2019年高考倒计时数学理科冲刺模拟卷一及答案解析
2019届高考数学(理)倒计时模拟卷(3)含答案解析
2019高考数学（理）倒计时模拟卷（3）1、已知集合2{|230}A x x x =-->,集合{|B x y ==,则()R A B ⋃=ð( ) A. {|1}x x ≤-B. {|3}x x ≥C. {|13}x x -≤≤D. {|1}x x ≥-2、如图梯形ABCD ，//AB CD 且5AB =,24AD DC ==， 0AC BD ⋅=uuu r uu u r， 则AD BC ⋅uuu r uu u r的值为( )A.1315 B.10 C.15 D.1315-3、已知i 是虚数单位，则2i1i+等于( ) A.1i -B.1i +C.1i --D.1i -+4、某单位为了了解用电量y 度与气温x C ︒之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表 用电量度由表中数据得回归直线方程y bx a =+中3b =，预测当气温为2C ︒时，用电量的度数是( ) A.70 B.68C.64D.625、函数2ln x x y x=的图象大致是( )A.B.C.D.6、已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体,则该几何体的表面积为( )A. 4+B. 6+C. 8+D. 9+7、若sin 4απ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,那么cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为( )B.C.5D. 5-8、记n S 为数列{}n a 的前n 项和,若231n n S a =-,则5S =( ) A.40B.80C.121D.2429、已知,m n 是空间中的两条不同的直线, ,αβ是空间中的两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若//,//m n m α,则//n α. B.若//,//m αβα,则//m β. C.若,m n n α⊥⊂,则m α⊥. D.若,m m αβ⊥⊂,则a β⊥.10、已知直线1y kx =-与抛物线28x y =相切，则双曲线：2221x k y -=的离心率等于( )11、如图，函数()f x 的图象是由正弦曲线或余弦曲线经过变换得到的，则()f x 的解析式可以是()A ．()sin(2)3f x x π=+B ．()sin(4)6f x x π=+C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()cos(4)6f x x π=+12、若曲线()(02)xf x ae ax x =-<<和()32(0)g x x x x =-+<上分别存在点,?A B ,使得△AOB 是以原点 O 为直角顶点的直角三角形, AB 交y 轴于点 C ,且12AC CB =uuu r uu r ,则实数a 的取值范围是( )A. 211,10(1)6(1)e e ⎛⎫⎪--⎝⎭ B. 11,6(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭C. 1,11e ⎛⎫⎪-⎝⎭D. 211,10(1)2e ⎛⎫⎪-⎝⎭13、()()511ax x ++的展开式中2x 的系数是5,则a =__________14、直线2y kx =+与圆224x y +=相交于,M N两点，若||MN =k =____．15、已知实数,x y 满足不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≥⎩，则z x y =+的最小值为_________16、已知直线22y x =+与抛物线2(0)y ax a =>交于,?P Q 两点,过线段P Q 、的中点作x 轴的垂线,交抛物线于点A ,若||||AP AQ AP AQ +=-,则a =__________ 17、在ABC △中,内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且2sin sin cos sin cos cos A B B B A C B +=.(1)求tan B 的值；(2)若2b =，ABC △，求a c +的值．18、如图,五边形ABSCD 中,四边形ABCD 为长方形,△SBC 为边长为2的正三角形,将△SBC 沿BC 折起,使得点S 在平面ABCD 上的射影恰好在AD 上.1.当2AB =时,证明:平面SAB ⊥平面SCD ;2.若1AB =,求平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值.19、手机QQ 中的“QQ 运动”具有这样的功能,不仅可以看自己每天的运动步数,还可以看到朋友圈里好友的步数.小明的QQ 朋友圈里有大量好友参与了“QQ 运动”,他随机选取了其中30名,其中男女各15名,记录了他们某一天的走路步数,统计数据如表所示:1.以样本估计总体,视样本频率为概率,在小明QQ 朋友圈里的男性好友中任意选取3名,其中走路步数低于7500步的有X 名,求X 的分布列和数学期望2.如果某人一天的走路步数超过7500步,此人将被“QQ 运动”评定为“积极型”,否则为“消极型”.根据题意完成下面的22⨯列联表,并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关?附: 22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20、如图,在平面直角坐标系中,已知点()1,0F ,过直线:4l x =左侧的动点P 作PH l ⊥于点H ,HPF ∠的角平分线交 x 轴于点M ,且2PH MF =,记动点P 的轨迹为曲线 C .1.求曲线 C 的方程2.过点F 作直线l '交曲线 C 于,?A B 两点,设AF FB λ=,若1,22λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求AB 的取值范围21、设函数()21 ln 2f x x m x =-,()()21,0g x x m x m =-+>. 1.求函数() f x 的单调区间;2.当1m ≥时,求函数()()()h x f x g x =-的极值.22、在平面角坐标系 xOy 中,已知椭圆的方程为2212012x y +=动点P 在椭圆上, O 为原点,线段OP 的中点为Q . 1.以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,求点 Q 的轨迹的极坐标方程;2.设直线l的参数方程为12{x ty == (t 为参数), l 与点 Q 的轨迹交于,M N 两点,求弦长MN .23、[选修4—5:不等式选讲] 已知函数()221f x x x =+--. 1.求()5f x >-的解集;2.若关于 x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(0)a ≠能成立,求实数 m 的取值范围.答案1.C解析：由题意得, {|02}A x x =<<,所以{1}A B ⋂=,故选C. 2.B 3.B 解析：2i 2i(1i)22i1i 1i (1i)(1i)2-+===+++-， 故选：B 4.A 5.D 6.D解析：根据该几何体的三视图可知,该几何体为如图所示的四棱锥,其表面积11424222S =⨯+⨯+1292+⨯=+7.D 8.C解析：由231n n S a =-,1(2)n n n a S S n -=-≥,得1233(2)n n n a a a n -=-≥,所以13(2)n n a a n -=≥,由11231S a =-,得11a =,所以数列{}n a 是以1为首项,3为公比的等比数列,所以551312113S -==-,故选C.9.D 10.B解析：由218y kx x y=-⎧⎨=⎩得2880x kx +=-，因为直线与曲线相切，所以264320k -=△=，212k =，所以双曲线为2212y x -=B. 11.A 12.D 13.-1解析：展开式中2x 的系数是21551105C a C a ⨯+⨯=+,所以1055a +=,所以1a =-.14.1± 15.1解析：画出不等式组35024020x y x y y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+≥⎩表示的平面区域，如图中阴影部分所示；由2240y x y =-⎧⎨+-=⎩，解得(3,2)B -，设z x y =+，将直线:l z x y =+进行平移， 当l 经过点B 时，目标函数z 达到最小值，321z =-=最小值∴．故答案为：1． 16.2解析：由222y x y ax=+⎧⎨=⎩得2220ax x --= 设1122(,),(,)P x y Q x y 则12122,2a x x x x a +==- 设P Q 、的中点为M 则1M A x x a ==,21A A y ax a== 由||||AP AQ AP AQ +=-可得0AP AQ ⋅=即0AP AQ ⊥=,即AP AQ ⊥,又知M 是线段P Q 、的中点 ∴1||||2AM PQ =∵MA x ⊥轴 ∴211||22MA a a a=+-=+又12|||PQ x x =-==∴22148425a a a ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以2a =此时满足0∆>成立故2a =17.(1)原等式化简得sin cos cos (sin sin )cos B A B A C B B =+，∴()sin si n os n i c C B B A B =+，∴sin sin cos B C C B =，∵0C <<π，sin 0C ≠，∴tan B =(2)∵tan B =0B <<π，∴B 为锐角，且sin cos BB=∴sin 3B =，1cos 3B =，∵1sin 2S ac B ==3ac =.由余弦定理得：a c +=18.1.作SO AD ⊥,垂足为 O ,依题意得SO ⊥平面ABCD ,,SO AB SO CD ∴⊥⊥,又AB AD ⊥,AB ∴⊥平面SAD ,,AB SA AB SD ⊥⊥.利用勾股定理得SA ==同理可得SD =在△SAD 中, 2,AD SA SD SA SD ===⊥SD ∴⊥平面SAB ,又SD ⊂平面SCD ,所以平面SAB ⊥平面SCD .2.连接,BO CO ,SB SC =,Rt SOB Rt SOC ∴∆≅∆,BO CO =,又四边形ABCD 为长方形, ,Rt AOB Rt DOC OA OD ∴∆≅∆∴=.取BC 中点为E ,得//OE AB ,连结,SE SE ∴=其中1OE =,OA OD 1==,OS ==由以上证明可知,,OS OE AD 互相垂直,不妨以,,OA OE OS 为x,y,z 轴建立空间直角坐标系.1,OE OS =∴=,(0,1,0),(1,1,2),(2,0,0)DC SC BC ∴==--=-,设()111,,m x y z =是平面SCD 的法向量,则有0{0m DC m SC⋅=⋅=即11110{0y x y =-+=,令11z =得(2,0,1)m =-.设()222,,n x y z =是平面SBC 的法向量,则有0{0n BC n SC⋅=⋅=即222220{0x x y -=-+=令11z =得(0,2,1)n =. 则1cos ,333m n m n m n⋅〈〉===⋅ 所以平面SCD 与平面SBC 所成二面角的余弦值的绝对值为13.19.1.在小明的男性好友中任意选取1名,其中走路步数低于7500的概率为62155=.X 可能取值分别为0,1,2,3,00332327(0)()()55125P X C ∴===, 11232354(1)()()55125P X C ===, 22132336(2)()()55125P X C ===, 3303238(3)()()P X C ===,X 的分布列为则86()01231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯= 2.完成22⨯列联表2k 的观测值2030(91164)750 3.394 3.84115151317221k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯. 据此判断没有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关20.1.设(),P x y ,由题可知MF PF =,所以12PF MF PH PH ==,12=,化简整理得22143x y +=, 即曲线 C 的方程为22143x y +=. 2.由题意,直线l '的斜率0k ≠,设直线l '的方程为1x my =+,由221{143x my x y =++=得()2234690m y my ++-=, 设()()1122,,,A x y B x y ,所以△()()()2226363414410m m m =++=+>恒成立,且212122934,34y y m y y m +=-+=-+,①又因为AF FB λ=,所以12y y λ-=,② 联立①②,消去12,? y y ,得()222134m m λλ-4=+ 因为()211120,2λλλλ-⎡⎤=+-∈⎢⎥⎣⎦,所以22410342m m ≤≤+,解得2405m ≤≤.又12AB y-=2221212443434m m m +=-++, 因为2324345m ≤+≤,所以242743,348AB m ⎡⎤=-∈⎢⎥+⎣⎦. 所以AB 的取值范围是273,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 解析：点睛:本题主要考查了求轨迹方程、直线与椭圆的位置关系等,考查推理论证能力、运算求解能力,方程与函数思想,数形结合思想等,属于中档题。
2019年高考数学模拟试题含答案
2019年高考数学模拟试题（理科）注意事项：1. 本试卷分第I 卷（选择题）和第□卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自 己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 回答第I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3•回答第□卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4•考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
每小题 5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的uur umr•选择题：本大题共 12个小题, 1•已知集合A {x2x 3 0},B {2,3,4}，则（C R A ）A. {2,3} B . {2,3,4}C {2}D.2 .已知 i 是虚数单位,A.B . ,10C.丄10D.3 •执行如图所示的程序框图, 若输入的点为P （1,1）,则输出的n 值为A. 3B . 4C. 5D.4 •如图，ABCD 是边长为8的正方形，若DE且F为BC的中点，贝U EA EFA. 10B . 12 C. 16D. 20x y 25 .若实数x, y 满足 y x 1,则z 2x 8y 的最大值是y 0A. 4B . 8 C. 16 D. 326. 一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为上的数字之和大于 5的概率是 11 3 4 A .B.- C .-D .1051058 .设S n 是数列｛ a n ｝的前n 项和， 且a 11 , a n 1S n S n 1，则 a 5 =人1 B .1 1 1 A .C.-D.30302029•函数f x In x 的大致图像为10.底面为矩形的四棱锥 P ABCD 的体积为8,若PA 平面ABCD ,且PA 3，则四棱锥P ABCD 的外接球体积最小值是A . 16 5 8.2 B. 32 5 32 C. 16 2 32 D . 16.516.27. 5张卡片上分别写有 0，1，2，3，4，若从这 5张卡片中随机取出张，则取出的2张卡片 33A. 25 B • 125 C . I?5 D . 256 611.已知抛物线y22px p 0 ,过焦点且倾斜角为30°的直线交抛物线于A,B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是3,则抛物线的准线方程为A. x 1B• x C . x D.x ^32312.已知函数f(x)x2 ln x ( x),函数g(x)1x —，直线y t分别与两函数交于22A, B两点，则AB的最小值为A. 1B. 1C.3D.222二•填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 设样本数据为，X2，…，X20!8的方差是5,若y 3X i 1( i 1.2.....2018 )，则％H，…,y2018的方差是 _________14. 已知函数f(x) sin x J3cos x ( 0)，若3，则方程f(x) 1在(0,)的实数根个数是______15. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1, 2, ... , 9填入3 3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图).一般地，将连续的正整数1, 2, 3, …，n2填入n n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为N n(女口：在3阶幻方中,N3 15)，则N5= _______16. 已知ABC中，内角A B, C所对的边分别为a , b , c,且c 1 , C n.3若si nC sin (A B) sin2B，贝y ABC 的面积为______________三、解答题：本大题共6小题，其中17-21小题为必考题，每小题12分，第22—23题为选考题，考生根据要求做答，每题10分.17. (本小题满分12分)设数列｛a n｝是公差为d的等差数列.(I )推导数列｛a n｝的通项公式；(n)设d 0,证明数列｛a n 1｝不是等比数列.18. (本小题满分12分)某中学为了解全校学生的上网情况，在全校随机抽取了40名学生(其中男、女生各占一半)进行问卷调查，并进行了统计，按男、女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0, 5) , [5 , 10) , [10, 15) , [15 , 20) , [20, 25]，得到如图所示的频率分布直方图.(I)写出女生组频率分布直方图中a的值；(n )在抽取的40名学生中从月上网次数不少于20的学生中随机抽取2人，并用X表示随机抽取的2人中男生的人数，求X的分布列和数学期望.19. (本小题满分12分)在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB AC AA 2 , BA CA。
【高考冲刺】2019届高考数学(文)倒计时模拟卷(一)(含答案)
【高考冲刺】2019届高考数学（文）倒计时模拟卷备战冲刺预测卷（一）1、设(1)i z i += (其中i 为虚数单位),则复数z = ( )A.1122i + B. 1122i -C. 1122i -+D. 1122i --2、设全集U R =,集合{}31A x x =-<<,{}10B x x =+≥,则( )A. {3x x ≤-或1}x ≥B. {|1x x <-或3}x ≥C. {}3x x ≤D. {}3x x ≤-3、下列函数中,既是偶函数,又在()0,?+∞单调递增的函数是( ) A. 12y x = B. 2xy =- C. 1y x=D. lg y x = 4、“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5、已知等比数列{}n a 中, 31174a a a =,{}n b 是等差数列,且77b a =则59b b +等于( ) A.2 B.4 C.8 D.16 6、我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题:“今有垣厚十尺,两鼠对穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问几何日相逢?”现用程序框图描述,如图所示,则输出的结果n= ()A. 4B. 5C. 2D. 37、已知实数,x y满足201xx yy x≥⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩,则()0z ax y a=+>的最小值为( )A. 0B. aC. 21a+D. 1?-8、已知某几何体的三视图如图所示，俯视图是由边长为2的正方形和半径为1的半圆组成的，则该几何体的体积为( )A.443π+B.283π+C.43π+D.83π+9、在区间[,]ππ-内随机取两个数分别为,?a b ,则使得函数222()2f x x ax b π=+-+有零点的概率为( ) A. 18π- B. 14π- C. 12π-D. 314π-10、已知1F ,2F 分别是双曲线 ()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点, P 为双曲线上的一点,若1290,F PF ∠=︒且12F PF ∆的三边长成等差数列,则双曲线的离心率是( ) 2 3C. 2 D. 511、在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若1,2,45a b B ===o ，则角A = ( ) A. 30o B. 60o C. 30o 或150o D. 60o 或120o12、已知函数2()ln f x x ax =-.若()f x 恰有两个不同的零点,则a 的取值范围为( ) A.1(,)2e+∞B.1[,)2e +∞ C.1(0,)2eD.1(0,]2e13、若ABC △的面积为23，且3A π=，则AB AC ⋅=u u u r u u u r ____．14、已知正数,?a b 满足1a b +=,则z x y =-+的最大值为__________. 15、圆221x y +=上的点到点()3,4M 的距离的最小值是__________.16、设函数πsin(2)4y x =-，则下列结论正确的是______. ①函数()y f x =的递减区间为3π7ππ+,π+(Z)88k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； ②函数()y f x =的图象可由sin 2y x =的图象向左平移π8得到； ③函数()y f x =的图象的一条对称轴方程为π8x =； ④若7ππ,242x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()f x 的取值范围是2,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 17、公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若39,S =且125,,a a a 成等比数列. 1.求数列{}n a 的通项公式；2.设{}n n b a -是首项为1,公比为2的等比数列,求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和为n T 。
2019年全国高考数学(理)模拟题及答案
2019年全国高考数学（理）模拟题及答案(本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题 满分60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个选项符合题意)1．[2016·全国卷Ⅲ]设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( )A ．[2,3]B ．(－∞，2]∪[3，＋∞)C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞) 答案 D解析 集合S ＝(－∞，2]∪[3，＋∞)，结合数轴，可得S ∩T ＝(0,2]∪[3，＋∞)．2．[2016·西安市八校联考]设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z－z ＝( )A ．iB ．2－iC ．1－iD ．0 答案 D解析 因为2z －z ＝21＋i －1＋i ＝－＋－－1＋i ＝1－i －1＋i ＝0，故选D.3．[2017·福建质检]已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝13，则cos x ＋cos ( π3－x )的值为( )A ．－33 B.33 C ．－13 D.13答案 B解析 因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12sin x ＋32cos x ＝13，所以cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝cos x＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝33，故选B. 4．[2016·天津高考]设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的( )A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 由题意得，a n ＝a 1q n －1(a 1>0)，a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )．若q <0，因为1＋q 的符号不确定，所以无法判断a 2n －1＋a 2n 的符号；反之，若a 2n －1＋a 2n <0，即a 1q 2n －2(1＋q )<0，可得q <－1<0.故“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的必要而不充分条件，选C.5．[2016·全国卷Ⅲ] 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中A 点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为 5 ℃.下面叙述不正确的是()A ．各月的平均最低气温都在0 ℃以上B ．七月的平均温差比一月的平均温差大C ．三月和十一月的平均最高气温基本相同D ．平均最高气温高于20 ℃的月份有5个 答案 D解析 由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，A 正确；七月的平均温差约为10 ℃，而一月的平均温差约为5 ℃，故B 正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，C 正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有3个，D 错误．6．[2017·江西南昌统考]已知a ＝2－13 ，b ＝()2log 23－12，c ＝14⎠⎛0πsin x d x ，则实数a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．b >a >cC ．a >b >cD ．c >b >a 答案 C解析 因为a ＝2－13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12 13 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1416 ，b ＝()2log 23 －12 ＝3－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13 12 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12716，所以a >b ，排除B 、D ；c ＝14⎠⎛0πsin xdx ＝－14cos x ⎪⎪⎪π0＝－14(cos π－cos0)＝12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14 12，所以b >c ，所以a >b >c ，选C. 7．[2016·江苏重点高中模拟]若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ，则记为N ＝n (mod m )，例如10＝4(mod 6)．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的n 等于( )A ．17B ．16C ．15D ．13 答案 A解析 当n >10时，被3除余2，被5除也余2的最小整数n ＝17，故选A. 8．[2017·湖北武汉调研]已知x ，y满足⎩⎨⎧x ＋y －1≥0，x －2y －4≤0，2x －y －2≥0，如果目标函数z ＝y ＋1x －m的取值范围为[0,2)，则实数m 的取值范围为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，12D ．(－∞，0]答案 C解析 由约束条件，作出可行域如图中阴影部分所示，而目标函数z ＝y ＋1x －m的几何意义为可行域内的点(x ，y )与A (m ，－1)连线的斜率，由⎩⎨⎧x ＋y －1＝0，x －2y －4＝0，得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－1，即B (2，－1)．由题意知m ＝2不符合题意，故点A 与点B 不重合，因而当连接AB 时，斜率取到最小值0.由y ＝－1与2x －y －2＝0，得交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，在点A 由点C 向左移动的过程中，可行域内的点与点A 连线的斜率小于2，因而目标函数的取值范围满足z ∈[0,2)，则m <12，故选C.9．[2017·衡水四调] 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有羡除”．刘徽注：“羡除，隧道也．其所穿地，上平下邪．”现有一个羡除如图所示，四边形ABCD 、ABFE 、CDEF 均为等腰梯形，AB ∥CD ∥EF ，AB ＝6，CD ＝8，EF ＝10, EF 到平面ABCD 的距离为3，CD 与AB 间的距离为10，则这个羡除的体积是( )A ．110B ．116C ．118D ．120 答案 D解析 如图，过点A 作AP ⊥CD ，AM ⊥EF ，过点B 作BQ ⊥CD ，BN ⊥EF ，垂足分别为P ，M ，Q ，N ，连接PM ，QN ，将一侧的几何体补到另一侧，组成一个直三棱柱，底面积为12×10×3＝15.棱柱的高为8，体积V ＝15×8＝120.故选D.10．[2017·山西太原质检]设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC →C.AD →＝43AB →＋13AC →D.AD →＝43AB →－13AC →答案 A解析 利用平面向量的线性运算法则求解.AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋43BC →＝AB →＋43(AC→－AB →)＝－13AB →＋43AC →，故选A.11．[2017·河南郑州检测]已知点F 2、P 分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点与右支上的一点，O 为坐标原点，若OM →＝12(OP →＋OF 2→)，OF 2→2＝F 2M →2，且2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，则该双曲线的离心率为( )A.3＋12B.32C. 3 D ．2 3答案 A解析 设双曲线的左焦点为F 1，依题意知，|PF 2|＝2c ，因为OM →＝12(OP →＋OF 2→)，所以点M 为线段PF 2的中点．因为2OF 2→·F 2M →＝a 2＋b 2，所以OF 2→·F 2M →＝c22，所以c ·c ·c o s∠PF 2x ＝12c 2，所以c o s∠PF 2x ＝12，所以∠PF 2x ＝60°，所以∠PF 2F 1＝120°，从而|PF 1|＝23c ，根据双曲线的定义，得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，所以23c －2c ＝2a ，所以e ＝c a ＝13－1＝3＋12，故选A.12．[2017·山西联考]已知函数f (x )＝(3x ＋1)e x ＋1＋mx (m ≥－4e)，若有且仅有两个整数使得f (x )≤0，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤5e ，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－52e，－83e 2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－83e 2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－4e ，－52e答案 B解析 由f (x )≤0，得(3x ＋1)·e x ＋1＋mx ≤0，即mx ≤－(3x ＋1)e x ＋1，设g(x )＝mx ，h(x )＝－(3x ＋1)e x ＋1，则h′(x )＝－[3e x ＋1＋(3x ＋1)e x ＋1]＝－(3x ＋4)e x ＋1，由h′(x )>0，得－(3x ＋4)>0，即x <－43，由h′(x )<0，得－(3x ＋4)<0，即x >－43，故当x ＝－43时，函数h(x )取得极大值．在同一平面直角坐标系中作出y ＝h(x )，y ＝g(x )的大致图象如图所示，当m ≥0时，满足g(x )≤h(x )的整数解超过两个，不满足条件；当m <0 时，要使g(x )≤h(x )的整数解只有两个，则需满足⎩⎨⎧ －－，－－，即⎩⎨⎧5e －1≥－2m ，8e －2<－3m ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－52e ，m <－83e 2，即－52e ≤m <－83e 2，即实数m 的取值范围是[ －52e ，－83e2)，故选B.第Ⅱ卷(非选择题 满分90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2017·济宁检测]已知(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．答案 2解析 令x ＝1，可得2×(－1)＝a 0，即a 0＝－2； 令x ＝2，可得(22＋1)×0＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11， 即a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝0， 所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 11＝2.14．[2017·惠州一调]已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n，n ∈N *，则b 2017＝________.答案20172018解析 ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n，∴b n ＋1＝b n1－－b n 2＝12－b n ，∴1b n ＋1－1－1b n －1＝－1，又b 1＝12，∴1b 1－1＝－2，∴数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列，∴1b n －1＝－n －1，∴b n ＝n n ＋1.故b 2017＝20172018.15．[2017·河北正定统考]已知点A (0,1)，抛物线C ：y 2＝ax (a >0)的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若|FM |∶|MN |＝1∶3，则实数a 的值为________．答案 2解析 依题意得焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4，0，设M 在抛物线的准线上的射影为K ，连接MK ，由抛物线的定义知|MF |＝|MK |，因为|FM |∶|MN |＝1∶3，所以|KN |∶|KM |＝22∶1，又k FN ＝0－1a 4－0＝－4a ，k FN ＝－|KN ||KM |＝－22，所以4a ＝22，解得a ＝ 2.16．[2016·成都第二次诊断]已知函数f (x )＝x ＋sin2x .给出以下四个命题： ①∀x >0，不等式f (x )<2x 恒成立；②∃k ∈R ，使方程f (x )＝k 有四个不相等的实数根； ③函数f (x )的图象存在无数个对称中心；④若数列{a n }为等差数列，f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 2＝π. 其中正确的命题有________．(写出所有正确命题的序号) 答案 ③④解析 f ′(x )＝1＋2cos2x ，则f ′(x )＝0有无数个解，再结合f (x )是奇函数，且总体上呈上升趋势，可画出f (x )的大致图象为：(1)令g (x )＝2x －f (x )＝x －sin2x ，则g ′(x )＝1－2cos2x ，令g ′(x )＝0，则x ＝π6＋k π(k ∈Z )，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π6－32<0，即存在x ＝π6>0使得f (x )>2x ，故①错误；(2)由图象知不存在y ＝k 的直线和f (x )的图象有四个不同的交点，故②错误；(3)f (a ＋x )＋f (a －x )＝2a ＋2sin2a cos2x ，令sin2a ＝0，则a ＝k π2(k ∈Z )，即(a ，a )，其中a ＝k π2(k ∈Z )均是函数的对称中心，故③正确； (4)f (a 1)＋f (a 2)＋f (a 3)＝3π，则a 1＋a 2＋a 3＋sin2a 1＋sin2a 2＋sin2a 3＝3π， 即3a 2＋sin(2a 2－2d )＋sin2a 2＋sin(2a 2＋2d )＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2＋2sin2a 2cos2d ＝3π， ∴3a 2＋sin2a 2(1＋2cos2d )＝3π，∴sin2a 2＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2da 2，则问题转化为f (x )＝sin2x 与g (x )＝3π1＋2cos2d －31＋2cos2dx 的交点个数．如果直线g (x )要与f (x )有除(π，0)之外的交点，则斜率的范围在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π，－2，而直线的斜率－31＋2cos2d 的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)，故不存在除(π，0)之外的交点，故a 2＝π，④正确．三、解答题(共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．[2016·武汉调研](本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＋1a＝4cos C ，b ＝1.(1)若A ＝90°，求△ABC 的面积；(2)若△ABC 的面积为32，求a ，c .解 (1)a ＋1a ＝4cos C ＝4×a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋1－c 2a ，∵b ＝1，∴2c 2＝a 2＋1.(2分)又∵A ＝90°，∴a 2＝b 2＋c 2＝c 2＋1，∴2c 2＝a 2＋1＝c 2＋2，∴c ＝2，a ＝3，(4分)∴S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ＝12×1×2＝22.(6分)(2)∵S △ABC ＝12ab sin C ＝12a sin C ＝32，则sin C ＝3a .∵a ＋1a ＝4cos C ，sin C ＝3a，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤14⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 2＝1，化简得(a 2－7)2＝0，∴a ＝7，从而cos C ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＝277，∴c ＝a 2＋b 2－2bc cos C ＝7＋1－2×7×1×277＝2.(12分) 18．[2016·广州四校联考](本小题满分12分)自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了200(1)估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？(2)假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和，求随机变量ξ的分布列及期望． 解 (1)由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为P 1＝4200＝150；(2分) 当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为P 2＝16200＝225.(4分)(2)①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A ，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有C 25＝10(种)，(5分)其和不低于32周的选法有(14,18)，(15,17)，(15,18)，(16,17)，(16,18)，(17,18)，共6种，由古典概型概率计算公式得P (A )＝610＝35.(7分)②由题知随机变量ξ的可能取值为29,30,31,32,33,34,35.P (ξ＝29)＝110＝0.1，P (ξ＝30)＝110＝0.1，P (ξ＝31)＝210＝0.2，P (ξ＝32)＝210＝0.2，P (ξ＝33)＝210＝0.2，P (ξ＝34)＝110＝0.1，P (ξ＝35)＝110＝0.1，因而ξ的分布列为(10分)所以E (ξ)＝29×0.1＋30×0.1＋31×0.2＋32×0.2＋33×0.2＋34×0.1＋35×0.1＝32.(12分)19．[2017·吉林模拟](本小题满分12分) 如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝1，E ，F 分别是CC 1，BC 的中点，AE ⊥A 1B 1，D 为棱A 1B 1上的点．(1)证明DF ⊥AE ；(2)是否存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414？若存在，说明点D 的位置；若不存在，说明理由．解 (1)证明：因为AE ⊥A 1B 1，A 1B 1∥AB ，所以AE ⊥AB . 因为AA 1⊥AB ，AA 1∩AE ＝A ，所以AB ⊥平面A 1ACC 1.因为AC ⊂平面A 1ACC 1，所以AB ⊥AC .以A 为坐标原点，AB ，AC ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则有A (0,0,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0，A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)．(4分) 设D (x 1，y 1，z 1)，A 1D →＝λA 1B 1→且λ∈[0,1]，即(x 1，y 1，z 1－1)＝λ(1,0,0)，则D (λ，0,1)，所以DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1. 因为AE →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，1，12，所以DF →·AE →＝12－12＝0，所以DF ⊥AE .(6分)(2)假设存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414.由题意可知平面ABC 的一个法向量为AA 1→＝(0,0,1)．(8分)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·FE →＝0，n ·DF →＝0，因为FE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12，12，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λ，12，－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋12y ＋12z ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－λx ＋12y －z ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－λz ，y ＝1＋2λ－λz .令z ＝2(1－λ)，则n ＝(3,1＋2λ，2(1－λ))是平面DEF 的一个法向量．(10分)因为平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，所以|cos 〈AA 1→，n 〉|＝|AA 1→·n ||AA 1→||n |＝1414，即－λ9＋＋2λ2＋－λ2＝1414，解得λ＝12或λ＝74(舍去)，所以当D 为A 1B 1的中点时满足要求．故存在一点D ，使得平面DEF 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为1414，此时D 为A 1B 1的中点．(12分)20．[2016·兰州质检](本小题满分12分)已知椭圆C 的焦点坐标是F 1(－1,0)、F 2(1,0)，过点F 2垂直于长轴的直线l 交椭圆C 于B 、D 两点，且|BD |＝3.(1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在过点P (2,1)的直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，且满足PM →·PN →＝54？若存在，求出直线l 1的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)设椭圆的方程是x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则c ＝1，∵|BD |＝3，∴2b 2a＝3，又a 2－b 2＝1，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2)假设存在直线l 1且由题意得斜率存在，设满足条件的方程为y ＝k (x －2)＋1，由⎩⎨⎧y ＝k x －＋1，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0，因为直线l 1与椭圆C 相交于不同的两点M 、N ，设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)>0，所以k >－12.又x 1＋x 2＝8kk －3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2，(8分)因为PM →·PN →＝(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝54，所以(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝54，即[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝54，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤16k 2－16k －83＋4k 2－2·8k k －3＋4k 2＋4(1＋k 2)＝4＋4k 23＋4k 2＝54.解得k ＝±12，因为k >－12，所以k ＝12.故存在直线l 1满足条件，其方程为y ＝12x .(12分)21．[2017·广东广州调研](本小题满分12分)已知函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)－x ＋(a －1)x 2＋16x 3(a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时，g (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)函数f (x )＝ln (x ＋1)－x ＋12x 2，定义域为(－1，＋∞)，(2分)则f ′(x )＝x 2x ＋1>0，所以f (x )的单调递增区间为(－1，＋∞)，无单调递减区间．(4分)(2)由(1)知，当x ≥0时，有f (x )≥f (0)＝0，即ln (x ＋1)≥x －12x 2.g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 2＋2(a －1)x ＋12x 2＝(2a －1)x .(6分)①当2a －1≥0，即a ≥12时，且x ≥0时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0，＋∞)上是增函数，且g (0)＝0，所以当x ≥0时，g (x )≥0，所以a ≥12符合题意．(8分)②当a <12时，令g ′(x )＝ln (x ＋1)＋2(a －1)x ＋12x 2＝φ(x )，φ′(x )＝1x ＋1＋2(a －1)＋x ＝x 2＋a －x ＋2a －1x ＋1，(9分)令x 2＋(2a －1)x ＋2a －1＝0，则其判别式 Δ＝(2a －1)(2a －5)>0，两根x 1＝1－2a －a －a －2<0，x 2＝1－2a ＋a －a －2>0，当x ∈(0，x 2)时，φ′(x )<0，所以φ(x )在(0，x 2)上单调递减，且φ(0)＝0，即x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<g ′(0)＝0，g (x )在(0，x 2)上单调递减，所以存在x 0∈(0，x 2)，使得g (x 0)<g (0)＝0，即当x ≥0时，g (x )≥0不恒成立，所以a <12不符合题意．综上所述，a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.(12分) 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[2017·河北唐山模拟](本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，M (－2,0)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A (ρ，θ)为曲线C 上一点，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ，θ＋π3，|BM |＝1.(1)求曲线C 的直角坐标方程； (2)求|OA |2＋|MA |2的取值范围．解 (1)设A (x ，y )，则x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以x B ＝ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝12x －32y ，y B ＝ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝32x ＋12y ，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ，32x ＋12y .由|BM |2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －32y ＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＋12y 2＝1，整理得曲线C 的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.(5分) (2)圆C ：⎩⎨⎧x ＝－1＋cos α，y ＝3＋sin α(α为参数)，则|OA |2＋|MA |2＝43sin α＋10，所以|OA |2＋|MA |2∈[10－43，10＋43]．(10分)23．[2016·大连高三模拟](本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 若∃x 0∈R ，使关于x 的不等式|x －1|－|x －2|≥t 成立，设满足条件的实数t 构成的集合为T .(1)求集合T ；(2)若m >1，n >1且对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，求m ＋n 的最小值．解 (1)||x －1|－|x －2||≤|x －1－(x －2)|＝1，所以|x －1|－|x －2|≤1，所以t 的取值范围为(－∞，1]， 即T ＝{t |t ≤1}(5分)(2)由(1)知，对于∀t ∈T ，不等式log 3m ·log 3n ≥t 恒成立，只需log3m·log3n≥tmax，所以log3m·log3n≥1，又因为m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，又1≤log3m·log3n≤⎝⎛⎭⎪⎫log3m＋log3n22＝3mn24(log3m＝log3n时取等号，此时m＝n)，(8分)所以(log3mn)2≥4，所以log3mn≥2，mn≥9，所以m＋n≥2mn≥6，即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．(10分)。
2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷：理科数学(1)含答案解析
绝密 ★ 启用前 2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷 理 科 数 学（一） 注意事项： 1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}2log 2M x x =<，{}1,0,1,2N =-，则M N =（ ） A ．{}1,0,1,2- B ．{}1,1,2- C ．{}0,1,2 D ．{}1,2 2．设1i 2i 1i z +=+-，则z =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若44a =，972S =，则10a =（ ） A ．20 B ．23 C ．24 D ．28 4．我国古代数学名著《数学九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米夹谷，抽样取米一把，数得254粒夹谷28粒，则这批米中，谷约为（ ） A ．134石 B ．169石 C ．338石 D ．454石 5．“1m >”是“方程22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）A ．19π6B ．17π6C ．23π6D ．10π3 7．函数()()2sin ππ1x f x x x =-≤≤+的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的 是（ ） A ．y x z << B ．x y z << C ．z x y << D ．z y x << 9．执行如图所示程序框图，若输出的S 值为20-，在条件框内应填写（ ）A ．3?i >B ．4?i <C ．4?i >D ．5?i < 10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F，直线)2y x =-与C 交于A ，B （A 在x 轴上方）两点，若AF mFB =，则实数m 的值为（ ） 此卷只装订不密封 班级姓名准考证号考场号座位号AB ．3C ．2D ．3211．某几何体的三视图如图所示，该几何体表面上的点P 与点Q 在正视图与侧视图上的对应点分别为A ，B ，则在该几何体表面上，从点P 到点Q 的路径中，最短路径的长度为（ ）ABC．D12．设函数()()sin f x x ωϕ=+，()()(){}0000,A x f x f x '==，()22,162x y B x y ⎧⎫⎪⎪=+≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若存在实数ϕ，使得集合A B 中恰好有5个元素，则()0ωω>的取值范围是（ ）A．⎫⎪⎪⎣⎭ B．⎫⎪⎪⎣⎭C．⎫⎪⎪⎣⎭D．⎫⎪⎪⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()3,0=a，(2+=a b ，则a 与b 的夹角等于_________．14．若二项式621x ⎫+⎪⎪⎝⎭的展开式中的常数项为m ，则213d mx x =⎰______．15．数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n n a n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，若n S为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =______．16．长沙市为了支援边远山区的教育事业，组织了一支由13名教师组成的队伍下乡支教，记者采访队长时询问这个团队的构成情况，队长回答：“（1）有中学高级教师；（2）中学教师不多于小学教师；（3）小学高级教师少于中学中级教师；（4）小学中级教师少于小学高级教师；（5）支教队伍的职称只有小学中级、小学高级、中学中级、中学高级；（6）无论是否把我计算在内，以上条件都成立．”由队长的叙述可以推测出他的学段及职称分别是____． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()2cos π3B -=，1c =，sin sin a B A =． （1）求边a 的值； （2）求cos 23πB ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值． 18．（12分）如图，四棱锥中P ABCD -，四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，PA PD AD ==，平面PAD ⊥平面ABCD ． （1）求证：AD PB ⊥； （2）求二面角A PC D --的余弦值．19．（12分）“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3553等．显然2位“回文数”共9个：11，22，33，，99．现从9个不同2位“回文数”中任取1个乘以4，其结果记为X ；从9个不同2位“回文数”中任取2个相加，其结果记为Y ． （1）求X 为“回文数”的概率； （2）设随机变量ξ表示X ，Y 两数中“回文数”的个数，求ξ的概率分布和数学期望()E ξ．20．（12分）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点12P ⎛⎫⎪⎝⎭，且右焦点)2F ．（1）求椭圆E 的方程；（2）若直线:l y kx =+E 交于A ，B 两点，当AB 最大时，求直线l 的方程．21．（12分）已知()()2e x f x ax a =-∈R ．（1）求函数()f x '的极值；（2）设()()e x g x x f x =-，若()g x 有两个零点，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】 在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y ϕϕ=+=⎧⎨⎩，（ϕ为参数）．以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）求曲线1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程； （2）已知曲线3C 的极坐标方程为()0π,θααρ=<<∈R ，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是 曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于极点O，且AB =a 的值． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()241f x x x =-++． （1）解不等式()9f x ≤； （2）若对于任意()0,3x ∈，不等式()2f x x a <+恒成立，求实数a 的取值范围．绝密 ★ 启用前2019年普通高等学校招生统一考试仿真模拟卷理科数学答案（一）一、选择题．1．【答案】D【解析】由题知{}04M x x =<<，故{}1,2M N =．故选D ．2．【答案】B【解析】()()()()1i 1i 1i 2ii 1i 1i 1i 2+++===--+，则3i z =，故3z =，故选B ．3．【答案】D【解析】由于数列是等差数列，故41913493672a a d S a d =+==+=⎧⎨⎩，解得18a =-，4d =，故101983628a a d =+=-+=．故选D ．4．【答案】B【解析】由题意可知：这批米内夹谷约为281534169254⨯≈石，故选B ．5．【答案】B【解析】22115y x m m +=--表示焦点在y 轴上的双曲线1050m m ->⎧⇔⎨-<⎩，解得15m <<，故选B ．6．【答案】A【解析】由三视图可以看出，该几何体上半部是半个圆锥，下半部是一个圆柱， 从而体积2211119ππ1π13236V =⨯⨯⨯+⨯⨯=⨯，故选A ．7．【答案】A【解析】因为()()()()()22sin sin ππ11x xf x f x x x x --==-=--≤≤+-+，可得()f x 是奇函数．排除C ； 当π3x =时，0π3f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，点在x 轴的上方，排除D ； 当3πx =-时，π103f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭，排除B ；故选A ．8．【答案】B【解析】取特殊值，令14a =，12b =， 则121142b x a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，141122a y b ⎛⎫==> ⎪⎝⎭，121log log 24b z a ===， 则1411222⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即x y z <<，可排除A 、C 、D 选项，故答案为B ． 9．【答案】D 【解析】模拟执行程序，可得：1i =，10S =， 满足判断框内的条件，第1次执行循环体，11028S =-=，2i =， 满足判断框内的条件，第2次执行循环体，2824S =-=，3i =， 满足判断框内的条件，第3次执行循环体，3424S =-=-，4i =， 满足判断框内的条件，第4次执行循环体，44220S =--=-，5i =， 此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S 值为20-， 则条件框内应填写5?i <，故选D ． 10．【答案】B 【解析】设A 、B 在l 上的射影分别是1A 、1B ，过B 作1BM AA ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt ABM △中，得60BAE ∠=︒， 1111cos6012AA BB AM AF BF m AB AF BF AF BF m ---︒=====+++，解得3m =，故选B ．11．【答案】C 【解析】由题，几何体如图所示（1）前面和右面组成一面此时PQ =（2）前面和上面在一个平面此时PQ，C ．12．【答案】A【解析】()()sin f x x ωϕ=+的最大值或最小值，一定在直线1y =±上，又在集合B 中． 当1y =±时，22162x y +≤，得x ≤23T T ⎧≤⎪∴⎨>⎪⎩2π22π3ωω⎧⋅≤⎪⎪∴⎨⎪⋅>⎪⎩，ω≤<，故选A ．二、填空题．13．【答案】120︒【解析】已知向量()3,0=a，(2+=a b ，令(1,=c ，则()()(1110122=-=-=-b c a ，设向量a 、b 的夹角是θ，于是31031cos 62θ⨯-+⋅-====-a b a b ，故120θ=︒．14．【答案】124【解析】由题意，二项展开式的通项为6621231661C C r r r r r r r T x x ---+⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由1230r -=，得4r =，所以246C 5m =⋅=⎝⎭，则52235331113d 3d |51124m x x x x x ===-=⎰⎰． 15．【答案】30282019 【解析】数列{}n a 且21,2πsin ,4n n n n a n n ⎧⎪⎪+=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数， ①当n 为奇数时，21111222n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭； ②当n 为偶数时，πsin 4n n a =， 所以()()201813520172462018S a a a a a a a a =+++++++++， ()1111111009302811010123352017201920192019⎛⎫=-+-++-++-++=+= ⎪⎝⎭． 故答案为30282019． 16．【答案】小学中级 【解析】设小学中级、小学高级、中学中级、中学高级人数分别为a ，b ，c ，d ， 则13a b c d +++=，1d ≥，c d a b +≤+，b c <，a b <， 所以()13a b a b -+≤+，7a b ∴+≥，6c d +≤， 若7a b +=，则6c d +=，a b <，3a ∴=，4b =，5c =，1d =， 若8a b +≥，则5c d +≤，1d ≥，4c ∴≤，b c <，3b ∴≤，5a b ≥>，矛盾， 队长为小学中级时，去掉队长则2a =，4b =，5c =，1d =， 满足11d =≥，64c d a b +=≤+=，45b c =<=，24a b =<=； 队长为小学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，1d =，不满足a b <； 队长为中学中级时，去掉队长则3a =，4b =，4c =，1d =，不满足b c <； 队长为中学高级时，去掉队长则3a =，3b =，5c =，0d =，不满足1d ≥； 综上可得队长为小学中级． 三、解答题． 17．【答案】（1）53；（2．【解析】（1）由()2cos π3B -=，得2cos 3B =-，因为1c =，由sin sin a B A，得ab =，∴b =，由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得234150a a +-=， 解得53a =或3a =-（舍），∴53a =．（2）由2cos 3B =-，得sin B，∴sin2B =，1cos29B =-，∴cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππB B B ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭．18．【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）证明：取AD 中点O 连结PO ，BO ，PA PD =，PO AD ∴⊥．又四边形ABCD 为菱形，60BAD ∠=︒，故ABD △是正三角形， 又点O 是AD 的中点，BO AD ∴⊥．又PO BO O =，PO 、BO ⊂平面BOP ，AD ∴⊥平面BOP ， 又PB ⊂平面BOP ，AD PB ∴⊥．（2）PA PD =，点O 是AD 的中点，PO AD ∴⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ， PO ∴⊥平面ABCD ，又AO ，BO ⊂平面ABCD ，PO AO ∴⊥，PO BO ⊥．又AO BO ⊥， 所以OA ，OB ，OP 两两垂直．以O 为原点，分别以OA ，OB ，OP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz -．设2AB =，则各点的坐标分别为()1,0,0A，()B，()C -，()1,0,0D -，()0,0,1P ．故()AC =-，()1,0,1AP =-，()1PC =--，()1,0,1PD =--， 设()1111,,x y z =n ，()2222,,x y z =n 分别为平面PAC ，平面PCD 的一个法向量， 由1100AC AP ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n，可得1111300x x z -⎧=-+=⎪⎨⎪⎩，令11z =，则11x =，1y =()1=n ． 由2200PC PD ⋅=⋅⎧⎪⎨⎪⎩=n n，可得22222200x z x z --=--=⎧⎪⎨⎪⎩，令21z =，则21x =-，2y =故21,⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n ．()121,cos ,⎛⎫⋅- ⎪ ⎪===n n ． 又由图易知二面角A PC D --是锐二面角， 所以二面角A PC D --． 19．【答案】（1）29；（2）随机变量ξ的概率分布为随机变量ξ的数学期望为()79E ξ=． 【解析】（1）记“X 是‘回文数’”为事件A ． 9个不同2位“回文数”乘以4的值依次为44，88，132，176，220，264，308， 352，396．其中“回文数”有44，88．所以，事件A 的概率()29P A =． （2）根据条件知，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2． 由（1）得()29P A =． 设“Y 是‘回文数’”为事件B ，则事件A ，B 相互独立． 根据已知条件得，()29C 2059P B ==． ()()()25280119981P P A P B ξ⎛⎫⎛⎫===--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；()()()()()252543111999981P P A P B P A P B ξ⎛⎫⎛⎫==+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()()()251029981P P A P B ξ===⋅=．所以，随机变量ξ的概率分布为所以，随机变量ξ的数学期望为()28431070128181819E ξ=⨯+⨯+⨯=．20．【答案】（1）2214x y +=；（2）y =【解析】（1）设椭圆E 的左焦点()1F ，则12242a PF PF a =+=⇒=， 又2221c b a c ==-=，所以椭圆E 的方程为2214x y +=．（2）由()2222144044y kx k x x y ⎧⎪⎨⎪=⇒+++=+=⎩，设()11,A x y ，()22,B x y， 由()2221128161404Δk kk =-+>⇒>，且12x x +=，122414x x k =+，AB=设2114t k =+，则10,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，AB=，当112t =，即k =AB ，此时:l y =+21．【答案】（1）0a ≤时，()f x '没有极值，0a >时，()f x '有极小值22ln2a a a -；（2）()0,+∞．【解析】（1）()e 2x f x ax ='-，()e 2x f x a '-'=．①若0a ≤，显然()0f x ''>，所以()f x '在R 上递增，所以()f x '没有极值． ②若0a >，则()0ln2f x x a <⇔<''，()0ln2f x x a >⇔>''， 所以()f x '在(),ln2a -∞上是减函数，在()ln2,a +∞上是增函数． 所以()f x '在ln2x a =处取极小值，极小值为()()ln221ln2f a a a =-'．（2）()()()2e 1e x x g x x f x x ax =-=-+．函数()g x 的定义域为R ， 且()()2e e 2x x g x x ax x a ='=++． ①若0a >，则()00g x x <'⇔<；()00g x x >'⇔>．所以()g x 在(),0-∞上是减函数， 在()0,+∞上是增函数．所以()()min 01g x g ==-． 令()()1e x h xx =-，则()e x h x x '=．显然()00h x x <'⇔<， 所以()()1e x h x x =-在(),0-∞上是减函数． 又函数2y ax =在(),0-∞上是减函数，取实数0<， 则()20110g h a ⎛⎛>+⋅=-+= ⎝⎝． 又()010g =-<，()10g a =>，()g x 在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是增函数． 由零点存在性定理，()g x 在⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1上各有一个唯一的零点．所以0a >符合题意． ②若0a =，则()()1e x g x x =-，显然()g x 仅有一个零点1．所以0a =不符合题意． ③若0a <，则()()ln 2e e a x g x x -'⎡⎤=-⎣⎦． （i ）若()ln 20a -=，则12a =-．此时()0g x '≥，即()g x 在R 上递增，至多只有一个零点，所以12a =-不符合题意． （ii ）若()ln 20a -<，则102a -<<，函数()g x 在()(),ln 2a -∞-上是增函数， 在()()ln 2,0a -上是减函数，在()0,+∞上是增函数， 所以()g x 在()ln 2x a =-处取得极大值，且极大值()()(){}2ln 2ln 2110g a a a -=--+<⎡⎤⎣⎦， 所以()g x 最多有一个零点，所以102a -<<不符合题意． （iii ）若()ln 20a ->，则12a <-，函数()g x 在(),0-∞和()()ln 2,a -+∞上递增， 在()()0,ln 2a -上递减，所以()g x 在0x =处取得极大值，且极大值为()010g =-<， 所以()g x 最多有一个零点，所以12a <-不符合题意．综上所述，a 的取值范围是()0,+∞． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．【答案】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=；（2）7π12α=或11π12． 【解析】（1）()221:24C x y -+=，()222:24C x y +-=． （2）1:4cos C ρθ=，联立极坐标方程θα=，得4cos A ρα=，4sin B ρα=，π4A B ρρα⎛⎫∴-=-= ⎪⎝⎭sin 4πα⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 0πα<<，∴7π12α=或11π12． 23．【答案】（1）[]2,4-；（2）5a ≥．【解析】（1）()9f x ≤，可化为2419x x -++≤，即2339x x >-≤⎧⎨⎩或1259x x -≤≤-≤⎧⎨⎩或1339x x <--+≤⎧⎨⎩， 解得24x <≤或12x -≤≤或21x -≤<-；不等式的解集为[]2,4-．（2）2412x x x a -++<+在()0,3x ∈恒成立，52412124133a x x x a x a x x a x a -⇒-++<+⇒--+<-<+-⇒<<+， 由题意得，()50,3,33a a -⎛⎫⊆+ ⎪⎝⎭，所以5005335a a a a a -≤≥⎧⇒⇒≥⎨+≥≥⎩⎧⎨⎩．。
【高考冲刺】2019届高考数学(理)倒计时模拟卷(8)(Word版,含答案)
2019高考数学（理）倒计时模拟卷（8）1、已知全集U R =,集合{}02A x x =≤<,则A = ( )A. ∅B. {|0}x x <C. {}2x x ≥D. {|0x x <或2}x ≥2、向量()θθsin ,cos =，向量满足1-=⋅，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅b a a 2（ ） A.0B.1C.3D.43、若2121(1i)i z z +==-，，则12z z 等于( ) A ．1i + B ． 1i -+ C ．1i - D ．1i --4、某单位为了制定节能减排的目标,调查了日用电量y (单位:千瓦时)与当天平均气温 x (单位: C ),从中随机选取了4天的日用电量与当天平均气温,并制作了对照表:由表中数据的线性回归方程为2ˆ60yx =-+,则a 的值为( ) A.42 B.40 C.38 D.36 5、函数|ln |e|1|x y x =--的图象大致是( )A.B.C.D.6、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（）D.27、若5πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin 2αα-的值为( )A. 59-B.59 C. 109-D. 1098、在正项数列{}n a 中, 12a =,且点*1(ln ,ln )(N )n n P a a n +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >,则n 的最小值为( ) A.2 B.5 C.6 D.79、已知,αβ是相异两平面, ,m n 是相异两直线,则下列命题中错误的是( ) A.若//,m n m α⊥,则n α⊥ B.若,m m αβ⊥⊥,则//αβ C.若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ D.若//,m n ααβ⋂=,则//m n10、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F , 以F 为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q ，若3OQ OP =u u u r u u u r（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为( )AB11、将函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象向左平移6π个单位长度,所得图象过点(,1)2π,则ω的最小值是( ) A. 23B. 34C. 2D.11412、已知函数21()3ln (3)21(0,()02f x ax a x a a f x =-+-+->>的解集为(),m n ,若f ()x 在()0,?+∞上的值域与函数(())f f x 在(),m n 上的值域相同,则a 的取值范围为()A. [)1,+∞B. 8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,+∞13、()()521x a x +-的展开式中含2x 的系数为50,则a 的值为__________14、已知抛物线()2 0ny x n =>的准线与圆228450x y x y +---=相切,则n 的值为__________.15、若实数x,y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则ln ln z y x =-的最小值是___．16、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是__________.17、在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos 2a B b c +=． (1)求A 的大小；(2)若a =2b =，求ABC △的面积．18、如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 2AB AC ==,90BAC ∠=,1BC AC ⊥.1.证明:点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上;2.若二面角1C AC B --的大小为60,1CC =求1BC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.19、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败. 1.求图中a 的值;2. 根据已知条件完成下表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?3.将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X 的分布列与数学期望E(X).(参考公式: 10.250.75-=,其中n a b c d =+++)20、 已知椭圆 C 的离心率e =长轴的左、右端点分别为12(2,0),(2,0)A A -. 1.求椭圆 C 的方程;2.设直线1x my =+与椭圆 C 交于R , Q 两点,直线1A R 与2A Q 交于点S .试问:当 m 变化时,点S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由.21、已知函数()()ln ,axf x xe x e a R =+-∈(1) 当1a =时,求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 (2) 设()1ln -g x x e x=+,若函数()()()h x f x g x =-在定义域内存在两个零点.求实数a 的取值范围22、[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos {1sin x y ϕϕ==+ (ϕ为参数).以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. 1.分别求直线l 与圆 C 的极坐标方程; 2.射线:(0)2OM πθαα=<<与圆C 的交点为 O ,P 两点,与直线l 交于点M .射线:2ON πθα=+与圆 C 交于 O , Q 两点,与直线l 交于点N ,求OP OQOM ON⋅的最大值. 23、[选修4-5:不等式选讲]已知0x R ∃∈,使不等式12x x t ---≥成立. 1.求满足条件的实数t 的集合T ;2.若1,1m n >>,对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求m n 、的最小值.答案1.D由全集U R =及A ,求出A 的补集即可. 2.D解析：1a =，()2222224a ab a a b ⋅-=-⋅=+=3.B解析：∵212(1i)2i,1i z z =+==-,∴122i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z z +-+====-+--+,故选B. 本题考查复数的运算,这种运算题目可以出现在高考卷的选择或填空中,一般是一个送分题目,注意运算不要出错.首先整理复数1z ,整理成2i 的形式,再求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,约分整理复数到最简形式. 4.C由公式计算得到样本中心的坐标,代入方程可得到参数值. 5.D 6.A 7.D 8.D解析：由题意得1ln ln ln 20n n a a +-+=,即12n na a +=, 则*2(N )n n a n =∈.由2(12)2(21)20012n n n S -==->-,得2101n >, 则2101n >,则n 的最小值为7. 9.D 10.D 11.B首先利用三角函数关系式的平移变换,进一步利用正弦型函数的性质的应用,即可求出结果. 12.D解析：利用导数知识明确f ()x 在()0,?+∞上的值域5,42a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,令()f x t =,则(())()y f f x f t ==,5042t a <≤-,要使()y f t =的值域为5,42a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,则5412a -≥即可.13.-1 14.14解析：由题意可得准线方程为14x n=-,将圆的一般方程配方可得22(4)(2)25,x y -+-=圆心为(4,2)C , 半径5,r =由题可得114n =,解得14n =. 15.ln3- 16.24r <<解析：如图所示,设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y,则2112224{4y x y x ==两式相减,得()()()1212124y y y y x x +-=-.当l 的斜率不存在,即12x x =时,符合条件的直线l 必有两条.当l 的斜率k 存在,即12x x ≠时,有()()0121224y y y x x -=-,即02k y =由CM AB ⊥,得00052CM y yk x ==-,即03x =.因为点M 在抛物线内部,所以200412y x <=,又12x x ≠,所以120y y +≠,即20012y <<.因为点M 在圆上,所以()222005x y r -+=,即2204r y =+.所以2416r <<,即24r <<17.(1)2cos 2a B b c +=，由正弦定理得：2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+，sin 2cos sin B A B ∴=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=，又0A <<π，3A π∴=； (2)由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，27,2,230,3,a b c c c ==∴--=∴=，11sin 2322ABC S bc A ∴==⨯⨯=△ 解析：(1)由2cos 2a B b c +=与正弦定理可得1cos 2A =，又0A <<π，得3A π=；(2)由2a b ==与余弦定理可得2230c c --=，得3c =，由1sin 2ABC S bc A =△可得结果．18.1.因为11,,BC AC AC AB AB BC B ⊥⊥⋂=, 所以AC ⊥平面1ABC . 所以平面ABC ⊥平面1ABC .过点1C 作1C H AB '⊥,则由面面垂直的性质定理可知1C H '⊥平面ABC . 又1C H '⊥平面ABC ,所以H '与H 重合,所以点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上.2. 1BAC ∠是二面角1C AC B --的平面角,即160BAC ∠=. 连接1A H ,∵11111111111,,A B AC A B C H C H AC C ⊥⊥=.∴11A B ⊥平面11AC H , ∴平面11A B BA ⊥平面11AC H .过1C 作11C G A H ⊥,则1C G ⊥平面11A B BA . ∴1C BG ∠是直线1BC 与平面11AA B B 所成角.∵111112,AC C H A H C G==∴=∴.又12BC=,111sin7C GGBCC B∴∠==.19.1.由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(20.0200.0300.040)101a+++⨯=,解得0.005a=;2.由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.200.050.25+=,所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=22100(1641349)2.613 2.07225755050K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯人, 填表如下:3. 由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈,这人晋级失败的概率为0.75,所以X可视为服从二项分布,即3(4,)4X B~,4431()()()(0,1,2,3)44k k kP X k C k-===,故004431(0)()()44P X C ==,1134313(1)()()4464P X C ===, 22243154(2)()()44256P X C ===, 331431108(3)()()44256P X C ===, 44043181(4)()()44256P X C ===, 所以X 的分布列为数学期望为()434E X =⨯= 或()13541088101234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.1.设椭圆 C的方程为()222210x y a ba b +=>>,由题意得2ca a ==,解得c =所以1b ==,即椭圆 C的方程为2214x y += 2.由题意知,直线l 为: 1x my =+取0m =得1,,1,22R Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.直线1A R 的方程为63y x =+ 直线2A Q 的方程是2y x =交点为(1S ,若1,,1,22R Q ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭,由对称性可知交点为(24,S若点S 在同一条直线上,则直线只能为:4l x =以下证明对于任意的 m ,直线1A R 与直线2A R 的交点S 均在直线:4l x =上.由221{41x y x my +==+得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=记()()1122,,,R x y Q x y ,则12122223,44m y y y y m m --+==++设2A Q 与l 交于点'0S ()'04,y ,由'022422y y x =--,得'0y 2222y x =- ∵'00y y -()()()()()()()12211212121212126123462222222y my y my my y y y y y x x x x x x --+-+=-==+-+-+- ()()2211121244022m m m m x x ---++==+-,∴'00y y -,即0S 与'0S 重合,所以当 m 变化时,点S 恒在定直线:4l x =上21.1. (x)y f =的定义域为()0,?+∞,∵1a =,()ln ,(1)0x f x xe x e f ∴=+-=,1()(1)x f x x e x∴=++‘'(1)21f e ∴=+所以函数(x)y f =在点(1,(1))f 处的切线方程为(21)(1)y e x =+-2. 2111()()()ln ln ax axaxx e h x f x g x xe x e x e xe x x x -⎛⎫=-=+--+-=-= ⎪⎝⎭在定义域内存在两个零点,即210ax x e -=在()0,?+∞有两个零点,令22()1,'()2(2)ax ax ax ax x x e x ax e xe xe ax ϕϕ=-=+=+当0?a ≥时,'()(2)0ax x xe ax ϕ=+>()y x ϕ∴=在()0,?+∞上单调递增由零点存在定理, ()y x ϕ=在()0,?+∞至多一个零点,与题设发生矛盾,当0a <时, (2)0ax xe ax +=则2x a=-,2()1ax x x e ϕ=-因为(0)1ϕ=-,当x →+∞,()1x ϕ→-,所以要使在()0,?+∞内有两个零点,则20a ϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可,得224a e <,又因为0a <,所以20a e -<<综上:实数a 的取值范围为2,0e ⎛⎫-⎪⎝⎭22.1.直线l 的方程是6y =;圆C 的极坐标方程: 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ=2. OP OQ OM ON⋅的最大值为136 解析：1.直线l 的方程是6y =,可得极坐标方程: sin 6ρθ= 圆C 的参数方程是cos {1sin x y ϕϕ==+ (ϕ为参数),可得普通方程: 22(1)1x y +-=展开为2220x y y +-=.化为极坐标方程: 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ= 2.由题意可得:点,P M 的极坐标为: 6(2sin ,),(,)sin a aαα ∴62sin ,sin OP OM a α==可得2sin 3OP a OM =. 同理可得: 22sin ()cos 233a OQ a ON π+==∴2sin 213636OP OQ a OM ON ⋅=≤. 当4a π=时,取等号.∴OP OQ OM ON⋅的最大值为13623.1.令()1,112{23,121,2x f x x x x x x -≤=---=-<<≥,则1()1f x -≤≤,由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立,有{|1}t T t t ∈=≤. 2.由1知, 33log log 1m n ⋅≥,根据基本不等式33log log 2m n +≥≥,从而23mn ≥当且仅当3m n ==时取等号,所以m n 、的最小值为9.。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题(全国Ⅱ卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟理科数学试题（全国Ⅱ卷）一、选择题1．已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） （A ）(31)-，（B ）(13)-，（C ）(1,)∞+（D ）(3)∞--， 【答案】A【解析】试题分析：要使复数z 对应的点在第四象限应满足：m 30m 10+>⎧⎨-<⎩，解得3m 1-<<，故选A.【考点】 复数的几何意义.2．已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，， 【答案】C【解析】试题分析：集合B {x |1x 2,x Z}{0,1}=-<<∈=，而A {1,2,3}=，所以A B {0,1,2,3}=，故选C.【考点】 集合的运算.3．已知向量(1,)(3,2)a m a =-，=，且()a b b ⊥+，则m=（ ） （A ）－8 （B ）－6 （C ）6 （D ）8 【答案】D【解析】试题分析：向量a b (4,m 2)+=-，由(a b)b +⊥得43(m 2)(2)0⨯+-⨯-=，解得m 8=，故选D.【考点】 平面向量的坐标运算、数量积.4．圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则a=（ ） （A ）43-（B ）34- （C（D ）2 【答案】A【解析】试题分析：圆的方程可化为22(x 1)(y 4)4-+-=，所以圆心坐标为(1,4)，由点到直线的距离公式得：1d ==，解得43a =-，故选A ．【考点】 圆的方程、点到直线的距离公式.5．如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）（A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 【答案】B【解析】试题分析：由题意，小明从街道的E 处出发到F 处最短有24C 条路，再从F 处到G 处最短共有13C 条路，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为214318C C ⋅=条，故选B.【考点】 计数原理、组合.6．下图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π 【答案】C【解析】试题分析：由题意可知，圆柱的侧面积为122416S ππ=⋅⋅=，圆锥的侧面积为2122482S ππ=⋅⋅⋅=，圆柱的底面面积为2324S ππ=⋅=，故该几何体的表面积为12328S S S S π=++=，故选C.【考点】 三视图，空间几何体的体积.7．若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（ ） （A ）()26k x k Z ππ=-∈ （B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈ （D ）()212k x k Z ππ=+∈ 【答案】B【解析】试题分析：由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B. 【考点】 三角函数的图象变换与对称性.8．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，下图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2,2x n ==，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s =（ ）（A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 【答案】C【解析】试题分析：由题意，当2,2,0,0x n k s ====，输入2a =，则0222,1s k =⋅+==，循环；输入2a =，则2226,2s k =⋅+==，循环；输入5a =，62517,32s k =⋅+==>，结束.故输出的17s =，选C.【考点】 程序框图，直到型循环结构.9．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） （A ）725（B ）15 （C ）15- （D ）725-【答案】D【解析】试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-=⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D.【考点】三角恒等变换.10．从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（A ）4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n【答案】C【解析】试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为224S R mS R nπ==圆正方形，所以4m n π=.选C.【考点】 几何概型.11．已知12,F F 是双曲线2222:1x y E a b-=的左，右焦点，点M 在E 上，1MF 与x 轴垂直，211sin 3MF F ∠=,则E 的离心率为（ ） （A（B ）32（C（D ）2【答案】A【解析】试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以2212,2b b MF MF a a a==+，因为211sin 3MF F ∠=，即2122132b MF ab MF a a==+，化简得b a =，故双曲线离心率e ==选A. 【考点】双曲线的性质.离心率.12．已知函数()()f x x ∈R 满足()2()f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为1122(,),(,),,(,),m m x y x y x y ⋅⋅⋅则1()mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m 【答案】C【解析】试题分析：由于()()2f x f x -+=，不妨设()1f x x =+，与函数111x y x x+==+的交点为()()1,2,1,0-，故12122x x y y +++=，故选C.【考点】 函数图象的性质二、填空题13．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若4cos 5A =，5cos 13C =，1a =，则b = ． 【答案】2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形内角，所以312sin ,sin 513A C ==，13sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A B A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a bA B=，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 三角函数和差公式，正弦定理.14．,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列四个命题： （1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥. （2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥. （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.（4）如果//,//m n αβ，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等. 其中正确的命题有 ．.（填写所有正确命题的编号） 【答案】②③④【解析】试题分析：对于①，,,//m n m n αβ⊥⊥，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以过直线n 作平面γ与平面β相交于直线c ，则//n c ，因为,,m m c m n α⊥∴⊥∴⊥，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有②③④.【考点】 空间中的线面关系.15．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 【答案】1和3【解析】试题分析：由题意分析可知甲的卡片上数字为1和3，乙的卡片上数字为2和3，丙卡片上数字为1和2.【考点】 推理.16．若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln(1)y x =+的切线，则b = ． 【答案】1ln 2-【解析】试题分析：对函数ln 2y x =+求导得1y x'=，对l n (1)y x =+求导得11y x '=+，设直线y kx b =+与函数l n 2y x =+相切于点111(,)P x y ，与函数l n (1y x =+相切于点222(,)P x y ，则1122l n 2,l n (1)y x y x =+=+，则点111(,)P x y 在切线上得()1111ln 2()y x x x x -+=-，由222(,)P x y 在切线上得2221ln(1)()1y x x x x -+=-+，这两条直线表示同一条直线，所以122212111ln(1)ln 1x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=-⎪+⎩，解之得11111,2,ln 211ln 22x k b x x =∴===+-=-. 【考点】 导数的几何意义.三、解答题17．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=128.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]0.9=0lg99=1，． （Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.【解析】试题分析：（Ⅰ）先求公差、通项n a ，再根据已知条件求111101b b b ，，；（Ⅱ）用分段函数表示n b ，再由等差数列的前n 项和公式求数列{}n b 的前1 000项和．试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d = 所以{}n a 的通项公式为.n a n =111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======（Ⅱ）因为0,110,1,10100,2,1001000,3,1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯=【考点】等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算. 18．某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）根据互斥事件的概率公式求解；（Ⅱ）由条件概率公式求解；（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，求X 的分布列为，在根据期望公式求解.. 【解析】试题分析： 试题解析：（Ⅰ）设A 表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A 发生当且仅当一年内出险次数大于1，故()0.20.20.10.050.55.P A =+++=（Ⅱ）设B 表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于3，故()0.10.050.15.P B =+= 又()()P AB P B =，故()()0.153(|).()()0.5511P AB P B P B A P A P A ==== 因此所求概率为3.110.850.300.15 1.250.20 1.50.20 1.750.1020.051.23EX a a a a a a a=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23 【考点】 条件概率，随机变量的分布列、期望.19．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5,6AB AC ==，点,E F 分别在,AD CD 上，54AE CF ==，EF 交BD 于点H ．将DEF ∆沿EF 折到'D EF ∆位置，OD '=（Ⅰ）证明：D H '⊥平面ABCD ； （Ⅱ）求二面角B D A C '--的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）25. 【解析】试题分析：（Ⅰ）证//AC EF ，再证'D H OH ⊥，最后证'D H ABCD ⊥平面；（Ⅱ）用向量法求解.试题解析：（Ⅰ）由已知得AC BD ⊥，AD CD =，又由AE CF =得AE CFAD CD=，故//AC EF .因此EF HD ⊥，从而'EF D H ⊥.由5AB =,6AC =得04DO B ===.由//EF AC 得14OH AE DO AD ==.所以1OH =，'3D H DH ==. 于是1OH =，'222'23110D H OH DO +=+==，故'D H OH ⊥.又'D H EF ⊥，而OH EF H ⋂=，所以'D H ABCD ⊥平面.（Ⅱ）如图，以H 为坐标原点，HF 的方向为x 轴的正方向，建立空间直角坐标系H xyz -，则()0,0,0H ，()3,2,0A --，()0,5,0B -，()3,1,0C -，()'0,0,3D ，(3,4,0)AB =-，()6,0,0AC =，()'3,1,3AD =.设()111,,m x y z =是平面'ABD 的法向量，则'm AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11111340330x y x y z -=⎧⎨++=⎩，所以可以取()4,3,5m =-.设()222,,n x y z =是平面'ACD 的法向量，则'0n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222260330x x y z =⎧⎨++=⎩，所以可以取()0,3,1n =-.于是cos ,50m n m n m n⋅<>=== 295sin ,25m n<>=因此二面角'B D A C --. 【考点】线面垂直的判定、二面角.20．已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥．（Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积；（Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）).【解析】试题分析：（Ⅰ）先求直线AM 的方程，再求点M 的纵坐标，最后求AMN ∆的面积；（Ⅱ）设()11,M x y ，，将直线AM 的方程与椭圆方程组成方程组，消去y ，用k 表示1x ，从而表示||AM ，同理用k 表示||AN ，再由2AM AN =求k .试题解析：（Ⅰ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -. 由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由题意3t >，0k >，()A .将直线AM 的方程(y k x =代入2213x y t +=得()22222330tk x x t k t +++-=.由(22123t k x tk ⋅=+得)21233tk x tk-=+，故1AM x ==由题设，直线AN 的方程为(1y x k =-，故同理可得AN ==， 由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--， 即3202k k -<-.由此得32020k k ->⎧⎨-<⎩，或32020k k -<⎧⎨->⎩2k <.因此k 的取值范围是).【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系. 21．（Ⅰ）讨论函数xx 2f (x)x 2-=+e 的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>； （Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数2x =(0)x e ax ag x x -->（）有最小值.设()g x 的最小值为()h a ，求函数()h a 的值域．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）21(,].24e .【解析】试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当(0,)x ∈+∞时，()(0)f x f >证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数()g x 的最值，在构造新函数00h()2x e a x =+，又用导数法求解.试题解析：（Ⅰ）()f x 的定义域为(,2)(2,)-∞-⋃-+∞.222(1)(2)(2)'()0,(2)(2)x x x x x e x e x e f x x x -+--==≥++ 且仅当0x =时，'()0f x =，所以()f x 在(,2),(2,)-∞--+∞单调递增， 因此当(0,)x ∈+∞时，()(0)1,f x f >=- 所以(2)(2),(2)20xxx e x x e x ->-+-++>（Ⅱ）22(2)(2)2()(()),x x e a x x g x f x a x x-+++==+ 由（Ⅰ）知，()f x a +单调递增，对任意[0,1),(0)10,(2)0,a f a a f a a ∈+=-<+=≥因此，存在唯一0(0,2],x ∈使得0()0,f x a +=即0'()0g x =，当00x x <<时，()0,'()0,()f x a g x g x +<<单调递减；当0x x >时，()0,'()0,()f x a g x g x +>>单调递增.因此()g x 在0x x =处取得最小值，最小值为000000022000(1)+()(1)().2x x x e a x e f x x e g x x x x -++===+ 于是00h()2x e a x =+，由2(1)()'0,2(2)2x x x e x e e x x x +=>+++单调递增 所以，由0(0,2],x ∈得002201().2022224x e e e e h a x =<=≤=+++ 因为2x e x +单调递增，对任意21(,],24e λ∈存在唯一的0(0,2],x ∈0()[0,1),a f x =∈ 使得(),h a λ=所以()h a 的值域是21(,],24e 综上，当[0,1)a ∈时，()g x 有()h a ，()h a 的值域是21(,].24e 【考点】 函数的单调性、极值与最值.22．选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数）, l 与C 交于,A B两点，||AB =，求l 的斜率．【答案】（Ⅰ）212cos 110ρρθ++=；（Ⅱ）. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用222x y ρ=+，cos x ρθ=可得C 的极坐标方程；（Ⅱ）先将直线l 的参数方程化为普通方程，再利用弦长公式可得l 的斜率．试题解析：（Ⅰ）由cos ,sin x y ρθρθ==可得C 的极坐标方程212cos 110.ρρθ++=（Ⅱ）在（Ⅰ）中建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()R θαρ=∈由,A B 所对应的极径分别为12,,ρρ将l 的极坐标方程代入C 的极坐标方程得212cos 110.ρρα++=于是121212cos ,11,ρραρρ+=-=12||||AB ρρ=-==由||AB得23cos ,tan 8αα==， 所以l. 【考点】圆的极坐标方程与普通方程互化， 直线的参数方程，点到直线的距离公式.23．选修4—5：不等式选讲 已知函数11()||||22f x x x =-++，M 为不等式()2f x <的解集． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当,a b M ∈时，|||1|a b ab +<+．【答案】（Ⅰ）{|11}M x x =-<<；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）先去掉绝对值，再分12x <-，1122x -≤≤和12x >三种情况解不等式，即可得M ；（Ⅱ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈M 时，1a b ab +<+． 试题解析：（Ⅰ）12,,211()1,,2212,.2x x f x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当12x ≤-时，由()2f x <得22,x -<解得1x >-； 当1122x -<<时， ()2f x <；当12x ≥时，由()2f x <得22,x <解得1x <. 所以()2f x <的解集{|11}M x x =-<<.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当,a b M ∈时，11,11a b -<<-<<，从而 22222222()(1)1(1)(1)0a b ab a b a b a b +-+=+--=--<， 因此|||1|.a b ab +<+【考点】绝对值不等式，不等式的证明.。
【高考冲刺】2019届高考数学(理)倒计时模拟卷(2)(含答案)
2019高考数学（理）倒计时模拟卷（2）1、若全集{}2,1,0,1,2U =--,{}2Z 4A x x =∈<,则U A =ð( ) A.{}2,2- B.{}2 C.∅D.{}2,0,2-2、如图,在△ABC 中, 2BD DC =,若,AB a AC b ==,则AD = ( )A. 2133a b -B. 2133a b +C. 1233a b -D. 1233a b +3、若i 为虚数单位，则1i1i-=+( ) A.i B.i - C.1 D.1-4、设两个变量x 和y 之间具有线性相关关系，它们的相关系数为r ，y 关于x 的回归直线方程为y kx b =+，则（ ）A. k 与r 的符号相同B. b 与r 的符号相同C. k 与r 的符号相反D. b 与r 的符号相反5、函数()()222x x f x x -=-的大致图像为( )A.B.C.D.6、若函数π()sin()(0)6f x x ωω=->,则()f x 的图象与x 轴所有交点中,距离原点最近的点的坐标为( ) A.1(,0)6-B.1(,0)6C.5(,0)6D.5(,0)6-7、已知tan 3θ=,则3cos(π2)2θ+= ( )A. 45-B. 35-C. 35D. 458、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,55n n S a +=,数列{}n b 满足1()2n n b n a =+,若n b m ≤对任意*N n ∈恒成立,则实数m 的最小值为( ) A.5bB.4bC.4b 或5bD.6b9、已知,m n 是空间中两条不同的直线, ,αβ为空间中两个互相垂直的平面,则下列命题正确的是( ) A.若m α⊂,则m β⊥ B.若m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ C.若m α⊄,m β⊥,则//m α D.若m αβ⋂=,n m ⊥,则n α⊥10、已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，点I 为12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121212IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围为（ ）A ．(1,2) B. (1,2] C ．(0,2] D ．(2,3] 11、若关于x 的方程sin 10x ω+=在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一解,则正数ω的最大值是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 12、已知()12x f x e =-,()ln 12x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,若()()f m g n =,则n m -的最小值为( ) A. 2ln 2+ B. 22ln3+ C. 32ln 2+ D. 4ln 2+13、若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为__________14、在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为228150x y x +-+=,若直线2y kx =-上至少存在一点,使得以该点为圆心, 1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是 .15、若整数,x y 满足不等式组022020x x y x y ≤≤⎧⎪+->⎨⎪-+>⎩，则yz x =的最小值为_________16、已知直线:l y kx t =+与圆22(1)1x y ++=相切且与抛物线2:4C x y =交于不同的两点,M N ,则实数t 的取值范围是__________17、在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b ccos sin )tan c Bb C a C-= 1.若2b =，ABC △的面积为a ；2.若22cos 216a C b=-，求角B .18、在如图所示的几何体中,四边形ABCD 是正方形, PA ⊥平面ABCD ,,E F 分别是线段AD ,PB 的中点, 1PA AB ==.1.求证: //EF 平面DCP ;2.求平面EFC 与平面PDC 所成锐二面角的余弦值.19、《中华人民共和国民法总则》(以下简称《民法总则》)自2017年10月1日起施行。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2019年高考复习数学理科倒计时模拟卷一1、已知全集U R =,集合{}02A x x =≤<,则A = ( )A. ∅B. {|0}x x <C. {}2x x ≥D. {|0x x <或2}x ≥2、向量()θθsin ,cos =a ，向量b 满足1-=⋅b a ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅b a a 2（ ） A.0 B.1 C.3 D.43、若2121(1i)i z z +==-，，则12zz 等于( )A ．1i +B ． 1i -+C ．1i -D ．1i --4、某单位为了制定节能减排的目标,调查了日用电量y (单位:千瓦时)与当天平均气温 x (单位: C ),从中:的值为( ) A.42 B.40 C.38 D.36 5、函数|ln |e |1|x y x =--的图象大致是( )A. B. C.D.6、某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）D.27、若5πcos 12α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,sin 2αα-的值为( )A. 59- B.59C. 109- D. 1098、在正项数列{}n a 中, 12a =,且点*1(ln ,ln )(N )n n P a a n +∈位于直线ln 20x y -+=上.若数列{}n a 的前n 项和n S 满足200n S >,则n 的最小值为( )A.2B.5C.6D.79、已知,αβ是相异两平面, ,m n 是相异两直线,则下列命题中错误的是( ) A.若//,m n m α⊥,则n α⊥ B.若,m m αβ⊥⊥,则//αβ C.若,//m m αβ⊥,则αβ⊥ D.若//,m n ααβ⋂=,则//m n10、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F , 以F 为圆心,实半轴长为半径的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点,P Q ，若3OQ OP =u u u r u u u r（其中O 为原点），则双曲线C 的离心率为( )A B 11、将函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象向左平移6π个单位长度,所得图象过点(,1)2π,则ω的最小值是( ) A.23B. 34C. 2D. 11412、已知函数21()3ln (3)21(0,()02f x ax a x a a f x =-+-+->>的解集为(),m n ,若f ()x 在()0,?+∞上的值域与函数(())f f x 在(),m n 上的值域相同,则a 的取值范围为( )A. [)1,+∞B. 8,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. [)2,+∞ 13、()()521x a x +-的展开式中含2x 的系数为50,则a 的值为__________14、已知抛物线()2 0ny x n =>的准线与圆228450x y x y +---=相切,则n 的值为__________.15、若实数x,y 满足约束条件41014x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则ln ln z y x =-的最小值是___．16、设直线l 与抛物线24y x =相交于,A B 两点,与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ,且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条,则r 的取值范围是__________.17、在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若2cos 2a B b c +=． (1)求A 的大小；(2)若a =2b =，求ABC △的面积．18、如图,在三棱柱111ABC A B C -中, 2AB AC ==,90BAC ∠=,1BC AC ⊥.1.证明:点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上;2.若二面角1C AC B --的大小为60,1CC =求1BC 与平面11AA B B 所成角的正弦值.19、某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败. 1.求图中a 的值;的把握认为“晋级成功”与性别有关? ,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为X,求X 的分布列与数学期望E(X).1.求椭圆 C 的方程;2.设直线1x my =+与椭圆 C 交于R , Q 两点,直线1A R 与2A Q 交于点S .试问:当 m 变化时,点S 是否恒在一条直线上?若是,请写出这条直线的方程,并证明你的结论;若不是,请说明理由. 21、已知函数()()ln ,ax f x xe x e a R =+-∈(1) 当1a =时,求函数()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程 (2) 设()1ln -g x x e x=+,若函数()()()h x f x g x =-在定义域内存在两个零点.求实数a 的取值范围 22、[选修4-4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中,直线l 的方程是6y =,圆C 的参数方程是cos {1sin x y ϕϕ==+ (ϕ为参数).以原点 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.1.分别求直线l 与圆 C 的极坐标方程;2.射线:(0)2OM πθαα=<<与圆C 的交点为 O ,P 两点,与直线l 交于点M .射线:2ON πθα=+与圆 C 交于 O , Q 两点,与直线l 交于点N ,求OP OQOM ON⋅的最大值. 23、[选修4-5:不等式选讲]已知0x R ∃∈,使不等式12x x t ---≥成立.1.求满足条件的实数t 的集合T ;2.若1,1m n >>,对t T ∀∈,不等式33log log m n t ⋅≥恒成立,求m n 、的最小值.答案1.D由全集U R =及A ,求出A 的补集即可. 2.D 解析：1a =，()2222224a ab a a b ⋅-=-⋅=+=3.B解析：∵212(1i)2i,1i z z =+==-, ∴122i 2i(1i)22i 1i 1i (1i)(1i)2z z +-+====-+--+,故选B. 本题考查复数的运算,这种运算题目可以出现在高考卷的选择或填空中,一般是一个送分题目,注意运算不要出错.首先整理复数1z ,整理成2i 的形式,再求两个复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,约分整理复数到最简形式. 4.C由公式计算得到样本中心的坐标,代入方程可得到参数值. 5.D 6.A 7.D8.D解析：由题意得1ln ln ln 20n n a a +-+=,即12n na a +=, 则*2(N )n n a n =∈.由2(12)2(21)20012n n n S -==->-,得2101n >, 则2101n >,则n 的最小值为7.9.D 10.D 11.B首先利用三角函数关系式的平移变换,进一步利用正弦型函数的性质的应用,即可求出结果. 12.D解析：利用导数知识明确f ()x 在()0,?+∞上的值域5,42a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,令()f x t =,则(())()y f f x f t ==,5042t a <≤-,要使()y f t =的值域为5,42a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦,则5412a -≥即可.13.-114.14解析：由题意可得准线方程为14x n=-,将圆的一般方程配方可得22(4)(2)25,x y -+-=圆心为(4,2)C , 半径5,r =由题可得114n =,解得14n =. 15.ln3- 16.24r <<解析：如图所示,设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ,则2112224{4y x y x ==两式相减,得()()()1212124y y y y x x +-=-.当l 的斜率不存在,即12x x =时,符合条件的直线l必有两条.当l 的斜率k 存在,即12x x ≠时,有()()0121224y y y x x -=-,即02k y =由CM AB ⊥,得00052CM y yk x ==-,即03x =.因为点M 在抛物线内部,所以200412y x <=,又12x x ≠,所以120y y +≠,即20012y <<.因为点M 在圆上,所以()222005x y r -+=,即2204r y =+.所以2416r <<,即24r <<17.(1)2cos 2a B b c +=，由正弦定理得：2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos 2cos sin A B B C A B A B A B +==+=+，sin 2cos sin B A B ∴=，sin 0B ≠，1cos 2A ∴=，又0A <<π，3A π∴=； (2)由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 27,2,230,3,a b c cc ==∴--=∴=，11sin 232222ABC S bc A ∴==⨯⨯⨯=△ 解析：(1)由2cos 2a B b c +=与正弦定理可得1cos 2A =，又0A <<π，得3A π=； (2)由2a b ==与余弦定理可得2230c c --=，得3c =，由1sin 2ABC S bc A =△可得结果．18.1.因为11,,BC AC AC AB AB BC B ⊥⊥⋂=,所以AC ⊥平面1ABC . 所以平面ABC ⊥平面1ABC .过点1C 作1C H AB '⊥,则由面面垂直的性质定理可知1C H '⊥平面ABC . 又1C H '⊥平面ABC ,所以H '与H 重合,所以点1C 在底面ABC 上的射影H 必在直线AB 上.2. 1BAC ∠是二面角1C AC B --的平面角,即160BAC ∠=. 连接1A H ,∵11111111111,,A B AC A B C H C H AC C ⊥⊥=.∴11A B ⊥平面11AC H , ∴平面11A B BA ⊥平面11AC H .过1C 作11C G A H ⊥,则1C G ⊥平面11A B BA . ∴1C BG ∠是直线1BC 与平面11AA B B 所成角.∵111112,AC C H A HC G ==∴=∴. 又12BC =,111sin 7C G GBC C B ∴∠==.19.1.由频率分布直方图各小长方形面积总和为1,可知(20.0200.0300.040)101a +++⨯=,解得0.005a =; 2.由频率分布直方图知,晋级成功的频率为0.200.050.25+=,所以晋级成功的人数为1000.2525⨯=22100(1641349) 2.613 2.0722*******K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯人,3. 由频率分布直方图知晋级失败的频率为10.250.75-=,将频率视为概率,则从本次考试的所有人员中,随机抽取1人进行约谈, 这人晋级失败的概率为0.75,所以X 可视为服从二项分布,即3(4,)4X B ~,4431()()()(0,1,2,3)44k k kP X k C k -===,故004431(0)()()44P X C ==,1134313(1)()()4464P X C ===, 22243154(2)()()44256P X C ===, 331431108(3)()()44256P X C ===, 44043181(4)()()44256P X C ===,数学期望为()434E X =⨯= 或()13541088101234325664256256256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=20.1.设椭圆 C 的方程为()222210x y a b a b+=>>,由题意得2ca a ==,解得c =所以1b ==,即椭圆 C 的方程为2214x y +=2.由题意知,直线l 为: 1x my =+取0m =得1,,1,22R Q ⎛⎛⎫-⎪⎪⎝⎭⎝⎭.直线1A R 的方程为y x =+直线2A Q的方程是2y x =-交点为(1S ,若1,,1,22R Q ⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,由对称性可知交点为(24,S若点S 在同一条直线上,则直线只能为:4l x =以下证明对于任意的 m ,直线1A R 与直线2A R 的交点S 均在直线:4l x =上.由221{41x y x my +==+得()22144my y ++=,即()224230m y my ++-=记()()1122,,,R x y Q x y ,则12122223,44m y y y y m m --+==++设2A Q 与l 交于点'0S ()'04,y ,由'022422y y x =--,得'0y 2222y x =- ∵'00y y -()()()()()()()12211212121212126123462222222y my y my my y y y y y x x x x x x --+-+=-==+-+-+- ()()2211121244022m m m m x x ---++==+-,∴'00y y -,即0S 与'0S 重合,所以当 m 变化时,点S 恒在定直线:4l x =上 21.1. (x)y f =的定义域为()0,?+∞,∵ 1a =,()ln ,(1)0x f x xe x e f ∴=+-=,1()(1)x f x x e x∴=++‘'(1)21f e ∴=+所以函数(x)y f =在点(1,(1))f 处的切线方程为(21)(1)y e x =+-2. 2111()()()ln ln ax axaxx e h x f x g x xe x e x e xe x x x -⎛⎫=-=+--+-=-= ⎪⎝⎭在定义域内存在两个零点,即210ax x e -=在()0,?+∞有两个零点,令22()1,'()2(2)ax ax ax ax x x e x ax e xe xe ax ϕϕ=-=+=+当0?a ≥时, '()(2)0ax x xe ax ϕ=+>()y x ϕ∴=在()0,?+∞上单调递增由零点存在定理, ()y x ϕ=在()0,?+∞至多一个零点,与题设发生矛盾,当0a <时, (2)0ax xe ax +=则2x a=-,2()1ax x x e ϕ=-因为(0)1ϕ=-,当x →+∞,()1x ϕ→-,所以要使在()0,?+∞内有两个零点,则20aϕ⎛⎫-> ⎪⎝⎭即可,得224a e <,又因为0a <,所以20a e -<<综上:实数a 的取值范围为2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭22.1.直线l 的方程是6y =;圆C 的极坐标方程: 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ=2. OP OQ OM ON⋅的最大值为136 解析：1.直线l 的方程是6y =,可得极坐标方程: sin 6ρθ=圆C 的参数方程是cos {1sin x y ϕϕ==+ (ϕ为参数),可得普通方程: 22(1)1x y +-=展开为2220x y y +-=.化为极坐标方程: 22sin 0ρρθ-=即2sin ρθ= 2.由题意可得:点,P M 的极坐标为: 6(2sin ,),(,)sin a aαα ∴62sin ,sin OP OM a α==可得2sin 3OP a OM =. 同理可得: 22sin ()cos 233a OQ a ON π+==∴2sin 213636OP OQ a OM ON ⋅=≤. 当4a π=时,取等号.∴OP OQ OM ON⋅的最大值为136 23.1.令()1,112{23,121,2x f x x x x x x -≤=---=-<<≥,则1()1f x -≤≤,由于0x R ∃∈使不等式12x x t ---≥成立,有{|1}t T t t ∈=≤. 2.由1知, 33log log 1m n ⋅≥,根据基本不等式33log log 2m n +≥≥,从而23mn ≥当且仅当3m n ==时取等号,所以m n 、的最小值为9.。