“将军饮马”数学模型的思考
数学模型在高中数学教学中的实践研究——将军饮马模型、向量模型在柯西不等式教学中的应用
理科空间数学模型在高中数学教学中的实践研究①——将军饮马模型、向量模型在柯西不等式教学中的应用◎邵焱焱 李宝梁（安徽省淮北市实验高级中学）通过数学模型将柯西不等式的多种形式统一在以向量为链的形式下，以教学设计为载体初步探索如何将新的数学知识转化到已有的数学知识上，让学生体会数学的对称美、统一美、和谐美，体会数学模型的建立的必要及应用。
柯西不等式是高中数学选修（4-5）中的一个教学难点，主要是因为其抽象，形式多样。
如何进行教学才利于学生理解是摆在高中教师面前的一个问题。
将军饮马模型是初中研究对称问题时建立的一个模型，学生对其很熟悉。
它们有共性即都具有对称性，能否通过对称性在它们之间建立起联系，将柯西不等式建立在学生熟悉的模型上，本文将对此进行研究。
一、引入简介将军饮马模型，唤起学生对该模型的记忆，用建模的方法提出数学问题：已知点A(2，3)和B(5，1)，在x轴上找一点P，使AP+BP的值最小，求出最小值及点P的坐标？并提供几何解法。
即 时，提出是否可以从代数的角度进行解题。
显然可以运用代数方法通过坐标中的点与点之间的距离的表达式将问题转化为：设点P为（p，0），则有求其最小值的问题。
二、探究新知如何通过确定P的值求出上式的最小值成为现在需要解决的问题。
而柯西不等式的三角形式是解决这个问题的最好方法，既快捷又高效。
如何将这种形式引入成为新的问题，解决这个问题运用向量模型简洁明了。
先复习向量数量积的定义。
学生很容易通过向量模型将新知识转化成过去所学的知识。
在给出向量形式的基础上借助向量模型的坐标形式进而可以得到柯西不等式的二维形式因 ，设两边同时平方得这就是柯西不等式的二维形式，根据向量形式等号成立的条件可以推出二维形式柯西不等式成立的条件是当且仅当ad=bc时。
这样一个复杂的不等式结构用模型解释，既方便理解又方便记忆。
三、问题解决现在我们可以运用柯西不等式知识，给出将军饮马模型的代数解答，求其最小值。
将军饮马最短距离原理
将军饮马最短距离原理1.引言1.1 概述将军饮马最短距离原理是一种常见的数学问题，根据传说中的典故“将军饮马”，通过解决这个问题我们可以得到最短距离的最优解。
这个问题在数学领域中被广泛研究和应用，尤其在图论、最优路径规划、网络优化等领域中具有重要的意义。
将军饮马最短距离问题可以简单描述为：一个将军要从指定位置A饮马到指定位置B，同时他必须经过多个中间位置，并且需要选择经过这些中间位置的最短路径。
这个问题可以用图论中的有权有向图来模拟和解决。
每个位置可以看作图中的一个节点，将军的移动可以看作是节点之间的有向边，每条边的权值表示将军从一个位置到另一个位置的移动距离。
通过这个问题的求解，我们可以找到从起点到终点的最短路径，即将军饮马的最短距离。
将军饮马最短距离原理的研究不仅可以用于解决实际问题，还可以用来优化和改进一些相关算法和模型。
例如，在网络优化中，我们可以利用这个原理来找到网络中数据传输的最短路径，从而提高网络的传输效率。
此外，通过将军饮马问题的研究，还可以挖掘和发现一些潜在的规律和规划策略，进一步推动相关领域的发展。
本文将从将军饮马最短距离原理的背景和原理解析两个方面进行详细探讨，通过对相关理论和算法的介绍和分析，旨在增加对这一原理的理解和认识。
同时，本文还将探讨将军饮马最短距离原理的应用价值和未来发展方向，以期为相关领域的研究和实践提供一定的参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行叙述和分析将军饮马最短距离原理：1. 引言：为了引出将军饮马最短距离原理的背景和意义，概述本文将要介绍的内容。
2. 正文：2.1 将军饮马最短距离原理的背景：详细介绍将军饮马最短距离原理的起源和历史背景，包括相关的故事或传说，以便读者能够更好地理解该原理。
2.2 将军饮马最短距离原理的原理解析：深入分析将军饮马最短距离原理的具体原理，包括数学模型和算法等相关内容。
通过展示相关的数学推导或图表，让读者理解这一原理的运作机制。
中考数学常见几何模型最值模型-将军饮马
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧： （2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．m A Bm m A Bm【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，EC ==∴PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，BC =⊥tanAB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒，由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥12BF BC ==⊥2B B BF '==⊥BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形，⊥6B E '，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是⊥DCM 的平分线，⊥点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，⊥MN +NP =MN +NP ′≤MF ，⊥MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，⊥AD =CD =2，DE =1，⊥CE⊥12CE ×DO =12CD ×DE ， ⊥DO ⊥EO ⊥MF ⊥CD ，⊥EDC =90°，⊥DE ⊥MF ，⊥⊥EDO =⊥GMO ，⊥CE 为线段DM 的垂直平分线，⊥DO =OM ，⊥DOE =⊥MOG =90°，⊥⊥DOE ⊥⊥MOG ，⊥DE =GM ，⊥四边形DEMG 为平行四边形，⊥⊥MOG =90°，⊥四边形DEMG 为菱形，⊥EG =2OE GM = DE =1，⊥CG ， ⊥DE ⊥MF ，即DE ⊥GF ，⊥⊥CFG ⊥⊥CDE ，⊥FG CG DE CE =，即1FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键． 例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________．（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
将军饮马问题
将军饮马1.问题的历史背景：“将军饮马问题”传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。
一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：如图，将军从军营A出发先到河边饮马，再去同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，展现了他的个人智慧。
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。
2.究其本质，巩固模型。
如图，A、B两点分别表示两幢大楼所在的位置，直线n表示输水总管道，直线b表示输煤气总管道。
现要在这两根总管道上分别设一个连接点，安装分管道将水和煤气输送到A、B两幢大楼，要求使铺设至两幢大楼的输水分管道和输煤气分管道的用料最短。
图中，点A′是点A关于直线b的对称点，A′B分别交b、a于点C、D；点B′是点B关于直线a的对称点，B′A分别交b、a于点E、F．则符合要求的输水和输煤气分管道的连接点依次是A F和C B F和E C D和C D D和E评析：虽然图形略有改变，但是究其本质，它仍然是我们已建立的基本模型。
根据模型易得：输水分管道的连接点是点B 关于a的对称点B′与A的连线的交点F，煤气分管道的连接点是点A关于b的对称点A′与B的连线的交点C，故选A。
此例关键是抓住模型的本质特征，进一步巩固已经建立的模型，从而达到学以致用的效果。
3.一“模”多变，触类旁通。
通过以上模型的建立，我们把题目做一些变式。
模型变式------ 两定点到直线上一动点的线段距离和最短问题变式①：“模型”在三角形中如图，等边△ABC 的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值_____。
评析：此例是求两个定点到直线上一个动点距离和最短问题。
只要抓住模型的本质特征，作出图形，找到点M的位置并不困难。
例如：解法（一）图形，然后利用等边三角形的特殊性质，结合勾股定理的知识，再求出这条线段CE’的长度。
巧用“将军饮马”模型求解最值问题
解法探究２０２４年１月下半月㊀㊀㊀巧用 将军饮马 模型求解最值问题◉哈尔滨师范大学教师教育学院㊀李传煜㊀㊀摘要:最值问题是初中数学常见的问题类型,其题型灵活多变,很多地区的中考试卷中有关动点最值的问题都涉及到 将军饮马 ,因此结合中考试题对最值问题加以探究,解读 将军饮马 基本模型,探究典型的考题类型．关键词:将军饮马;最值;线段和㊀㊀最值问题是近几年中考的热点,这类问题涉及到的知识很多,题型多样,通常需要找到特殊情况,再结合特定的数学模型进行解决．本文中以全国各地中考题为例,对如何构建 将军饮马 模型求解最值问题进行了探讨．１将军饮马 模型基本模型:两定点＋一动点．图１已知两定点A ,B 在直线l 同一侧,在直线l 上找一点P ,使得P A ＋P B 最小．解法:如图１,作点B 关于直线l 的对称点B ᶄ,连接A B ᶄ与定直线l 的交点P 即为所求的点,且P A ＋P B 的最小值就等于A B ᶄ的长,其基本原理是 两点之间线段最短 ．２模型应用２．１求线段和的最值图２例１㊀(２０２２年山东德州)如图２,正方形A B C D 的边长为６,点E 在B C 上,C E ＝２,M 是对角线B D 上的一个动点,求E M ＋C M 的最小值．分析:由题可知C ,E 是定点,B D 为定直线,M 是B D 上一动点,且定点C ,E 在BD 的同侧．根据以上分析,可以联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．此类问题常通过平移㊁翻折㊁旋转等方法转化为 两点之间线段最短 来求出最小值．本题定点C 比定点E 更容易找到其对称点,进而将同侧两定点转化为异侧两定点,求出E M ＋C M 的最小值．图３解析:如图３,由正方形的性质,可知点A ,C 关于直线B D 对称．连接AM ,根据对称性可知AM ＝C M ．所以(E M ＋C M )m i n ＝(AM ＋E M )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ,M ,E 三点共线时,AM ＋E M 取最小值,即为线段A E 的长．因为B E ＝４,A B ＝６,所以A E ＝A B ２＋B E ２＝６２＋４２＝２１３．所以E M ＋C M 的最小值为２１３．２．２求几何图形周长的最值图４例２㊀(２０２３年四川宜宾)如图４,在平面直角坐标系x O y 中,等腰直角三角形A B C 的直角顶点C (３,０),顶点A ,B (６,m )恰好落在反比例函数y ＝kx第一象限的图象上．(１)分别求反比例函数的表达式和直线A B 所对应的一次函数的表达式．(２)在x 轴上是否存在一点P ,使әA B P 的周长最小?若存在,求出最小值;若不存在,请说明理由．分析:此处只分析第(２)问,要求әA B P 周长的最小值,即求线段A P ＋B P ＋A B 的最小值．由于A ,B 为定点,P 为x 轴上一动点,且定点A ,B 在x 轴的同侧,因此可联想到 两定点＋一动点 的 将军饮马 模型．由题意可知A B 的长为定值,因此只需要求A P ＋B P 的最小值即可．４７２０２４年１月下半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀解析:(２)由(１)可知,反比例函数的解析式为y ＝６x．图５如图５,过点A 和点B 分别作x 轴的垂线,交x 轴于点D ,E ．因为A C ＝B C ,øA D C ＝øC E B ,øD A C ＝øE C B ,ìîíïïïï所以әA D C ɸәC E B ．所以C E ＝A D ．又O E ＝６,O C ＝３,所以C E ＝A D ＝３．所以y A ＝６x A ＝３,即x A ＝２,则A (２,３)．因为y B ＝６６＝１,所以B (６,１)．所以A B ＝(６－２)２＋(１－３)２＝２５．作点A 关于x 轴的对称点A ᶄ,连接A ᶄP ．所以(A P ＋B P )m i n ＝(A ᶄP ＋B P )m i n ．根据两点之间线段最短,当A ᶄ,P ,B 三点共线时,A ᶄP ＋B P 取最小值,即为线段A ᶄB 的长．由题意得A ᶄ(２,－３),所以A ᶄB ＝(６－２)２＋(１＋３)２＝４２．所以әA B P 周长的最小值为４２＋２５．２．３求抛物线背景下的线段最值及点的坐标图６例３㊀(２０２２年天津)如图６,已知抛物线y ＝a x ２＋b x ＋c(a ,b ,c 是常数,a ＞０)的顶点为P ,与x 轴相交于点A (－１,０)和点B ．(１)若b ＝－２,c ＝－３,①求点P 的坐标;②直线x ＝m (m 是常数,１＜m ＜３)与抛物线相交于点M ,与B P 相交于点G ,当M G 取得最大值时,求点M ,G 的坐标．(２)若３b ＝２c ,直线x ＝２与抛物线相交于点N ,E 是x 轴的正半轴上的动点,F 是y 轴的负半轴上的动点,当P F ＋F E ＋E N 的最小值为５时,求点E ,F的坐标．分析:此处只分析第(２)小问,由于P ,N 为抛物线上的定点,E 为x 轴上的动点,F 是y 轴上的动点,E F 为定长,根据以上分析可联想到 两定点＋两动点 的 将军饮马 模型．由题意可知E F 为定值,因此只需要求P F ＋E N 的最小值,再通过题意求出直线E F 的方程,进而求出点E ,F 的坐标．解析:(２)由抛物线与x 轴交于A (－１,０),可知a －b ＋c ＝０,又３b ＝２c ,则b ＝－２a ,c ＝－３a ,所以抛物线的解析式为y ＝a x ２－２a x －３a (a ＞０)．所以由抛物线y ＝a (x －１)２－４a ,得P (１,－４a )．图７如图７,作点P 关于y 轴的对称点P ᶄ,连接P ᶄF ．根据对称性,可知P ᶄF ＝P F ．作点N 关于x 轴的对称点N ᶄ,连接N ᶄE ．根据对称性,得N ᶄE ＝N E ．所以(P F ＋F E ＋E N )m i n ＝(P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE )m i n ．根据两点之间线段最短,当P ᶄ,F ,E ,N ᶄ四点共线时,P ᶄF ＋F E ＋N ᶄE 取最小值,即为线段P ᶄN ᶄ的长．将x ＝２代入抛物线解析式,可得y N ＝－３a ,则点N 坐标为(２,－３a ),所以N ᶄ(２,３a )．又点P ᶄ坐标为(－１,－４a ),所以P ᶄN ᶄ＝(２＋１)２＋(７a )２＝５．解得所以a ２＝１６４９,即a ＝４７,或a ＝－４７(舍)．所以P ᶄ(－１,－１６７),N ᶄ(２,１２７)．设直线P ᶄN ᶄ的解析式为y ＝k x ＋b ．将点P ᶄ,N ᶄ的坐标代入,可得－１６７＝－k ＋b ,１２７＝２k ＋b ．ìîíïïïï解得k ＝４３,b ＝－２０２１．所以直线P ᶄN ᶄ:y ＝４３x －２０２１．分别令x ,y ＝０,可得E (５７,０),F (０,－２０２１)．解决 将军饮马 问题,究其本质就是利用 两点之间线段最短 或 垂线段最短 的基本原理,用几何变换将若干原本彼此分离的线段组合到一起,即 化折为直 [１],进而解决问题．参考文献:[１]丁力．初中数学几何最值问题探究 以 将军饮马 问题模型的解题策略为例[J ]．数学教学通讯,２０２０(１４):７９Ｇ８０．Z５７。
(完整版)“将军饮马”模型详解与拓展
“将军饮马”模型详解与拓展平面几何中涉及最值问题的相关定理或公理有:① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；② 垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中,通过翻折运动，把一些线段进行转化即可应用①、② 的基本图形,并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马"问题.问题提出:唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？模型提炼：模型【1】一定直线、异侧两定点直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：根据“两点之间,线段距离最短”，所以联结AB交直线l于点P，点P即为所求点模型【2】一定直线、同侧两定点直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小解答：第一步：画点A关于直线l的对称点A’(根据“翻折运动”的相关性质,点A、A’到对称轴上任意点距离相等,如图所示，AP=A'P,即把一定直线同侧两定点问题转化为一定直线异侧两定点问题)第二步：联结A'B交直线l于点Q，根据“两点之间，线段距离最短”，此时“A’Q+QB”最短即“AQ+QB”最短模型【3】一定直线、一定点一动点已知直线l和定点A，在直线k上找一点B（点A、B在直线l同侧)，在直线l上找点P,使得AP+PB最小解答：第一步:画点A关于直线l的对称点A’第二步：过点A'做A'B⊥k于点B且交直线l于点P，根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短",可知A’P+PB最小即AP+PB最小模型【4】一定点、两定直线点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小解答:策略：两次翻折第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2第二步:联结P1P2，交OM、ON于点A、点B（根据“翻折运动”的相关性质,AP=AP1，BP=BP2；根据“两点之间，线段距离最短”可知此时AP1+BP2+AB最短即△ABP周长最短）拓展如果两定点、两定直线呢？“如图,点P，Q为∠MON内的两点,分别在OM，ON上作点A,B。
将军饮马模型解读与提分精练(人教版)(解析版)—2024-2025学年八年级数学上册
将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。
要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。
当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ (2)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动） (2)模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动） (29)模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） (53)模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动） (68) (79)模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）条件：A ，B 为定点，m 为定直线，P 为直线m 上的一个动点，求AP +BP 的最小值。
模型（1）点A 、B 在直线m 两侧：模型（2）点A 、B 在直线同侧：模型（1）点A 、B 在直线m 两侧： 模型（2）点A 、B 在直线同侧：图（1） 图（2）模型（1）：如图（1），连结AB ,根据两点之间线段最短，AP +BP 的最小值即为：线段AB 的长度。
例谈初中数学常见的几种“将军饮马”模型应用问题
例谈初中数学常见的几种“将军饮马”模型应用问题
作者：汪赫
来源：《试题与研究·教学论坛》2016年第13期
在初中数学中，“将军饮马”问题是非常常见的数学模型，这类问题能力要求较高，需要灵活地运用图形特点和各种数学思想。
本文以作者平时教学经验总结若干类型，与大家一起分享学习。
一、“将军饮马”模型的产生
传说古罗马亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
分析：饮水点C是动点，显然可以用构造对称点来解决问题。
只需连接A′B，与l的交点C即为路程最短点。
解：做点A关于l的A′，连接A′B，A′B与l的交点C即为所求。
评析：若取l上异于C点的点C′，显然AC′+BC′>A′B。
二、模型应用
评析：这道题做法很多种，本种做法也可看作将BF平移到GE，此时只需求出DE+GE的最小值，相当于通过平移转化为了“将军饮马”问题这一模型。
以上为我对“将军饮马”这一模型在初中数学中的一些应用的体会，同大家一起学习，这类问题通常利用轴对称变换，平移变换转化为最基本的“将军饮马问题”，能很好地体现核心数学思想“化归”，拓展学生的思维能力，提高分析能力，激发他们对数学的向往和追求。
（作者单位：浙江省衢州华茂外国语学校）。
将军饮马问题例题
将军饮马问题例题
摘要：
1.将军饮马问题的定义与背景
2.将军饮马问题的数学模型
3.解析将军饮马问题的关键步骤
4.将军饮马问题的实际应用
正文：
一、将军饮马问题的定义与背景
将军饮马问题是数学中的一个经典问题，起源于古代战争中将军在河边饮马的情景。
问题描述为：一位将军站在河边，他的马在河对岸，将军与马之间的距离已知，问将军如何在保证不被敌人发现的情况下，使得自己与马之间的距离最短。
这个问题实际上涉及到的是几何光学的知识，尤其是光的传播和直线传播的原理。
二、将军饮马问题的数学模型
为了解决将军饮马问题，我们需要建立一个数学模型。
首先，我们可以将问题简化为二维平面几何问题，将军所在位置为A 点，马所在位置为B 点，河对岸为C 点，AC 与BC 的夹角为θ，那么，将军到马最短距离就是线段AB 在角度θ上的投影。
根据三角函数知识，我们可以知道，这个投影长度等于线段AB 的长度乘以cosθ。
三、解析将军饮马问题的关键步骤
解决将军饮马问题的关键在于找到角度θ的值。
我们可以通过以下步骤来
求解：
1.画出问题场景的示意图，明确各点的位置关系。
2.利用三角函数中的正切函数，求出角度θ。
3.利用三角函数中的余弦函数，求出将军到马的最短距离。
四、将军饮马问题的实际应用
将军饮马问题虽然起源于战争场景，但在现实生活中，它的应用却非常广泛。
比如在光学领域，将军饮马问题可以帮助我们理解光线的传播和反射；在工程领域，将军饮马问题可以帮助我们解决最短路径问题，提高运输效率。
中考数学解题技巧2： 将军饮马模型(扩展)
【例题】如图，在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 B 在原点，点 A 、C 在坐标轴上， 点 D 的坐标为（6，4），E 为 CD 的中点，点 P、Q 为 BC 边上两个动点，且 PQ=2，要使四 边形 APQE 的周长最小，则点 P 的坐示应为______________．
y
A
D
(B)O P Q
A
D
F
1
E
H
B
C
连接 BH，则 BH =CE
A
D
F
1
E
H
B
C
问题转化为 BH+AF 最小值．
A
D
A
D
F
F
1
1
E
H
H
B
C
B
C
参考将军遛马的作法，作出图形，得出 AF +BH=A ’H+B’H=A’B’=5．
A
D
A' F 1 H
B
C
B'
已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D。 问题：线段MN=1，在对称轴上运动（M点在N点上方）， 求四边形BMNC周长的最小值及此时M点坐标
B 军营
将军 A
M
N
河
【分析】考虑 MN 为定值，故只要 AM+BN 值最小即可．将 AM 平移使 M、N 重合，AM=A’N， 将 AM+BN 转化为 A’N+NB．
B
A A'
M
N
构造点 A 关于 MN 的对称点 A’’，连接 A’’B，可依次确定 N、M 位置，可得路线．
B
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数
学
教
育
Ｎｏ．ｏ６．２０１２
语数外学习
Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１２年第６期
将军饮马＂数学模型的思考
芮巧燕
（浦江江南初中，浙江金华３２２２００）
摘．耍：在平时的教学过程中要善于分析与总结，抓住学科的本质规律，提炼归类出简单的解题模型。学生在练习中要能抓住实
质，套用模型并能在一定程度上从大量的、复杂的数学题海中得到一些解放，从而减轻学业负担，提高学习兴趣。
关键词：“将军饮马”型；数学模型；思考
’中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望峰 火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学模型：“将军 饮马”。 如图１所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的Ａ点出 发，走到河边饮马后再到Ｂ点宿营。请问怎样走才能使总的路程 最短？这里把河看成是直线ｌ，只要画出点Ｂ关于ｌ轴的对称点 Ｂ 。连接ＡＢ 交直线ｌ轴于点Ｃ．则点ｃ就是所求之点，这时ＡＢ 为 最小，这是利用轴对称变换及性质得到直线Ｉ为ＢＢ 的中垂线，然 后把线段ＣＢ转化为线段ＣＢ 再根据两点之间线段最短得出结论。 我们可以再在ｌ轴上任取一点Ｐ．连接ＰＡ、ＰＢ 、ＰＢ，因为ＰＡ ４－ＰＢ ＝ＰＡ＋ＰＢ ＞ＡＢ ＝ＣＡ＋ＣＢ，从而验证Ｃ即为所求之点。 在平时的教学过程之中。我们能抓住此问题的基本知识点与 本质规律提炼归类成简单的解题模型。让学生能在解题过程中 通过套用这简单的知识模块，来解决各种各样变化莫测的、复杂 的问题。让解题由难变易，化繁为简．学生掌握起来也就更简单！ 下面让我们一起看看这个模型的变迁及其延伸： Ａ ● Ｐ， ≯ ／ ｏ 、 ’． Ａ ………‘ Ａ 文章编号：１００５—６３５１（２０１２）一０６—００９４—０２
问题二：如图３，ＱＯ的直径ＭＮ＝６，点Ａ在ＱＯ上，ＬＡＭＮ＝
３０。．Ｂ为弧ＡＮ的中点，Ｐ是直径ＭＮ上一个动点，则ＰＡ＋ＰＢ的
最小值为
图３ 图４
问题三：如图４，正方形ＡＢＣＤ的边长为３，点Ｅ在ＢＣ上，且
ＢＥ＝２，点Ｐ在ＢＤ上，求ＰＥ＋Ｐｃ的最小值。
问题四：如图５，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４ａ，点Ｅ在ＢＣ上，ＣＥ
＝２ａ，／－ＢＡＤ＝１２．０。，点Ｐ在ＢＤ上，则ＰＥ＋Ｐｃ的最小值是
．．．．．．．．．．．．．．．． ．．．．．．．．一
。
二、三、四这几个同题看似各不相同，但经过仔细分析不难发
现它们之间其实只是问题背景不一样，而实质上都可以经过轴对
称变换求得线段的最值套用到“将军饮马”型问题中去。
Ｄ
Ａ
．
／
＼ ‘
Ｃ
Ｂ
Ｂ
・，Ｂ
Ａ
Ｃ
Ｏ
Ａ
图５ 图６
二、模型问题的延伸
在平时的学业练习中，经常还可碰见一些在“将军饮马”型问
题的基础上作一些适当的深入延伸的题目，比如：
问题五：如图６，在坐标系中有四个点Ａ（一６，３），Ｂ（一２，５），
ｃ（ｏ，ｍ），Ｄ（ｎ，０），当四边形ＡＢＣＤ周长最短时，则ｍ＋ｎ＝
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一
。
解析：分析此题时能发现这里虽以当四边形ＡＢＣＤ周长最短
时为前提，但其中随着点Ａ、Ｂ的已知线段ＡＢ也为定值，所以就
把问题转化为当ＡＤ＋ＤＣ＋ＢＣ之和最小时的值，一些同学在熟悉
了用轴对称变化求最值的模型后也能想到分别作点Ａ、Ｂ关于
轴与ｙ轴的对称点Ａ 和Ｂ ，然后连接Ａ Ｂ 与ｘ，ｙ轴分别交与点
Ｄ、ｃ，点ｃ、Ｄ就是满足条件时的点从而求解。
谤数外髻司
ＮＯ．ｏ６．２０ｌ２
语数外学习
Ｙｕ Ｓｈｕ ｒａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１２年第６期
０
解：因为Ａ（一６，３），Ｂ（一２，５），
如图，求得点Ａ、Ｂ关于ｘ．ｙ轴的对称点分别是
Ａ （一６，一３），Ｂ （２，５）
．‘．
线段Ａ Ｂ 的解析式为Ｙ： ＋３
．。．
Ｃ（０，３），Ｄ（一３，Ｏ）
．‘．
ｍ＋７／．＝０。
Ｎ
Ｄ Ｂ
图７ 图８
问题六：如图７，已知在ＬＡＯＢ内有一点Ｐ，在ＯＡ和ＯＢ边上
分别找出点Ｎ、Ｍ，使ＡＰＭＮ的周长最小。
问题七：如图： Ｍ０Ｎ＝３０度，点Ａ在ＯＭ上，ＯＡ＝２，Ｄ在
ＯＮ上，ＯＤ＝４，Ｃ是ＯＭ上任意一点，Ｂ是ＯＮ上任意一点，则折线
ＡＢＣＤ的最短长度为——。
这些问题经过仔细分析其数学知识点实质上也都是在“将军
饮马”模型，只不过是在此基础上有所延伸
三、模型问题的拓展
问题Ｊｋ：如图８．在菱形ＡＢＥＤ中．／ＤＡＢ＝１２０。．点Ｅ平分
ＢＣ，点Ｐ在ＢＤ上，且ＰＥ＋ＰＣ：１，那么边长ＡＢ的最大值是
一
Ｃ，
这问题有点类似于“将军饮马”模型的逆运用，也只需作点Ｅ
关于对角线ＤＢ的对称点，即为边ＡＢ的中点．设为点Ｆ，再连接
ＣＦ，不难发现当Ｃ、Ｐ、Ｆ三点共线时的取值会让边长娶到最大值。
问题九：已知抛物线Ｙ＝０．５ｘ ＋ 经过点Ａ（４，０）。设点Ｃ
（１，一３），请在抛物线的对称轴上确定一点Ｄ，使得ｌＡＤ—ＣＤＩ的
值最大．则点Ｄ的坐标为——。此题在ＡＡＤＣ 中，ＡＣ’为定
值，ＩＡＤ—ＣＤｆ＜ＡＣ ，当Ａ、ｃ 、Ｄ三点共线时Ｉ ＡＤ—ＣＤＩ的值最
大。一部分同学经过分析后也能套用模型解出答案。
这几个问题者陧在“将军饮马”模型的基础上进行拓展运用，通
过套用模型解题很多大程度上能实现让解题由难变易，化繁为简。
总之，“将军饮马”模型在我们平时是练习中经常遇到，类似
的师生在平时如注重模型的提炼与总结，对于很多时候的解题会
起到事半功倍的效果，不过要注意模型教育的时机，不要过早的
帮学生总结归纳解题模型，有时学生自己也会悟出一些解题模
型，间接经验总不如直接经验理解的深刻；当学生没有总结出解
题模型，也找到便捷的解法时，请你沉住气，再忍一忍，学生正在
从崎岖道路的艰苦跋涉中提升自己的解题能力，同时．没有经历
崎岖道路的人也无法体会找到捷径的快感。同时也要防止一些
模型的负迁移。
（上接第９３页） 因此，在教学中，随时注意帮助学生掌握和善于运用数学思 想的探究学习，不仅可起到巩固旧知识，加速对新知识的形成、 理解和记忆，促进知识的正迁移，又能培养学生的创新思维 能力。 四、组织小组合作交流，培养学生自主探究 新《标准》中指出“合作交流是学生学习教学的重要方式”。 在课堂教学中要让学生主动参与师生之间、学生之问的合作交 流。学生自主探索、小组合作交流的问题要有层次性和思考性， 让学生自己去观察、探究、归纳来解决问题。对一些简单的数学 问题学生通过独立探究就可以解决；对一些比较复杂的问题先由 学生自主探究，让学生体验过程，再学生之间讨论和交流，让他们 在小组或班集体范围内充分展示自己的思维方式及过程，让他们 的思维火花进行充分的碰撞，产生集体智慧，激发学习兴趣，实现 学习互补，增强合作意识，也可享受成功的喜悦。并且学生在讨 论交流中获得新的信息，也提高了自己分析问题和解决问题的能 力，激发了自己的创新潜能。如：在“立体图形与平面图形”让学 生动手操作，经历和体验了立体图形与平面图形转换的过程（立 体图形沿某些棱剪开成平面图形，平面图形经过折叠成立体图 形），通过与小组中的其他同学充分的交流、讨论，进而让学生在 全班交流过程中呈现自己的作品，探索出有ｕ种不同的平面展 开图。学生情绪空前高涨，发言踊跃，课堂气氛活泼生动，几乎人 人都参与了数学活动，形成了主动与他人交流的意识，同时也培 养了学生观察思考、动手实践、合作学习的能力。 五、设计开放题，提高学生自主探究 设计开放题，目的是“实现人人学有价值的数学，人人都能获
得必需的数学，不同的学生在数学上得到不同的发展”。在教学
中．对于一些好的例子的教学，不仅可以提高基础差的学生的学
习数学的兴趣，又可以激励优生向更高层次的探索。因此，在教
学时教师既要面向全体学生，又要因材施教，这样对教师在设计
开放题时的题目提出更高的要求。教师在设计题目时，既要充分
考虑给予学生的思维空闯．自主探究、归纳的过程，又要使学生对数
学问题可从多方面，多角度去思考．从不同途径解决问题。如在：平
行四边形复习时要学生研究平行四边形ＡＢＣＤ具有以下性质：（１）
数
学
教
１凸ｒ
罔
漆数球 司