福建省宁德市五校联考2014-2015学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

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福建省宁德市五校教学联合体2014_2015学年高二数学下学期期中试卷理(含解析)

福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）=（）A．﹣1 B．0 C．D．13．（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）A．1 B．2 C．D．e4．（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（）A．B．C．D．5．（5分）用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设正确的是（）A．a+b≤2B．a+b＜2 C．a+b≥2D．a+b＞26．（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=e x所围成的封闭图形的面积为（）A．e2B．e C．e2﹣1 D．e2+17．（5分）若f（x）=x3﹣ax+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤3C．a＞3 D．a≥38．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．若直线a∥b，b∥c，则a∥c．类比推出：若向量∥，∥，则∥B．a（b+c）=ab+ac．类比推出：log a（x+y）=log a x+log a yC．已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和9．（5分）已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．10．（5分）设点P在直线y=x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（）A．B．C．﹣1 D．ln211．（5分）已知a＞b≥2，现有下列不等式：①b2＜3b﹣a；②a3+b3＞a2b+ab2；③ab＞a+b；④+＞+．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③12．（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③若方程f（x）﹣m=0有三个根，则m的取值范围是；④若对∀x∈，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为3．其中正确命题的个数为（）A．1B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=．14．（4分）已知函数，则f′（1）=．15．（4分）=．16．（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…．有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+na n x n﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）na n x n﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，依此类推，我们可得a2n=．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．18．（12分）已知数列{a n}，a1=3，，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想a n的通项公式，并用数学归纳法加以证明．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣plnx．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的极值．20．（12分）函数f（x）=的图象在点M（1，3）处的切线方程为x+y﹣4=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）m，n∈R，若时，f（x）min≤m2+n2，且存在使得f（x0）≥m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积．21．（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）．（Ⅰ）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（Ⅱ）求动车运行过程中速度的最大值．22．（14分）设f（x）=e x，g（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）．（i）求g（x）的表达式；（ii）令h（x）=f（x）﹣g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；（Ⅱ）求证：．福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二下学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的对应点的坐标判断即可．解答：解：复平面上表示复数z=1﹣i（i为虚数单位）的点（1，﹣1）在第四象限．故选：D．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．2．（5分）=（）A．﹣1 B．0 C．D．1考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：根据定积分的计算法则计算即可．解答：解：=x2|=，故选：C．点评：本题考查了定积分的计算，关键是求出原函数，属于基础题．3．（5分）已知函数y=xlnx，则其在点（e，e）处的切线的斜率是（）A．1 B．2 C．D．e考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：求导函数，将x=e代入，即可得到斜率．解答：解：求导函数可得y′=lnx+1∴x=e时，y′=lne+1=2，即有在点（e，e）处的切线的斜率是2．故选：B．点评：本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，正确求导是关键．4．（5分）一个物体的运动方程为s（t）=sint，则它在时的速度为（）A．B．C．D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的物理意义，对关于t的函数求导，然后取，计算导数．解答：解：v=s'（t）=（sint）'=cost，所以物体在时的速度为：cos=；故选A．点评：本题考查了导数的物理意义；已知位移关于时间的解析式，对时间求导，得到的导数就是物体的速度与时间的关系式．5．（5分）用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设正确的是（）A．a+b≤2B．a+b＜2 C．a+b≥2D．a+b＞2考点：反证法与放缩法．专题：证明题；推理和证明．分析：“a+b≤2”的否定是“a+b＞2”，由此可得结论．解答：解：∵“a+b≤2”的否定是“a+b＞2”，∴用反证法证明命题：“若a＞0，b＞0，a3+b3=2，则a+b≤2”时，反设是“a+b＞2”．故选：D．点评：本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．6．（5分）由直线x=0，x=2，y=0与曲线y=e x所围成的封闭图形的面积为（）A．e2B．e C．e2﹣1 D．e2+1考点：极限及其运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用定积分的几何意义得出直线x=0，x=2，y=0与曲线y=e x所围成的封闭图形的面积为S，计算即可．解答：解：设直线x=0，x=2，y=0与曲线y=e x所围成的封闭图形的面积为S，根据积分的几何意义得出：S=e x dx=e x|=e2﹣e0=e2﹣1故选：C．点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题7．（5分）若f（x）=x3﹣a x+1在（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A．a≤2B．a≤3C．a＞3 D．a≥3考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：先求出函数的导数，由题意和导数与函数单调性的关系得：f′（x）=3x2﹣a≤0在（0，1）上恒成立，利用二次函数的单调性求出导数的最大值，再求出a的范围．解答：解：由题意可得，f′（x）=3x2﹣a，∵f（x）=x3﹣ax+1在（0，1）上单调递减，∴f′（x）=3x2﹣a≤0在（0，1）上恒成立，∵f′（x）的最大值是f′（1）=3﹣a，∴3﹣a≤0，解得a≥3，故选：D．点评：本题考查导数与函数的单调性的关系，以及恒成立问题的转化，考查转化思想，属于中档题．8．（5分）下面使用类比推理正确的是（）A．若直线a∥b，b∥c，则a∥c．类比推出：若向量∥，∥，则∥B．a（b+c）=ab+ac．类比推出：log a（x+y）=log a x+log a yC．已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．D．长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和考点：类比推理．专题：综合题；推理和证明．分析：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．解答：解：对于A，=时，结论不成立；对于B，根据对数的运算法则知：log a（x+y）≠log a x+log a y，不正确；对于C，已知a，b∈R，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0．类比推出：已知a，b∈C，若方程x2+ax+b=0有实数根，则a2﹣4b≥0，不正确．对于D，长方形对角线的平方等于长与宽的平方和．由勾股定理类比推出：长方体对角线的平方等于长、宽、高的平方和，正确．故选：D．点评：类比推理中的类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较联想、类推猜测新的结论．结论的正确与否，必须经过证明．9．（5分）已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：根据函数y=﹣xf′（x）的图象，依次判断f（x）在区间（﹣∞，﹣1），（﹣1，0），（0，1），（1，+∞）上的单调性即可．解答：解：由函数y=﹣xf′（x）的图象可知：当x＜﹣1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此时f（x）增；当﹣1＜x＜0时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当0＜x＜1时，﹣xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此时f（x）减；当x＞1时，﹣xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此时f（x）增．综上所述，y=f（x）的图象可能是B，故选：B．点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，同时考查了分类讨论的思想，属于基础题．10．（5分）设点P在直线y=x上，点Q在曲线y=lnx上，则|PQ|最小值为（）A．B．C．﹣1 D．ln2考点：两点间距离公式的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，由导数和切线的关系由距离公式可得．解答：解：设平行于直线y=x的直线y=x+b与曲线y=lnx相切，则两平行线间的距离即为|PQ|的最小值，设直线y=x+b与曲线y=lnx的切点为（m，lnm），则由切点还在直线y=x+b可得lnm=m+b，由切线斜率等于切点的导数值可得=1，联立解得m=1，b=﹣1，∴由平行线间的距离公式可得|PQ|的最小值为=故选：A．点评：本题考查导数和平行线间的距离公式，等价转化是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）已知a＞b≥2，现有下列不等式：①b2＜3b﹣a；②a3+b3＞a2b+ab2；③ab＞a+b；④+＞+．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③考点：不等式的基本性质．专题：不等式．分析：用作差法比较可得②③正确，通过给变量取特殊值检验可得①④不正确解答：解：对于①，∵a＞b≥2，∴b2 ﹣3b+a=（a﹣b）+b（b﹣2）＞0+0=0，故①不正确．对于②，若a3+b3﹣（a2b+ab2）=（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）=（a+b）（a2﹣2ab+b2）=（a+b）（a﹣b）2＞0，故②正确．对于③，ab﹣（a+b ）==＞=0，故③正确对于④，若+＞+成立，当a=10，b=2时，左边为，右边也为，故④不正确综上，只有②③正确，故选：C．点评：本题考查比较两个式子大小的方法，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．12．（5分）已知定义在上的函数f（x）=（x2+ax+b）x，在x=±1处的切线斜率均为﹣1．有以下命题：①f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则|t﹣s|的最大值为4；③若方程f（x）﹣m=0有三个根，则m的取值范围是；④若对∀x∈，k≤f′（x）恒成立，则k的最大值为3．其中正确命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：由f（0）=0，f′（1）=f′（﹣1）=﹣1，代入可求a，b，进而可求f（x）．①由于f（﹣x）=﹣x3+4x=﹣f（x），即f（x）是奇函数；②若f（x）在内递减，则t=，s=﹣时，|t﹣s|的最大；③由f（x）的极值，可得直线y=m和曲线y=f（x）x∈有三个交点，等价为m介于极小值和极大值之间；④若对∀x∈，由于f′（x）=3x2﹣4∈，则k≤f′（x）恒成立，则k≤f′（x）min即可求解k．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+bx，在定义域x∈上表示的曲线过原点，∴f（0）=0，∵f′（x）=3x2+2ax+b，且在x=±1处的切线斜率均为﹣1．∴f′（1）=f′（﹣1）=﹣1，∴，解得b=﹣4，a=0，∴f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．对于①，∵f（﹣x）=﹣x3+4x=﹣f（x），即f（x）是奇函数；①正确；对于②，由f′（x）≥0得x≥或x≤﹣，f（x）在内单调递减，若f（x）在内递减，则t=，s=﹣时|t﹣s|的最大值为．②错误；对于③，由②的分析可得，x=﹣时，f（x）取得极大值，x=时，f（x）取得极大值﹣，结合单调性，可得方程f（x）﹣m=0有三个根，即为直线y=m和曲线y=f（x）x∈有三个交点，则m的取值范围是，则③正确；对于④，若对∀x∈，由于f′（x）=3x2﹣4∈，则k≤f′（x）恒成立，则k≤﹣4，则k的最大值为﹣4．④错误．正确命题的序号为①③．故选：B．点评：本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，函数的奇偶性及单调性等知识的综合应用．属于中档题和易错题．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置．13．（4分）已知复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a=﹣1．考点：复数的基本概念．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出a的值即可．解答：解：∵复数z=a+1﹣ai（i为虚数单位）为纯虚数，∴，解得a=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．14．（4分）已知函数，则f′（1）=0．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的公式求出函数的导数，直接代入即可求值．解答：解：∵函数，∴f'（x）=，∴f′（1）=，故答案为：0．点评：本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握常见函数的导数公式，比较基础．15．（4分）=．考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：根据定积分的几何意义求值．解答：解：已知表示以原点为圆心，半径为1的半圆的面积；故=；故答案为：．点评：本题考查了利用定积分的几何意义求定积分的值．属于基础题．16．（4分）已知cosx=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…．有个同学用以下方法求a0，a1，a2，令x=0，得a0=1；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+na n x n﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）na n x n﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，依此类推，我们可得a2n=．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：观察已知式子的规律，并改写形式，归纳可得结论．解答：解：cosx=a0+a1x+a2x2+…+a n x n+…．令x=0，得a0=1=；由（cosx）'=﹣sinx=a1+2a2x+…+na n x n﹣1+…，令x=0，得a1=0，由（cosx）''=﹣cosx=2a2+2•3a3x+…+（n﹣1）na n x n﹣2+…，令x=0，得a2=﹣，由（cosx）''′=sinx=2•3a3+2×3×4a4x…+（n﹣2）（n﹣1）na n x n﹣3+…，令x=0，得a3=0，由（cosx）''′′=cosx=2×3×4a4+…+（n﹣3）（n﹣2）（n﹣1）na n x n﹣4+…，令x=0，得a4=，…由以上可得a2n==，故答案为：．点评：本题考查归纳推理，求解的关键是根据归纳推理的原理归纳出结论，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知复数，若|z|2+az+b=1﹣i．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求实数a，b的值．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：（I）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．（II）利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答：解：（ I）．∴=﹣1﹣i．（ II）把z=﹣1+i代入|z|2+az+b=1﹣i，即|﹣1+i|2+a（﹣1+i）+b=1﹣i，得（﹣a+b+2）+ai=1﹣i．∴，解得．∴实数a，b的值分别为﹣1，﹣2．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数相等，属于基础题．18．（12分）已知数列{a n}，a1=3，，（n∈N*）．（Ⅰ）求a2，a3，a4的值；（Ⅱ）猜想a n的通项公式，并用数学归纳法加以证明．考点：数学归纳法；数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：（ I）由a1=3，且，分别令n=1，2，3，即可得出；（ II）由（1）猜想，利用数学归纳法进行证明即可．解答：解：（ I）∵a1=3，且，∴，，；（ II）由（1）猜想，下面用数学归纳法进行证明．①当n=1时，，满足要求，猜想成立；②假设n=k（k≥1且k∈N*）时，猜想成立，即，那么当n=k+1时，，这就表明当n=k+1时，猜想成立．根据（1），（2）可以断定，对所有的正整数该猜想成立，即．点评：本题考查了数学归纳法的应用、观察分析猜想归纳能力，考查了计算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）=x﹣plnx．（Ⅰ）当p=1时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求f（x）的极值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：分类讨论；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出p=1的函数f（x），求出定义域和导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；（ II）求出f（x）的导数，结合定义域，讨论当p≤0时，当p＞0时，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值．解答：解：（Ⅰ）当p=1时，f（x）=x﹣lnx，定义域为（0，+∞），由，可解得0＜x＜1，f′（x）＞0，可解得x＞1．所以函数f（x）的单调递减区间为（0，1）；单调递增区间（1，+∞）；（ II）由f（x）=x﹣plnx，可得，x∈（0，+∞），当p≤0时，f′（x）＞0当x∈（0，+∞）时恒成立；此时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以无极值．当p＞0时，令f′（x）=0可得x=p；当0＜x＜p时，f′（x）＜0，当x＞p时，f′（x）＞0，所以x=p是函数f（x）的极小值点，极小值为f（p）=p﹣plnp；综上所述，当p≤0时函数f（x）无极值．当p＞0时函数f（x）有极小值p﹣plnp，无极大值．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值，同时考查函数的单调性，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．20．（12分）函数f（x）=的图象在点M（1，3）处的切线方程为x+y﹣4=0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）m，n∈R，若时，f（x）min≤m2+n2，且存在使得f（x0）≥m2+n2，求复数z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域面积．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；复数的代数表示法及其几何意义．专题：导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用；数系的扩充和复数．分析：（Ⅰ）求出函数的导数，由切线方程可得f（1）=3，f′（1）=﹣1，解方程可得a，b；（Ⅱ）求得f（x）在时的极值和最值，可得m2+n2的范围，运用复数的几何意义和圆的面积公式，计算即可得到．解答：解（ I）∵，∴，依题意，即有，解得；（ II）由（ I）可得f（x）=x+，，令f′（x）=0解得，（舍去），当x变化时，f（x），f'（x）的变化如下表：x （，2） 2f'（x）﹣+f（x）↘极小值f（）↗ 3由上表可得，，，所以．所以z=m+ni在复平面上对应的点构成的区域是以原点为圆心，为半径的圆的外部，为半径的圆的内部（包括圆周），所以所求的区域面积为．点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，同时考查复数的几何意义和圆的面积，属于中档题．21．（12分）宁德至福州铁路里程约为100km，和谐号动车从宁德站出发，前2分钟内变速运行，其速度v（米/分钟）关于时间t（分钟）满足函数关系：v（t）=at3+bt2+ct+d，且v'（0）=v'（2）=0，之后匀速行驶24分钟，再减速行驶5km至终点（福州站）．（Ⅰ）求：前2分钟速度v（t）的函数关系式；（Ⅱ）求动车运行过程中速度的最大值．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（ I）求出v（t）的导数，由条件可得c=d=0，b=﹣3a，由积分的运算可得a=﹣950，即可得到v（t）的解析式；（ II）求得函数v（t）的导数，求得单调区间，求得极值、最值即可得到速度的最大值．解答：解：（ I）∵v（t）=at3+bt2+ct+d∴v′（t）=3at2+2bt+c，又∵v′（0）=v′（2）=0，v（0）=0，∴∴，∴v（t）=at3﹣3at2，v（2）=8a﹣12a=﹣4a；则前2分钟运行的路程为．依题意得：100×1000﹣5×1000+4a=24•v（2）即95000+4a=24×（﹣4a），解得a=﹣950，∴v（t）=﹣950t3+2850t2（0≤t≤2）；（ II）∵v（t）=﹣950t3+2850t2（0≤t≤2）∴v′（t）=﹣950•3t2+2•2850t=﹣2850t（t﹣2）≥0，（0≤t≤2）∴v（t）在上为增函数，∴当t=2时，v（t）max=v（2）=3800米/分钟．∴动车在行使过程中的最大速度为3800米/分钟．点评：本题考查运用导数解决实际问题，运用导数求最值问题，考查运算能力，属于中档题．22．（14分）设f（x）=e x，g（x）=ax2+bx+c．（Ⅰ）．（i）求g（x）的表达式；（ii）令h（x）=f（x）﹣g（x），证明：函数h（x）恰有一个零点；（Ⅱ）求证：．考点：函数零点的判定定理；函数的值；对数的运算性质．专题：压轴题；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．分析：（I）（i）解方程组，解得．即可得出g（x）（ii）利用导数判断单调性，得出h（x）有一个零点0，再运用反证法假设h（x）不只一个零点，推出矛盾，即可判断函数h（x）恰有一个零点；（II）运用函数得出ln（x+1）≤x，，，，…，．放缩得出等比数列求和得出，根据对数的概念化简放缩即可．解答：解：（ I）（ i）∵∴，解得．∴g（x）=+x+1（ ii）由（ i）知，所以h'（x）=e x﹣x﹣1．…（5分）设l（x）=e x﹣x﹣1，则l'（x）=e x﹣1．令l'（x）=0可得x=0．当x＜0时，l'（x）＜0，当x＞0时，l'（x）＞0．所以l（x）在（﹣∞，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数，所以x=0时，l（x）有极小值l（0），也就是最小值为0，所以l（x）≥0所以h'（x）≥0，故h（x）是R上的增函数．又h（0）=0，所以h（x）有一个零点0，假设h（x）不只一个零点，不妨设h（x）有两个零点，分别为x1，x2且x1＜x2．则h（x1）=0，h（x2）=0，从而h（x1）=h（x2），又h（x）是R上的增函数，且x1＜x2，所以h（x1）＜h（x2）这与h（x1）=h（x2）相矛盾，所以假设不成立，所以h （x ）只有一个零点0，（ II ）证明：由（ I ）得e x≥x+1，当x ＞﹣1时，有ln （x+1）≤x，当且仅当x=0时取等号，因此，，，…，．=∴，∴（1）（1）（1）…（1）== 故：．点评：本题综合考查了函数性质，不等式，放缩法的运用，融合入了等比数列的运用，知识综合较多，难度较大，关键是利用好ln （x+1）≤x，转为等比数列．。

福建省宁德市二中2014-2015学年高一上学期第一次月考

(时间：120分钟满分：100分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卷的表格里,否则不得分（每小题3分，共36分）。

1.下列各项中，不可以组成集合的是 ( )A.所有的正数B.等于2的数C.接近于0的数D.不等于0的偶数 2.若{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则ABC 一定不是 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3．集合｛1，2，3｝的子集共有（） A ．7个B ．8个C ．6个D ．5个4.函数],1[),(a x x f y -∈=是奇函数,则a 等于( )A.-1B.0C.1D.无法确定5．若集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋a ＝0｝，a ∈R 中有且只有一个元素，则a 的取值集合是（） A ．｛1｝B ．｛－1｝C ．｛0，1｝D ．｛－1，0，1｝6．函数f (x )＝x －3＋7－x 的定义域是( )A ．[3,7]B ．(－∞，3]∪[7，＋∞)C ．[7，＋∞)D ．(－∞，3] 7.下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1）y =3)5(3+-+x x x ）（,y =x －5; （2）y=11-+x x ,y =())1(1-+x x（3）y =x ,y （4）y =x ,y ’ （5）y =()225x -,y =2x －5A. （1）, （2）B.（2）, （3）C. （3）, （5）D. （4） 8.已知集合{}{}11|,1,0,1<≤-=-=x x B A ,则=⋂B A ( )A.{}0B. {}0,1-C.{}1,0D.{}1,0,1- 9．如果偶函数在],[b a 具有最大值，那么该函数在],[a b --有（） A ．最大值 B ．最小值 C ．没有最大值 D ．没有最小值10．若函数y ＝f(x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x ) 的图象可能是( )A B C D11．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x <2)，f (x －1) (x ≥2)，则f (2)＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．212．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝－4x ＋1二、填空题(每小题4分，共20分)13．集合{}N x x x ∈<<,128|，用列举法可表示为_____________。

福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(解析)

福建省宁德市2024-2025学年高三上学期期中五校联考数学试题及答案

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1. 已知集合{}30,21x M x Q x x x −=≤=∈≤ + N ，则M Q ∩=（）A. {}0,1,2B. []0,2C. (]2,2−D. {}1,22. 某一物质在特殊环境下的温度变化满足：1015ln w w T w w −=−（T 为时间，单位为0min,w 为特殊环境温度，1w 为该物质在特殊环境下的初始温度，w 为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：e 2.72≈）（） A. 54℃B. 52℃C. 50℃D. 48℃3. 在ABC 中，已知tan tan A,B 是关于x 方程2670x x −+=的两个实根，则角C 的大小为（） A.3π4B.2π3C.π3D.π44. 对任意实数()2,x ∈+∞,“4a x x<+”是“4a ≤”的（） A 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件D. 既不充分也不必要条件的..5. 函数221sin ln x y x x+=−⋅的大致图象是（） AB.C. D.6. 已知函数()332e e 1x xf x x x −=−+−+，若()()2232f a f a−+≥，则实数a 的取值范围为（）A. (],1−∞B. []3,1−C. (][),13,−∞−+∞D. (][),31,−∞−∪+∞7. 已知1215sin ,ln ,223a b c −===，则（）A. c b a <<B. a b c <<C. a c b <<D. b a c <<8. 已知函数()2e ln xf x x x x a x =−−−，若对任意的0x >，都有()1f x ≥恒成立，则实数a 的取值范围为（） A. []4,4− B. []3,3− C. []22−,D. []1,1−二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9. 已知三次函数()f x 的图象如图，则下列说法正确的是（）.A. ()()()Δ01Δ1lim 1Δx f x f f x→+−=−′B. ()()23f f ′′<C. 0f=D. ()0xf x ′>的解集为()(),10,1−∞−∪10. 已知函数()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x =+=−，则（） A. ()f x 与()g x 的图象有相同的对称中心 B. ()f x 与()g x 图象关于x 轴对称 C. ()f x 与()g x 的图象关于y 轴对称 D. ()()f x g x ≥的解集为()5πππ,π1212k k k−++∈Z11. 已知函数()f x 的定义域为R ，且()10f ≠，若()()()f x y f x f y xy +−=−，则（） A. ()00f = B. ()f x 关于()1,0−中心对称 C. e xx >ff (xx )D. 函数()y xf x =−有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12. 已知复数z 满足()34i 5i z −=，则z =______． 13. 已知,,20,1a b a b a b ∈>>+=R ，则112a b b+−的最小值为______．14. 已知()()()eln e ,xxf x ax ag x x=−∈=R ，若函数()()y f g x a =−恰有三个零点，则a 的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数()1e 1xf x a =++为R 上的奇函数．（1）求a ；（2）若函数()()()2e 12xg x f x x =++，讨论()g x 的极值．16. 在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且tan tan A B +=. （1）求角A 的大小；的（2）若BC =，点D 是线段BC 的中点，求线段AD 长的取值范围．17. 在三棱锥P ABC −中，PM ⊥底面ABC ，AB AC ⊥，1AB =，AC =，,M N 分别为,BC AC的中点，E 为线段AP 上一点．（1）求证：BN ⊥平面APM ；（2）若平面EBN ⊥底面ABC 且12PM =，求二面角A EN B −−的正弦值． 18. 已知函数()()2311ex x f x a x b −=−−−−，其中,a b 是实数．（1）若1a =，求()f x 的单调区间；（2）若函数()f x 在定义域上是单调函数，求实数a 的取值范围；（3）若()0f x ≤恒成立，求5a b +的最小值． 19. 已知函数()(πsin ,0,2f x x ωϕωϕ =+><图象的相邻两条对称轴间的距离为π2，且函数()f x 图象过点．（1）若函数()y f x m =+是偶函数，求m 的最小值；（2）令()()41g x f x =+，记函数()g x 在17π31π,1212x∈−上的零点从小到大依次为12,,,n x x x ，求1231222n n x x x x x −+++++ 的值；（3）设函数(),y x x D ϕ=∈，如果对于定义域D 内的任意实数x ，对于给定的非零常数P ，总存在非零常数T ，恒有()()x T P x ϕϕ+=⋅成立，则称函数()x ϕ是D 上的“P 级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数λ，使函数()1π26xh x f x λ =−是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题：1 【答案】A【详解】不等式301x x −≤+的解集等价于不等式组()()31010x x x −+≤ +≠的解集，即131x x −≤≤≠−，得13x −<≤，又2x ≤，解得22x −≤≤，于是{}30131x M xx x x−=≤=−<≤ +，{}{}{}2220,1,2Q x x x x =∈≤=∈−≤≤=N N ，则{}0,1,2M Q ∩=. 故选：A 2.【答案】C【详解】由初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，时间15min 代入题中式子得：100201515ln20w −=−，即80e 20w =−，即8080202049.41e 2.72w =+≈+≈. 故选：C.3. 【答案】D【详解】由题意，tan tan 6,tan tan 7A B A B +=⋅=，所以()tan tan 6tan 11tan tan 17A B A B A B ++===−−⋅−，由()()tan tan πtan A B C C +=−=−，故tan 1C =，又0πC <<，所以π4C =. 故选：D 4. 【答案】C.【详解】对于函数4y x x=+，根据均值不等式a b +≥（当且仅当a b =时取等号），则44y x x =+≥=. 当4x x =即2x =时取等号，但是(2,)x ∈+∞，所以44y x x=+> 判断充分性: 若4a x x <+，因为(2,)x ∈+∞时44x x+>，那么4a ≤，所以充分性成立. 判断必要性:若4a ≤，当(2,)x ∈+∞时44x x+>，显然4a x x <+，所以必要性成立.所以“4a x x<+”是“4a ≤”的充要条件. 故选：C. 5. 【答案】C【详解】函数221sin ln x y x x +=−⋅的定义域为()(),00,∞∞−∪+， ()()()()()222211sin ln ln x x f x x x f x x x −++−=−−⋅=⋅=−−，则函数为奇函数，排除选项A 和B ；当πx =时，函数值为0，取2π4ln 102πf =−+<，排除选项D , 故选：C . 6. 【答案】D【详解】由已知222()92e e 9290x x f x x x x −′=−++≥−+=≥，当且仅当0x =时等号成立，所以()f x 是R 上的增函数，又2()33e e 1x x f x x x −−=−++−+2()f x =−，所以不等式()()2232f a f a−+≥化为2()2(23)(32)f a f a f a ≥−−=−，所以232a a ≥−，解得1a ≥或3a ≤−．故选：D ． 7. 【答案】B【详解】令ff (xx )=xx −sin xx (xx >0),gg (xx )=xx −1−ln xx ,ℎ(xx )=ln xx −2(xx−1)xx+1，则()()()()()()22211141cos 0,,011x x f x x g x h x x x x x x −−′=−≥==−=+′′≥+，显然01x <<时()0g x ′<，1x >时()0g x ′>，所以()(),f x h x 在(0,+∞)上单调递增，()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，所以ff (xx )>ff (0)⇒sin xx <xx ,gg (xx )≥gg (1)=0⇒xx −1≥ln xx （1x =时取得等号）， ()()()()21101ln 1x h x h x x x −≥=≥⇒≥+（1x =时取得等号），故52111523sin ln 5223313−<=<<<+a b c <<. 故选：B 8. 【答案】D【详解】()()2ln 1,e2ln 1x xf x x x x a x +≥∴−++−≥ ，即()2ln e 2ln 11x x x x a x+−+−−≤，令()()e 1e 1xxg x x g x =−−⇒=−′，显然0x >时()0g x ′>，0x <时()0g x ′<，即()g x 在(0,+∞)上单调递增，在(),0∞−上单调递减，所以()()00g x g ≥=，则()2ln e 1,e 2ln 10xx xx x x +≥+∴−+−≥，又∵xx >0,∴ee 2xx+ln xx −(2xx+ln xx )−1xx≥0，当且仅当2ln 0x x +=时，等号成立．()2ln min2ln 10,10,11x x e x x a a x + −+−∴=∴−≤∴−≤≤ ．故选：D ．二、多选题：9. 【答案】ACD【详解】由图可知，三次函数()f x 为奇函数，且()f x 的极值点为1、1−，设()32f x bx cx dx e =+++，则()00f e ==，可得()32f x bx cx dx =++，由奇函数的定义可得ff (−xx )=−ff (xx )，即()()()3232b x c x d x bx cx dx ⋅−+⋅−+⋅−=−−−，所以0c =，可得()3f x bx dx =+，则()23f x bx d ′=+，由题意可得()130f b d ′=+=，可得3d b =−，则()233f x bx b ′=−，由图可知，函数()f x 的单调递增区间为(−1,1)，故不等式ff ′(xx )=3bbxx 2−3bb >0解集为(−1,1)，所以0b <，对于A 选项，由题意可知，()()110f f ′−′==，由导数的定义可得()()()()Δ01Δ1lim11Δx f x f f f x→+−=′′=−，故A 正确；对于B 选项，()21239f b b b −′==，()327324f b b b =−=′，由0b <，924b b >，所以()()23f f ′>′，故B 错误；对于C 选项，()33f x bx bx =−，所以0f=−=，故C 正确；对于D 选项，由xxff ′(xx )=xx ⋅3bb (xx 2−1)=3bbxx (xx −1)(xx +1)>0，可得()()110x x x −+<，解得1x <−或01x <<，因此，不等式()0xf x ′>的解集为()(),10,1∞−−∪，故D 正确. 故选：ACD 10. 【答案】ABD【详解】()()πππ2sin 22cos 2323g x x x f x =+−=−+=−，即()f x 与()g x 的图象关于x 轴对称，令ππππ2π32122k x k x +=+⇒=+，的且有相同的对称中心()ππ,0Z 122k k+∈，故A 、B 正确，C 错误；由不等式()()()π20cos 203f x g x f x x≥⇒≥⇒+≥，令()πππ5ππ2π22ππ,πZ 2321212k x k x k k k+≥+≥−+⇒∈−++∈，故D 正确. 故选：ABD 11.【答案】BD【详解】令0,1x y ==，则()()()1010f f f −⋅=，又()()10,01f f ≠∴=，故A 错误；令1,1x y ==−，则()()()()()0111,110f f f f f −⋅−=∴⋅−=，又()10f ≠，()10f ∴−=，再令()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =−−−⋅−=∴−=，()()1,f x x f x ∴=+∴的图象关于()1,0−中心对称，故B 正确；由B 得()1f x x =+，当0x =时，1x e x =+，故C 错误；由B 得()()21,f x x y xf x x x =+=−=−−，在12x =−时取到最大值，故D 正确．三、填空题：12. 【答案】1【详解】由()()()()5i 34i 5i 3434i 5i i 34i 34i 34i 55z z +−=⇒===−−−+，则1z z ===. 故答案为：113.【答案】4+；【详解】因为20a b >>，1a b +=，所以111132()(23)44222b a ba b b a b b a b b a b b−+=+−+=++≥+−−−，当且仅当322b a b a b b −=−，即a b ==时等号成立，故答案：4+． 14. 【答案】e 1,2【详解】设()g x t =，则()f t a =，()21ln e 0xg x x−′=⋅=，得e x =，当()()()0,e ,0,x g x g x >′∈单调递增，当()()()e,0,x g x g x ′∈+∞<,单调递减，当e x =时，函数()g x 取得最大值1，如图1，画出函数()t x g =的图象，由()f t a =，即e t at a −=，则()()e 1,1a t y a t =+=+恒过点()1,0−，如图，画出函数e t y =的图象，设过点()1,0−的切线与e t y =相切于点()00,e tt ，则00e e 1t t t =+，得00t =，即切点()0,1，所以切线方程为1y x =+，如图2，则()1y a t =+与e t y =有2个交点，1a >，如图可知，若函数()()y f g x a =+恰有三个零点，则110t −<<，201t <<，则()le 11a >+，所以e 2a <，为综上可知，e 12a <<．故答案为：e 1,2四、解答题：15.【答案】（1）12a =− （2）极大值为2ln21−；无极小值.【解析】【小问1详解】因为函数()1e 1x f x a =++为RR 上的奇函数，由()100,2f a =∴=−，此时()()1e 2e 1xx f x −=+，则()()111e e 1e e 11e e ()1e 2(e 1)2(e 1)2(e 1)2e 121e x x x x xxx x x x x x f x f x −−−−−−−−===×==−=−+++ ++ ，所以()f x 为奇函数．所以12a =−；【小问2详解】由（1）得：()()()()2e 122e 1,x x g x f x x x g x =++=−+定义域为RR ， ()2e x g x ∴=−′，由()0g x ′>，得ln2x <；由()0g x ′<，得ln2x >，()g x ∴在(),ln2∞−上单调递增，()g x 在()ln2,∞+上单调递减，所以()g x 在ln2x =处取得极大值，()g x 极大值()ln22ln21f ==−；无极小值.16. 【答案】（1）π3A =；（2）32.【解析】【小问1详解】因为tan tan A B +=，所以由正余弦定理得tan tan A B +===，又()sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos cos cos A B A B A B B A C A B A B A B A B A B +++=+===，sin cos cos C A B=，又ABC 是锐角三角形，所以sin 0,cos 0C B >>，所以sin A A =，所以tan A =又π0,2A∈ ，所以π3A =. 【小问2详解】由余弦定理可得222222cos 3a c b cb A c b cb =+−=+−=，即223c b cb +=+，又()12AD AB AC =+ ，所以()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+，又由正弦定理可得2sin sin sin a b c A B C===，所以2sin b B =，2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ==−=+，所以2111cos24cos sin 4222B bc B B B B −=+=+⋅111π4cos22cos212sin 214426B B B B B =−+=−+=−+，由题意得π0,22ππ0,32B B << <−< 解得ππ62B <<，则ππ5π2,666B −∈ ，所以π1sin 2,162B−∈，所以(]2,3bc ∈，所以279,44AD ∈ ，所以线段AD长的取值范围为32 . 17. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【小问1详解】解法一：连接AM 交BN 与点O ，则MAC MCA ∠=∠，tan AB MCA AC ∠==，tan AN ABN AB ∠==，故ABN MCA MAC ∠=∠=∠，从而90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=°，从而AM BN ⊥， PM ⊥ 底面ABC ，BN ⊂ABC ，∴PM BN ⊥，又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM 解法二：连接AM ，由,M N 分别为BC ，AC 的中点，所以1122AM AB AC =+ ， 12BN AB AC =−+ ，又因为AB AC ⊥，1AB =，AC = 所以1110222AM BN AB AC AB AC ⋅=+⋅−+= ，故AM BN ⊥ ，从而AM BN ⊥， ∵PM ⊥底面ABC ，BN ⊂底面ABC ，∴PM BN ⊥，又AM PM M = ，AM PM ⊂，平面APM ，故BN ⊥平面APM【小问2详解】因为AB AC ⊥，故以点A 为坐标原点，,AB AC 所在直线分别为,x y 轴，过点A 作垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()C ,()1,0,0B,1122P,N,12M ，则()AC =，BN =−，1122AP = ,因为平面EBN ⊥底面ABC ，且AM BN ⊥，则AM ⊥平面EBN，则12AM =,易得平面EBN的一个法向量为()1n = ，设平面PAC 的一个法向量为()2,,n x y z = ，则2200AP n AC n ⋅= ⋅=，可得110220x y z = =，令1x =可得()21,0,1n =− ，设二面角A EN B −−为θ，则12cos cos ,n n θ=〉〈== 故二面角A EN B −−18. 【答案】（1）()f x 在(),0−∞单调递增，()0,∞+单调递减；（2）413ea ≤−（3）1−．【解析】【小问1详解】当1a =时，()()2311e x x f x x b −=−−−−，则()33e exx x f x −′−=，易知33e x y x =−−单调递减，且0x =时，0y =，所以令ff ′(xx )>0，解得0x <，令ff ′(xx )<0，解得0x >，所以()f x 在(),0∞−单调递增，(0,+∞)单调递减；【小问2详解】函数()f x 的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，()330ex x f x a −∴=−≥′在定义域内恒成立，或()330ex x f x a −=−≤′，在定义域内恒成立．令()()()4ex x g x f x g x =′−⇒′=，显然()g x ′在(),4∞−为负，()4,∞+为正，所以()33ex x f x a −′=−在(),4∞−单调递减，()4,∞+单调递增， ①若()330ex x f x a −=−≥′在定义域内恒成立，只需()min 41()430e f x f a ==−−′≥′，即413ea ≤−， ②若()330e x x f x a −=−≤′在定义域内恒成立， x →−∞ 时，()f x ∞′→+，故该情况a 无解．综上：413e a ≤−；【小问3详解】若()0f x ≤恒成立，则()23110ex x a x b −−−−−≤，当2x =时，510a b −−−≤，即51a b +≥−，下证51a b +=−成立，由51a b +=−得，()23150e x x a x a −−−+≤恒成立，即()()2136230e e x x x a x x a − −−=−−≤，易知12,3ex y x y a =−=−在R 上分别单调递增、单调递减，又记()20F =，要满足题意需12,3e x y x y a =−=−零点相同，即2130e a −=，解得213ea =，即只需证()()221360e 3ex x F x x −=−−≤恒成立，()231e ex x F x ′−=−，由（2）得()F x ′在(),4∞−上单调递减，在()4,∞+上单调递增，又()()20,F F x =′∴′在(),2∞−上为正，在()2,4上为负，在()4,∞+上为负， ()F x ∴在(),2∞−上单调递增，在()2,∞+上单调递减，()max ()20F x F ∴==，即()0F x ≤恒成立，5a b ∴+最小值为1−．19. 【答案】（1）π12．（2）49π6（3）存在，证明见解析【解析】【小问1详解】()f x 图象的相邻的两条对称轴间的距离为π2()f x ∴的最小正周期为π2π2T =×=， 2π0,2Tωω>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+，又()f x 的图象过点(),0sin f ϕ ∴== ． ()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ <∴==+，因为函数()πsin 223y f x m x m=+=++是偶函数， ()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z ． m ∴的最小值π12．【小问2详解】由()()π414sin 2103g x f x x=+=++= 可得π1sin 234x +=−， 17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ∈−∴+∈−，设π23i i x t +=，由sin y t =与14y =−图象可知在5π11π,22 −共有8个交点．182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=，1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=，同理2345672222227πx x x x x x +++++=， 1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=．【小问3详解】()()()π1π1sin 2,sin 23262x xf x x h x f x x λλ =+∴−=假设存在非零实数λ，使得函数()()1sin 22x h x x λ =是R 上的周期为T 的T 级周期函数，即x ∀∈R ，恒有()()h x T T h x +=⋅，则x ∀∈R ，恒有()()11sin 22sin 222x T x x T T x λλλ+ +=⋅成立，则x ∀∈R ，恒有()()sin 222sin 2T x T T x λλλ+=⋅成立，当0λ≠时，x ∀∈R ，则2,22x x T λλλ∈+∈R R ，所以()1sin21,1sin 221x x T λλλ−≤≤−≤+≤，要使得()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅恒成立，则有21T T ⋅=±①当21T T ⋅=时，则0T >，即12T T =，令()12x p x x=−，其中0x >，则()120,121102p p =−<=−=>，且函数()p x 在()0,∞+上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数()p x 在()0,∞+上有唯一的零点，此时，()sin 22sin2x T x λλλ+=恒成立，则()22T m m λπ=∈Z ，即()m m Tπλ=∈Z ； ②当21T T ⋅=−时，则0T <，即2T T −−=，作出函数y x =−、2x y −=的图象如下图所示：由图可知，函数2x y x y −=−=、的图象没有公共点，故方程21T T ⋅=−无实数解．综上所述，存在()πm m Tλ=∈Z 满足题意，其中T 满足21T T ⋅=。

福建省南安一中2014-2015学年高一上学期期中考试(数学)

南安一中2014-2015学年度秋季高一期中考数学科试卷(考试时间：120分钟满分：150分)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．全集{}1,2,3,4,0U =----，集合{}{}1,2,0,3,4,0A B =--=--，则()U C A B ⋂=（）A.{}0B.{}3,4--C.{}1,2--D.φ2．设1232,2,()log (1),2,x e x f x x x -⎧ <⎪=⎨-≥⎪⎩，则[(2)]f f 的值为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．()1-=x x f |的图象是（）4．下列各组函数中，表示同一函数的是（） A ．xxy y ==,1 B ．1,112-=+⨯-=x y x x y C ．2)(|,|x y x y == D ．33,x y x y == 5．函数243,[0,3]y x x x =-+∈的值域为（）A.[0,3]B.[-1,0]C.[-1,3]D.[0,2]6．函数log (3)2a y x =-+（0>a 且1≠a ）的图象恒过定点（） A. ()3,0 B. ()3,2 C. ()4,2 D.()4,0 7．下列函数是奇函数的是（）A ．()lg(1)lg(1)f x x x =+--B ．()22xxf x -=+ C ．()||f x x =- D ．3()1f x x =-8．设0.3777,0.3,log 0.3a b c ===，则c b a ,,的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b a c <<D ．c b a << 9. 函数()f x =xe x1-的零点所在的区间是（） A ．（0，21） B ．（21，1） C ．（1，23） D ．（23，2）10．已知0,0a b >>且1ab =,则函数xa x f =)(与x x gb log )(-=的图象可能是（）A B C D11．函数()log |1|a f x x =+（0>a 且1≠a ）.当(1,0)x ∈-时，恒有()0f x >，有( ) A ．()f x 在(,1)-∞-上是增函数 B ．()f x 在(,1)-∞-上是减函数 C ．()f x 在(0,)+∞上是增函数 D ．()f x 在(,0)-∞+上是减函数12．已知函数x e ax 0f (x)2x 1x 0⎧+≤=⎨->⎩，若函数)(x f 在R 上有两个不同零点，则a 的取值范围是( )A. ),1[+∞-B.()+∞-,1C.()0,1-D.[)0,1- 二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡相应位置） 13．函数y =的定义域为 14．幂函数αx x f =)(的图象经过点)21,4(，则1()4f 的值为__________． 15. 已知奇函数)(x f 在0≥x 时的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是．16．函数()f x 的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数．例如，函数()f x =2x +1(x ∈R )是单函数．下列结论：①函数2()f x x =（x ∈R ）是单函数；②指数函数()2x f x =（x ∈R ）是单函数；③若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；④若()f x 在定义域上是单调函数，则()f x 一定是单函数．其中结论正确是_________．（写出所有你认为正确的编号）三、解答题（本大题共6小题，共74分。

福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高一上学期期中考试物理试题

福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高一上学期期中考试物理试题（满分：100分；时间：90分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。

2．每小题选出答案后，填入答案卷中。

3．考试结束，考生只将答案卷交回，试卷自己保留。

第Ⅰ卷（选择题，48分）一.单项选择题：（本题共12题，每小题4分，共48分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确，选对的得4分，有选错或不答的得0分）1.下列关于质点的说法正确的是（）A．研究轻小物体的运动，都可以把物体看作质点B．研究花样滑冰运动员动作时，可把运动员看作质点C．研究姚明的扣篮动作时，可以把姚明看作质点D．研究从宁德开往上海的一列动车的运行速度时，可以把列车看作质点2.钓鱼岛(The Diaoyu Islands)自古就是我国固有领土，其位置在距宁德市约353km。

若我国某海监船为维护我国对钓鱼岛主权，从宁德出发去钓鱼岛巡航，到达钓鱼岛时航行了486 km。

则下列说法中正确的是（）A．该海监船位移是486 km，路程353kmB．该海监船位移是353 km，路程486 kmC．该海监船的位移可能比353 km大D．该海监船的路程可能比353 km小3.关于速度和加速度的概念，下列说法正确的是（）A．物体的加速度越大，速度也一定越大B．物体的加速度越大，速度的变化也一定越大C．物体的加速度越小，速度也一定越小D．物体的速度为零，加速度不一定为零4.下列情况中属于平均速度的是（）A．子弹射到墙上时的速度为800m/sB．百米赛跑的运动员冲过终点线时的速度为9.5m/sC．返回地球的太空舱落到太平洋水面时的速度为8m/sD．由于堵车，汽车在通过隧道过程中的速度仅为1.2m/s5.水平桌面上放着一本书，有关书与桌面之间的作用力，下列说法正确的是（）A ．桌面受到的压力就是书的重力B ．桌面受到的压力是由于桌面发生微小形变而产生的C ．书受到支持力是由于桌面发生微小形变而产生的D ．书受到支持力是由于书发生微小的形变而产生的 6.关于摩擦力与弹力，下列说法中正确的是（） A ．两物体间有弹力作用时，物体间一定有摩擦力 B ．两物体间有摩擦力作用时，物体间一定有弹力 C ．摩擦力的大小一定与接触面的压力成正比 D ．受到静摩擦力的物体一定是静止的7.如图所示甲、乙两物体运动的s -t 图象，下列关于甲、乙两物体运动的说法，正确的是( )A ．甲、乙两物体同时出发B ．甲、乙两物体在同一位置出发C ．甲的速度比乙的速度小D ．t 2时刻两物体速度相同8.A 、B 两物体同时由同一地点向同一方向作直线运动，其υ－t 图像如图所示，下列说法正确的是（）A ．A 物体处于静止，B 物体做匀速直线运动 B ．B 物体的加速度为0.8m/s 2C ．5 s 时A 、B 两物体相遇D ．10s 内B 物体一直在A 物体之前9.电动自行车以6m/s 的速度做匀速直线运动，刹车后的加速度大小为2m/s 2，那么开始刹车后4s 内电动自行车通过的位移为（） A ．8 mB ．9 mC ．27 mD ．40 m10．一根轻质弹簧下端固定在水平地面上，用重为G 的物块放在弹簧的上端，静止时弹簧长度为1l ；现改用大小为G F 2=的力拉弹簧上端，静止时弹簧长度为2l （弹簧的拉伸或压缩均在弹性限度内）。

2014-2015年福建省宁德二中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣22．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：13．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣105．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣206．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值9．（5分）设集合（）A．B．C．D．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=．12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为．15．（4分）当x=时，函数y=x2（2﹣x2）有最值，且最值是．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．20．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．2014-2015学年福建省宁德二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的序号填在答题纸上．）1．（5分）在△ABC中，若C=90°，a=6，B=30°，则c﹣b等于（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：c==4，b=atan30°=2∴c﹣b=4﹣2=2故选：C．2．（5分）在△ABC中，A：B：C=1：2：3，则a：b：c等于（）A．1：2：3 B．3：2：1 C．1：：2 D．2：：1【解答】解：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=π所以∠A=，∠B=，∠C=．由正弦定理可知：a：b：c=sin∠A：sin∠B：sin∠C=sin：sin：sin=1：：2．故选：C．3．（5分）边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A．90°B．120°C．135° D．150°【解答】解：根据三角形角边关系可得，最大角与最小角所对的边的长分别为8与5，设长为7的边所对的角为θ，则最大角与最小角的和是180°﹣θ，有余弦定理可得，cosθ==，易得θ=60°，则最大角与最小角的和是180°﹣θ=120°，故选：B．4．（5分）已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2=（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10【解答】解：∵a 4=a1+6，a3=a1+4，a1，a3，a4成等比数列，∴a 32=a1•a4，即（a1+4）2=a1×（a1+6），解得a1=﹣8，∴a2=a1+2=﹣6．故选：B．5．（5分）等差数列{a n}中，a1+a2+…+a50=200，a51+a52+…+a100=2700，则a1等于（）A．﹣1221 B．﹣21.5 C．﹣20.5 D．﹣20【解答】解：∵a1+a2+…+a50=200 ①a51+a52+…+a100=2700 ②②﹣①得：50×50d=2500，∴d=1，∵a1+a2+…+a50=200，∴na1+n（n﹣1）d=200，∴50a1+25×49=200，∴a1=﹣20.5，故选：C．6．（5分）下列各对不等式中同解的是（）A．2x＜7与 B．（x+1）2＞0与x+1≠0C．|x﹣3|＞1与x﹣3＞1 D．（x+1）3＞x3与【解答】解：A、2x＜7，解得x＜，2x+＜7+，解得：0≤x＜，不是同解不等式本选项错误；B、（x+1）2＞0与x+1≠0为同解不等式，本选项正确；C、|x﹣3|＞1化为x﹣3＜﹣1或x﹣3＞1，与x﹣3＞1不是同解不等式，本选项错误；D、（x+1）3＞x3变形得：x+1＞x，即1＞0恒成立，而＜，x+1≠0且x≠0，不是同解不等式，本选项错误，故选：B．7．（5分）设a＞1＞b＞﹣1，则下列不等式中恒成立的是（）A．B．C．a＞b2D．a2＞2b【解答】解：对于A，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故A错对于B，例如a=2，b=此时满足a＞1＞b＞﹣1但故B错对于C，∵﹣1＜b＜1∴0≤b2＜1∵a＞1∴a＞b2故C正确对于D，例如a=此时满足a＞1＞b＞﹣1，a2＜2b故D错故选：C．8．（5分）如果实数x，y满足x2+y2=1，则（1+xy）（1﹣xy）有（）A．最小值和最大值1 B．最大值1和最小值C．最小值而无最大值 D．最大值1而无最小值【解答】解：∵x2+y2=1，∴x=sinθ，y=cosθ，∴（1﹣xy）（1+xy）=1﹣x2y2=1﹣（sinθcosθ）2=1﹣=1﹣sin22θ，当sin2θ=0时，1﹣sin22θ有最大值1；当sin2θ=±1时，1﹣sin22θ有最小值．∴（1﹣xy）（1+xy）的最大值是1，最小值是．故选：B．9．（5分）设集合（）A．B．C．D．【解答】解：集合A中的不等式，当x＞0时，解得：x＞；当x＜0时，解得：x＜，集合B中的解集为x＞，则A∩B=（，+∞）．故选：B．10．（5分）不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（）A．10 B．﹣10 C．14 D．﹣14【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是即方程ax2+bx+2=0的解为故则a=﹣12，b=﹣2，a+b=﹣14．二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分．）11．（4分）在△ABC中，若b=2，B=30°，C=135°，则a=﹣．【解答】解：A=180°﹣30°﹣135°=15°，sin15°=sin（45°﹣30°）=sin45°cos30°﹣cos45°sin30°=根据正弦定理得=∴a==﹣故答案为﹣12．（4分）数列{a n}是等差数列，a4=7，S7=49．【解答】解：==7a4=49．故答案：49．13．（4分）等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5=38．【解答】解：等差数列{a n}中，a2=5，a6=33，则a3+a5 =a2+a6=5+33=38，故答案为38．14．（4分）一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30，则这个两位数为13或24．【解答】解：设十位数字为x，则个位数字为（x+2），∴10＜10x+x+2＜30，解得＜x＜，∵x取整数，则x=1或2，当x=1时，该两位数为13；当x=2时，该两位数为24．故这两个数字为13或者24．故答案为：13或24．15．（4分）当x=±1时，函数y=x2（2﹣x2）有最大值，且最值是1．【解答】解：当x2＜2时，函数y=x2（2﹣x2）=1，当且仅当x2=1，即x=±1时取等号．∴函数y=x2（2﹣x2）有最大值1，故答案分别为：±1，大，1．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．三个数成等差数列，其比为3：4：5，如果最小数加上1，则三数成等比数列，求这三个数．【解答】解：设三个数分别为：3x，4x，5x，（x≠0），∵最小数加上1，则三数成等比数列，①当x＞0时，最小的数为3x，则3x+1，4x，5x成等比数列，∴（4x）2=5x（3x+1），化简可得x2﹣5x=0，即x（x﹣5）=0，解得x=0（舍去）或x=5，∴原三个数是15，20，25；②当x＜0时，最小的数为5x，则3x，4x，5x+1成等比数列，∴（4x）2=（5x+1）•3x，化简可得x2﹣3x=0，即x（x﹣3）=0，解得x=0（舍去）或x=3，又∵x＜0，∴x无解．综合①②可得，原三个数为15，20，25．17．在△ABC中，若A+B=120°，则求证：+=1．【解答】证明：∵在△ABC中，A+B=120°，∴C=60°，由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴c2+ab=a2+b2，∴c2+ab+ac+bc=a2+b2+ac+bc，∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），∴1=+，则+=1．18．解不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2．【解答】解：不等式﹣4＜﹣x2﹣x﹣＜﹣2可化为8＞x2+2x+3＞4，它等价于；解①得，x2+2x﹣5＜0，∴﹣1﹣＜x＜﹣1+；解②得，x2+2x﹣1＞0，∴x＜﹣1﹣，或x＞﹣1+；综上，﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+；∴不等式的解集为{x|﹣1﹣＜x＜﹣1﹣，或﹣1+＜x＜﹣1+}．19．求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件．【解答】解：作出约束条件所对应的区域，可知当目标直线z=2x+y过直线y=﹣1与直线x+y=1的交点（2，﹣1）时取最大值，代入可得z=2×2﹣1=3故z=2x+y的最大值为：320．已知a＞2，求证：log（a﹣1）a＞log a（a+1）【解答】证明（法一）：∵=．因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，log a（a﹣1）•log a（a+1）=）a﹣log a（a+1）＞0，命题得证．所以，log（a﹣1证明2：因为a＞2，所以，log a（a﹣1）＞0，log a（a+1）＞0，所以，由法1可知：log a（a﹣1）•log a（a+1）=∴＞1．故命题得证21．如果x2+y2=1，求3x﹣4y的最大值．【解答】解：设3x﹣4y=b，即3x﹣4y﹣b=0，则圆心到直线的距离d=，即|b|≤5，解得﹣5≤b≤5，故3x﹣4y的最大值5．。

福建省宁德市福宁古五校教学联合体2024-2025学年高三上学期期中联考数学试卷(含答案)

福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学试题（考试时间：120分钟，试卷总分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．已知集合，则（）A ．B ．C ．D ．2．某一物质在特殊环境下的温度变化满足：（为时间，单位为为特殊环境温度，为该物质在特殊环境下的初始温度，为该物质在特殊环境下冷却后的温度），假设一开始该物质初始温度为100℃，特殊环境温度是20℃，则经过15min ，该物质的温度最接近（参考数据：）（）A ．54℃B ．52℃C ．50℃D ．48℃3．在中，已知是关于的方程的两个实根，则角的大小为（）A ．B ．C ．D ．4．对任意实数，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数的大致图象是（）{}30,21x M x Q x x x ⎧⎫-=≤=∈≤⎨⎬+⎩⎭N M Q = {}0,1,2[]0,2(]2,2-{}1,21015lnw w T w w -=-T 0min,w 1w w e 2.72≈ABC △tan ,tan A B x 2670x x -+=C 3π42π3π3π4()2,x ∈+∞4a x x<+4a ≤221sin ln x y x x +=-⋅A ．B ．C ．D ．6．已知函数，若，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．7．已知，则（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，若对任意的，都有恒成立，则实数的取值范围为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知三次函数的图象如图，则下列说法正确的是（）A ．B ．C ．D ．的解集为10．已知函数，则（）A ．与的图象有相同的对称中心B ．与的图象关于轴对称()332e e 1x x f x x x -=-+-+()()2232f a f a -+≥a (],1-∞[]3,1-(][),13,-∞-+∞(][),31,-∞-+∞ 1215sin ,ln ,223a b c -===c b a <<a b c <<a c b <<b a c<<()2ln x f x xe x x a x =---0x >()1f x ≥a []4,4-[]3,3-[]2,2-[]1,1-()f x ()()()Δ01Δ1lim1Δx f x f f x→+-=-'()()23f f '<'0f=()0xf x '>()(),10,1-∞- ()()ππ2cos 2,2sin 236f x x g x x ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()f x ()g x ()f x ()g x xC ．与的图象关于轴对称D ．的解集为11．已知函数的定义域为，且，若，则（）A ．B ．关于中心对称C ．D ．函数有最大值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共15分12．已知复数满足，则______．13．已知，则的最小值为______．14．已知，若函数恰有三个零点，则的取值范围为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数为上的奇函数．（1）求；（2）若函数，讨论的极值．16．（15分）在锐角中，内角的对边分别为，且．（1）求角A 的大小；（2）若，点是线段的中点，求线段长的取值范围．17．（15分）在三棱锥中，底面，分别为的中点，为线段上一点．（1）求证：平面；()f x ()g x y()()f x g x ≥()5πππ,π1212k kk ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ()f x R ()10f ≠()()()f x y f x f y xy +-=-()00f =()f x ()1,0-()x e f x >()y xf x =-z ()34i 5i z -=z =,,20,1a b a b a b ∈>>+=R 112a b b+-()()()eln e ,xxf x ax ag x x=-∈=R ()()y f g x a =-a ()11x f x a e =++R a ()()()212xg x e f x x =++()g x ABC △,,A B C ,,a b c tan tan A B +=BC =D BC AD P ABC -PM ⊥,,1ABC AB AC AB ⊥=,AC M N =,BC AC E AP BN ⊥APM（2）若平面底面且，求二面角的正弦值．18．（17分）已知函数，其中是实数．（1）若，求的单调区间；（2）若函数在定义域上是单调函数，求实数的取值范围；（3）若恒成立，求的最小值．19．（17分）已知函数图象的相邻两条对称轴间的距离为，且函数图象过点．（1）若函数是偶函数，求的最小值；（2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求的值；（3）设函数，如果对于定义域D 内的任意实数，对于给定的非零常数，总存在非零常数T ，恒有成立，则称函数是D 上的“级周期函数”，周期为T ．请探究是否存在非零实数，使函数是R 上的周期为T 的T 级周期函数，并证明你的结论．福宁古五校教学联合体2024-2025学年第一学期期中质量监测高三数学参考答案一、单选题12345678ACDCCDBD8．解：，即，易知EBN ⊥ABC 12PM =A ENB --()()2311ex x f x a x b -=----,a b 1a =()f x ()f x a ()0f x ≤5a b +()()πsin ,0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭π2()f x ⎛ ⎝()y f x m =+m ()()41g x f x =+()g x 17π31π,1212x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦12,,,n x x x 1231222n n x x x x x -+++++ (),y x x D ϕ=∈x P ()()x T P x ϕϕ+=⋅()x ϕP λ()1π26xh x f x λ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2ln 1,2ln 1x x f x e x x x a x +≥∴-++-≥ ()2ln 2ln 11x xe x x a x+-+--≤，又，当且仅当时，等号成立．．故选D ．二、多选题91011ACDABDBD11．解：令，则，又，故A 错误；令，则，又，，再令，的图象关于中心对称，故B 正确；由B 得，当时，，故C 错误；由B 得，在时取到最大值，故D 正确．三、填空题12．1； 13．14．14．解：设，则，，得，当单调递增，当单调递减，当时，函数取得最大值1，如图1，画出函数的图象，()2ln 1,2ln 10x x xe x ex x +≥+∴-+-≥()2ln 2ln 10,0x x e x x x x+-+->∴≥ 2ln 0x x +=()2ln min 2ln 10,10,11x x e x x a a x +⎛⎫-+-∴=∴-=∴-≤≤ ⎪⎝⎭0,1x y ==()()()1010f f f -⋅=()()10,01f f ≠∴=1,1x y ==-()()()()()0111,110f f f f f -⋅-=∴⋅-=()10f ≠()10f ∴-=()()()()1,11,1y f x f x f x f x x =---⋅-=∴-=()()1,f x x f x ∴=+∴()1,0-()1f x x =+0x =1xe x =+()()21,f x x y xf x x x =+=-=--12x =-4+1,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x t =()f t a =()21ln e 0xg x x-'=⋅=e x =()()()0,e ,0,x g x g x >'∈()()()e,,0,x g x g x '∈+∞<e x =()g x ()t g x =由，即，则恒过点，如图，画出函数的图象，设过点的切线与相切于点，则，得，即切点，所以切线方程为，如图2，则与有2个交点，，如图可知，若函数恰有三个零点，则，，则，所以，综上可知，．故答案为：四、解答题15．（1）因为函数为上的奇函数，由，此时，显然为奇函数．所以（2）由（1）得：定义域为，，()f t a =e tat a -=()()e 1,1t a t y a t =+=+()1,0-e t y =()1,0-e ty =()00,e tt 000e e 1t t t =+00t =()0,11y x =+()1y a t =+e ty =1a >()()y f g x a =+110t -<<201t <<()l e 11a >+e 2a <e 12a <<e 1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()11xf x a e =++R ()100,2f a =∴=-()()121xx e f x e -=+12a =-()()()()21221,xxg x e f x x x e g x =++=-+R ()2x g x e ∴=-'由得；由得，在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极大值，；无极小值16．（1）因为，由余弦定理得，由正弦定理得，又是锐角三角形，所以，所以，所以又，所以．（2）由余弦定理可得，又，所以，由正弦定理可得，所以，，所以，由题意得解得，则，所以，所以，()0g x '>ln2x <()0g x '<ln2x >()g x ∴(),ln2-∞()g x ()ln2,+∞()g x ln2x =()()ln22ln21f x f ==-极大值tan tan A B +=tan tan A B +===()sin sin sin sin sin cos sin cos sin tan tan sin cos cos cos cos cos cos cos cos cos A B C A B A B B A CA B A B A B A B A B A B+++==+===ABC △sin 0,cos 0C B >>sin A A =tan A =π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π3A =222222cos 3a c b cb A c b cb =+-=+-=()12AD AB AC =+ ()()222222111()2444AD AB AC AB AC AB AC c b bc =+=++⋅=++ ()13132442bc bc =+=+2sin sin sin a b cA B C===2sin b B =2π12sin 2sin 2sin 32c C B B B ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎝⎭⎭2111cos2π4cos sin 42sin 212226B bc B B B B B ⎫⎫-⎛⎫=+=+⋅=-+⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎭π0,22ππ0,32B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62B <<ππ5π2,666B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭π1sin 2,162B ⎛⎫⎛⎤-∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦(]2,3bc ∈所以，所以线段长的取值范围为17．（1）解法一：连接交与点0，则，，故，从而，从而，底面底面，又，故平面（1）解法二：连接，由分别为的中点，所以，，又因为，所以，故，从而，底面底面，又，故平面（2）因为，故以点为坐标原点，所在直线分别为轴，过点作垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，因为平面底面，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，279,44AD ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦AD 32⎤⎥⎦AM BN MAC MCA ∠=∠tan tan AB AN MCA ABN AC AB ∠==∠==ABN MCA MAC ∠=∠=∠90MAB ABN MAB MAC ∠+∠=∠+∠=︒AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAM ,M N ,BC AC 1122AM AB AC =+12BN AB AC =-+,1,AB AC AB AC ⊥==1110222AM BN AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭AM BN ⊥AM BN ⊥PM ⊥ ,ABC BN ⊂,ABC PM BN ∴⊥AM PM M = BN ⊥APMAB AC ⊥A ,AB AC ,x y A ABC z ()()()110,0,0,,1,0,0,,22A C B P N ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11,,22AC BN AP ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭EBN ⊥ABCEBN ()1n =PAC ()2,,n x y z =则，可得，令可得，设二面角为，则故二面角．18．（1）当时，，则，令，解得，令，解得，所以在单调递增，单调递减；（2）函数的图象是连续的，且在定义域上是单调函数，在定义域内恒成立，或，在定义域内恒成立．在为负，为正，所以在单调递减，单调递增，（1）若在定义域内恒成立，只需，即，（2）若在定义域内恒成立，时，，故该情况无解．综上：．（3）若恒成立，则，当时，，即，2200AP n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 110220x y z ⎧++=⎪⎨=1x =()21,0,1n =- A EN B --θ12cos cos ,n n θ=〉〈==A ENB --1a =()()231x x f x x e -=--()33xxf x e-'=-()0f x '>0x <()0f x '<0x >()f x (),0-∞()0,+∞ ()f x ()330x x f x a e -∴=-≥'()330xxf x a e -'-=≤()4x x f x e='-'(),4-∞()4,+∞()33xxf x a e -='-(),4-∞()4,+∞()330x xf x a e-'-=≥()min 41()430f x f a e ==--'≥'413a e≤-()330xxf x a e -'-=≤x →-∞ ()f x '→+∞a 413a e ≤-()0f x ≤()23110ex x a x b -----≤2x =510a b ---≤51a b +≥-下证成立，由得，恒成立，即，记，故，而，则，解得，只需证恒成立，，由（2）得在上单调递减，在上单调递增，又在上为正，在上为负，在上为负，在上单调递增，在上单调递减，，即恒成立，最小值为．19．解：（1）图象的相邻的两条对称轴间的距离为的最小正周期为，又的图象过点．因为函数是偶函数．的最小值．51a b +=-51a b +=-()23150e xx a x a ---+≤()2360ex x a x ---≤()()()23620e xx F x a x F -=--⇒=()20F '=()33e x x F x a -'=-2130e a -=213ea =()()221360e 3x x F x x e-=--≤()231e x x F x e'-=-()F x '(),4-∞()4,+∞()()20,F F x ='∴'(),2-∞()2,4()4,+∞()F x ∴(),2-∞()2,+∞()max ()20F x F ∴==()0F x ≤5a b ∴+1-()f x π2()f x ∴π2πT 2π0,22Tωω=⨯=>∴== ()()sin 2f x x ϕ∴=+()f x (),0sin f ϕ⎛∴== ⎝()πππ,,sin 2233f x x ϕϕ⎛⎫<∴==+ ⎪⎝⎭ ()πsin 223y f x m x m ⎛⎫=+=++⎪⎝⎭()()ππππ2π,32122k m k k m k ∴+=+∈∴=+∈Z Z m ∴π12（2）由可得设，由与图象可知在共有8个交点．，同理，．（3）假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数，即，恒有，则，恒有成立，则，恒有成立，当时，，则，所以，，要使得恒成立，则有当时，则，即，令，其中，()()π414sin 2103g x f x x ⎛⎫=+=++= ⎪⎝⎭π1sin 234x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭17π31ππ5π11π,,2,1212322x x ⎡⎤⎡⎤∈-∴+∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦π23i i x t +=sin y t =14y =-5π11π,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦182736453πt t t t t t t t +=+=+=+=1818ππ7π223π,336x x x x ∴+++=∴+=2345672222227πx x x x x x +++++=1234567849π2222226x x x x x x x x ∴+++++++=()()()π1π1sin 2,sin 23262x x f x x h x f x x λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∴=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ λ()1sin22xh x x λ⎛⎫= ⎪⎝⎭R T T x ∀∈R ()()h x T T h x +=⋅x ∀∈R ()11sin 22sin222x T xx T T x λλλ+⎛⎫⎛⎫+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∀∈R ()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅0λ≠x ∀∈R 2,22x x T λλλ∈+∈R R ()1sin21,1sin 221x x T λλλ-≤≤-≤+≤()sin 222sin2T x T T x λλλ+=⋅21TT ⋅=±21T T ⋅=0T >12T T =()12x p x x=-0x >则，且函数在上的图象是连续的，由零点存在定理可知，函数在上有唯一的零点，此时，恒成立，则，即；当时，则，即，作出函数、的图象如下图所示：由图可知，函数的图象没有公共点，故方程无实数解．综上所述，存在满足题意，其中满足．()120,121102p p ⎛⎫=-<=-=> ⎪⎝⎭()p x ()0,+∞()p x ()0,+∞()sin 22sin2x T x λλλ+=()22T m m λπ=∈Z ()m m T πλ=∈Z 21T T ⋅=-0T <2T T --=y x =-2x y -=2x y x y -=-=、21T T ⋅=-()m m T πλ=∈Z T 21T T ⋅=。

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2014-2015学年福建省宁德市五校联考高一（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.） 1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（） A． {1，2，4} B． {2，3，4} C． {0，2，4} D．{0，2，3，4}

2．（5分）已知集合，则下列关系中正确的是（） A． π∉A B． {π}∈A C． π⊆A D．{π}⊆A

3．（5分）下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是（） A． y= B． f（x）= C． f（x）= D．f（x）=ex

4．（5分）函数y=x2﹣2x，x∈的值域是（） A． C． D．

5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A． y=x B． y=﹣x3 C． y= D．

6．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（） A． a＜c＜b B． a＜b＜c C． b＜a＜c D．b＜c＜a

7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的区间是（） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

8．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．； ②函数y=f（x）在区间上有5个零点； ③函数y=f（x）是奇函数；

④函数y=f（x）在（﹣，）上是增函数．其中正确的是（） A． ①② B． ②④ C． ②③ D．①④

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置 11．（4分）已知幂函数f（x）=xa经过点P（2，），则a=． 12．（4分）若函数f（x）=，则f=． 13．（4分）函数y=ax﹣1+1 （a＞0且a≠1）的图象恒过定点P，则P点的坐标是． 14．（4分）设f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，又f（﹣2）=0，则满足不等式f（x）＜0的x取值范围是．

15．（4分）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下四个结论： ①集合A={0}为闭集合； ②集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合； ③集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合； ④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中所有正确结论的序号是．

三.解答题：（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16．（13分）计算下列各式的值：

（Ⅰ）27﹣（﹣8.5）0+；（Ⅱ）2lg5+lg4+4log43．

17．（13分）已知集合A={x|2＜x＜7}，B={x|2＜x＜10}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁RA）∩B；（Ⅱ）若C⊆B，求实数a的取值范围．

18．（13分）已知二次函数f（x）=x2+bx+c有两个零点0和3．（Ⅰ）求f（x）的解析式；

（Ⅱ）设g（x）=，试判断函数g（x）在区间（0，3）上的单调性并用定义证明．

19．（13分）闽东某电机厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产某型号电机产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入R（x）（万元）满

足R（x）=，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：（Ⅰ）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入﹣总成本）；（Ⅱ）工厂生产多少台产品时，可使利润最多？ 20．（14分）已知函数f（x）=loga（2+x），g（x）=loga（2﹣x），a＞0且a≠1且设h（x）=f（x）﹣g（x）．（Ⅰ）求函数h（x）的定义域；（Ⅱ）判断h（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）当f（x）＞g（x）时，求x的取值范围．

21．（14分）已知函数f（x）=1﹣（a＞0，a≠1）且f（0）=0．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若函数g（x）=（2x+1）•f（x）+k有零点，求实数k的取值范围．（Ⅲ）当x∈（0，1）时，f（x）＞m•2x﹣2恒成立，求实数m的取值范围．

2014-2015学年福建省宁德市五校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确答案涂在答题卡的相应位置.） 1．（5分）已知全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}，B={2，4}，则（∁UA）∪B为（） A． {1，2，4} B． {2，3，4} C． {0，2，4} D．{0，2，3，4}

考点：交、并、补集的混合运算．专题：计算题．分析：找出全集U中不属于A的元素，求出A的补集，找出既属于A补集又属于B的元素，确定出所求的集合．解答：解：∵全集U={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3}， ∴CUA={0，4}，又B={2，4}，则（CUA）∪B={0，2，4}．故选C 点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．

2．（5分）已知集合，则下列关系中正确的是（） A． π∉A B． {π}∈A C． π⊆A D．{π}⊆A

考点：集合的包含关系判断及应用．专题：计算题．分析：可以元素与集合是属于和不属于的关系，集合与集合是包含与不包含的关系，利用此信息进行求解；解答：解：∵集合， π≈3.14， ∴π∈A， {π}⊆A，故选D；点评：此题主要考查集合中元素与集合的关系，集合之间的关系，是一道基础题；

3．（5分）下列函数中，与函数f（x）=lnx有相同定义域的是（） A． y= B． f（x）= C． f（x）= D．f（x）=ex

考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：分别求出各个函数的定义域，利用函数的定义域求解．解答：解：函数f（x）=lnx的定义域为x＞0，

f（x）=的定义域为x＞0，故A成立；

f（x）=的定义域为x≠0，故B不成立； f（x）=的定义域为x≥0，故C成立； f（x）=ex的定义域为R，故D不成立；故选：A．点评：本题考查函数的定义域的应用，是基础题，解题时要认真审题．

4．（5分）函数y=x2﹣2x，x∈的值域是（） A． C． D．

考点：二次函数在闭区间上的最值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：将函数进行配方，确定函数在上的单调性，即可求得函数的值域．解答：解：函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，函数的对称轴为直线x=1 ∴函数在上单调减，在上单调增 ∴x=1时，函数取得最小值﹣1；x=3时，函数取得最大值3 ∴函数y=x2﹣2x，x∈的值域是故选B．点评：本题考查二次函数在指定区间上的值域，考查函数的单调性，属于基础题．

5．（5分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（） A． y=x B． y=﹣x3 C． y= D．

考点：奇偶性与单调性的综合．专题：探究型．分析：对于A，是一次函数，在其定义域内是奇函数且是增函数；对于B，是幂函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数；对于C，是幂函数，在其定义域内既是奇函数，但不是奇函数；对于D，是指数函数，在其定义域内是减函数，但不是奇函数．故可得结论．解答：解：对于A，是一次函数，在其定义域内是奇函数且是增函数；对于B，是幂函数，在其定义域内既是奇函数又是减函数；对于C，是幂函数，在其定义域内既是奇函数，但不是减函数；对于D，是指数函数，在其定义域内是减函数，但不是奇函数；综上知，B满足题意故选B．点评：本题考查函数奇偶性与单调性的综合，考查常见初等函数，需要一一判断．

6．（5分）三个数a=0.62，b=log20.6，c=20.6之间的大小关系是（） A． a＜c＜b B． a＜b＜c C． b＜a＜c D．b＜c＜a

考点：对数值大小的比较．专题：函数的性质及应用．分析：分别根据指数幂和对数的性质分别判断a，b，c的大小即可．解答：解：∵0＜0.62＜1，log20.6＜0，20.6＞1， ∴0＜a＜1，b＜0，c＞1， ∴b＜a＜c，故选：C．点评：本题主要考查函数值的大小比较，利用指数函数和对数函数的性质是解决本题的关键．

7．（5分）函数f（x）=3x+x﹣2的零点所在的区间是（） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．

分析：判断函数f（x）=3x+x﹣2单调递增，求出f（0）=﹣1，f（1）=2，f（）=＞0，即可判断．解答：解：∵函数f（x）=3x+x﹣2单调递增，

∴f（0）=﹣1，f（1）=2，f（）=＞0，

根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是（0，），故选：A 点评：本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．

8．（5分）函数f（x）=﹣x2+2ax+5在区间（4，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（） A．（﹣∞，4] B．（﹣∞，4） C．分析：先求出函数的对称轴，根据函数的单调性，从而求出a的范围．