，解得：2m =或0m =（舍去），如图，此时2OM =，()22222m m +-=，解得：2m =（舍去）或0m =，综上可知：217m ≤≤170m ≤．。

2023年北京市房山区中考一模数学试卷

2023年北京市房山区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是某几何体的展开图，该几何体是（）A ．长方体B ．四棱锥C ．三棱柱D ．正方体【答案】A 【分析】展开图为六个长方形，易得是长方体的展开图．【详解】解：∵长方体的展开图是六个长方形，∴由展开图可得此几何体为长方体，故A 正确．故选：A ．【点睛】本题主要考查了由展开图得几何体，关键是考查同学们的空间想象能力．2．中国立足本国国情、粮情，实施新时期国家粮食安全战略，走出了一条中国特色粮食安全之路．2022年我国全年粮食产量68653万吨，比上年增加368万吨，增产0.5%．将686530000用科学记数法表示应为（）A ．46865310⨯B ．90.6865310⨯C ．86.865310⨯D ．86.910⨯【答案】C【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数，且n 比原来的整数位数少1，据此判断即可．【详解】解：686530000用科学记数法表示应为86.865310⨯．故选：C ．【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，确定a 与n 的值是解题的关键．3．如图是由射线AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 组成的平面图形，则123456∠+∠+∠+∠+∠+∠的值为（）A．180︒B．360【答案】B【分析】根据多边形的外角和等于【详解】解：由多边形的外角和等于∠+∠+∠+∠+∠+∠= 123456360A ．30︒B ．40︒C ．45︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到2BAF ∠=∠，根据三角板中角度的特点求出BAF ∠的度数即可得到答案．【详解】解：由题意得，90AB CD EAF =︒∥，∠，∴2BAF ∠=∠，∵150∠=︒，∴2140BAF EAF ==-=︒∠∠∠∠，故选B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．6．下列图形中，直线l 为该图形的对称轴的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据轴对称图形的概念求解即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线对称．【详解】解：A 、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；共有8种等可能的结果数，其中三枚硬币全部正面向上的结果数为所以三枚硬币全部正面向上的概率18 ．故选：D．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：n，再从中选出符合事件A或B的结果数目A ．ABD △的面积B ．ABD △的周长C ．ACD V 的面积D ．ACD V 的周长【答案】C 【分析】由图象可知，y 随着x 的增大而减小，当4x =时，0y =，逐一进行判断即可；【详解】解：A 、ABD △的面积随着BD 的增大而增大，不符合题意；B 、当4BD =时，即点D 与点C 重合时，ABD △的周长最大，不为0，不符合题意；C 、ACD V 的面积随着BD 的增大而减小，当,B D 重合时，取得最大值，当,C D 重合时，面积为0，符合题意；D 、ACD V 的周长随着BD 的增大而减小，当,C D 重合时，周长不为0，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查动点的函数图象．从图象中有效的获取信息，是解题的关键．【答案】9 2【分析】因为DE BC∥，可得【答案】李波【分析】平均数相同的情况下波动小的发挥稳定【详解】解：平均数相等的情况下波动小的发挥稳定，李波波动小，更稳定，故选李波，故答案为：李波.【点睛】本题考查对数据的波动的理解，需要学生对折线统计图的理解．16．为进一步深化“创城创卫”工作，传播健康环保的生活理念，房山区持续推进垃圾分类工作．各乡镇（街道）的党员、志愿者纷纷参与“桶前值守”，在垃圾桶旁监督指导居∴BD CD =，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BD CD =，AD BC ⊥；方法二：∵点D 为BC 中点，∴BD CD =，在BAD V 和CAD V 中，AB AC BD CD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS BAD CAD ≌△△，∴BAD CAD ∠=∠，ADB ADC ∠=∠，∵180ADB ADC ∠+∠=︒，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，即AD BC ⊥，∴BAD CAD ∠=∠，AD BC ⊥；方法三：∵AD BC ⊥，∴90ADB ADC ∠=∠=︒，在Rt BAD V 和Rt CAD △中，AB AC AD AD=⎧⎨=⎩，∴()HL BAD CAD △≌△，∴BAD CAD ∠=∠，BD CD =．【点睛】本题主要考查了三线合一定理的证明，全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．21．如图，ABCD Y 中，对角线AC 、BD 交于点O ，在BD 上截取OE OF OA ==．(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE AF =，求证：AC 平分BAD ∠．【答案】(1)证明见解析∴312k ≤≤．【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．23．如图，ABC V 中，AB AC =，的切线交BC 的延长线于点E ．(1)求证：2BAC DBC ∠=∠；(2)若3cos 5BAC ∠=，DE =【答案】(1)见解析(2)8BE =．则OD OB =，∴CBD BDO ∠=∠，∵BC 为O e 的直径，DE 为∴90BDC ODE ∠=∠=︒，∴EDC BDO EBD ∠=∠=∠，∵DEC BED ∠=∠，b ．其中乙校学生得分在6080x ≤<这一组的数据如下：(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离23681012x/m竖直高度4 5.47.2 6.440/my根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满62106-=- ，∴顶点坐标为()6,7.2，2(6)7.2y a x ∴=-+，2(26)7.24a ∴-+=，解得：0.2a =-，20.2(6)7.2y x ∴=--+．（2）解：由表格得当12x =时，0y =，原拱门中：112d =（m ）；新拱门中：当0y =时，20.288(5)7.20x --+=解得：10x =，210x =，22110d x x ∴=-=（m ），1210> ，12d d ∴>．故答案：>．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．26．已知抛物线22y x ax b =-+经过点()11，．(1)用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；(2)若对于任意12a x a -≤≤+，都有1y ≤，求a 的取值范围．【答案】(1)2b a =，抛物线的顶点坐标为()22a a a -，；(2)3a ≥或1a ≤-．【分析】（1）把点()11，代入22y x ax b =-+计算可求得含a 的式子表示b 的代数式，配方成顶点式，即可求解；（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x a =，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值(1)依题意补全图形；用等式表示(2)若2DG DF =，用等式表示线段【答案】(1)补全图形见解析，(2)3BC BE =，理由见解析ADG CDG ∠=∠，理由如下：连,GA GC ，∵四边形ABCD 为正方形∴,AD DC BC AB ADC ===∠=【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，角形的性质，三角函数的性质等知识点的应用，熟练掌握其性质是解决问题的关键．28．在平面直角坐标系xOy 中，对于直线将点P 向右()0k >或向左(0k <(1)如图，已知直线l为y12，，则点①点A坐标为()②在直线l上是否存在点【点睛】本题主要考查了坐标与图形变换—平移和轴对称，一次函数与几何综合，切线的性质，勾股定理等等，正确理解题意是解题的关键．。

2023年北京市大兴区中考一模数学试卷(含答案解析)

试卷第 2页，共 7页
BDC __________°．
15．如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边上一点，且 AE 2DE ，连接 CE 交对角线 BD 于点 F ．若 BD 10 ，则 DF 的长为__________．
16．某校需要更换部分体育器材，打算用 1800 元购买足球和篮球，并且把 1800 元全部花完.已知每个足球 60 元，每个篮球 120 元，根据需要，购买的足球数要超过篮球数，并且足球数不超过篮球数的 2 倍，写出一种满足条件的购买方案__________________.
2023 年北京市大兴区中考一模数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．如图所示的圆柱，其俯视图是（）
A．
B．
C．
D．
2．2022 年 10 月 12 日，“天宫课堂”第三课在距离地球约 400000 米的中国空间站开讲.
(1)求证： CP 是 O 的切线；
(2)过点
B
作
BE
PC
于点
E
，若
CE
4，
cos CAB
4 5
，求
OD
的长．
25．羽毛球作为国际球类竞技比赛的一种，发球后羽毛球的飞行路线可以看作是抛物线
的一部分.建立如图所示的平面直角坐标系，羽毛球从发出到落地的过程中竖直高度 y
（单位：m）与水平距离 x （单位：m）近似满足函数关系 y a x h 2 k a 0 .
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
二、填空题 9．若 x 1 在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是________．

中考数学：新定义创新型综合压轴问题真题+模拟(原卷版北京专用)

中考数学新定义创新型综合压轴问题【方法归纳】新定义＂型问题是指在问题中定义了初中数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识进行理解，而后根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型。

它一般分为三种类型：（1）定义新运算；（2）定义初、高中知识衔接＂新知识＂；（3）定义新概念.这类试题考查考生对＂新定义＂的理解和认识，以及灵活运用知识的能力，解题时需要将＂新定义＂的知识与已学知识联系起来，利用已有的知识经验来解决问题。

解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

北京中考最后一题的新定义主要涉及函数与圆的有关新定义问题，属于函数的范畴，已经考过“对应点”、“关联线段”、“平移距离”“闭距离”、“相关矩形”、“反称点”、“有界函数”、“关联点”等新定义。

在平时的教学过程中要从细节中挖掘出数学的本质特征，引领学生找到解决问题的思想方法。

解答这类问题的关键是要读懂题目提供的新知识，理解其本质，把它与已学的知识联系起来，把新的问题转化为已学的知识进行解决。

【典例剖析】【例1】（2022·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知点M(a,b),N.对于点P给出如下定义：将点P向右(a≥0)或向左(a<0)平移|a|个单位长度，再向上(b≥0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度，得到点P′关于点N的对称点为Q，称点Q为点P的“对应点”．(1)如图，点M(1,1),点N在线段OM的延长线上，若点P(−2,0),点Q为点P的“对应点”．①在图中画出点Q；OM;②连接PQ,交线段ON于点T.求证：NT=12(2)⊙O的半径为1，M是⊙O上一点，点N在线段OM上，且ON=t(1<t<1)，若P为⊙O外2一点，点Q为点P的“对应点”，连接PQ.当点M在⊙O上运动时直接写出PQ长的最大值与最小值的差（用含t的式子表示）【例2】（2021·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′,C′分别是B,C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．（1）如图，点A,B1,C1,B2,C2,B3,的横､纵坐标都是整数．在线段B1C1,B2C2,B3C3中，⊙O 的以点A为中心的“关联线段”是______________；（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0,t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；（3）在△ABC中，AB=1,AC=2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA 的最小值和最大值，以及相应的BC长．【真题再现】1．（2020·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，A，B为⊙O外两点，AB=1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦A′B′（A′,B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．（1）如图，平移线段AB 到⊙O 的长度为1的弦P 1P 2和P 3P 4，则这两条弦的位置关系是；在点P 1,P 2,P 3,P 4中，连接点A 与点的线段的长度等于线段AB 到⊙O 的“平移距离”；（2）若点A ，B 都在直线y =√3x +2√3上，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 1，求d 1的最小值；（3）若点A 的坐标为(2,32)，记线段AB 到⊙O 的“平移距离”为d 2，直接写出d 2的取值范围．2（2019·北京·中考真题）在△ABC 中，D ，E 分别是△ABC 两边的中点，如果DE⌢上的所有点都在△ABC 的内部或边上，则称DE⌢为△ABC 的中内弧．例如，下图中DE ⌢是△ABC 的一条中内弧．（1）如图，在Rt △ABC 中，AB =AC =2√2，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．画出△ABC 的最长的中内弧DE⌢，并直接写出此时DE ⌢的长；（2）在平面直角坐标系中，已知点A(0,2)，B(0,0)，C(4t,0)(t >0)，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．①若t =12，求△ABC 的中内弧DE⌢所在圆的圆心P 的纵坐标的取值范围；②若在△ABC 中存在一条中内弧DE⌢，使得DE ⌢所在圆的圆心P 在△ABC 的内部或边上，直接写出t 的取值范围．3．（2018·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，Q 为图形N 上任意一点，如果P ，Q 两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M ，N 间的“闭距离”，记作d （M ，N ）．已知点A （−2，6），B （−2，−2），C （6，−2）．（1）求d （点O ，△ABC ）；（2）记函数y =kx （−1≤x ≤1，k ≠0）的图象为图形G ，若d （G ，△ABC ）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T 的圆心为T （t ，0），半径为1．若d （⊙T ，△ABC ）=1，直接写出t 的取值范围． 4.（2017·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形M ，给出如下的定义：若在图形M 存在一点Q ，使得P 、Q 两点间的距离小于或等于1，则称P 为图形M 的关联点．（1）当⊙O 的半径为2时，①在点P 1(12,0),P 2(12,√32),P 3(52,0) 中，⊙O 的关联点是_______________． ②点P 在直线y=-x 上，若P 为⊙O 的关联点，求点P 的横坐标的取值范围．（2）⊙C 的圆心在x 轴上，半径为2，直线y=-x+1与x 轴、y 轴交于点A 、B ．若线段AB 上的所有点都是⊙C 的关联点，直接写出圆心C 的横坐标的取值范围．5．（2016·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2），且x 1≠x 2，y 1≠y 2，若P ，Q 为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与，Q 的“相关矩形”．下图为点P ，Q 的“相关矩形”的示意图．（1）已知点A 的坐标为（1，0）．①若点B 的坐标为（3，1）求点A ，B 的“相关矩形”的面积；②点C 在直线x=3上，若点A ，C 的“相关矩形”为正方形，求直线AC 的表达式；（2）⊙O 的半径为，点M 的坐标为（m ，3）．若在⊙O 上存在一点N ，使得点M ，N 的“相关矩形”为正方形，求m 的取值范围．6．（2015·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，⊙C 的半径为r ，P 是与圆心C 不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP+CP′=2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′=0．（1）当⊙O的半径为1时．，0），T（1，√3）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求①分别判断点M（2，1），N（32其坐标；②点P在直线y=﹣x+2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；x+2√3与x轴、y轴分别交于点A，B，若（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y=﹣√33线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．7．（2014·北京·中考真题）对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足−M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．(x>0)和y=x+1(−4<x≤2)是不是有界函数？若是有界函数，（1）分别判断函数y=1x求其边界值；（2）若函数y=−x+1(a⩽x⩽b,b>a)的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；（3）将函数y=x2(−1≤x≤m，m≥0)的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值≤t≤1？是t，当m在什么范围时，满足348．（2013·北京·中考真题）对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和⊙C ，给出如下定义：若⊙C 上存在两个点A ，B ，使得∠APB=60°，则称P 为⊙C 的关联点．已知点D （，），E （0，－2），F （，0）（1）当⊙O 的半径为1时，①在点D ，E ，F 中，⊙O 的关联点是；②过点F 作直线交y 轴正半轴于点G ，使∠GFO=30°，若直线上的点P （m ，n ）是⊙O 的关联点，求m 的取值范围；（2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r 的取值范围．【模拟精练】一、解答题1．（2022·北京朝阳二模）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，AB =1，且A ，B 两点中至少有一点在⊙O 外．给出如下定义：平移线段AB ，得到线段A ′B ′（A ′，B ′分别为点A ，B 的对应点），若线段A ′B ′上所有的点都在⊙O 的内部或⊙O 上，则线段AA ′长度的最小值称为线段AB 到⊙O 的“平移距离”．(1)如图1，点A 1，B 1的坐标分别为（－3，0），（－2，0），线段A 1B 1到⊙O 的“平移距离”为___，点A 2，B 2的坐标分别为（－12，√3），（12，√3），线段A 2B 2到⊙O 的“平移距离”为___；(2)若点A，B都在直线y=√3x+2√3上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d，求d的最小值；(3)如图2，若点A坐标为（1，√3），线段AB到⊙O的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点B形成的图形（不需证明）．2．（2022·北京北京·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于线段PQ给出如下定义：若线段PQ与⊙O有两个交点M，N，且PM=MN=NQ，则称线段PQ是⊙O的“倍弦线”．(1)如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．在线段AB，AD，CB，CD中，⊙O的“倍弦线”是_____________；(2)⊙O的“倍弦线”PQ与直线x=2交于点E，求点E纵坐标y E的取值范围；(3)若⊙O的“倍弦线”PQ过点(1,0)，直线y=x+b与线段PQ有公共点，直接写出b的取值范围．3．（2022·北京大兴·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和直线y=1，给出如下定义：若点P在直线y=1上，且以点P为顶点的角是45°，则称点P为直线y=1的“关联点”．(1)若在直线x=1上存在直线y=1的“关联点”P．则点P的坐标为_____；(2)过点P(2,1)作两条射线，一条射线垂直于x轴，垂足为A；另一条射线、交x轴于点B，若点P为直线y=1的“关联点”．求点B的坐标；(3)以点O为圆心，1为半径作圆，若在⊙O上存在点N，使得∠OPN的顶点P为直线y=1的“关联点”．则点P的横坐标a的取值范围是________．4．（2022·北京东城·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形G及过定点P(3,0)的直线l，有如下定义：过图形G上任意一点Q作QH⊥l于点H，若QH+PH有最大值，那么称这个最大值为图形G关于直线l的最佳射影距离，记作d(G,l)，此时点Q称为图形G关于直线l的最佳射影点．(1)如图1，已知A(2,2)，B(3,3)，写出线段AB关于x轴的最佳射影距离d(AB,x轴)=____________；(2)已知点C(3,2)，⊙C的半径为√2，求⊙C关于x轴的最佳射影距离d（⊙C，x轴），并写出此时⊙C关于x轴的最佳射影点Q的坐标；(3)直接写出点D(0,√3)关于直线l的最佳射影距离d(点D,l)的最大值．5．（2022·北京·清华附中一模）在平面直角坐标系xOy中，对于两个点P，Q和图形W，如果在图形W上存在点M，N（M，N可以重合）使得PM=QN，那么称点P与点Q是图形W的一对平衡点．(1)如图1，已知点A(0,3)，B(2,3)；①设点O与线段AB上一点的距离为d，则d的最小值是______，最大值是______；,0)，P2(1,4)，P3(−3,0)这三个点中，与点O是线段AB的一对平衡点的是______．②在P1(32(2)如图2，已知⊙O的半径为1，点D的坐标为（5，0）．若点E(x,2)在第一象限，且点D 与点E是⊙O的一对平衡点，求x的取值范围；(3)如图3，已知点H(−3,0)，以点O为圆心，OH长为半径画弧交x的正半轴于点K．点C(a,b)（其中b≥0）是坐标平面内一个动点，且OC=5，⊙C是以点C为圆心，半径为2的圆，若HK上的任意两个点都是⊙C的一对平衡点，直接写出b的取值范围．6．（2022·北京丰台·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，T（0，t）为y轴上一点，P为平面上一点．给出如下定义：若在⊙O上存在一点Q，使得△TQP是等腰直角三角形，且∠TQP＝90°，则称点P为⊙O的“等直点”，△TQP为⊙O的“等直三角形”．如图，点A，B，C，D的横、纵坐标都是整数．(1)当t＝2时，在点A，B，C，D中，⊙O的“等直点”是；(2)当t＝3时，若△TQP是⊙O“等直三角形”，且点P，Q都在第一象限，求CP的值．OQ 7．（2022·北京市第一六一中学分校一模）在平面直角坐标系xOy中，对于点P和图形W，如果线段OP与图形W无公共点，则称点P为关于图形W的“阳光点”；如果线段OP与图形W有公共点，则称点P为关于图形W的“阴影点”．(1)如图1，已知点A（1，3），B（1，1），连接AB．①在P1（1，4），P2（1，2），P3（2，3），P4（2，1）这四个点中，关于线段AB的“阳光点”是；②线段A1B1∥AB，A1B1上的所有点都是关于线段AB的“阴影点”，且当线段A1B1向上或向下平移时，都会有A1B1上的点成为关于线段AB的“阳光点”，若，A1B1的长为4，且点A1在B1的上方，则点A1的坐标为．(2)如图2，已知点C（1，√3），⊙C与y轴相切于点D，若⊙E的半径为3，圆心E在直线2l：y=−√3x+4√3上，且⊙E的所有点都是关于⊙C的“阴影点”，求点E的横坐标的取值范围；(3)如图3，⊙M的半径为3，点M到原点的距离为5，点N是⊙M上到原点距离最近的点，点Q和T是坐标平面的两个动点，且⊙M上的所有点都是关于△NQT的“阴影点”直接写出△NQT的周长的最小值．8．（2022·北京市第五中学分校模拟预测）定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的“冰雪距离”，已知O（0，0），A（1，√2），B （m，n），C（m，n+2）是平面直角坐标系中四点．(1)根据上述定义，完成下面的问题：①当m＝2√2，n=√2时，如图1，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是；②当m＝2√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”是√2，则n的取值范围是；(2)如图2，若点B落在圆心为A，半径为√2的圆上，当n≥√2时，线段BC与线段OA的“冰雪距离”记为d，结合图象，求d的最小值；(3)当m的值变化时，动线段BC与线段OA的“冰雪距离”始终为√2，线段BC的中点为M．直接写出点M随线段BC运动所走过的路径长．9．（2022·北京市师达中学模拟预测）如果一个圆上所有的点都在一个角的内部或边上，那么称这个圆为该角的角内圆．特别地，当这个圆与角的至少．．一边相切时，称这个圆为该角的角内相切圆．在平面直角坐标系xOy中，点E，F分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．(1)分别以点A（1，0），B（1，1），C（3，2）为圆心，1为半径作圆，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角内圆的是；(2)如果以点D（t，2）为圆心，以1为半径的⊙D为∠EOF的角内圆，且与直线y=x有公共点，求t的取值范围；(3)点M在第一象限内，如果存在一个半径为1且过点P（2，2√3）的圆为∠EMO的角内相切圆，直接写出∠EOM的取值范围．10．（2021·北京朝阳·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于图形Q和∠P，给出如下定义：若图形Q上的所有的点都在∠P的内部或∠P的边上，则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度．如图1，∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度．（1）已知点N（2，0），在点M1(0,2√3)，M2(1,√3)，M3(2,3)中，对线段ON的可视度为360º的点是______．（2）如图2，已知点A（-2，2），B（-2，-2），C（2，-2），D（2，2），E（0，4）．①直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°；②已知点F（a，4），若点F对四边形ABCD的可视度为45°，求a的值．11．（2022·北京四中模拟预测）在平面内，对点组A1，A2，...，An和点P给出如下定义：点P与点A1，A2，...，An的距离分别记作d1，d2，...，dn，数组d1，d2，...，dn的中位数称为点P对点组A1，A2，...，An的中位距离．例如，对点组A1（0，0），A2（0，3），A3（4，1）和点P（4，3），有d1＝5，d2＝4，d3＝2，故点P对点组A1，A2，A3的中位距离为4．(1)设Z1（0，0），Z2（4，0），Z304），Y（0，3），直接写出点Y对点组Z1，Z2，Z3的中位距离；(2)设C1（0，0），C2（8，0），C3（6，6），则点Q1（7，3），Q2（3，3），Q3（4，0），Q4（4，2）中，对点组C1，C2，C3的中位距离最小的点是，该点对点组C1，C2，C3的中位距离为；(3)设M（1，0），N(0,√3)，T1（t，0），T2（t+2，0），T3（t，2），若线段MN上任意一点对点组T1，T2，T3的中位距离都不超过2，直接写出实数t的取值范围．12．（2020·北京·人大附中模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，对于平面中的点P，Q和图形M，若图形M上存在一点C，使∠PQC=90°，则称点Q为点P关于图形M的“折转点”，称△PCQ为点P关于图形M的“折转三角形”（1）已知点A(4,0)，B(2,0)①在点Q1(2,2)，Q2(1,−√3)，Q3(4,−1)中，点O关于点A的“折转点”是______；②点D在直线y=−x上，若点D是点O关于线段AB的“折转点”，求点D的横坐标x D的取值范围；（2）⊙T的圆心为(t,0)，半径为3，直线y=x+2与x，y轴分别交于E，F两点，点P为⊙T 上一点，若线段EF上存在点P关于⊙T的“折转点”，且对应的“折转三角形”是底边长为2的等腰三角形，直接写出t的取值范围．13．（2020·北京市陈经纶中学分校三模）平面直角坐标系xOy中，对于点M和图形W，若图形W上存在一点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称点M与图形W是“中心轴对称”的对于图形W1和图形W2，若图形W1和图形W2分别存在点M和点N（点M，N可以重合），使得点M与点N关于一条经过原点的直线l对称，则称图形W1和图形W2是“中心轴对称”的．特别地，对于点M和点N，若存在一条经过原点的直线l，使得点M与点N关于直线l对称，则称点M和点N是“中心轴对称”的．（1）如图1，在正方形ABCD中，点A(1,0)，点C(2,1)，①下列四个点P1(0,1)，P2(2,2)，P3(−12,0)，P4(−12,−√32)中，与点A是“中心轴对称”的是________；②点E在射线OB上，若点E与正方形ABC D是“中心轴对称”的，求点E的横坐标x E的取值范围;（2）四边形GHJK的四个顶点的坐标分别为G(−2,2)，H(2,2)，J(2,−2)，K(−2,−2),一次函数y=√3x+b图象与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段与四边形GHJK是“中心轴对称”的，直接写出b的取值范围．14．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形G和点Q，给出如下定义：将图形G绕点Q顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形G关于点Q的“垂直图形”，例如，图1中线段OD为线段OC关于点O的“垂直图形”．(1)线段MN关于点M(1,1)的“垂直图形”为线段MP．①若点N的坐标为(1,2)，则点P的坐标为__________；②若点P的坐标为(4,1)，则点N的坐标为__________；(2)E(−3,3),F(−2,3),H(a,0)．线段EF关于点H的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．15．（2022·北京丰台·xOy中，⊙O的半径为1，A为任意一点，B 为⊙O上任意一点，给出如下定义：记A，B两点间的距离的最小值为p（规定：点A在⊙O上时，p=0），最大值为q，那么把p+q的值称为点A与⊙O的“关联距离”，记作d（A，2⊙O）(1)如图，点D，E，F的横、纵坐标都是整数①d（D，⊙O）＝__________；②若点M在线段EF上，求d（M，⊙O）的取值范围；(2)若点N在直线y=√3x+2√3上，直接写出d（N，⊙O）的取值范围；(3)正方形的边长为m，若点P在该正方形的边上运动时，满足d（P，⊙O）的最小值为1，最大值为√10，直接写出m的最小值和最大值．16．（2022·北京平谷·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形P，Q，给出如下定义：M为图形P上任意一点，N为图形Q上任意一点，如果M，N两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形P，Q间的“非常距离”，记作d(P,Q)．已知点A(−2,2)，B(2,2)，连接AB．(1)d（点O，AB）＝；(2)⊙O半径为r，若d(⊙O,AB)=0，直接写出r的取值范围；(3)⊙O半径为r，若将点A绕点B逆时针旋转α°(0°<α<180°)，得到点A′．①当α=30°时d(⊙O,A′)=0，求出此时r的值；②对于取定的r值，若存在两个α使d(⊙O,A′)=0，直接写出r的范围．17．（2022·北京密云·二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P(2,3)与图形T，给出如下定义：在点P与图形T上各点连接的所有线段中，线段长度的最大值与最小值的差，称为图形T关于点P的“宽距”．(1)如图，⊙O的半径为2，且与x轴分别交于A，B两点．①线段AB关于点P的“宽距”为______；⊙O关于点P的“宽距”为______．②点M(m,0)为x轴正半轴上的一点，当线段AM关于点P的“宽距”为2时，求m的取值范围．(2)已知一次函数y=x+1的图象分别与x轴、y轴交于D、E两点，⊙C的圆心在x轴上，且⊙C的半径为1．若线段DE上的任意一点K都能使得⊙C关于点K的“宽距”为2，直接写出圆心C的横坐标x C的取值范围．18．（2022·北京门头沟·二模）我们规定：如图，点H在直线MN上，点P和点P′均在直线MN的上方，如果HP=HP′，∠PHM=∠P′HN，点P′就是点P关于直线MN的“反射点”，其中点H为“V点”，射线HP与射线HP′组成的图形为“V形”．在平面直角坐标系xOy中，(1)如果点P(0,3) ，H(1.5,0)，那么点P关于x轴的反射点P′的坐标为；(2)已知点A(0,a) ，过点A作平行于x轴的直线l．①如果点B(5,3) 关于直线l的反射点B′和“V点”都在直线y=−x+4上，求点B′的坐标和a的值；②⊙W是以(3,2) 为圆心，1为半径的圆，如果某点关于直线l的反射点和“V点”都在直线y=−x+4上，且形成的“V形”恰好与⊙W有且只有两个交点，求a的取值范围．19．（2022·北京东城·一模）对于平面直角坐标系xOy中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，则称点C为图形G的“友好点”．(1)已知点O(0,0)，M(4,0)，在点C1(0,4)，C2(1,4)，C3(2,−1)中，线段OM的“友好点”是_______；(2)直线y=−x+b分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点C(2,1)为线段PQ的“友好点”，求b 的取值范围；(3)已知直线y=x+d(d>0)分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的⊙O的“友好点”，直接写出d的取值范围．20．（2022·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，对于点R和线段PQ，给出如下定义：M为线段PQ上任意一点，如果R，M两点间的距离的最小值恰好等于线段PQ的长，则称点R为线段PQ的“等距点”．(1)已知点A(5,0)．①在点B1(−3,4)，B2(1,5)，B3(4,−3)，B4(3,6)中，线段OA的“等距点”是______；②若点C在直线y=2x+5上，并且点C是线段OA的“等距点”，求点C的坐标；(2)已知点D(1,0)，点E(0,−1)，图形W是以点T(t,0)为圆心，1为半径的⊙T位于x轴及x 轴上方的部分．若图形W上存在线段DE的“等距点”，直接写出t的取值范围．21．（2022·北京市十一学校模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意一点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)已知，点A(−4√2,2)，B(2√2,2)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为_______，最小距离为_______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为4，求m的取值范围；(2)已知OM=7，等边△DEF的三个顶点均在半径为3的⊙M上．求△DEF的“全距”d的取值范围．22．（2022·北京房山·二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2．给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N，（点M、N 可以重合）使得AM=2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系(1)如图1，点C(√3,0),D(0,−1),E(0,1)，点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP,DP．①线段OP的最小值为__________，最大值为__________；线段DP的取值范围是__________；②在点O，点D中，点__________与线段EC满足限距关系；(2)在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；(3)⊙O的半径为r(r>0)，点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．23．（2022·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于△ABC和直线l给出如下定义：若△ABC的一条边关于直线l的对称线段PQ是⊙O的弦，则称△ABC是⊙O 的关于直线l的“关联三角形”“关联轴”．(1)如图1，若△ABC是⊙O的关于直线l的“关联三角形”，请画出△ABC与⊙O的“关联轴”（至少画两条）；(2)若△ABC中，点A坐标为(2,3)，点B坐标为(4,1)，点C在直线y=−x+3的图像上，存在“关联轴l”使△ABC是⊙O的关联三角形，求点C横坐标的取值范围；(3)已知A(√3,1)，将点A向上平移2个单位得到点M，以M为圆心MA为半径画圆，B，C为⊙M 上的两点，且AB=2（点B在点A右侧），若△ABC与⊙O的关联轴至少有两条，直接写出OC 的最小值和最大值，以及OC最大时AC的长．24．（2022·北京市十一学校二模）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．(1)已知点A（6，8），在点Q1(5,0)，Q2(−2,4)，Q3(9,5)中，________是点A的“直角点”；(2)已知点B（-4，4），C（3，4），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；(3)在（2）的条件下，已知点D（m-1，0），E（m，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，求m的取值范围．25．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P为图形G上任意―点，将点P到原点O的最大距离与最小距离之差定义为图形G的“全距”．特别地，点P 到原点O的最大距离与最小距离相等时，规定图形G的“全距”为0．(1)如图，点A(−√3,1)，B(√3,1)．①原点O到线段AB上一点的最大距离为______，最小距离为______；②当点C的坐标为(0,m)时，且△ABC的“全距”为1，求m的取值范围；(2)已知OM＝2，等边△DEF的三个顶点均在半径为1的⊙M上．请直接写出△DEF的“全距”d 的取值范围．26．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点P不在坐标轴上，点P关于x 轴的对称点为P1，点P关于y轴的对称点为P2，称△P1PP2为点P的“关联三角形”．(1)已知点A(1，2)，求点A的“关联三角形”的面积；(2)如图，已知点B(m，n)，⊙T的圆心为T(2，2)，半径为2．若点B的“关联三角形”与⊙T 有公共点，直接写出m的取值范围；(3)已知⊙O的半径为r，OP=2r，若点P的“关联三角形”与⊙O有四个公共点，直接写出∠PP1P2的取值范围．27．（2022·北京一七一中一模）已知平面直角坐标系xOy中，对于线段MN及P、Q，若∠MPN= 45°且线段MN关于点P的中心对称线段M′N′恰好经过点Q，则称Q是点P的线段MN−45°对经点.(1)设点A(0,2)，①Q1(4,0)，Q2(2,2)，Q3(2+√7,1)，其中为某点P的线段OA−45°对经点的是___________.②选出①中一个符合题意的点Q，则此时所对应的对称中心P的坐标为.③已知B(0,1)，设⊙B的半径是r，若⊙B上存在某点P的线段OA−45°对经点，求r的取值范围.(2)已知C(0,t)，D(0,−t)(t>0)，若点Q(4,0)同时是相异两点P1，P2的线段CD−45°对经点，直接写出t的取值范围.28．（2022·北京大兴·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，已知点A，过点A 作直线MN．对于点A和直线MN，给出如下定义：若将直线MN绕点A顺时针旋转，直线MN与⊙O有两个交点时，则称MN是⊙O的“双关联直线”，与⊙O有一个交点P时，则称MN是⊙O的“单关联直线”，AP⊙O的“单关联线段”．(1)如图1，A(0,4)，当MN与y轴重合时，设MN与⊙O交于C，D两点．则MN是⊙O的“______的值为______；关联直线”（填“双”或“单”）；ACAD(2)如图2，点A为直线y=−3x+4上一动点，AP是⊙O的“单关联线段”．①求OA的最小值；②直接写出△APO面积的最小值．29．（2022·北京市燕山教研中心一模）对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR=PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ 的“等幂点”．(1)已知A(2,0)．①在点P1(2,4),P2(1,2),P3(−4,1),P4(1,−4)中，线段OA的“等幂点”是____________；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；(2)已知点C的坐标为C(2,−1)，点D在直线y=x−3上，记图形M为以点T(1,0)为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD的“等幂三角形”△CDE 为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．30．（2022·北京平谷·一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，对于平面上任一点P，我们定义：若在⊙O上存在一点A，使得点P关于点A的对称点点B在⊙O内，我们就称点P为⊙O的友好点．(1)如图1，若r为1．①已知点P1（0，0），P2（﹣1，1），P3（2，0）中，是⊙O的友好点的是；②若点P（t，0）为⊙O的友好点，求t的取值范围；(2)已知M（0，3），N（3，0），线段MN上所有的点都是⊙O的友好点，求r取值范围．。

2024年北京市门头沟区九年级中考一模数学试题(原卷版)

门头沟区2024年初三年级综合练习（一）数学考生须知：1．本试卷共10页，共三道大题，28个小题．满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校和姓名，并将条形码粘贴在答题卡相应位置处．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束，将试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（　）A. B. C. D.2. 近几年全国各省市都在发展旅游业，让游客充分感受地域文化，据统计，某市2023年的游客接待量为210000000人次，将210000000用科学记数法表示为（）A. B. C. D. 3. 下图是手机的一些手势密码图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4. 一个正n 边形的每一个外角都是60°，则这个正n 边形是（）A 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形5. 数轴上的两点所表示的数分别为a ，b ，且满足，下列结论正确的是（）A. B. C. D. 6. 如图，，平分交于点，，则（）.72.110⨯82.110⨯92.110⨯102.110⨯·0,0a b a b >+<0,0a b >>0,0a b <<0,0a b ><0,0a b <>AB CD AD BAC ∠CD D 130∠=︒CAB ∠=A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，朝上的一面点数之和为整数的平方的概率为（）A. B. C. D. 8. 如图，在等边三角形中，有一点P ，连接、、，将绕点B 逆时针旋转得到，连接、，有如下结论：①；②是等边三角形；③如果，那么．以上结论正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.的取值范围是__________．10 因式分解：______．11. 如图所示，为了验证某个机械零件的截面是个半圆，某同学用三角板放在了如下位置，通过实际操作可以得出结论，该机械零件的截面是半圆，其中蕴含的数学道理是_______．12. 在中，，，，点P 在线段上（不与B 、C 两点重合），如果的长度是个无理数，则的长度可以是______．（写出一个即可）.30︒45︒60︒90︒16736142936ABC PA PB PC BP 60︒BD PD AD BPC BDA ≌ BDP △150BPC ∠=︒²²²PA PB PC =+x 22mx mx m -+=ABC 90C ∠=︒3AB =2AC =BC AP AP13. 已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值_________．14. “洞门初开，佳景自来”，园林建筑中的门洞设计有很多数学中的图形元素，如图中的门洞造型，由四个相同的半圆构成，且半圆的直径围成了正方形，如果半圆的直径为米，则该门洞的通过面积为_______平方米．15. 下面是某小区随机抽取的50户家庭的某月用电量情况统计表：月用电量x（千瓦时/户/月）户数（户）61511144已如月用电量第三档的标准为大于240小于等于400，如果该小区有500户家庭，估计用电量在第三档的家庭有______户．16. 5月20日是中国学生营养日，青少年合理膳食是社会公共卫生关注的问题之一．某食堂为了均衡学生的营养，特设置如下菜单，每种菜品所含的热量，脂肪和蛋白质如下：编号菜名类别热量/千焦脂肪/g蛋白质/g1宫保鸡丁荤菜1033187 2炸鸡排荤菜12541920 3糖醋鱼块荤菜211218144土豆炖牛肉荤菜109523165香菇油菜素菜911117 20x ax b++=1240x≤240300x<≤300350x<≤350400x<≤400x>6家常豆腐素菜102016137清炒冬瓜素菜564718韭菜炒豆芽素菜491239米饭主食3601810紫菜鸡蛋汤汤10058学校规定每份午餐由1份荤菜，2份素菜，1份汤和1碗米饭搭配．小明想要搭配一份营养午餐，那么他摄入的脂肪最低量是____________g ．（12岁岁的青少年男生午餐营养标准：摄入热量为2450千焦，摄入蛋白质为65g ，蛋白质越接近标准越营养）三、解答题（本题共68分，第17～21题每小题5分，第22～24题每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27～28题每小题7分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. ．18. ．19. 已知，求代数式的值．20. 如图所示，在长为11、宽为10矩形内部，沿平行于矩形各边的方向割出三个完全相同的小矩形，求每个小矩形的面积．21. 如图，在四边形中，，，，点E 为中点，射线交的延长线于点F ，连接．的14-011(2021)22sin 45()3π---+︒-()2131242x x x x ⎧+>-⎪⎨-<+⎪⎩23210x x +-=22(1)(2)(2)3x x x x +-+-+ABCD AD BC ∥90A ∠=︒BD BC =CD BE AD CF（1）求证：四边形是菱形；（2）若，，求的长．22. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由的图象向上平移2个单位得到，反比例函数的图象过点．（1）求一次函数表达式及m 的值；（2）过点平行于x 轴的直线，分别与反比例函数一次函数的图象相交于点M 、N ，当时，画出示意图并直接写出n 的值．23. 某市统计局为研究我国省会及以上城市发展水平与人均之间关系，收集了年个城市的人均数据（单位：万元）以及城市排名，进行了相关的数据分析，下面给出了部分信息．．城市的人均的频数分布直方图（数据分成组：，，，，）：频数（城市个数）的BCFD 1AD =2CF =BF xOy ()0y kx b k =+≠1y x =()20m y m x=≠()14A ，()0P n ，2m y x =y kx b =+PM MN =GDP 202331GDP GDP a GDP 558x <≤811x <≤1114x <≤1417x <≤1720x <≤．城市的人均（万元）的数值在这一组的是：；．以下是个城市年的人均（万元）和城市排名情况散点图：根据以上信息，回答下列问题（1）某城市的人均为万元，该城市排名全国第_____；（2）在个城市年的人均和城市排名情况散点图中，请用“”画出城市排名的中位数所表示的点；（3）观察散点图，请你写出一条正确结论．24. 如图，在中，，的平分线交于点，过点作交于点．（1）求证：直线是以点为圆心，为半径的的切线；（2）如果：，，求的半径．25. 如图是某跳台滑雪场的横截面示意图，一名运动员经过助滑、起跳从地面上点O 的正上方4米处的A 点滑出，滑出后的路径形状可以看作是抛物线的一部分，通过测量运动员第一次滑下时，在距所在直线水平距离为d 米的地点，运动员距离地面高度为h 米．获得如下数据：水平距离d /米02468垂直高度h /米488的b GDP 1114x <≤12.313.213.613.8，，，c 312023GD GDP GDP 13.8GDP 312023GDP GDP GDP ABC 90C ∠=︒CAB ∠CB D D OD CB ⊥AB O CD O OA O 3sin 5CAB ∠=3BC =O OA 132172请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出运动员滑行过程中距离地面的最大高度为_____米；（3）求h 关于d 的函数表达式；（4）运动员第二次滑下时路径形状可表示为：，当第一次和第二次距离所在直线的水平距离分别为、，且时能成功完成空中动作，则该运动员_________（填写“能”或“不能”）完成空中动作．26. 在平面直角坐标系中，点，在抛物线上，设抛物线的对称轴为直线．（1）如果抛物线经过点，求的值；2C 215463h d d =-++OA 1d 2d 1223d d ≤≤-xoy ()1,A x m ()2,B x n ()240y ax bx a =++>x h =()2,4h（2）如果对于，，都有，求取值范围；（3）如果对于，或，存在，直接写出的取值范围．27. 如图，，，点在射线上，且，点在上且，连接，取的中点，连接并延长至，使，连接．（1）如图1，当点在线段上时．①用等式表示与的数量关系；②连接，，直接写出，的数量关系和位置关系；（2）如图2，当点在线段的延长线上时，依题意补全图形2，猜想②中的结论是否还成立，并证明．28. 在平面直角坐标系中，的半径为2，点P 、Q 是平面内的点，如果点P 关于点Q 的中心对称点在上，我们称圆上的点为点P 关于点Q 的“等距点”．（1）已知如图1点．①如图1，在点中，上存在点P 关于点Q 的“等距点”的是________；②如图2，点，上存在点P 关于点Q 的“等距点”，则m 的取值范围是________；（2）如图3，已知点，点P 在的图象上，若上存在点P 关于点Q 的“等距点”，14x h =-23x h =m n >h 142h x h -≤≤+21x ≤212x ≥m n >h AB BC =90ABC ∠=︒P AB 90CEP ∠=︒F EP EF EC =AF AF G EG H GH GE =AH P AB AH CE BH BE BH BE P AB xOy O O 40（，）P ()()()12330,2,1,1,1Q Q Q -，O (),Q m n O ()1,1Q y x b =-+O求b的取值范围．。

2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题

2024年北京市东城区北京二中教育集团中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．2023年上半年我国新能源汽车取得显著成绩，新能源汽车使用环境持续优化，截至6月底，全国累计建成各类充电桩超过660万台．将数据“660万”用科学记数法表示为（） A ．66.610⨯B ．60.6610⨯C ．56610⨯D ．70.6610⨯2．下列图形中，不属于中心对称图形的是（） A ．圆B ．等边三角形C ．平行四边形D ．线段3．如图，利用工具测量角，有如下4个结论： ①=90AOC ︒∠； ②AOB BOC ∠=∠；③AOB ∠与BOC ∠互为余角； ④AOB ∠与AOD ∠互为补角．上述结论中，所有正确结论的序号是（） A ．②③B ．①②④C ．①③D ．①③④4．关于x 的一元二次方程22210x mx m ++-=的根的情况是（） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定5．正八边形每个内角的度数为（） A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒6．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（） A ．23B ．12C ．13D ．167．数轴上点A ，M ，B 分别表示数,,a a b b +，那么下列运算结果一定是正数的有（）A ．a b +B ．a b -C ．abD ．||a b -8．如图，作线段AC a =，在线段AC 的延长线上作点B ，使得()CB b a b =<，取线段AB 的中点O ，以O 为圆心，线段OA 的长为半径作O e ，分别过点C O 、作直径AB 的垂线，交O e 于点D F 、，连接OD AF CF 、、，过点C 作CE OD ⊥于点E ．设CF c =，给出下面4个结论：①2a b c +<；c ；)a b +；④2ab ac bc <+；上述结论中，正确结论的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二、填空题 9．当x =时，分式12x x +-的值为零． 10．分解因式：4x 3﹣16x 2+16x=． 11．方程1242xx x=++的解是． 12．点()11,A x y ，()22,B x y 是反比例函数2y x=的图象上的两点，如果120x x <<，那么1y 2y （填“>”，“=”，“<”）13．为了了解我市初中学生的视力情况，随机抽取了该区200名初中学生进行调查整理样本数据，得到下表：根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数是．14．据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O ，物体AB 在幕布上形成倒立的实像CD （点,A B 的对应点分别是,C D ）．若物体AB 的高为12cm ，实像CD 的高度为8cm ，则小孔O 的高度OE 为cm ．15．如图，AB 是O e 的弦，且6AB =，点C 是弧AB 中点，点D 是优弧AB 上的一点，30ADC ∠=︒，则圆心O 到弦AB 的距离等于．16．某班教室桌椅摆放成三个组，每天放学后安排三位同学做清洁，清洁内容包括以下3项：①调整桌椅；②扫地；③拖地，其中项目①②顺序可以交换，但项目③必须放在最后完成．某清洁小组的三位固定搭档每次流水操作完成：A 同学只负责项目①，B 同学只负责项目②，C 同学只负责项目③，每组每项完成时间详见表：若每个组同一时间只能有一名同学进行清扫工作，则将三个组都打扫干净至少需要分钟．三、解答题17．计算：1012cos30(2024)2π-⎛⎫-+︒-- ⎪⎝⎭．18．解不等式组()22315133x x x x ⎧+>-⎪⎨+≥+⎪⎩，并写出满足条件的非正整数解．19．先化简，再求值：21242x x x xx x x -+-⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，其中2x = 20．如图，在等腰ABC V 中，,AB BC BO =平分ABC ∠，过点A 作AD BC ∥交BO 的延长线于D ，连接CD ，过点D 作DE BD ⊥交BC 的延长线于E ．(1)判断四边形ABCD 的形状，并说明理由； (2)若4,120AB ABE =∠=︒，求DE 的长．21．在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm 90cm ⨯的原材料板材进行裁剪得到A 型长方形纸板和B 型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得3张150cm 30cm ⨯的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A 型长方形纸板或5张B 型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm ）(1)每张原材料板材可以裁得A 型纸板______张或裁得B 型纸板______张；(2)现有260张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A 型与B 型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），问：怎样裁剪才能使剪出的A ，B 型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，过点(,0)A a 作x 轴的垂线，分别交直线21y x =-与反比例函数ky x=图像于M ，N 两点，点M ，N 的纵坐标分别为m ，n ．(1)若点M 与点N 重合，且m a =，求k 的值； (2)当2a >时，总有m n >，直接写出k 的取值范围．23．某校舞蹈队共16名学生，将其身高（单位：cm ）数据统计如下：A ．16名学生身高：162，163，163，165，166，166，166，167，167，168，169，169，171，173，173，176；B ．16名学生身高的平均数、中位数、众数：(1)m =，n =；(2)对于不同组的学生，如果一组学生身高的方差越小，则认为改组舞台呈现效果越好，据此推断，下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是；（填“甲组”后“乙组”）(3)该舞蹈队计划选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为169，169，173，他们身高的方差为329．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生身高分别为和．24．如图，AB 是O e 的直径，C 为圆上一点，D 是劣弧BC 的中点，DE AB ⊥于E ，过点D 作BC 的平行线DM ，连接AC 并延长与DM 相交于点G ，连接AD 与BC 交于点H ．(1)求证：GD 是O e 的切线； (2)若6,8CD AD ==，求AH 的值．25．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵全红婵·位列第三，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C （向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy ．如果她从点()3,10A 起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中她的竖直高度y （单位：米）与水平距离x （单位：米）近似满足函数关系式()()20y a x h k a =-+<．图1图2(1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出k 的值为________，直接写出满足的函数关系式：___________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系，254068y x x =-+-记她训练的入水点的水平距离为1d ；比赛当天入水点的水平距离为2d ，则1d ____2d （填,,>=<）；(3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B 开始计时，若点B 到水平面的距离为c ，则她到水面的距离y 与时间t 之间近似满足25y t c =-+，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的207C 动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？26．在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点()2,3a -． (1)求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；(2)点()()()2,,2,,,M t m N t n P t p -+-为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．27．如图，在正方形ABCD 中，将边AD 所在直线绕点D 逆时针旋转α度得到直线DM ，作点A 关于直线DM 的对称点P ，连接CP DP 、．(1)依题意补全图形； (2)求DPC ∠的度数；(3)延长DP CP 、分别交直线AB AD 、于点E F 、，试探究：线段DE BE 、和AF 之间的数量关系，并证明．28．对于平面内的点K 和点L ，给出如下定义：若点Q 是点L 绕点K 旋转所得到的点，则称点Q 是点L 关于点K 的旋转点；若旋转角小于90︒，则称点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．如图1，点Q 是点L 关于点K 的锐角旋转点．(1)已知点()4,0A ，在点()(((12340,4,,,Q Q Q Q --中，是点A 关于点O 的锐角旋转点的是______．(2)已知点()5,0B ，点C 在直线2y x b =+上，若点C 是点B 关于点O 的锐角旋转点，求实数b 的取值范围；(3)点D 是x 轴上的动点，()(),0,3,0D t E t -，点(),F m n 是以D 为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足0n ≥．若直线26y x =+上存在点F 关于点E 的锐角旋转点，请直接写出t 的取值范围．。

2023年北京市东城区中考一模数学试题(含答案解析)

2023年北京市东城区中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________．．．．2023年2月日，国家统计局发布的《中华人民共和国2022年国民经济和社会发展统计公报》中报道：2022年全年研究与试验发展（R&D）经费支出30870亿元，比上年增长10.4%30870用科学记数法表示应为（）．30.8710⨯50.308710⨯．．．．．若实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则a b+的值可能是（）A．1-B．1 -A ．甲同学平均分高，成绩波动较小B ．甲同学平均分高，成绩波动较大C ．乙同学平均分高，成绩波动较小D ．乙同学平均分高，成绩波动较大7．如图，40AOB ∠=︒，按下列步骤作图：①在OA 边上取一点C ，以点O 为圆心、OC 长为半径画弧，交OB 于点D ，连接CD ；②以点C 为圆心、OC 长为半径画弧，交OB 于点E ，连接CE ，则DCE ∠的度数为（）A ．20︒B ．30︒C ．40︒D ．50︒8．如图，动点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），分别以AB AP BP ，，为直径作半圆，记图中所示的阴影部分面积为y ，线段AP 的长为x ．当点P 从点A 移动到点B 时，y 随x 的变化而变化，则表示y 与x 之间关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题12．已知点()2Am ，，B ⎛ ⎝或“<”）.13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都是ABC 的外角ACD ∠的度数等于14．抛掷一枚质地均匀的硬币215．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影树AB 与路灯O 的水平距离AP =16．一枚质地均匀的骰子放在棋盘上，骰子的六个面上分别刻有个面上的点数之和为7．骰子摆放的初始位置如图所示为1的面落在1号格内；再从1号格翻滚一次，点数为滚．．．．．．．（1）当骰子翻滚到2号格时，朝上一面的点数为（2）依次翻滚6次到6号格，每次翻滚后骰子朝上一面的点数之和为三、解答题方法一证明：如图，过点C 交DE 的延长线于点F ．21．在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)k y k x=≠的图象经过点()13-，．(1)求这个反比例函数的解析式；(2)当1x <-时，对于x 的每一个值，函数x n =-+的值大于反比例函数(k y k x =值，直接写出n 的取值范围．22．如图，在平行四边形ABCD 中，平分ABC ∠．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)连接AC交BD于点O，延长ECM∠=︒，过点D作DF15数及BD的长．23．某校开展了“学习二十大了解两个年级的答题情况，该校从每个年级各随机抽取了（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．七年级成绩的频数分布直方图如下（数据分成五组：5060x≤<b．七年级成绩在8090x≤<的数据如下（单位：分）808185858585858585c．七、八年级各抽取的30名学生成绩的平均数、中位数、众数、方差如下表：年级平均数中位数众数方差七年级80.4m八年级80.483根据以上信息，回答下列问题：(1)求证：E BAC ∠=∠(2)若O 的半径长为25．已知乒乓球桌的长度为方抛向对面桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分(1)建立如图所示的平面直角坐标系，的竖直高度y （单位：cm ）与水平距离21()(0)y a x h k a =-+<.乒乓球的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下表所示.根据表中数据，球竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系式；水平距离x /cm04080120160竖直高度y /cm 1842504218(1)求证：BA 平分EBC ∠；(2)连接DE 交AB 于点F ，过点C 作等式表示线段EF 与DG 之间的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点k a 个单位长度，再向下()0b ≥或向上再将点P 关于直线MP '对称得到点与P '重合时，点Q 为点P 关于点M (1)已知点()30P ，，2k =．①若点M 的坐标为(01)，，画出点P ②若1OM =，直线y x b =+上存在点(2)半径为3的O 上有不重合的两点M ，P ，若半径为1的O 上存在点P 的k 倍“对应点”，直接写出k 的取值范围．参考答案：1．C【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可．【详解】解：A 、球的主视图为圆，不符合题意；B 、圆柱的主视图为长方形，不符合题意；C 、圆锥的主视图为三角形，符合题意；D 、正方体的主视图为正方形，不符合题意；故选C ．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键．2．A【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中1||10a ≤<，n 为整数．【详解】解：430870 3.08710=⨯．故选：A ．【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中1||10a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原来的数，变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10≥时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数，确定a 与n 的值是解题的关键．3．D【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．【详解】解：A 、不是轴对称图形，不符合题意；B 、不是轴对称图形，不符合题意；C 、不是轴对称图形，不符合题意；D 、是轴对称图形，符合题意；故选D ．【点睛】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．4．B【分析】根据数轴上点的位置得到2 1.51 1.5a b -<<-<<，，再根据不等式的性质得到在ABE 和BCF △中，BE CF AEB BFC AE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE BCF ≌ ，∴,ABE BCF AB BC ∠=∠=，∵90BCF CBF ∠+∠=︒，∴90,ABE CBF ∠+∠=︒∴90ABC ∠=︒，∴45BAC BCA ∠=∠=︒，∴18045135ACD ∠=︒-︒=︒．故答案为：135．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及全等三角形对应角相等，对应边相等．14．14【分析】列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．【详解】共有正反，正正，反正，反反则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为1x<-时，对于x的每一个值，函数∵当1n≥．∴2【点睛】本题考查了一次函数图象与反比例函数的交点问题，合是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)55︒，25【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线的定义证明即可证明平行四边形ABCD是菱形；∥（2）由菱形的性质可得AB CD∠∠=︒；进一步求出ACD110BCD则225BD OD==．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD的切线，∵DE是O【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，熟知全等三角形的性质与判定是解题的关键．28．(1)①画图见解析，()12Q -，；②②如图2-1所示，假设P H y '∥轴，PH P H '、交于由平移的特点可知PH =∵90MTO H ==︒∠∠，∴MTO P HP '△∽△，∴PP PH k OM OT'==；∵OM PP '∥，∴OMA PP A '△∽△，∴PA PP k OA OM'==；如图2-2所示，当()30P ，，k ∴2AP =，（2）解：如图3-1所示，连接P M '由（1）可得点Q 在以A 为圆心，∵要使半径为1的O 存在点P 的∴半径为1的O 一定与A 有交点，如图3-1所示，当半径为1的O 与则213AP OP +==，∴12AP OA ==，，∴12AP k OA ==；如图3-2所示，当半径为1的O ∴2AP k OA==；综上所述，当122k ≤≤时，半径为【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，切线的性质，圆与圆的位置关系，坐标与图形变化——平移等等，正确理解题意得到点题的关键．。

中考数学一模试题(含答案解析)

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________时间120分钟满分100分一．选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．下列把2034000记成科学记数法正确的是()A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×1033．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为()A．B．+1C．﹣1D．1﹣4．若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的一个外角为()A．30°B．40°C．45°D．60°5．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝()度．A．70B．150C．90D．1006．菲尔兹奖(FieldsMedal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．组别第一组第二组第三组第四组年龄段(岁)27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数(人)8111720则这56个数据的中位数落在()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组7．如果a﹣b＝5，那么代数式(﹣2)•的值是()A．﹣B．C．﹣5D．58．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；②若点B(﹣1，n)在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(﹣4，0)；④当0＜x＜6时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④二．填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)9．因式分解：4a3﹣16a＝．10．设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝．11．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．13．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝°．14．已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为度．15．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB 的长为．三．解答题(共12小题，满分68分)17．(5分)计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+(π﹣2)0．18．(5分)解不等式：1﹣x≥﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．19．(5分)已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式(x+2)(x﹣2)﹣x(3x﹣6)的值．20．(5分)如图，AB为半圆O的直径，且AB＝10，C为半圆上的一点，AC＜BC．(1)请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；(不写作法，保留痕迹)(2)在(1)的条件下，连接OD，若OD＝，求△ABC的面积．21．(6分)重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图(数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数)，其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数(单位：分)如表所示：组别平均数中位数众数男20n22女202320(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；(2)通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生?说明理由(一条理由即可)；(3)已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．22．(5分)如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A、B重合)，点D在直线BC上，且ED ＝EC．(1)若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；(2)若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．23．(6分)探究一次函数y＝kx+k﹣2(k是不为0的常数)图象的共同特点．(探究过程)小华尝试把x＝﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝﹣2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么?小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx+k﹣2的图象一定经过定点(﹣1，﹣2)，老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把这样的一次函数图象称为“陀螺线”．若一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象是“陀螺线”，(1)一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象经过定点P的坐标是．(2)已知一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象与x轴，y轴分别相交于点A、B．①若△OBP的面积为8，求k的值．②若S△AOB：S△OBP＝3：2，求k的值．24．(6分)如图，P A、PB与⊙O相切于点A、B，过点B作BD∥AP交⊙O于点D．(1)求证：AD＝AB；(2)若BD•BP＝80，sin∠DAB＝，求△ABP的面积．25．(5分)如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．(1)求证：∠BEC＝∠BAF；(2)判断△AFC的形状并说明理由．(3)若CD＝2，求EF的长．26．(7分)如图，一次函数的图象y＝ax+b(a≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(，4)，点B(m，1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．27．(6分)已抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上．(1)求m的值；(2)若P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．28．(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB 为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)．(1)如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．(2)如图2，，①已知D(0，8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案一．选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列把2034000记成科学记数法正确的是()A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．故选：A．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为()A．B．+1C．﹣1D．1﹣【解答】解：根据题意得：x＝﹣1＝﹣1，故选：C．4．若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的一个外角为() A．30°B．40°C．45°D．60°【解答】解：设该正多边形的边数为n，根据题意列方程，得(n﹣2)•180°＝1260°解得n＝9．∴该正多边形的边数是9，∵多边形的外角和为360°，360°÷9＝40°，∴该正多边形的一个外角为40°．故选：B．5．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝()度．A．70B．150C．90D．100【解答】解：如图，延长AE交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠EFC＝180°，又∵∠BAE＝120°，∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，又∵∠DCE＝30°，∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．故选：C．6．菲尔兹奖(FieldsMedal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．组别第一组第二组第三组第四组年龄段(岁)27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数(人)8111720则这56个数据的中位数落在()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【解答】解：题目中数据共有56个，故中位数是按从小到大排列后第28、第29两个数的平均数，而第28、第29两个数均在第三组，故这组数据的中位数落在第三组．故选：C．7．如果a﹣b＝5，那么代数式(﹣2)•的值是()A．﹣B．C．﹣5D．5【解答】解：∵a﹣b＝5，∴原式＝•＝•＝a﹣b＝5，故选：D．8．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；②若点B(﹣1，n)在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(﹣4，0)；④当0＜x＜6时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为(2，9)，抛物线和x轴的一个交点坐标为(8，0)，则设抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2+9，将(8，0)代入上式得：0＝a(8﹣2)2+9，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为(8，0)，则另外一个交点为(﹣4，0)，故③正确，符合题意；④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；故选：C．二．填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)9．因式分解：4a3﹣16a＝4a(a+2)(a﹣2)．【解答】解：原式＝4a(a2﹣4)＝4a(a+2)(a﹣2)，故答案为：4a(a+2)(a﹣2)10．设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝6．【解答】解：由题意得，①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，①﹣③×2得﹣y＝3，解得y＝﹣3，把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，∴P＝xy＝﹣2×(﹣3)＝6，故答案为6．11．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件∠AFB＝∠DEC或AB＝DC，可以判断△ABF≌△DCE．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，又∵AF＝DE，∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于25°．【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC＝50°，∴∠D＝∠AOC＝25°．故答案为25°．13．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝45°．【解答】解：连接AF、EF，则∠CAB＝∠F AD，∵∠F AD﹣∠DAE＝∠F AE，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠F AE，设小正方形的边长为1，则AF＝，EF＝，AE＝，∴AF2+EF2＝AE2，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠F AE＝45°，即∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45．14．已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为150度．【解答】解：设扇形的圆心角为n°，∵扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，∴5π＝，解得n＝150，故答案为：150．15．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞1．【解答】解：根据题意得△＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，解得k＞1．故答案为：k＞1．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为2．【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，故答案为：，2．三．解答题(共12小题，满分68分)17．(5分)计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+(π﹣2)0．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣+1＝＝．18．(5分)解不等式：1﹣x≥﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得，6﹣4x≥3﹣(2x+1)，去括号得，6﹣4x≥3﹣2x﹣1，移项、合并同类项得，﹣2x≥﹣4，把x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示此不等式的解集如下：19．(5分)已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式(x+2)(x﹣2)﹣x(3x﹣6)的值．【解答】解：原式＝x2﹣4﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣4，∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴原式＝﹣2(x2﹣3x)﹣4＝﹣2×1﹣4＝﹣6．20．(5分)如图，AB为半圆O的直径，且AB＝10，C为半圆上的一点，AC＜BC．(1)请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；(不写作法，保留痕迹)(2)在(1)的条件下，连接OD，若OD＝，求△ABC的面积．【解答】解：(1)如图，点D即为所求作．(2)连接AE，OD．∵OA＝OB，DE＝DB，∴AE＝2OD＝6，∵AB是直径，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在Rt△ACE中，AC＝EC，∴AC＝AE＝6，∴BC＝＝＝6，∴S△ABC＝•AC•BC＝×6×8＝24．21．(6分)重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图(数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数)，其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数(单位：分)如表所示：组别平均数中位数众数男20n22女202320(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；(2)通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生?说明理由(一条理由即可)；(3)已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．【解答】解：(1)m＝14÷28%＝50(人)，50×(2%+24%)＝12(人)，∴男生中位数n＝(25+25)÷2＝25，女生C组人数＝50﹣2﹣13﹣20＝15(人)，条形图如图所示：(2)男生的成绩比较好，因为男生的中位数比女生的中位数大(也可以根据众数的大小判断)；(3)1800×＝522(人)，答：估计成绩处于C组的人数约为522人．22．(5分)如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A、B重合)，点D在直线BC上，且ED ＝EC．(1)若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；(2)若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【解答】解：(1)∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；(2)如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由(1)知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE(SAS)，∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD的长为1或3．23．(6分)探究一次函数y＝kx+k﹣2(k是不为0的常数)图象的共同特点．(探究过程)小华尝试把x＝﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝﹣2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么?小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx+k﹣2的图象一定经过定点(﹣1，﹣2)，老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把这样的一次函数图象称为“陀螺线”．若一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象是“陀螺线”，(1)一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象经过定点P的坐标是(2，﹣5)．(2)已知一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象与x轴，y轴分别相交于点A、B．①若△OBP的面积为8，求k的值．②若S△AOB：S△OBP＝3：2，求k的值．【解答】解：(1)当x＝2时，y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)＝2(k﹣1)﹣(2k+3)＝﹣5；∴P (2，﹣5)，故答案为：(2，﹣5)；(2)解：①当x＝0时，y＝﹣(2k+3)∴OB＝|2k+3|，∵P(2，﹣5)，∴；∴2k+3＝±8，解得：；②当y＝0时，，∴，∴，∵S△OAB：S△OBP＝3：2，∴，即，∴，解得：k＝0或k＝6，即k＝0或k＝6．24．(6分)如图，P A、PB与⊙O相切于点A、B，过点B作BD∥AP交⊙O于点D．(1)求证：AD＝AB；(2)若BD•BP＝80，sin∠DAB＝，求△ABP的面积．【解答】(1)证明：连接AO，并延长交DB于点E，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵BD∥AP，∴OA⊥BD于点E，∴DE＝BE，即AE是BD的垂直平分线，∴AD＝BD；(2)解：连接OB，OP交AB于点F，∵∠DAB＝2∠OAB＝∠EOB，且sin∠DAB＝，∴sin∠EOB＝，在Rt△EOB中，，设EB＝4a，则OB＝OA＝5a，OE＝3a，∴AE＝8a，∴tan∠EAB＝，又∵P A，PB与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，且OP平分∠APB，∴OP⊥AB，∴∠OP A+∠P AB＝90°，∵∠OAB+∠P AB＝90°，∴∠OAB＝∠OP A，即tan∠OAB＝tan∠OP A＝，∴，即AP＝BP＝10a，又∵BD•BP＝80，∴2BE•BP＝80，即BE•BP＝4a×10a＝40a2＝40，∴a＝1，∴AE＝8，BE＝4，∴AB＝＝＝4，设AF＝b，则PF＝2b，∴b2+(2b)2＝102，∴b＝2，∴FP＝4，∴S△ABP＝AB•FP＝＝40．25．(5分)如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．(1)求证：∠BEC＝∠BAF；(2)判断△AFC的形状并说明理由．(3)若CD＝2，求EF的长．【解答】解：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABF，在△BEC和△BAF中，，∴△BEC≌△BAF(SAS)，∴∠BEC＝∠BAF；(2)△AFC是等腰三角形．证明：过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，如图，∵BA＝BE，BC＝BF，∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠BCF，∵∠BEC＝∠BAF，∴∠GAF＝∠AEB＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，FD⊥BC，FG⊥BA，∴FD＝FG，在△CDF和△AGF中，，∴△CDF≌△AGF(AAS)，∴FC＝F A，∵△ACF是等腰三角形；(3)设AB＝BE＝x，∵△CDF≌△AGF，CD＝2，∴CD＝AG＝2，∴BG＝BA+AG＝x+2，在Rt△BFD和Rt△BFG中，，∴△BFD≌△BFG(HL)，∴BD＝BG＝x+2，∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4，∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4．26．(7分)如图，一次函数的图象y＝ax+b(a≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(，4)，点B(m，1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：(1)把点A(，4)代入y＝(k≠0)得：k＝×4＝2，∴反比例函数的表达式为：y＝，∵点B(m，1)在y＝上，∴m＝2，∴B(2，1)，∵点A(，4)、点B(2，1)都在y＝ax+b(a≠0)上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+5；(2)∵一次函数图象与y轴交于点C，∴y＝﹣2×0+5＝5，∴C(0，5)，∴OC＝5，∵点D为点C关于原点O的对称点，∴D(0，﹣5)，∴OD＝5，∴CD＝10，∴S△BCD＝×10×2＝10，设P(x，)，∴S△OCP＝×5×|x|＝|x|，∵S△OCP：S△BCD＝1：3，∴|x|＝×10，∴|x|＝，∴P的横坐标为或﹣，∴P(，)或(﹣，﹣)．27．(6分)已抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上．(1)求m的值；(2)若P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．【解答】解：(1)∵抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，∴＝0，解得，m＝1．(2)(2)∵P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，n2+2n+1＞(n+2)2+2(n+2)+1，化简整理得，4n+8＜0，∴n＜﹣2，∴实数n的取值范围是n＜﹣2．28．(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB 为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)．(1)如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为B，C．(2)如图2，，①已知D(0，8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．【解答】解：(1)根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．(2)如图2中，∵P(0，4)，Q(4，0)，∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E(2，2)，∵D(0，8)，∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′(4，8)，∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，4和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环(包括小圆，不包据大圆)有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math 点”，当直线MN与小圆交于(0，4)或(0，﹣4)时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：4≤b＜8或﹣8＜b≤﹣4．。

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第 1 页共 7 页 2013北京中考一模数学试题（全卷共6页，共五个大题，26个小题，满分100分，时间90分钟）一、填空题：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分）把答案直接填写在题中横线上． 1、计算：－3＋|－1| ＝________

2、已知点P（－2，3），则点P关于x轴对称的点坐标是（）

3、据有关资料显示，长江三峡工程电站的总装机容量是18200000千瓦，请你用科学记数法表示电站的总装机容量，应记为千瓦 4、如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如右图所示，则打包带的长至少要_________ （单位：mm）(用含x、y、z的代数式表示) 5、方程 x 2 = x 的解是__________________ 6、圆内接四边形ABCD的内角∠A:∠B:∠C=2：3：4，则∠D＝________°

7、已知一个梯形的面积为222cm，高为2 cm，则该梯形的中位线的长等于________cm 8、如图，在⊙O中，若已知∠BAC=48º,则∠BOC=_________º 9、若圆的一条弦长为6 cm，其弦心距等于4 cm，则该圆的半径等于________ cm．

10、函数baxy的图像如图所示，则y随 x的增大而 11、万州区某学校四个绿化小组，在植树节这天种下白杨树的棵数如下：10，10，x，8，已知这组数据的众数和平均数相等，那么这组数据的中位数是． 12、如图，AD、AE是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请写出两个正确的结论：（1） __________________；（2） ______________。（只写出两个你认为正确的结论即可）

二、选择题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 13、下列式子中正确的是（）第 2 页共 7 页

A 632aaa B 633)(xx C 933 D bccb933 14、如图，∠1=∠2，则下列结论一定成立的是（） A AB∥CD B AD∥BC C ∠B=∠D D ∠3=∠4 15、把a3－ab2分解因式的正确结果是（） A (a+ab)(a－ab) B a (a2－b2)

C a(a+b)(a－b) D a(a－b)2 16、某校计划修建一座既是中心对称图形又是轴对称图形的花坛，从学生中征集到的设计方案有正三角形、正五边形、等腰梯形、菱形等四种图案，你认为符合条件的是（） A 正三角形 B 正五边形 C 等腰梯形 D 菱形

17、在函数21xy中，自变量x的取值范围是（） A x≥2 B x>2 C x≤2 D x<2 18、如图是某蓄水池的横断面示意图，分为深水池和浅水池，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面能大致表示水的最大深度h与时间t之间的关系的图像是( )

三、（本大题共3个小题，每小题8分，共24分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤. 19、（本题满分8分）

计算：－22 + (12－1 )0 + 2sin30º

20、（本题满分8分）解不等式组xxx221132，并把解集在数轴上表示出来。第 3 页共 7 页

21、（本题满分8分）已知：如图，已知：D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于，若MA=MC，求证：CD=AN.

四、（本大题共3个小题，22、23各题7分，24题8分，共22分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤. 22、（本题满分7分）

先化简，再求值：21,22121222xxxxxxxx其中

23、（本题满分7分）某中学七年级某班50名同学参加一次科技竞赛，将竞赛成绩（成绩均为50.5～100.5之间的整数）整理后，画出部分频率直方图，如图所示，已知图中从左到右四个小组的频率依次是0.04，0.16，0.32和0.28。 (1)求第五小组的频率，并补全频率分布直方图； (2)求竞赛成绩大于80.5分且小于90.5分的学生数； (3)竞赛成绩的中位数落在第__________小组。

24、（本题满分8分）已知:反比例函数xky和一次函数12xy，其中一次函数的图像经过点（k,5）. （1）试求反比例函数的解析式；第 4 页共 7 页

（2）若点A在第一象限，且同时在上述两函数的图像上，求A点的坐标。五、（本大题共2个小题，每小题6分，共12分）下列各题解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤. 25、（本题满分6分）小明家、王老师家、学校在同一条路上，小明家到王老师家的路程为3千米，王老师家到学校的路程为0.5千米，由于小明的父母战斗在抗“非典”第一线，为了使他能按时到校，王老师每天骑自行车接小明上学。已知王老师骑自行车的速度是步行速度的3倍，每天比平时步行上班多用了20分钟，问王老师的步行速度及骑自行车速度各是多少千米/

时？

26、（本题满分6分）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连结DE. (1) DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由； (2) 若AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根，求直角边BC的长。第 5 页共 7 页

数学参考答案及评分意见一、1、－2 ；2、 (-2,-3)；3.、1.82×107；4、2x+4y+6z；5、x=0或x=1； 6、90；7、

11；8 、96； 9、5； 10.、减小；11、10； 12、这里提供两个参考答案：（1）△AED是直角三角形；（2）ABCD是等腰梯形。也可是其他答案，只要学生根据图形和所给条件填写出正确答案，均可给相应的分数。二、13、D 14、B 15、C 16、D 17、B 18、C 三、19、解：原式＝－4＋1＋1 6分（每个点正确给2分）＝－2 8分

20、解不等式（1）得：x<2 （3分）解不等式（2）得：x≥－1 （5分） ∴原不等式组的解集是：－1≤x<2 （6分）原不等式组解集在数轴上表示如下：

21、证明：如图因为 AB∥CN 所以 21 （2分）在AMD和CMN中

CMNAMDCMAM21 AMD ≌CMN （6分）

CNAD

CNAD//又

ADCN四边形是平行四边形 (7分) ANCD （8分）第 6 页共 7 页

22、解：解：原式＝(x+1)(x-1)(x-1)2 +x(x-2)(x-2) ·1x (4分) ＝x+1x-1 +1 ＝12xx （5分）当x=12 时

原式＝2×12 12 -1 （6分） =－2 （7分） 23、解：（1）第五小组的频率为：1－（0.04＋0.16＋0.32＋0.28）＝0.20 （2分）图略，（正确画出图形给1分）（3分）（2）竞赛成绩大于80.5分且小于90.5分的学生数为： 50×0.28＝14 （人）（5分）（3）三（7分）

24、解：（1）因为一次函数12xy的图像经过点（k,5）所以有 5＝2k-1 (3分) 解得 k＝3

所以反比例函数的解析式为y=3x （4分）

（2）由题意得：123xyxy （6分）

解这个方程组得：223yx 31yx （7分）因为点A在第一象限，则x>0 y>0 所以点A的坐标为（23，2）（8分） 25、解：设王老师的步行速度为x千米/时，则骑自行车速度为3x千米/时。（1分）第 7 页共 7 页

依题意得：315.035.033xx （4分） 20分钟=31小时解得：x=5 （5分）经检验：x=5是所列方程的解 ∴3x=3×5=15 答：王老师的步行速度及骑自行车速度各为5千米/时和15千米/时（6分） 26、解：（1）DE与半圆O相切. （1分）证明：连结OD、BD ∵AB是半圆O的直径 ∴∠BDA=∠BDC=90° ∵在Rt△BDC中,E是BC边上的中点 ∴DE=BE ∴∠EBD＝∠BDE ∵OB=OD ∴∠OBD=∠ODB (2分) 又∵∠ABC＝∠OBD+∠EBD＝90° ∴∠ODB+∠EBD=90° ∴DE与半圆O相切. (3分) （2）解：∵在Rt△ABC中，BD⊥AC ∴ Rt△ABD∽Rt△ABC

∴ ABAC =ADAB 即AB2=AD·AC

∴ AC=AB2AD (4分) ∵ AD、AB的长是方程x2－10x+24=0的两个根 ∴ 解方程x2－10x+24=0得： x1=4 x2=6 ∵ AD ∴ AC=9 （5分）在Rt△ABC中，AB=6 AC=9 ∴ BC=AC2-AB2 =81-36 =35 （6分）