上课-高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结
高中数学立体几何知识点总结高中数学立体几何知识点总结立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的图形、体积以及它们之间的关系。
高中数学中的立体几何知识点较多，包括立体图形的基本概念、立体图形的体积与表面积计算、立体图形的投影等。
下面将对高中数学中的立体几何知识点进行详细总结。
1. 空间几何基本概念空间中的图形包括点、直线和平面等基本几何元素。
其中，直线是由无数个点组成的，平面是由无数个直线组成的。
2. 立体图形的基本概念立体图形是由平面围成的图形。
常见的立体图形包括立方体、正方体、长方体、棱柱、棱锥、球体、圆锥、圆柱等。
这些图形都有特定的性质和特征。
3. 立体图形的投影立体图形在投影面上的投影是指某一光线在经过立体图形后，再次射到平面上所形成的图形。
常见的立体图形投影包括正交投影和透视投影。
4. 立体图形的体积计算立体图形的体积是指该立体图形所占据的空间大小。
不同的立体图形计算方式不同，常见的计算公式包括：立方体的体积=边长的立方，正方体的体积=边长的立方，长方体的体积=长×宽×高，球体的体积=4/3×Π×半径的立方等。
5. 立体图形的表面积计算立体图形的表面积是指该立体图形各个面的总面积。
常见的计算公式包括：立方体的表面积=6×边长的平方，正方体的表面积=6×边长的平方，长方体的表面积=2×(长×宽+长×高+宽×高)，圆柱的表面积=2×Π×半径×(半径+高)，球体的表面积=4×Π×半径的平方等。
6. 空间的位置关系立体图形在空间中可以有不同的位置关系，包括重叠、相离、切平面、直角垂直、平行等。
通过对不同图形的位置关系的分析，可以解决立体几何的应用问题。
7. 立体图形的相交与切割两个立体图形可以相交或切割。
相交是指两个立体图形有公共部分，切割是指一个立体图形被另一个立体图形分割成两部分。
江苏省盐城中学高中数学立体几何知识点总结
高一立体几何知识梳理盐城中学高一数学组一、空间几何体（一）空间几何体的类型多面体：由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点．旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体．其这条直线称为旋转体的轴．（二）几种空间几何体的结构特征1 、棱柱的结构特征1.1 棱柱的定义：由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．1.2 棱柱的分类图1-1棱柱①棱柱，械垂直于底面》直棱柱 底山是多形）正棱柱其他棱柱…底面是四边形 棱柱 底面是平行四边形 四棱柱平行六面体 侧棱垂直于底面直平行底面是矩形底面是正方形 六面体长方体 性质：棱长都相等 正四棱柱正方体I 、II 、m 、1.3 侧面都是平行四边形，且各侧棱互相平行且相等；两底面是全等多边形且互相平行；平行于底面的截面和底面全等；棱柱的面积和体积公式s 二ch （c 是底周长，h 是高） 直棱柱侧S 直棱柱表面=C ・h+2S 底2.1(V 棱柱=S 底•h棱锥的结构特征棱锥的定义）棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥.（）正棱锥：如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的投影是底f斜棱柱面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥．2.2正棱锥的结构特征I、平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；II、正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；III、两个特征三角形：()A POH(包含棱锥的高、斜高和底面内切圆半径)；()A POB(包含棱锥的高、侧棱和底面外接圆半径)正棱锥侧面积：S=1ch'(c为底周长，h,为斜高)P正棱椎2体积：V=1Sh(S为底面积，h为高)DC棱椎3OHAB正四面体：各条棱长都相等的三棱锥叫正四面体2对于棱长为a正四面体的问题可将它补成一个边长为—a的正方体问题.211正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为1：3(=-/』舟3：/十6正方体体对角线2正方体体对角线3、棱台的结构特征3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台．3.2正棱台的结构特征(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；(2)正棱台的两个底面和平行于底面的截面都是正多边形；(3)正棱台的对角面也是等腰梯形；(4)各侧棱的延长线交于一点．4、圆柱的结构特征4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱．4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形．4.3圆柱的侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形．4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧面=2n•r•h（r为底面半径，h为圆柱的高）V圆、=S h=nr2h5、圆锥的结构特征5.1圆锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．5.2圆锥的结构特征（1）平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比；（2）轴截面是等腰三角形；（3）母线的平方等于底面半径与高的平方和：l2=r2+h25.3圆锥的侧面展开图：圆锥的侧面展开图是以顶点为圆心，以母线长为半径的扇形．6、圆台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台．6.2圆台的结构特征⑴圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆；⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究．6.3圆台的面积和体积公式S圆台侧=n•（R+r）•l（r、R为上下底面半径）V1=1/3（n r2+n R2+n rR）h（h为圆台的高）7球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体．空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面，球面所围成的几何体称为球体．7-2球的结构特征⑴球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2=R2-d2⑶注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线；球外切正方体，球直径等于正方体的边长．7-3球的面积和体积公式S=4nR2（R为球半径）；V=4/3nR3（三）空球面间几何体的表面积与体积球空间几何体的表面积棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和圆柱的表面积：S=2兀rl+2兀r2圆锥的表面积：S=兀rl+兀丫2圆台的表面积：S=兀r1+兀丫*兀Rl+兀R2球的表面积：S=4兀R2空间几何体的体积柱体的体积：V=S L X h；锥体的体积：v=1S X h底，3底1.T74〜台体的体积：V=-（S+JSS+S）X h；球体的体积：V二万兀R33上％’上下下3斜二测画法：（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；（2）平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；二、点、直线、平面之间的关系（一）、立体几何网络图：1、线线平行的判断：（1）平行于同一直线的两直线平行．（3）如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．（6）如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．（12）垂直于同一平面的两直线平行．2、线线垂直的判断：（7）三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面7的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.（8）三垂线逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平/:□力面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.人二L如图，已知PO ±a ,斜线PA 在平面a 内的射影为OA ,a 是平面a 内一条直线. ①三垂线定理：若a ^OA ,则a ^PA .即垂直射影则垂直斜线.②三垂线定理逆定理：若a ^PA ,则a ^OA .即垂直斜线则垂直射影.（10）若一直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于平面内所有直线.补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直,也必垂直平行线中的另一条.3、线面平行的判断：（2）如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.（5）两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面.判定定理：allb［线线平行n 线面平行）性质定理：aliauu/i〔线面平行n线线平行）CK H p-b★判断或证明线面平行的方法⑴利用定义（反证法）：/I a=0，则l〃a（用于判断）；⑵利用判定定理：线线平行0线面平行（用于证明）；⑶利用平面的平行：面面平行n线面平行（用于证明）；⑷利用垂直于同一条直线的直线和平面平行（用于判断）.2线面斜交和线面角：/Aa=A2.1直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角0.2.2线面角的范围：0£[0°,90°]注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，0=0°；当直线垂直于平面时，0=90°4、线面垂直的判断：（9）如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面．（11）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．（14）一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面．（16）如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面.判定定理：。
高中数学立体几何知识点总结大全
高中数学立体几何知识点总结大全一、空间几何体的结构及其三视图与直观图1．空间几何体的结构（1）多面体①底面互相平行.②侧面都是平行四边形.③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行.（2）旋转体2．空间几何体的三视图（1）三视图的概念①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图；③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.（2）三视图的画法规则①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图：②画法规则ⅰ)正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”；ⅱ)侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”；ⅲ)俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”.③线条的规则ⅰ)能看见的轮廓线用实线表示；ⅱ)不能看见的轮廓线用虚线表示.（3）常见几何体的三视图3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法及其规则对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其画法规则是：①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′=45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段.③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.（2）用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤①在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox，Oy，再作Oz轴使∠xOz=90°，且∠yOz=90°.②画直观图时，把它们画成对应的轴O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，使∠x ′O ′y ′=45°(或135°)，∠x ′O ′z ′=90°，x ′O ′y ′所确定的平面表示水平平面.③已知图形中，平行于x 轴、y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴、y ′轴或z ′轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同. ④已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半.⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.二、空间几何体的表面积与体积 1．旋转体的表面积2．柱体、锥体、台体的体积公式（1）柱体、锥体、台体体积公式间的关系（2）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差；（3）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.3．球的表面积和体积公式设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为.24πR34π3R三、空间点、直线、平面之间的位置关系1．平面的基本性质1212 面，使αa⊂3 32．等角定理（1）自然语言：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.（2）符号语言：如图（1）、（2）所示，在∠AOB与∠A′O′B′中，，则或.图（1）图（2）3．空间两直线位置关系的分类空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式：（1）从有无公共点的角度分类：（2）从是否共面的角度分类：4．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的定义,OA O A OB O B''''∥∥AOB AO B∠=∠'''180AOB AO B∠+∠'''=︒⎧⎪⎨⎪⎩⎩⎧⎨两条直线有且仅有一个公共点：相交直线平行直线两条直线无公共点：异面直线直线⎧⎧⎪⎨⎨⎩⎪⎩相交直线共面直线直线平行直线不共面直线：异面直线如图，已知两异面直线a ，b ，经过空间任一点O ，分别作直线a ′∥a ，b ′∥b ，相交直线a ′，b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）.（2）异面直线所成角的范围异面直线所成的角必须是锐角或直角，异面直线所成角的范围是. （3）两条异面直线垂直的定义如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a ，b ，记作a ⊥b .5．直线与平面、平面与平面位置关系的分类 （1）直线和平面位置关系的分类 ①按公共点个数分类：②按是否平行分类：③按直线是否在平面内分类：（2）平面和平面位置关系的分类两个平面之间的位置关系有且只有以下两种： （1）两个平面平行——没有公共点； （2）两个平面相交——有一条公共直线.π(0,]2⎧⎪⎨⎪⎩直线和平面相交—有且只有一个公共点直线和平面平行—没有公共点直线在平面内—有无数个公共点⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线与平面平行直线与平面相交直线与平面不平行直线在平面内⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直线在平面内直线和平面相交直线不在平面内(直线在平面外)直线和平面平行（1）唯一性定理①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．（2）异面直线的判定方法经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．四、直线、平面平行的判定及其性质1．直线与平面平行的判定定理2．直线与平面平行的性质定理3．平面与平面平行的判定定理证明两个平面平行4．平面与平面平行的性质定理证明线线平行1．平行问题的转化关系2．常用结论（1）如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．（2）如果两个平行平面中有一个平面垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线．（3）夹在两个平行平面间的平行线段长度相等．（4）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．（5）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．（6）如果两个平面分别和第三个平面平行，那么这两个平面互相平行．（7）如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．（8）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行．五、直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直.记作：l⊥α.图形表示如下：定义中的“任意一条直线”这一词语与“所有直线”是同义语，与“无数条直线”不是同义语．2．直线与平面垂直的判定定理判断直线与平面垂直在应用该定理判断一条直线和一个平面垂直时，一定要注意是这条直线和平面内的两条相交．．直线垂直，而不是任意的两条直线. 3．直线与平面垂直的性质定理4．平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与平面β垂直，记作.图形表示如下：αβ⊥5．平面与平面垂直的判定定理6．平面与平面垂直的性质定理证明直线与平面垂直7．直线与平面所成的角（1）定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．lα⎬⊂⎪⎪⊥⎭平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角．．，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于.因此，直线与平面所成的角．．．．．．．．．α．的范围是．．．．. 8．二面角（1）二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．．．．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. （2）二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做这个二面角的平面角. （3）二面角的范围：.1．垂直问题的转化关系2．常用结论（1）若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． （2）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内任何一条直线． （3）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直． （4）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． （5）两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直．（6）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．（7）如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内． 六、空间向量与立体几何900π[0,]2[0,π]1．空间直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系，如图所示.2．空间一点M 的坐标（1）空间一点M 的坐标可以用有序实数组来表示，记作，其中x 叫做点M 的横坐标，y 叫做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标.（2）建立了空间直角坐标系后，空间中的点M 与有序实数组可建立一一对应的关系． 3．空间两点间的距离公式、中点公式 （1）距离公式①设点，为空间两点，则两点间的距离. ②设点，则点与坐标原点O 之间的距离为.（2）中点公式设点为，的中点，则. 4．共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb .(,,)x y z (),,M x y z (,,)x y z 111(,,)A x y z 222(,,)B x y z ,A B ||AB =(),,P x y z (),,P x y z ||OP =(),,P x y z 1111,),(P x y z 2222,),(P x y z 121212222x x x y y y z z z +⎧=⎪⎪+⎪=⎨⎪+⎪=⎪⎩牢记两个推论：（1）对空间任意一点O ，点P 在直线AB 上的充要条件是存在实数t ，使或（其中）.（2）如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量的直线，那么对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使，其中向量叫做直线l 的方向向量，该式称为直线方程的向量表示式. 5．共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使.牢记推论：空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使；或对空间任意一点O ，有. 6．空间向量基本定理如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c .其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量.（1）空间任意三个不共面的向量都可构成基底. （2）基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示. （3）不能作为基向量.7．空间向量的运算（1）空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算都可类比平面向量.(1)OP t OA tOB =-+OP xOA yOB =+1x y +=a OP OA t =+a a x y =+p a b AP xAB y AC =+OP OA x AB y AC =++0（2）空间向量的坐标运算设，则，，， ，，.8．直线的方向向量和平面的法向量（1）直线的方向向量就是指和这条直线平行(或共线)的向量，记作，显然一条直线的方向向量可以有无数个.（2）若直线，则该直线的方向向量即为该平面的法向量，平面的法向量记作，有无数多个，任意两个都是共线向量.123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b 112233(,,)a b a b a b ±=±±±a b 123(,,)()a a a λλλλλ=∈R a 112233a b a b a b ⋅=++a b 112233,,()b a b a b a λλλλλ⇔=⇔===∈R ab b a 1122330a b a b a b ⊥⇔⋅=++=a b a b ==a cos ,⋅==a ba b a b l l α⊥l α平面法向量的求法：设平面的法向量为.在平面内找出（或求出）两个不共线的向量，根据定义建立方程组，得到，通过赋值，取其中一组解，得到平面的法向量.9．利用空间向量表示空间线面平行、垂直设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）线线平行：若，则；线面平行：若，则； 面面平行：若，则.（2）线线垂直：若，则； 线面垂直：若，则；面面垂直：若，则. 10．利用空间向量求空间角设直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为. （1）直线所成的角为，则，计算方法：； （2）直线与平面所成的角为，则，计算方法：；（3）平面所成的二面角为，则，如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝．(,,)x y z =α123123(,,),(,,)a a a b b b ==a b 0⋅=⎧⎨⋅=⎩a b αα,l m ,l m ,αβ,αβ//l m ()λλ⇔=∈R lm l m //l α0⊥⇔⋅=l l αα//αβ()λλ⇔=∈R αβαβl m ⊥0⊥⇔⋅=l m l m l α⊥()λλ⇔=∈R ll αααβ⊥0⊥⇔⋅=αβαβ,l m ,l m ,αβ12,n n ,l m θπ02θ≤≤cos θ⋅=l ml ml αθπ02θ≤≤11sin θ⋅=l n l n ,αβθ0πθ≤≤,〈〉ABCD如图②③，分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角)． 11．利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，为空间两点，则两点间的距离. （2）点到平面的距离如图所示，已知AB 为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则B 到平面α的距离为.12,n n 1212⋅n n n n 111(,,)A x y z 222(,,)B x yz ,A B ||||(AB AB x ==||||||AB BO ⋅=n n。
高中立体几何知识点概括
高中立体几何知识点概括高中立体几何知识点总结1：一直线上不重合的两点在平面内，则这条直线在平面内.2：若两个平面互相垂直，则经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα.3：过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面内，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα.4：过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面内，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ5：如果两个平面有一个公共点,那它还有其它公共点,这些公共点的集合是一条直线 .6：经过一条直线和这条直线外一点,有且仅有一个平面.7：经过两条相交直线,有且仅有一个平面.8：经过两条平行线,有且仅有一个平面.9：平行于同一直线的两条直线互相平行10：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向相同,那么这两个角相等.11：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行12：垂直于同一直线的两个平面平行13：两个平面平行,其中一个平面内的直线必平行于另一个平面14：如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行15：一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,它也垂直于另一个平面高中立体几何解题技巧1：锻炼空间想象力：首先是学会画立体图，要画得准，还要能将不同角度的同一个几何体画出，脑子里面能想出立体图。
2：熟记立体图形各种定理和推论：只有掌握好这些立体图形各种定理和推论，才能真正学好立体图形。
3：多做题：一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。
但是不建议题海战术，要注重做题的效率以及效果，做题之后加强反思，这样高中数学水平才能长进。
高考前数学的复习方法1、调整好状态，控制好自我。
保持清醒。
高考数学的考试时间在下午，建议同学们中午最好休息半个小时或一个小时，其间尽量放松自己，从心理上暗示自己：只有静心休息才能确保考试时清醒。
高中复习数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形侧棱与底面边长相等1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA=++②（了解）长方体的一条对角线1AC与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形.1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h为棱柱的高） 2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱. 2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形. 2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高中立体几何基础知识点全集精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版立体几何知识点整理姓名：一．直线和平面的三种位置关系：1. 线面平行l符号表示：2. 线面相交符号表示：3. 线在面内符号表示：二．平行关系：1.线线平行：方法一：用线面平行实现。
mlmll////⇒⎪⎭⎪⎬⎫=⋂⊂βαβα方法二：用面面平行实现。
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若αα⊥⊥ml,，则ml//。
方法四：用向量方法：若向量l和向量m共线且l、m不重合，则ml//。
2.线面平行：方法一：用线线平行实现。
ααα////llmml⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊄⊂方法二：用面面平行实现。
αββα////ll⇒⎭⎬⎫⊂方法三：用平面法向量实现。
若n为平面α的一个法向量，ln⊥且α⊄l,则α//l。
3.面面平行：方法一：用线线平行实现。
βααβ//',','//'//⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂⊂且相交且相交mlmlmmll方法二：用线面平行实现。
βαβαα//,////⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂且相交mlml三．垂直关系：mlα1. 线面垂直：方法一：用线线垂直实现。
αα⊥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⊂=⋂⊥⊥l AB AC A AB AC AB l ACl ,方法二：用面面垂直实现。
αββαβα⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊥=⋂⊥l l m l m ,2. 面面垂直：方法一：用线面垂直实现。
βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥l l方法二：计算所成二面角为直角。
3. 线线垂直：方法一：用线面垂直实现。
m l m l ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥αα方法二：三垂线定理及其逆定理。
PO l OA l PA l αα⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⊂⎭方法三：用向量方法：若向量l 和向量m 的数量积为0，则m l ⊥。
三．夹角问题。
(一) 异面直线所成的角： (1) 范围：]90,0(︒︒ (2)求法： 方法一：定义法。
步骤1：平移，使它们相交，找到夹角。
步骤2：解三角形求出角。
(常用到余弦定理) 余弦定理：abcb a 2cos 222-+=θ(计算结果可能是其补角)方法二：向量法。
高中数学中的立体几何知识点总结
高中数学中的立体几何知识点总结立体几何是高中数学中一个重要的分支，它研究的是三维空间中的物体形状、大小以及它们之间的相互关系。
本文将对高中数学中的立体几何知识点进行总结，帮助同学们梳理和复习相关内容。
一、点、线、面的关系1. 点：点是空间中最基本的概念，没有大小和形状，只有位置坐标。
2. 线：两个点确定一条线段，线段有长度，可以延伸成直线。
3. 面：三个或三个以上的点确定一个面，面有面积，可以延伸成平面。
二、多面体1. 三棱锥：底面为三角形，侧面为三角形的四面体。
2. 四棱锥：底面为四边形，侧面为三角形的五面体。
3. 五棱锥：底面为五边形，侧面为三角形的六面体。
4. 正棱锥：底面为正多边形，侧面为等边三角形的多面体。
5. 正方体：六个面都是正方形的多面体。
6. 正四面体：四个面都是正三角形的多面体。
7. 正六面体：六个面都是正方形的多面体。
三、平面图形与立体图形1. 投影：图形在投影面上的图象。
2. 平行投影：平行于投影面的投影方式，不改变图形的形状和面积。
3. 斜投影：不平行于投影面的投影方式，改变图形的形状和面积。
4. 立体图形的展开图：将立体图形展开成平面图，便于计算和分析。
5. 空间几何体的视图：主视图、俯视图和侧视图，用来描述一个立体图形。
四、平行与垂直1. 平行关系：两条直线在同一个平面上，且永远不相交。
2. 垂直关系：两条直线在同一个平面上，且相交成直角。
五、角与平面的关系1. 角：由两条射线共同确定的图形，可以是平面角或空间角。
2. 平面角：两个相交的平面所夹的角，范围为0到180度。
3. 相对角：两个相交直线上相对的两个角。
六、面积与体积1. 面积：平面图形所占的面积，常见的有三角形、四边形、圆形的计算公式。
2. 体积：三维物体所占的空间大小，常见的有长方体、正方体、棱柱、棱锥、球体的计算公式。
七、相交与相切1. 相交：两个或多个图形交叠在一起。
2. 相切：两个或多个图形只有一个点是共同的。
高中数学立体几何知识点归纳总结
高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳 第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征 1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为矩形1.3①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222c o s c o sc o s 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222co s co s co s 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高）2.圆柱2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形.2.4面积、体积公式：S =2rh π；S=222rh r ππ+，V=Sh=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高中数学知识点总结立体几何基础
高中数学知识点总结立体几何基础高中数学知识点总结：立体几何基础在高中数学中，立体几何是一个非常重要的内容，它研究的是空间中的物体、形状和位置关系。
掌握立体几何的基础知识对于解题和应用数学都有着重要的作用。
本文将对高中数学中的立体几何基础知识点进行总结。
一、点、线、面和空间1. 点：点是最基本的几何图形，它没有长度、宽度和高度，只有位置。
2. 线：线由无数个点连成，具有长度和方向。
3. 面：面由线围成，具有长度和宽度，两个面之间由边界线分隔。
4. 空间：空间就是由无限个点、线和面组成的。
二、立体的分类1. 多面体：多面体是由多个平面围成的空间图形，它有很多面、边和顶点。
常见的多面体有正方体、长方体、正六面体等。
2. 圆锥体：圆锥体是由一个圆和一个顶点连成的线段，再将这个线段旋转一周形成的。
3. 圆柱体：圆柱体是由两个平行的圆底面和连接两个底面的矩形侧面组成的。
4. 球体：球体由一个圆绕着直径旋转一周形成的。
三、体积和表面积1. 体积：体积用来表示立体图形的容量大小，它的单位是立方厘米（cm³）或立方米（m³）。
不同形状的立体图形计算体积的公式也不同，例如长方体的体积公式为长×宽×高。
2. 表面积：表面积是表示立体图形外部各个面积的总和，它的单位是平方厘米（cm²）或平方米（m²）。
各种立体图形的表面积计算公式不同，例如正方体的表面积公式为6×边长×边长。
四、立体图形的投影1. 正交投影：正交投影是指从不同的方向将物体的投影投射到一个平面上，保持形状和大小不变。
常见的正交投影有俯视图、正视图和侧视图。
2. 斜投影：斜投影是指将物体的投影投射到一个斜面上，通过变换物体的位置和大小来表示形状。
五、相似立体和全等立体1. 相似立体：相似立体是指两个立体图形的形状相似，但大小可以不同。
在相似立体中，对应的边长比例相等，对应的面积比例相等，对应的体积比例相等。
高中数学立体几何知识点归纳总结教学提纲
高中数学立体几何知识点归纳总结高中数学立体几何知识点归纳总结一、立体几何知识点归纳第一章空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做顶点。
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.棱柱1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列（棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱）的关系：①⎧⎪⎧−−−−−→⎨⎪−−−−−→⎨⎪⎪⎩⎩L底面是正多形棱垂直于底面斜棱柱棱柱正棱柱直棱柱其他棱柱底面为平行四边形侧棱垂直于底面底面为矩形收集于网络，如有侵权请联系管理员删除收集于网络，如有侵权请联系管理员删除1.3棱柱的性质：①侧棱都相等，侧面是平行四边形；②两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； ③过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形； ④直棱柱的侧棱长与高相等，侧面与对角面是矩形。
1.4长方体的性质：①长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和；【如图】222211AC AB AD AA =++②（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A的三条棱所成的角分别是αβγ，，，那么222cos cos cos 1αβγ++=，222sin sin sin 2αβγ++=；③（了解）长方体的一条对角线1AC 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是αβγ，，，则222cos cos cos 2αβγ++=，222sin sin sin 1αβγ++=.1.5侧面展开图：正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底面周长和侧棱长为邻边的矩形. 1.6面积、体积公式：2S c hS c h S S h=⋅=⋅+=⋅直棱柱侧直棱柱全底棱柱底，V （其中c 为底面周长，h 为棱柱的高） 2.圆柱收集于网络，如有侵权请联系管理员删除2.1圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质：上、下底及平行于底面的截面都是等圆；过轴的截面（轴截面）是全等的矩形.2.3侧面展开图：圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形. 2.4面积、体积公式：S 圆柱侧=2rh π；S 圆柱全=222rh r ππ+，V 圆柱=S 底h=2r h π（其中r 为底面半径，h 为圆柱高） 3.棱锥3.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
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. . 页脚 立体几何
一、平面的基本性质 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面，那么这条直线上所有的点都在这个平面. 公理2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线. 公理3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论. 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面. 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面. 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 二、空间线面的位置关系 共面 平行—没有公共点 (1)直线与直线 相交—有且只有一个公共点 异面(既不平行，又不相交) 直线在平面—有无数个公共点 (2)直线和平面 直线不在平面 平行—没有公共点 (直线在平面外) 相交—有且只有一公共点 (3)平面与平面 相交—有一条公共直线(无数个公共点) 平行—没有公共点 三、异面直线的判定 (1)证明两条直线是异面直线通常采用反证法. (2)判定定理“平面一点与平面外一点的连线，与平面不经过该点的直线是异面直线”. 四、线面平行与垂直的判定 (1)两直线平行的判定 ①定义：在同一个平面，且没有公共点的两条直线平行. ②如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若a∥α,aβ，α∩β=b,则a∥b.(直线与平面平行的性质定理) ③平行于同一直线的两直线平行，即若a∥b,b∥c,则a∥c.(平行直线的传递性) ④垂直于同一平面的两直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b ⑤两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若α∥β,α∩γ,β∩γ=b,则a∥b(面面平行的性质定理) ⑥如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行，即若α∩β=b,a∥α,a∥β，则a∥b. (2)两直线垂直的判定 1.定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直. 2.一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即若b∥c,a⊥b,则a⊥c 3.一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面的任意一条直线.即若a⊥α,bα，a⊥b. 4.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直.即若a∥α,b⊥α,则a⊥b. . . 页脚 5.三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若α⊥β,β⊥γ，γ⊥α,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c，
则a⊥b,b⊥c,c⊥a. (3)直线与平面平行的判定 ①定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行. ②如果平面外一条直线和这个平面的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.即若aα,b
α，a∥b,则a∥α. ③两个平面平行，其中一个平面的直线平行于另一个平面，即若α∥β,lα，则l∥β. ④如果一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若α⊥β,l⊥β，lα，则l∥α. ⑤在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平行，即若Aα，Bα，A、B在α同侧，且A、B到α等距，则AB∥α. ⑥两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个平面平行，即若α∥β,aα，aβ，a∥α，则α∥β. ⑦如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行，即若a⊥α,bα，b⊥a，则b∥α. ⑧如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平行于这个平面(或在这个平面)，即若a∥b,a∥α,b∥α(或bα) (4)直线与平面垂直的判定 ①定义：若一条直线和一个平面的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. ②如果一条直线和一个平面的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面.即若mα，nα，m∩n=B,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. ③如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面.即若l∥a,a⊥α,则l⊥α. ④一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若α∥β,l⊥β，则l⊥α. ⑤如果两个平面互相垂直，那么在一个平面垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若α⊥β,a∩β=α，lβ，l⊥a,则l⊥α. ⑥如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面，即若α⊥γ,β⊥γ,且a∩β=α,则a⊥γ. (5)两平面平行的判定 ①定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点α∥β. ②如果一个平面有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bα，a∩b=P,a∥β,b∥β,则α∥β.(判定定理) ③垂直于同一直线的两平面平行.即若α⊥a,β⊥a,则α∥β. ④平行于同一平面的两平面平行.即若α∥β,β∥γ,则α∥γ. ⑤一个平面的两条直线分别平行于另一平面的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bα,c,d
β,a∩b=P,a∥c,b∥d,则α∥β.（推论） (6)两平面垂直的判定 ①定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角α－a－. . 页脚 β=90°α⊥β.
②如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l⊥β,lα，则α⊥β. ③一个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个.即若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ. 五、直线在平面的判定 (1)利用公理1：一直线上不重合的两点在平面，则这条直线在平面. (2)若两个平面互相垂直，则经过第一个平面的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面，即若α⊥β,A∈α，AB⊥β，则ABα. (3)过一点和一条已知直线垂直的所有直线，都在过此点而垂直于已知直线的平面，即若A∈a,a⊥b，A∈α,b⊥α，则aα. (4)过平面外一点和该平面平行的直线，都在过此点而与该平面平行的平面，即若Pα，P∈β，β∥α，P∈a,a∥α，则aβ. (5)如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面一点与这条直线平行的直线必在这个平面，即若a∥α,A∈α，A∈b,b∥a,则bα. 六、存在性和唯一性定理 (1)过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条； (2)过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条； (3)过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个； (4)与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条； (5)过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个； (6)过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个； (7)过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个； (8)过两条互相垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一个. 七、射影及有关性质 (1)点在平面上的射影自一点向平面引垂线，垂足叫做这点在这个平面上的射影，点的射影还是点. (2)直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线，过两垂足的直线叫做直线在这平面上的射影. 和射影面垂直的直线的射影是一个点；不与射影面垂直的直线的射影是一条直线. (3)图形在平面上的射影一个平面图形上所有的点在一个平面上的射影的集合叫做这个平面图形在该平面上的射影. 当图形所在平面与射影面垂直时，射影是一条线段； 当图形所在平面不与射影面垂直时，射影仍是一个图形. (4)射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中： (i)射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长； (ii)相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长； (iii)垂线段比任何一条斜线段都短. 八、空间中的各种角 1、等角定理及其推论 . . 页脚 定理：若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等.
推论：若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角(或直角)相等. 2、异面直线所成的角 (1)定义：a、b是两条异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a′∥a,b′∥b,则a′和b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角. (2)取值围：0°＜θ≤90°. (3)求解方法 ①根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角θ；（平移法，补形法） ②解含有θ的三角形，求出角θ的大小. 3、直线和平面所成的角 (1)定义 和平面所成的角有三种：(i)垂线 面所成的角 的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角. (ii)垂线与平面所成的角 直线垂直于平面，则它们所成的角是直角. (iii)一条直线和平面平行，或在平面，则它们所成的角是0°的角. (2)取值围0°≤θ≤90° (3)求解方法 ①作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角θ. ②若作不出垂线，找不到射影，可以直接求点到面的距离。 4、二面角及二面角的平面角 (1)半平面 ： 直线把平面分成两个部分，每一部分都叫做半平面. (2)二面角 ： 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个平面叫做二面角的面，即二面角由半平面一棱一半平面组成. 5、若两个平面相交，则以两个平面的交线为棱形成四个二面角. 二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角θ的取值围是 0°＜θ≤180° (3)二面角的平面角 ①以二面角棱上任意一点为端点，分别在两个面作垂直于棱的射线，这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角. ②二面角的平面角具有下列性质： (i)二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面，即AB⊥平面PCD. (ii)从二面角的平面角的一边上任意一点(异于角的顶点)作另一面的垂线，垂足必在平面角的另一边(或其反向延长线)上. (iii)二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直，即平面PCD⊥α，平面PCD⊥β. ③找(或作)二面角的平面角的主要方法. (i)定义法(ii)垂面法 (4)求二面角大小的常见方法 ①定义法。②三垂线法