恒成立问题的解题策略
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题战略之袁州冬雪创作一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型 1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()mina f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另外一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B.9、若不等式()()>在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f xg x函数()y g x=图象上方；=和图象在函数()y f x10、若不等式()()<在区间D上恒成立，则等价于在区间Df xg x上函数()=图象下方；y g xy f x=和图象在函数()恒成立问题的基本类型在数学问题研究中常常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表示形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的定义域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形连系、函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题才能，在培养思维的矫捷性、创造性等方面起到了积极的作用.因此也成为积年高考的一个热点.恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象.二、恒成立问题处理的基本战略大家知道，恒成立问题分等式中的恒成立问题和不等式中的恒成立问题.等式中的恒成立问题，特别是多项式恒成立问题，常简化为对应次数的系数相等从而建立一个方程组来处理问题的.（一）两个基本思想处理“恒成立问题”思路1、max )]([)(x f m D x x f m ≥⇔∈≥上恒成立在 思路2、min )]([)(x f m D x x f m ≤⇔∈≤上恒成立在如何在区间D 上求函数f(x)的最大值或者最小值问题,我们可以通过习题的实际,采纳合理有效的方法停止求解,通常可以思索操纵函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均值定理、函数求导等等方法求函数f （x ）的最值.这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近些年来高考中频频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累.（二）、赋值型——操纵特殊值求解等式恒成立问题等式中的恒成立问题，经常常使用赋值法求解，特别是对处理填空题、选择题能很快求得.例1．如果函数y=f(x)=sin2x+acos2x 的图象关于直线x=8π-对称，那末a=（）.A.1B.-1 C .2 D. -2.略解：取x=0及x=4π-，则f(0)=f(4π-),即a=-1，故选B. 此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想. 例（备用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定义映射f ：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,则f ：(4,3,2,1) → ( )略解：取x=0，则 a4=1+b1+b2+b3+b4,又 a4=1,所以b1+b2+b3+b4 =0 ，故选D（三）分清基本类型，运用相关基本知识，掌控基本的解题战略1、一次函数型：若原题可化为一次函数型,则由数形连系思想操纵一次函数知识求解,十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于0)(0)(>>n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0， 则有)(0)(<<n f m f求使不等式x 关键在于该把哪一个字母当作是一个变量，另外一个作为常数.显然可将a 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于a 的一次函数大于0恒成立的问题.解：原不等式转化为(x-1)a+x2-2x+1>0在|a|≤2时恒成立,设f(a)= (x-1)a+x2-2x+1,则f(a)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3. 即x∈(－∞,－1)∪(3,+∞)此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.2、二次函数型涉及到二次函数的问题是复习的重点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些详细的方法，在此后的解题中自觉运用.（1）若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，则有00<∆>且a（2）若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以操纵韦达定理以及根的分布知识求解.类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在R 上恒成立，（1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00<∆>⇔且a ；（2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00<∆<⇔且a .类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间],[βα上恒成立（1）当>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧>>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或， ],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎩⎨⎧<<⇔0)(0)(βαf f（2）当0<a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立⎩⎨⎧>>⇔0)(0)(βαf f],[0)(βα∈<x x f 在上恒成立⎪⎩⎪⎨⎧<>-⎪⎩⎪⎨⎧<∆≤-≤⎪⎩⎪⎨⎧><-⇔0)(2020)(2βββαααf a ba b f a b 或或 类型3：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 (-∞ , ]上恒成立. f(x)>0a>0且<0或-b/2a>且f()>0 f(x)<0a<0且<0或-b/2a>且f()<0类型4：设)0()(2≠++=a c bx ax x f 在区间 [，+∞)上恒成立. f(x)>0a>0,<0或-b/2a<且f()>0 f(x)<0a<0,<0或-b/2a<且f()<0例3． 若函数12)1()1()(22++-+-=a x a x a x f 的定义域为R ，求实数 a 的取值范围.分析：该题就转化为被开方数012)1()1(22≥++-+-a x a x a 在R 上恒成立问题，而且注意对二次项系数的讨论.解：依题意，当时，R x ∈012)1()1(22≥++-+-a x a x a 恒成立， 所以，①当,1,01,01{,0122=≠+=-=-a a aa 时，即当此时.1,0112)1()1(22=∴≥=++-+-a a x a x a ②当时，时，即当012)1(4)1(,01{012222≤+---=∆>-≠-a a a a a有,91,09101{22≤<⇒≤+->a a a a 综上所述，f(x)的定义域为R 时，]9,1[∈a2()3f x x ax a =++-，在R 上()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.分析：()y f x =的函数图像都在X 轴及其上方，如右图所示：略解：()22434120a a a a ∆=--=+-≤62a ∴-≤≤ 变式1：若[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.解析一. （零点分布战略） 本题可以思索f(x)的零点分布情况停止分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥--≤->∆0)2(0)2(22f f a 或⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥-≥->∆0)2(0)2(22f f a ，即a 的取值范围为[-7，2].解法二分析：（运用二次函数极值点的分布分类讨论）要使[]2,2x ∈-时，()0f x ≥恒成立，只需)(x f 的最小值0)(≥a g 即可.略解：（分类讨论）22()324a a f x x a ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，令()f x 在[]2,2-上的最小值为()g a .⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)730g a f a =-=-≥73a ∴≤ 又4a >a ∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3024a a g a f a ==--+≥62a ∴-≤≤又44a -≤≤42a ∴-≤≤⑶当22a->，即4a <-时，()(2)70g a f a ==+≥7a ∴≥- 又4a <-74a ∴-≤<- 综上所述，72a -≤≤.变式2：若[]2,2x ∈-时，()2f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解法一：分析：题目中要证明2)(≥x f 在[]2,2-上恒成立，若把2移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[]2,2-时恒大于等于0的问题.例2 已知a ax x x f -++=3)(2，若0)(],2,2[≥-∈x f x 恒成立，求a 的取值范围.略解：2()320f x x ax a =++--≥，即2()10f x x ax a =++-≥在[]2,2-上成立.⑴()2410a a ∆=--≤22a ∴--≤≤-+⑵24(1)0(2)0(2)02222a a f f a a ⎧∆=-->⎪≥⎪⎪⎨-≥⎪⎪-≥-≤-⎪⎩或2225--≤≤-∴a 综上所述，2225-≤≤-a .解法二：（运用二次函数极值点的分布）⑴当22a -<-，即4a >时，()(2)732g a f a =-=-≥()54,3a ∴≤∉+∞a∴不存在.⑵当222a -≤-≤，即44a -≤≤时，2()()3224a a g a f a ==--+≥，⑶当22a ->，即4a <-时，()(2)72g a f a ==+≥，综上所述2225-≤≤-a .此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置停止分类讨论；还有与其相反的，轴动区间定，方法一样.对于二次函数在R 上恒成立问题往往采取辨别式法（如例4、例5），而对于二次函数在某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另外一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的双方，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.运用不等式的相关知识不难推出如下结论：若对于x 取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)恒成立，则g(a)<f(x)min;若对于x 取值范围内的任何一个数，都有f(x)<g(a)恒成立，则g(a)>f(x)max.(其中f(x)max 和f(x)min 分别为f(x)的最大值和最小值)例 5.已知三个不等式①0342<+-x x ，②0862<+-x x ，③0922<+-m x x ．要使同时知足①②的所有x 的值知足③，求m 的取值范围.略解：由①②得2<x<3,要使同时知足①②的所有x 的值知足③,即不等式0922<+-m x x 在)3,2(∈x 上恒成立，即)3,2(922∈+-<x x x m 在上恒成立，又，上大于在9)3,2(922∈+-x x x所以 9≤m例6. 函数)(x f 是奇函数，且在]1,1[-上单调递增，又1)1(-=-f ，若12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立，求t 的取值范围 .解：据奇函数关于原点对称，,1)1(=f又1)1()(]1,1[)(max ==-f x f x f 上单调递增在12)(2+-≤at t x f 对所有的]1,1[-∈a 都成立.因此，只需122+-at t 大于或等于上在]1,1[)(-x f 的最大值1， 都成立对所有又]1,1[-∈a ，即关于a 的一次函数在[-1，1]上大于或等于0恒成立，即：),2[}0{]2,(+∞--∞∈ t操纵变量分离处理恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补例． 已知()||,=-+∈R f x x x a b x ．若0b <，且对任何[]0,1x ∈不等式()0f x <恒成立，求实数a 的取值范围．解：当0x =时，a 取任意实数，不等式()0f x <恒成立， 故只需思索(]0,1x ∈，此时原不等式变成||b x a x--< 即b b x a x x x+<<- 故(]max min ()(),0,1b b x a x x x x+<<-∈ 又函数()b g x x x =+在(]0,1上单调递增，所以max ()(1)1b x g b x+==+； 对于函数(](),0,1b h x x x x=-∈ ①当1b <-时，在(]0,1上()h x 单调递减，min ()(1)1b x h b x-==-，又11b b ->+，所以，此时a 的取值范围是(1,1)b b +-．②当10b -≤<，在(]0,1上，()b h x x x =-≥ 当x =min ()b x x-=a 存在，必须有110b b ⎧+<⎪⎨-≤<⎪⎩ 即13b -≤<，此时a 的取值范围是(1b +综上，当1b <-时，a 的取值范围是(1,1)b b +-；当13b -≤<时，a 的取值范围是(1b +；当2230b -≤<时，a 的取值范围是∅． 4、根据函数的奇偶性、周期性等性质 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.5、直接根据图象断定若把等式或不等式停止合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号双方函数的图象，则可以通过画图直接断定得出成果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.例7. a a x x x 恒成立，求实数，不等式对任意实数>--+21的取值范围.分析：设y=|x+1|-|x-2|,恒成立，不等式对任意实数a x x x >--+21即转化为求函数y=|x+1|-|x-2|的最小值，画出此函数的图象即可求得a 的取值范围.解：令⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤-=--+=2321121321x x x x x x y在直角坐标系中画出图象如图所示，由图象可看出，要使a x x x >--+21，不等式对任意实数恒成立，只需3-<a .故实数.3）-∞a的取值范围是（-，注：本题中若将a--1改为对任意实数>+2，不等式axxx恒成立，求实数，同样由图象可得①a--对任意实数<1+2axxx恒成立，求实数，不等式a>3;②a-对任意实数>+21,构造函数，画出+a，不等式xx恒成立，求实数x图象，得a<3.操纵数形连系处理恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再思索在给定区间上函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范围.例8. 设常数a∈R,函数f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.若函数y=f(x)与y=g(x)的图像有公共点，则a的取值范围为.解：1）a<=0x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则与g(x)有交点，即：-2<=a<=0.2）a>0x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2时，f(x)=3x+(-2x+a)=x+ax>=a/2时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时与g(x)有交点，即：0<a<=2综上所述，-2<=a<=2时f(x)=3|x|+|2x-a|与g(x)=2-x 有交点.三、在恒成立问题中，主要是求参数的取值范围问题，是一种热点题型，先容一些基本的解题战略，在学习中学会把问题分类、归类，熟练基本方法.（一）换元引参，显露问题实质1、对于所有实数x ，不等式恒成立，求a 的取值范围.解：因为的值随着参数a 的变更而变更，若设， 则上述问题实质是“当t 为何值时，不等式恒成立”.这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于t 的不等式组：. 解得，即有，易得. 2、设点P （x ，y ）是圆4)1(22=-+y x 上任意一点，若不等式x+y+c ≥0恒成立，求实数c 的取值范围.（二）分离参数，化归为求值域问题3、若对于任意角总有成立，求m 的范围.解：此式是可分离变量型，由原不等式得， 又，则原不等式等价变形为恒成立. 根据鸿沟原理知，必须小于2cos cos )(2+=θθθf 的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值.因为2cos cos )(2+=θθθf 即时，有最小值为0，故.（三）变动主元，简化解题过程4、若对于，方程都有实根，求实根的范围.解：此题一般思路是先求出方程含参数m 的根，再由m 的范围来确定根x 的范围，但这样会遇到很多费事，若以m 为主元，则，由原方程知，得 又，即解之得或.5、当1≤a 时，若不等式039)6(2>-+-+a x a x 恒成立，求x 的取值范围.（四）图象解题，形象直观6、设]40(，∈x ，若不等式ax x x >-)4(恒成立，求a 的取值范围. 解：若设)4(1x x y -=，则为上半圆.设，为过原点，a 为斜率的直线. 在同一坐标系内 作出函数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有时成立，即a 的取值范围为. 7、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<logax 恒成立，求a 的取值范围.解：设y1=(x-1)2,y2=logax,则y1的图象为右图所示的抛物线要使对一切x ∈ (1,2),y1<y2恒成立，显然a>1,而且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.故loga2>1, ∴ 1<a <2.8、已知关于x 的方程lg(x2+4x)-lg(2x-6a-4)=0有唯一解，求实数a 的取值范围.分析：方程可转化成lg(x2+4x)=lg(2x-6a-4),从而得x2+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号双方当作是二次函数y= x2+4x 及一次函数y=2x-6a-4，则只需思索这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可.解：令y1=x2+4x=（x+2）2-4,y2=2x-6a-4,y1的图象为一个定抛物线 y2的图象是k=2，而截距不定的直线，要使y1和y2在x 轴上方有唯一交点，则直线必须位于l1和l2之间.（包含l1但不包含l2）当直线为l1时，直线过点（-4，0），此时纵截距为-8-6a-4=0,a=2-;当直线为l2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-4=0，a=32-∴a 的范围为)32,2[-- （五）合理联想，运用平几性质9、不管k 为何实数，直线与曲线恒有交点，求a 的范围.分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的实际将二方程联立，用辨别式来解题是比较坚苦的.若思索到直线过定点A （0，1），而曲线为圆,圆心C （a ，0），要使直线恒与圆有交点，那末定点A(0,1)必在圆上或圆内. 解：，C （a ，0），当时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A （0，1）必在圆上或圆内，即点A （0，1）到圆心间隔不大于半径，则有，得.（六）分类讨论，防止重复遗漏10、当时，不等式恒成立，求x 的范围. 解：使用的条件，必须将m 分离出来，此时应对停止讨论.①当时，要使不等式恒成立，只要， 解得. ②当时，要使不等式恒成立，只要，解得. ③当时，要使恒成立，只有. 综上①②③得. 解法2：可设，用一次函数知识来解较为简单.我们可以用改变主元的法子，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2<---x x m ，；令)12()1()(2---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)(<m f 恒成立，所以只需⎩⎨⎧<<-0)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧<---<----0)12()1(20)12()1(222x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x .此类题实质上是操纵了一次函数在区间[m,n]上的图象是一线段，故只需包管该线段两头点均在x 轴上方（或下方）即可.11、当31<<x 时，不等式0622>+-ax x 恒成立，求实数a 的取值范围. 解：xx a 32+< 当31<<x 时，623232=≥+x x ，当x x 32=，即6=x 时等号成立. 故实数a 的取值范围:6<a（七）构造函数，体现函数思想12、（1990年全国高考题）设，其中a 为实数，n 为任意给定的自然数，且，如果当时有意义，求a 的取值范围.解：本题即为对于，有恒成立. 这里有三种元素交织在一起，布局复杂，难以下手，若思索到求a 的范围，可先将a 分离出来，得，对于恒成立. 构造函数，则问题转化为求函数在上的值域.由于函数在上是单调增函数，则在上为单调增函数.于是有的最大值为：，从而可得.（八）操纵集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，便可操纵集合与集合之间的包含关系来求解，即：[]()(),,m n f a g a ⊂⎡⎤⎣⎦，则()f a m ≤且()g a n ≥，不等式的解即为实数a 的取值范围.例13、当1,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，log 1a x <恒成立，求实数a 的取值范围. 解：1log 1a x -<<（1） 当1a >时，1x a a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3113a a ≥⎧⎪∴⎨≤⎪⎩3a ∴≥ （2） 当01a <<时，1a x a <<，则问题转化为11,3,3a a ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1313a a⎧≤⎪⎪∴⎨⎪≥⎪⎩103a ∴<≤ 综上所得：103a <≤或3a ≥ 四、其它类型恒成立问题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的.1、已知函数12)(2+-=ax x x f ，xa x g =)(，其中0>a ，0≠x ． 对任意]4,2[],2,1[21∈∈x x ，都有)()(21x g x f >恒成立，求实数a 的取值范围；【分析：】思路、对在分歧区间内的两个函数)(x f 和)(x g 分别求最值，即只需知足)()(max min x g x f >即可．简解：令n(a)=gmax(x)=a/2；令m(a)=fmin(x),f(x)=(x-a)2+1-a2,故(1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时，m(a)= fmin(x)=f(1)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得a<4/5,（注意到a 的范围）从而得a 的范围：0<a<4/5;(2)对称轴x=a>2时，m(a)= fmin(x)=f(2)=5-4a ，由m(a)>n(a) 解得a<10/9,（注意到a 的范围）从而得a 无解：;(3)对称轴x=a∈[1,2]时，m(a)= fmin(x)=f(a)=2-2a ，由m(a)>n(a) 解得4171+->a 或4171--<a ，（注意到a 的范围）从而得a的范围21≤<a ：;; 综合（1）（2）（3）知实数a 的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2]2、已知两函数2)(x x f =，m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(，对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥，则实数m 的取值范围为解析：对任意[]2,01∈x ，存在[]2,12∈x ，使得()21)(x g x f ≥等价于m x g x -⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)(在[]2,1上的最小值m -41不大于2)(x x f =在[]2,0上的最小值0，既041≤-m ，∴41≥m题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）题型四、数形连系（恒成立问题与二次函数接洽（零点、根的分布法））五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方法 若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x A >成立,则等价于在区间D 上()max f x A >；若在区间D 上存在实数x 使不等式()f x B <成立,则等价于在区间D 上的()min f x B <.1、存在实数x ，使得不等式2313x x a a ++-≤-有解，则实数a 的取值范围为______.解：设()31f x x x =++-，由()23f x a a ≤-有解，()2min 3a a f x ⇒-≥， 又()()31314x x x x ++-≥+--=，∴234a a -≥，解得41a a ≥≤-或.1、求使关于p 的不等式x p px x 212+<++在p∈[-2,2]有解的x 的取值范围.解：即关于p 的不等式012)1(2<+-+-x x p x 有解,设()()2121f p x p x x =-+-+，则()f p 在[-2,2]上的最小值小于0.(1)当x>1时，f(p)关于p 单调增加，故fmin(p)=f(-2)=x2-4x+3<0,解得1<x<3;2222(2) 当x<1时，f(p)关于p 单调减少，故fmin(p)=f(2)=x2-1<0,解得-1<x<1；(3)当x=1时，f(p)=0,故fmin(p)=f(p)<0不成立.综合（1）（2）（3）知实数x 的取值范围是：(-1，1)∪(1,3) 例、设命题P:x1,x2是方程x2-ax-2=0的二个根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立；命题Q ：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题P 和命题Q 都是真命题，求m 的值范围.解：(1)由P 真得：8||221+=-a x x ，注意到a 在区间[-1,1], 3||max 21=-x x ,由于|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1,1]恒成立，故有3|||35|max 212=-≥--x x m m解得： m≤-1或m≥6或0≤m≤5(1)由Q 真，不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解，得（|x-2m|-|x|）max=2m>1,解得：m>1/2由于（1）（2）都是相公命题，故m 的值范围：1/2<m≤5或m≥6. ［举例］（1）已知不等式0224>+⋅-x x a 对于+∞-∈,1[x ）恒成立，求实数a 的取值范围.（2）若不等式0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：（1）由0224>+⋅-x x a 得：x x a 222+<对于+∞-∈,1[x ）恒成立，因212≥x ，所以22222≥+x x ，当22=x 22<a . （2）注意到0224>+⋅-x x a 对于]3,(-∞∈a 恒成立是关于a )24(2)(++⋅-=x x a a f ，则)(a f 在]3,(-∞∈a 上单调递减，则问题等价于0)3(>f ，所以2202234>⇒>+⋅-x x x 或12<x ，则x 取值范围为),1()0,(+∞-∞ .小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有分明区此外，以下充要条件应细心思考，甄别差别，恰当使用，等价转化，切不成混为一体.①不等式()f x M <对x I ∈时恒成立max ()f x M•⇔<，x I ∈.即()f x 的上界小于或等于M ；②不等式()f x M <对x I ∈时有解min ()f x M•⇔<，x I ∈. 或()f x 的下界小于或等于M ；③不等式()f x M >对x I ∈时恒成立min ()f x M•⇔>，x I ∈.即()f x 的下界大于或等于M ；④不等式()f x M >对x I ∈时有解max()f x M ⇔>，x I ∈.. 或()f x 的上界大于或等于M ； 高中数学难点强化班第四讲（140709）课后操练答案：一．填空选择题（每小题6分，共60分）1、对任意的实数x ，若不等式a x x >--+21恒成立，那末实数a 的取值范围.答案：|x+1|-|x-2| -|(x+1)-(x-2)|=-3,故实数a 的取值范围：a<-32、不等式2sin 4sin 10x x a -+-<有解，则a 的取值范围是解：原不等式有解()()22sin 4sin 1sin 231sin 1a x x x x ⇒>-+=---≤≤有解，而()2minsin 232x ⎡⎤--=-⎣⎦，所以2a >-. x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）(A)1a <- (B)||1a ≤ (C)||1a < （D ）1a ≥ 解析：对∀x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立 则由一次函数性质及图像知11a -≤≤，即||a 答案：选B 4．当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是. 解析: 当(1,2)x ∈时，由240x mx ++<得24x m x +<-.令244()x f x x x x+==+，则易知()f x 在(1,2)上是减函数，所以[1,2]x ∈时()(1)5max f x f ==，则2min 4()5x x+->-∴5m ≤-. 5．已知不等式223(1)1ax x a x x a -++>--+对任意(0)a ∈+∞，都成立，那末实数x 的取值范围为．分析：已知参数a 的范围，要求自变量x 的范围，转换主参元x 和a 的位置，构造以a 为自变量x 作为参数的一次函数()g a ，转换成∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立再求解. ax y x解析：由题设知“223(1)1ax x a x x a -++>--+对∀(0)a ∈+∞，都成立，即22(2)20a x x x +-->对∀(0)a ∈+∞，都成立.设22()(2)2g a x a x x =+--（a R ∈），则()g a 是一个以a 为自变量的一次函数.220x +>恒成立，则对∀x R ∈，()g a 为R 上的单调递增函数. 所以对∀(0)a ∈+∞，，()0g a >恒成立的充分需要条件是(0)0g ≥，220x x --≥，∴20x -≤≤，于是x 的取值范围是{|20}x x -≤≤.6．已知函数()()()22241,f x mx m x g x mx =--+=，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ )A ．(0，2)B ．(0，8)C ．(2，8)D ．(－∞，0)分析：()f x 与()g x 的函数类型，直承受参数m 的影响，所以首先要对参性质及图像解题.解析：当0m =时，()810f x x =-+>在1(,)8-∞在R 上恒成立，显然不知足题意；(如图1) 当0m <时，()g x 在R 上递减且()0g x mx =>只在(-∞而()f x 是一个启齿向下且恒过定点（0，1知足题意.当0m >时，()g x 在R 上递增且()0g x mx =>在(0,)+∞上恒成立， 而()f x 是一个启齿向上且恒过定点（0，1）的二次函数，要使对任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数则只需()0f x >在(,0]-∞上 恒成立.(如图3) 则有24024(4)80m m m m -⎧<⎪⎨⎪∆=--<⎩或402m m -≥解得48m <<或04m <≤， 综上可得08m <≤即(0,8)m ∈. 故选B.７、已知两函数()2728f x x x c =--，g(x)=6x2-24x+21.（1）对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥0 ；（2）存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，那末实数c 的取值范围 c≥-25；（3）对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥150 ；（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤，那末实数c 的取值范围 c≥-175 ；解析：（1）设()()()322312h x g x f x x x x c =-=--+，问题转化为[]3,3x ∈-时，()0h x ≥恒成立，故()min 0h x ≥.令()()()266126120h x x x x x '=--=+-=，得1x =-或2.由导数知识，可知()h x 在[]3,1--单调递增，在[]1,2-单调递减，在[]2,3单调递增，且()345h c -=-，()()17h x h c =-=+极大值，()()220h x h c ==-极小值，()39h c =-，∴()()min345h x h c =-=-，由450c -≥，得45c ≥.（2）据题意：存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，即为：()()()0h x g x f x =-≥在[]3,3x ∈-有解，故()max 0h x ≥，由（1）知()max 70h x c =+≥，于是得7c ≥-.（3）它与（1）问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，不等式的左右两头函数的自变量分歧，1x ，2x 的取值在[]3,3-上具有任意性，∴要使不等式恒成立的充要条件是：max min ()(),[3,3]f x g x ••x •≤∈-.∵()()[]27228,3,3f x x c x =---∈-∴()()max 3147f x f c =-=-， ∵()26840g x x x '=+-=()()23102x x +-，∴()0g x '=在区间[]3,3-上只有一个解2x =. ∴()()min 248g x g ==-，∴14748c -≤-，即195c ≥.（4）存在[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f xg x ≤，等价于()()min 1max 2f x g x ≤，由(3)得()()min 1228f x f c ==--，()()max 23102g x g =-=，28102130c c --≤⇒≥- 点评：本题的三个小题，概况形式非常相似，究其实质却大相径庭，应认真审题，深入思考，多加训练，准确使用其成立的充要条件.二．简答题（每题10分）８、（10分）若不等式2(1)(1)3(1)0m x m x m +--+-<对任意实数x 恒成立，求实数m 取值范围 解：)10,2[9、①对一切实数x,不等式32x x a --+>恒成立，求实数a 的范围. ②若不等式32x x a --+>有解，求实数a 的范围. ③若方程32x x a --+=有解，求实数a 的范围.解：①5-<a ②5<a ③]5,5[-∈a(Ⅰ)若()x f 的定义域Φ≠A ,试求a 的取值范围.(Ⅱ) 若()x f 在()3,2∈x 上有意义, 试求a 的取值范围.(Ⅲ)若()0>x f 的解集为()3,2,,试求a 的值.解答：这三问中,第(Ⅰ)问是能成立问题,第(Ⅱ)问是恒成立问题,第(Ⅲ)问是恰成立问题. (Ⅰ) ()x f 的定义域非空,相当于存在实数x ,使02>--x ax a 成立, 即()2x ax a x --=ϕ的最大值大于0成立,(),0444422max >+=---=a a a a x ϕ解得 4-<a 或0>a . (Ⅱ)()x f 在区间()3,2上有意义,等价于()2x ax a x --=ϕ0>在()3,2恒成立,即()x ϕ的最小值大于0.解不等式组 ()⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-,03,252ϕa 或()⎪⎩⎪⎨⎧≥>-,02,252ϕa ⎩⎨⎧≥---≥,093,5a a a 或⎩⎨⎧≥---<042,5a a a 解得 .29-≤a (Ⅲ)()0>x f 的解集为()3,2,等价于不等式12>--x ax a 的解集为()3,2;于是有012<-++a ax x ,这等价于方程012=-++a ax x 的两个根为2和3, 于是可解得5-=a .。
含参数不等式恒成立问题的解题策略
解决“含参数不等式的恒成立”问题的基本方法“含参数不等式的恒成立”的问题，是近几年高考的热点，它往往以函数、数列、三角函数、解析几何为载体具有一定的综合性，解决这类问题，主要是运用等价转化的数学思想：即一般地，若函数()x f 的定义域为D ，则当x ∈D 时，有()M x f ≥恒成立()Mx f ≥⇔min （()M x f ≥有解⇔M max )(x f ≤）；()M x f ≤恒成立()M x f ≤⇔m a x（()M x f ≤有解⇔M x f ≤m i n )(）.因而,含参数不等式的恒成立问题常根据不等式的结构特征,恰当地构造函数,等价转化为含参数的函数的最值讨论.例一 定义在R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ时，有()()022s in 2c o s 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 分析: 利用函数的单调性和奇偶性去掉映射符号f ，将“抽象函数”问题转化为常见的含参的二次函数在区间(0，1)上恒为正的问题.而对于()≥x f 0在给定区间[a ，b]上恒成立问题可以转化成为()x f 在[a ，b]上的最小值问题，若()x f 中含有参数，则要求对参数进行讨论。
【解析】由()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ得到：()()22sin 2cos 2--->+m f m f θθ 因为()x f 为奇函数，故有()()22sin 2cos 2+>+m f m f θθ恒成立，又因为()x f 为R 减函数，从而有22sin 2cos 2+<+m m θθ对⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ设t =θsin ，则01222>++-m mt t 对于()1,0∈t 恒成立，在设函数()1222++-=m mt t t g ,对称轴为m t =. ①当0<=m t 时，()0120≥+=m g ，即21-≥m ，又0<m ∴021<≤-m (如图1) ②当[]1,0∈=m t ，即10≤≤m 时, ()012442<+-=∆m m m 2∴2121+<<-m ,又[]1,0∈m ,∴10≤≤m (如图2)③当1>=m t 时，()0212211>=++-=m m g 恒成立.∴1>m (故由①②③可知：21-≥m . 例二 定义在R 上的单调函数f(x)满足f(3)=log 23且对任意x ，y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y)．(1)求证f(x)为奇函数；(2)若()()02933<--+⋅x x x f k f 对任意x ∈R 恒成立，求实数k 分析: 问题(1)欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x 可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函数得到证明．问题(2)的上述解法是根据函数的性质．f(x)是奇函数且在x ∈R 上是增函数，把问题转化成二次函数f(t)=t 2-(1+k)t+2＞0对于任意t ＞0恒成立．对二次函数f(t)进行研究求解．【解析】(1)证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x ，y ∈R)， ①令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．令y=-x ，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，则有0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．(2)解：f(3)=log 23＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由(1)f(x)是奇函数．()()()2932933++-=---<⋅x x x x x f f k f ， 2933++-<⋅x x x k 即()023132>+⋅+-x x k 对于任意R x ∈恒成立.令t=3x ＞0，、问题等价于()0212>++-t k t 对于任意0>t 恒成立.令()()212++-=t k t t f ,其对称轴为直线21k x +=当021<+k ,即1-<k 时, ()020>=f 恒成立,符合题意,故1-<k ; 当021≥+k 时,对于任意0>t ,()0>t f 恒成立()⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-+=∆≥+⇔02410212k k ， 解得2211+-<≤-k综上所述,当221+-<k 时,()()02933<--+⋅x x x f k f 对于任意R x ∈恒成立.本题还可以应用分离系数法,这种解法更简捷.t =m分离系数,由2933++-<⋅x x x k 得1323-+<x x k . 由于R x ∈,所以03>x ,故1221323-≥-+=x x u ,即u 的最小值为122-. 要使对于R x ∈不等式1323-+<x x k 恒成立,只要122-<k 说明: 上述解法是将k 分离出来，然后用平均值定理求解，简捷、新颖．例三 已知向量=(2x ，x+1)，= (1-x ，t)。
从高考题看含参数不等式恒成立问题的解题策略
（ 若 ａ ， 厂 的单 调区问 ； Ｉ） ＝０ 求 （ ） （ 若ｚ Ⅱ） ≥０时 ， （ ） ， ａ的取值范围． － ｚ ≥０ 求 厂
解析 ： Ｉ 略． （ ） （ 由 厂 ） ０ 所 有 的 － Ｏ 立 ， 得 ： Ⅱ） （ ≥ 对 ｚ 成 ≥ 可 （） ＝０时 ，ＥＲ； １当 ａ （ ） ＞ ｏ时 ， ≤ ２当 ｎ ， ｇ ） 丁－ｘ
， （） ｘ ｘ ２矿 ＋ ｚ因 令＾ ＝ ｚ－ ＋ ｚ ２， ｚ ｅ
函数 一厂 ）ｘ （ （ ＥＤ）的上确 界为 ｒｉ｛ １ （ ≤ ａ ｎ Ｍ ． ） 厂
Ｍ ， ＥＤ）记作 Ｍ＿； ｘ ， 上 函数 一 厂 ） ｘ 的 下 确 界 为 （ （ ＥＤ） ｍａ ｛ ｌ （ ） Ｍ ， ＥＤ）记 作 Ｍｌ 于 是 ， 如 下 结 论 ： ｘＭ －工 ≥ 厂 ｘ ， 下 ． 有
恒成立问题及存在性问题的解题策略
ｘ ￣－
５ ｘ４ －６ ＞０
将不 等式 恒成 立 问题 转 化 为 函数 求 最 值 问题 ， 是
ｇ
１ （ ） ＞ 。 ，
ｚ
．
一
３ ３ ｚ ｚ ＋２ ＞ ｏ。 。
，
， 解得 解 得
解决 恒成 立 问题最 常用 的方 法． 一 般 的题 型 有 如 下 ２ 种： ① 不等式 － 厂 （ ） ＞Ａ 在 区间 Ｄ 上 恒 成 立∞ 在 区间 Ｄ上 ＿ 厂 （ ） ＞ Ａ∞ 厂（ ｚ ） 的下 界 大 于 Ａ；② 不 等 式
解 析 当ｚ — ｏ 时 ， 厂 （ ｚ ） 一 １ ≥ ｏ 成 立， ｎ Ｅ Ｒ ． 当ｘ Ｅ 恒成立问 题及存在性 Ｑ
（ ０ ， ＋ｃ ｘ ３ ） 时， 厂 （ ） 一ｅ ｚ 一口 ｚ ≥０成 立 ， 即 Ｅ
＋ｏ ｏ ） 时， 都有 ／ ’ （ ｚ） ≥ ０成 立 ， 求 实数 的取 值 范 围．
” ０ ， 解得 ｚ 一０或 一 或ｚ ： ＝ ． 对区间［ 一 一÷， ， ＿ 去 Ｉ ］ 分
２ 种 情况讨 论 ：
运 用这种 方 法解决 恒 成立 问题 的步骤 是 ： 将参 数 与变量 分 离 ， 化为 ｇ （ ） ≥厂（ ｚ ） （ 或ｇ （ ） ≤ 厂 （ ） ） 恒 成立 的形 式 ； 求． 厂 （ ｚ ） 在 ｚ∈Ｄ 上 的最 大 （ 或 最 小） 值； 解 不 等 式 ｇ（ ） ≥ｆ （ ｚ ）（ 或 ｇ（ ） ≤
ｚ 一１ 处取 得 最小值 ｇ（ １ ） ＝ ＝ ： ｅ ． 则 口 ≤ｅ ．
含 参 数 不等 式 的恒 成 立 问题 及 存 在 性 问 题 是 历
年 高考 的热点 ， 特 别是 以导 数 为背 景 的题 型更 是 在 高
恒成立与存在性问题的解题策略
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题战略欧阳歌谷（2021.02.01）一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化办法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最年夜值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表示形式通常有:在给定区间上某关系恒成立;某函数的界说域为全体实数R;某不等式的解为一切实数;某表达式的值恒年夜于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想办法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创作创造性等方面起到了积极的作用。
恒成立与存在性问题的解题策略教案资料
“恒成立问题”与“存在性问题”的基本解题策略一、“恒成立问题”与“存在性问题”的基本类型 恒成立、能成立、恰成立问题的基本类型1、恒成立问题的转化：()a f x >恒成立⇒()max a f x >；()()min a f x a f x ≤⇒≤恒成立2、能成立问题的转化：()a f x >能成立⇒()min a f x >；()()max a f x a f x ≤⇒≤能成立3、恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立⇔()a f x >的解集为M ()()R a f x M a f x C M ⎧>⎪⇔⎨≤⎪⎩在上恒成立在上恒成立另一转化方法：若A x f D x ≥∈)(,在D 上恰成立，等价于)(x f 在D 上的最小值A x f =)(min ，若,D x ∈B x f ≤)(在D 上恰成立，则等价于)(x f 在D 上的最大值B x f =)(max .4、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min min ≥5、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max max ≤6、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≥，则()()x g x f min max ≥7、设函数()x f 、()x g ，存在[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f ≤，则()()x g x f max min ≤ 8、设函数()x f 、()x g ，对任意的[]b a x ,1∈，存在[]d c x ,2∈，使得()()21x g x f =，设f(x)在区间[a,b]上的值域为A ，g(x)在区间[c,d]上的值域为B,则A ⊂B.9、若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象上方；10、若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图象在函数()y g x =图象下方；恒成立问题的基本类型在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结论恒成立的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,其表现形式通常有: 在给定区间上某关系恒成立; 某函数的定义域为全体实数R;●某不等式的解为一切实数;❍某表达式的值恒大于a 等等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。
(完整)高中数学恒成立问题中求含参范围的方法总结,推荐文档
恒成立问题中含参范围的求解策略数学中含参数的恒成立问题，几乎覆盖了函数，不等式、三角，数列、几何等高中数学的所有知识点，涉及到一些重要的数学思想方法，归纳总结这类问题的求解策略，不但可以让学生形成良好的数学思想，而且对提高学生分析问题和解决问题的能力是很有帮助的，下面就几种常见的求解策略总结如下，供大家参考。
一、分离参数——最值化1 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：a ≥f(x)恒成立,只须求出 ,则a ≥ ;若a ≤f(x)恒成立, 只须求出 ,则a ≤转化为函数求最值.例1 已知函数f(x)= ,若任意x ∈[2 ,+∞)恒有f(x)>0,试确定a 的取值范围. 解:根据题意得,x+−2>1在x ∈[2 ,+∞)上恒成立,即a>−+3x 在x ∈[2 ,+∞)上恒成立.设f(x)=-+3x .则f(x)=−+ ,当x=2时,=2 ,所以a>22在给出的不等式中，如果通过恒等变形不能直接解出参数，则可将两变量分别置于不等式的两边，即:若f(a)≥g(x)恒成立,只须求出g(x)最大值 ,则f(a)≥ .然后解不等式求出参数a 的取值范围; :若f(a)≤g(x)恒成立,只须求出g(x)最小值 ,则f(a)≤ .然后解不等式求出参数a 的取值范围.问题还是转化为函数求最值.例2 已知x ∈(−∞ ,1]时,不等式1++(a −)>0恒成立,求a 的取值范围.解 令=t ,∵x ∈(−∞ ,1] ∴t ∈(0 ,2].所以原不等式可化为<,要使上式在t ∈(0 ,2]上恒成立,只须求出f(t)=在t ∈(0 ,2]上的最小值即可. ∵f(t)==+=− 又t ∈(0 ,2] ∴∈[) ∴=f(2)=∴< , ∴−<a<例3 设c b a >>且ca mc b 1b a 1-≥-+-恒成立，求实数m 的取值范围。
解析：由于c a >，所以0c a >-，于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--≤c b 1b a 1)c a (m 恒成立，因+≥⎪⎭⎫⎝⎛--+--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--2c b b a b a c b 11c b 1b a 1)]c b ()b a [(c b 1b a 1)c a (.4cb b a b ac b 2=--⋅-- （当且仅当b a c b -=-时取等号），故4m ≤。
突破难点 巧妙求解——一道指数对数不等式恒成立问题的多种解题策略
突破难点巧妙求解——一道指数对数不等式恒成立问题的多种解题策略本文将围绕一道指数对数不等式恒成立问题展开，并从不同角度出发，提供多种解题策略。
问题描述：对于正实数 $a, b, c$，满足 $a > 1$，$b > 1$，$a^2 + b^2 + c^2 = 3$，证明：$$\frac{a^{3b}}{b} + \frac{b^{3c}}{c} + \frac{c^{3a}}{a} \geq 3$$解题策略：Step 1：初探不等式观察不等式，由于指数的存在，我们可以尝试构造等式，即使不等式恒成立。
此时考虑使用调和均值不等式。
由于 $a, b, c$ 均为正实数，那么根据调和均值不等式有：$$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq\frac{9}{a+b+c}$$移项得到：$$\frac{a+b+c}{abc} \geq \frac{9}{a+b+c}$$化简后可得：$$a^2+b^2+c^2 \geq 3abc$$由于 $a^2+b^2+c^2 = 3$，因此可以得到：$$1 \geq abc$$此时暂时无法直接应用到原始不等式，但是这个结果对后续的解题非常重要。
Step 2：对每一项进行分析设 $x = a^{\frac{3b}{2}}$，$y = b^{\frac{3c}{2}}$，$z = c^{\frac{3a}{2}}$，则原始不等式变为：$$\frac{x}{b^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{c^{\frac{1}{2}}} + \frac{z}{a^{\frac{1}{2}}} \geq 3$$我们对每一项进行分析：$$\frac{x}{b^{\frac{1}{2}}} =\frac{a^{3b}}{b^{\frac{3b}{2}}} = \frac{a^b}{b^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{a^{2b}}{b}$$类似地可以得到：$$\frac{y}{c^{\frac{1}{2}}} =\frac{b^c}{c^{\frac{3c}{2}}} = \frac{b^c}{c^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{b^{2c}}{c}$$$$\frac{z}{a^{\frac{1}{2}}} =\frac{c^a}{a^{\frac{3a}{2}}} = \frac{c^a}{a^{\frac{1}{2}}}\cdot \frac{c^{2a}}{a}$$接下来，我们需要对这三个式子进行化简。
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1 关于“恒成立”问题的解题策略 九峰实验学校 张晶 2007-5-27
在高中数学的学习过程中经常会碰到带有“恒成立”字样的问题，这类问题
学生往往感到困难。帮助学生领会问题实质，把握问题的思维特点，是解决这类问题的关键。实际上，“恒成立”问题的思维特点和解题的突破口就在一个“恒”字上，解决此类问题需要涉及到一次函数、二次函数的性质和图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用，因此也成为历年高考的一个热点。 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型： (1) 一次函数型； (2) 二次函数型； (3) 变量分离型； (4) 根据函数的性质； (5) 直接根据函数的图象； (6) 反证法。 本文通过对具体问题的分析，来说明“恒成立”问题的解法思路。 一、 一次函数型 给定一次函数()yfxkxb(k≠0),若()yfx在[m,n]内恒有()fx>0，则根据函数的图象（线段）可得上述结论等价于 ①0()0kfm或②0()0kfn也可合并成0)(0)(nfmf 同理，若在[,]mn内恒有()0fx，则有0)(0)(nfmf 2
例1 、若不等式2x1>21mx对一切2,2m都成立，求实数x的取值范围。 解：令)(mf＝（21x）m－2x＋1，则上述问题即可转化为关于m的一次函数y()fm在区间[-2，2]内函数值小于0恒成立的问题。考察区间端点，只要
)2(f＜0且)2(f＜0即可，解得x∈（217，213）。 本题的不等式中出现了两个变量：x、m,并且是给出了m的范围,要求x的相应范围。若直接从关于x的不等式正面出发求解较难，而把 m看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在区间[-2，2]内关于m的一次函数函数值小于0恒成立,求参变量x的范围的问题,进而化难为易,问题得以解决.
二、二次函数型 若二次函数2(0,)yaxbxcaxR的函数值大于0恒成立，则有00a 例如：关于x的不等式240xxa对任意xR恒成立等价于1640a，即4a。 若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及二次函数的图象求解。 例2、关于x的方程9(4)340xxa恒有解，求实数a的范围。 解法1（利用韦达定理）： 设3xt,则0t。故原方程有解等价于关于t的方程2(4)40tat有正根。
n m o x y n m o x y 3
1212
0(4)040xxaxx
即4016)4(2aa480aaa或
解得8a。 解法2（利用二次函数的图象）：
图(1) 图(2) 图(3) 即关于t的方程2(4)40tat有正根，可设2()(4)4fttat. 10.若=0,即2(4)160a,解得0a或8a。 0a时，由2()(2)0ftt,得20t，不合题意；(如图1) 8a时，由2()(2)0ftt,得20t,符合题意。∴8a.(如图2) 20. 若>0,即8a或0a时， ∵(0)40f,故只需对称轴024a，即4a.∴8a。(如图3) 综上可得8a. 这是一个含参数的指数方程的问题。题目中出现了3x及9x，学生容易想到通过换元法转化成一元二次方程求解，把原问题转化为一元二次方程在区间(0,)上的恒成立问题。解法一体现了方程的思想，利用了韦达定理作等价转化；解法二体现了数形结合和分类讨论的思想方法，把二次方程根的分布问题进一步转化成二次函数图象与x轴的交点的问题。这些都是常用的数学思想方法，在数学教学中应反复强调，以引起学生的重视,让其在学习数学知识的过程中,不断加深对数学思想方法的理解,提高数学思维的灵活性。本题还可以用另一种方法来解决，就是下面介绍的变量分离法。
o 4 x
y 4 o x
y 4 o x
y 4
三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的值域或最值问题求解。 如果不等式Mxf)(对属于某个区间的一切自变量x都成立，那么只要)(xf在这个区间上的最小值大于M即可，即Mxfmin)(；同样如果不等式Mxf)(对属于某个区间的一切自变量x都成立，那么只要)(xf在这个区间上的最大值小于M即可，即Mxfmax)(.
例3、当m为何值时，不等式213sincos2,0,43mxxmx恒成立？ 解： 213sincos24mxxm 292coscos4mmxx 221(1)(cos)32mx
又0,3x1cos,12x(cosx+21)2+3的最小值为4. 要使213sincos24mxxm恒成立(m-1)2<4. 解得 0≤m9. 当0≤m9时，不等式213sincos24mxxm恒成立。
本题中的不等式两边都有m，若直接求解,则不太容易，因此可以先对不等式进行化简变形，把含有m的项全部放在不等号一边，另一边看成关于cosx的二次函数,从而得以解决. 特别要注意，用上述方法解不等式恒成立问题时，m必须是一个与自变量x无关的量，否则不能转化！ 又如，在例2中对关于t的方程2(4)40tat在(0,)有解也可利用变量分离法。因为0t，所以可将2(4)40tat写成4(4)att，原问题就转化为求函数()aft的值域。4048ttat。从解答过程可以看出，用变量分离解题，运算过程比较简捷。 5
四、 利用函数的性质解决恒成立问题 例4、已知函数()sincosfxxax图象的一条对称轴方程为4x，求实数a的值。 解：根据题意，对任意的xR，都有()()2fxfx 即sincossin()cos()cossin22xaxxaxxax 也即(1)(cossin)0axx对任意xR都成立，所以只能1a 这里虽然没有“恒成立”的字样，但是告诉对称轴方程为4x，其实就是告诉了该函数的一个性质，就是说对任意的xR，都有()()2fxfx，这是一个恒成立问题。所以我们要引导学生挖掘题目中条件的本质，在解题过程中要善于转化.比如：函数()fx为偶函数就等价于对定义域中的任何x，都有()()fxfx；函数()fxxD的最小值为5()12f就等价于对任意xD都有5()()12fxf；等等。这些都是恒成立问题。本题有另外一个解法就是利用函数
sin()yAx的图象的对称轴的特殊性去解。我们由正弦函数的图象和性质知道函数sinyx在,2xkkZ处取到最值，且图象的对称轴方程为,2xkkZ。依照这个思路，由函数()sincosfxxax图象的一条对称轴方程为4x，可得2()sincos1444faa，可解得1a。
五、把不等式恒成立问题转化为函数图像问题 例5 若不等式logsin2(01)axxaa且对于任意x∈(0,]4都成立，求a的取值范围. 解：作出函数sin2yx的图像 由题意知 在x∈(0, 4］，函数logayx的图像总在函数sin2yx的图像的上方.01a 作直线x=4，与logayx和sin2yx的图像分 6
别交于A、B两点，为保证logayx在区间（0，4］上的图像在sin2yx图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方. 当x=4时，logsin(2)1log44aaa, 又01a 得4
学生看到这个题目可能一开始束手无策，因为此题中的不等式左边是对数式，右边是三角式，很难用初等数学的知识去解这个不等式，但如果想到数形结合的方法，把左右两边分别看成两个函数f(x)与g(x)。把左边看成对数函数()logafxx，右边看成三角函数()sin2gxx，这个不等式()()fxgx对任意 x（0，4］都成立，就转化为函数()yfx的图像在区间（0，4］上都在函数()ygx
图像的上方，这就从一个代数的不等式问题转化到了一个函数图象的问题，然后从图像中寻找条件，就能解决问题。由此我们可以看到，函数与不等式是紧密联系的，我们在教学的过程中一定要重视初等函数的研究和把握，让学生熟悉初等函数的图象和性质，因为它们是解决好多其他问题的基础.同时在解题过程中要善于转化，象这个问题的解决其实就用到了把一个很难解决的不等式的问题转化到了一个可行的函数图象的问题，这种转化的思维方式和能力需要我们在平时的教学过程中逐渐培养起来，形成良好的解题思维策略。
六、 采用逆向思维，考虑使用反证法。 例6、设()yfx是定义在实数集R上的函数，对任意实数12xx、都有
1212()()()fxxfxfx，且存在实数a，使()0fa。求证：对任意实数x，()0fx恒成立。 分析：这是一个抽象函数的证明题，由1212()()()fxxfxfx，只要令122xxx，
就能得到2()()()()()022222xxxxxfxffff，接下来要证明对任意实数x，()fx