圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题
1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用 v 临界＝Rg
②能过最高点的条件：v ≥Rg ，当v ＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。

③不能过最高点的条件：v ＜v 临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。

⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。

杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v 临界＝0，此时支持力N ＝mg
②当0＜v ＜Rg 时，N 为支持力，有0＜N ＜mg ，且N 随v 的增大而减小 ③当v ＝Rg 时，N ＝0
④当v ＞Rg ，N 为拉力，有N ＞0，N 随v 的增大而增大
例1 （99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 的水平轴自由转动。

现给小球一初速度，使它做圆周运动。

图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是 （ ）
A 、a 处为拉力，b 处为拉力
B 、a 处为拉力，b 处为推力
C 、a 处为推力，b 处为拉力
图 1
v 0
图
2
图 3
D 、a 处为推力，b 处为推力
例2 长度为L ＝0.5m 的轻质细杆OA ，A 端有一质量为m ＝3.0kg 的小球，如图5所示，小球以O 点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m ／s ，g 取10m ／s 2
，则此时细杆OA 受到 （ ）
A 、6.0N 的拉力
B 、6.0N 的压力
C 、24N 的拉力
D 、24N 的压力
例3 长L ＝0.5m ，质量可以忽略的的杆，其下端固定于O 点，上端连接着一个质量m ＝2kg 的小球A ，A 绕O 点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：
①当A 的速率v 1＝1m ／s 时 ②当A 的速率v 2＝4m ／s 时
2、在水平面内作圆周运动的临界问题
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。

这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

例4 如图6所示，两绳系一质量为m ＝0.1kg 的小球，上面绳长L ＝2m ，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为3 rad ／s 时，上、下两绳拉力分别为多大？
图 5
C
图 6
例5 如图7所示，细绳一端系着质量M ＝0.6kg 的物体，静止在水平肌，另一端通过光滑的小孔吊着质量m ＝0.3kg 的物体，M 的中与圆孔距离为0.2m ，并知M 和水平面的最大静摩擦力为2N 。

现使此平面绕中心轴线转动，问角速度ω在什么范围m 会处于静止状态？（g ＝10m ／s 2
）说明：一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析两个临界状态。

3、巩固练习
1、汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m ／s 时，车对桥的压力为车重的3
4 。

如果使汽
车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为 （ ）
A 、15 m ／s
B 、20 m ／s
C 、25 m ／s
D 、30m ／s
2、如图8所示，水平转盘上放有质量为m 的物块，当物块到转轴的距离为r 时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直（绳上张力为零）。

物体和转盘间最大静摩擦力是其下压力的μ倍。

求：
⑴当转盘角速度ω1＝μg
2r
时，细绳的拉力T 1。

⑵当转盘角速度ω2＝3μg
2r
时，细绳的拉力T 2。

三、小结
1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不一定是圆心。

2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。

如速度的值是多大、某个力恰好存
图 8
图 7
在还是不存在以及这个力的方向如何。

答案
例1分析：答案A 是正确的，只要小球在最高点b 的速度大于gL ，其中L 是杆的长；答案B 也
是正确的，此时小球的速度有0＜v ＜gL ；答案C 、D 肯定是错误的，因为小球在最低点时，杆对小球一定是拉力。

例2解法：小球在A 点的速度大于gL 时，杆受到拉力，小于gL 时，杆受压力。

V 0=gL ＝10×0.5 m ／s ＝ 5 m ／s
由于v ＝2.0 m ／s ＜ 5 m ／s ，我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。

小球受重力mg 和细杆的支持力N 由牛顿第二定律 mg －N ＝m v
2
L
N ＝mg －m v
2L
＝6.0N 故应选 B 。

例3
解法一：（同上例） 小球的速度大于 5 m ／s 时受拉力，小于 5 m ／s 时受压力。

①当v 1＝1m ／s ＜ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和向上的支持力N 由牛顿第二定律 mg －N ＝m v
2
L
N ＝mg －m v
2L
＝16N
即杆受小球的压力16N 。

②当v 2＝4m ／s ＞ 5 m ／s 时，小球受向下的重力mg 和向下的拉力F 由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v
2L
F ＝m v
2
L －mg ＝44N
即杆受小球的拉力44N 。

解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者
是压力。

我们可不去做具体的判断而假设一个方向。

如设杆竖直向下拉小球A ，则小球的受力就是上面解法中的②的情形。

由牛顿第二定律 mg ＋F ＝m v
2
L
N
得到 F ＝m （v
2
L
－g ） 当v 1＝1m ／s 时，F 1＝－16N F 1为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球
受力应向上，为支持力。

则杆应受压力。

当v 2＝4m ／s 时，F 2＝44N 。

F 2为正值，说明它的实际方向与所设的方向相同，即小球
受力就是向下的，是拉力。

则杆也应受拉力。

例4解析：①当角速度ω很小时，AC 和BC 与轴的夹角都很小，BC 并不张紧。

当ω逐渐增大到30°时，
BC 才被拉直（这是一个临界状态），但BC 绳中的张力仍然为零。

设这时的角速度为ω1，则有：
T AC cos30°＝mg
T AC sin30°＝m ω12
Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω1＝2.4 rad ／s
②当角速度ω继续增大时T AC 减小，T BC 增大。

设角速度达到ω2时，T AC ＝0（这又是一个临界状态），则有： T BC cos45°＝mg
T BC sin45°＝m ω22Lsin30°
将已知条件代入上式解得 ω2＝3.16 rad ／s
所以 当ω满足 2.4 rad ／s ≤ω≤3.16 rad ／s ，AC 、BC 两绳始终张紧。

本题所给条件 ω＝3 rad ／s ，此时两绳拉力T AC 、T BC 都存在。

T AC sin30°＋T BC sin45°＝m ω2
Lsin30° T AC cos30°＋T BC cos45°＝mg
将数据代入上面两式解得 T AC ＝0.27N ， T BC ＝1.09N
注意：解题时注意圆心的位置（半径的大小）。

如果ω＜2.4 rad ／s 时，T BC ＝0，AC 与轴的夹角小于30°。

如果ω＞3.16rad ／s 时，T AC ＝0，BC 与轴的夹角大于45
例5解析：要使m 静止，M 也应与平面相对静止。

而M 与平面静止时有两个临界状态：
当ω为所求范围最小值时，M 有向着圆心运动的趋势，水平面对M 的静摩擦力的方向背
离圆心，大小等于最大静摩擦力2N 。

此时，对M 运用牛顿第二定律。

有 T－f m＝Mω12r 且 T＝mg
解得ω1＝2.9 rad／s
当ω为所求范围最大值时，M有背离圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向向着圆心，大小还等于最大静摩擦力2N。

再对M运用牛顿第二定律。

有 T＋f m＝Mω22r
解得ω2＝6.5 rad／s
所以，题中所求ω的范围是： 2.9 rad／s＜ω＜6.5 rad／s。