SX2020A053高考数学必修_分期付款的相关计算

分期付款的相关计算【基础知识精讲】1.关于复利的概念与计算银行按规定在一定时间结算利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算方法叫做复利.例如：若银行贷款的利率为每年12%，银行向某企业贷出10万元，那么期满一年时，银行不仅要收回本金10万元，还要加收本金乘以利率生成的利息，银行总共收回的款额为10+10×12％＝11.2(万元).一般，一年期满后，借贷者(银行)收到的款额V1=V(1+a)，其中V为初始贷款额，a为每年的利率，假若在一年期满后，银行又把V1贷出，利率不变，则银行在下一个一年期满时可以收取的款额为V 2=V1(1+a)=V(1+a)2.依次类推，若把V贷出t年，利率为每年a，这笔款额到期后就会增到V t =V(1+a)t.我们指出这里的利息是按每年一次重复计算的，称为年复利.若在一年中利息按较多次重复计算就有如下更一般的情况：年利率为a，按每年n次复利计算，则每次利率按an计算，t年后的本息之和为V t =V+(1+an)nt.2.关于分期付款在日常生活中，一些商店为了促进商品销售，便于顾客购买一些售价较高的商品，在付款方式上较为灵活，可以一次性付款，也可以分期付款，采用分期付款又可以提供几种方案选择.例如，顾客购买一件售价为5000元的商品时，如果采用分期付款方式，那么在一年内将款全部付清的前提，商店又提出了下表所示说明：1.分期付款中规定每期所付款额相同.2.每月利息按复利计算，是指上月利息要计入下月本金. 一般地，购买一件售价为a 元的商品，采用分期付款的要求在m 个月将款全部付清，月利率为P ，分n(n 是m 的约数)次付款，每次付款的计算公式是()()()11111mm n ma p p x p ⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦=+-. 3.关于分期付款方案的确定须明确的几点：采用分期付款，可以提供几种付款方案，供顾客选择，对于每一种分期付款方案应明确以下几点：(1)规定多少时间内付清全部款额；(2)在规定时间内分几期付款，并且规定每期所付款额相同；(3)规定多长时间段结算一次利息，并且在规定时间段内利息按复利计算. 在选择分期付款方案时，必须计算各种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于顾客比较，优化选择方案.【重点难点解析】例1 某单位用分期付款的方式为职工购买40套住房，共需1150万元，购买当天先付150万元，以后每月这一天都交付50万元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150万元后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款后的第10个月应该付多少钱?全部贷款付清后，买这40套住房实际花了多少钱?解：因购房时已付150万元，则欠款1000万元，依题意分20次付清，则每次付款的数额顺次构成数列｛a n ｝，故a 1=50+1000×0.01=60(万元)a 2=50+(1000-50)×0.01=59.5(万元) a 3=50+(1000-50×2)×0.01=59(万元) a 4=50+(1000-50×3)×0.01=58.5(万元) a n =50+［1000-50(n-1)］×0.01=60-(n-1)×12(1≤n ≤20,n ∈N)∴｛a n ｝是以60为首项，-12为公差的等差数列.∴a 10=60-9×12=55.5(万元)a 20=60-19×12=50.5(万元)∴20次分期付款总和为：S n =()1202011052a a += (万元)实际共付1105+150=1255(万元)答：第10个月付55.5万元，买40套住房实际花1255万元.例2某职工年初向银行贷款2万元用于购房，年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息)，若这笔贷款要求10次等额还清，每年一次，并且从贷款后次年初开始归还，问每年应还多少元(精确到1元)?解：此类题一般有两种思考方法：一是按将来值计算，即按10年后的价值计算；二是计算每年贷款余额.设贷款年利率为r，贷款数额为A，每年等额归还x元，第n年还清.因某年贷款A元，到第n年连本带利应还A(1+r)n元，而第k年还款x元，也还掉了这x元的(n-k)年的利息，故有数列模型：(1+r)n A=x［(1+r)n-1+(1+r)n-2+…+(1+r)+1］.即 (1+r)n A=x·()11nrr+-于是x=() ()111nnAr rr++-将r=0.1,A=20000,n=10代入得x=1010 200000.1 1.11.11⨯⨯-.又1.110=(1+0.1)10=1+C110·0.1+C210·0.12+…≈2.59324.所以x≈3255元.故每年应还3255元.评析存款、贷款与人民的生活休戚相关，解决此类问题常常转化为数列求解.例3一工厂为提高产品质量、扩大再生产，需要征地、扩建厂房、购置新机器设备、改造旧设备、培训职工，因而需要大量资金.已知征地、农户拆迁费需40万元，新建厂房需100万元，购置新机器需60万元，旧设备改造及培训职工需15万元，而该厂现有资金125万元，但流动备用资金需40万元，厂内干部30人每人投资4000元，工人180人每人投资1000元(不计利息在每年年底利润中分红)尚缺少的资金准备在今年年底向银行贷款，按照年利率9%的复利计算，若从次年年底开始分5年平均还清贷款及全部利息，那么该厂平均每年需还贷款多少万元(精确到0.1万元).分析本题涉及资金有以下几个方面：(1)扩大再生产急需资金40+100+60+15+40=255(万元)(2)已筹集资金125+0.4×30+0.1×180=155(万元)(3)需向银行贷款255-155=100(万元)(4)还款情况分析：①向银行贷款100万元从次年年底起5年后若一次还清应为100(1+0.09)5(万元)②根据该厂的实际情况实行分期付款从次年年底算起，连续5年每年向银行还相同的贷款，到第5年底还完.设第1年年底向银行还款为x万元，那么到第5年年底应为x·1.094(万元)；第2年底还款x万元到第5年年底应为x·1.093(万元)；第3年底还款x万元到第5年年底应为x·1.092(万元)第4年底还款x万元到第5年年底应为x·1.09(万元)第5年底还款x万元仅本金x(万元)于是得方程x(1.094+1.093+1.092+1.09+1)=100×1.095所以()51.0911.091x--=100×1.095由计算器可计算得x≈25.7(万元).评析分期付款问题可视作分期存款，即从次年年底每年存款x万元，按规定的利率，求得n年的本利和，然后向银行一次付清，这样就构成了以x万元为首项，1.09为公比的等比数列求前n项之和，从而列出方程，求出x.例4买一套新住房需15万元，若一次将款付清可优惠25%；若连续五年分期付款付清，则须在每年相同的月份内交付3万元.如果银行一年期存款的利率为8%，按本利累进计算(即每年的付款与利息之和转为下年的存款).问：两种付款办法哪种对购房者有利?试说明理由.解：若到第5年存款与利息之和较少，则对购房者有利.因为一次付清到第5年存款与利息之和为：15(1-25%)(1+8%)=454(1+8%)4(万元).而分期付款的本息和为：3(1+8%)4+3(1+8%)3+3(1+8%)2+3(1+8%)+3=752·［(1+8%)5-1］(万元).∵752［(1+8%)5-1］-454(1+8%)4=154［(1+8%)4·(7+10×8%)-10］=154｛［1+C14·8%+C24·(8%)2+C34·(8%)3+C44·(8%)4］(7+10×8%)-10｝＞154［(1+4×8%)(7+10×8%)-10］＞154［(7+38×8%)-10］=154(10.04-10)＞0∴752［(1+8%)5-1］＞454(1+8%)4.故一次付清对购房者有利.评析本例是在阅读理解的基础上列出两种方案的表达式，然后通过作差比较、放缩、估算，完成探索“使命”，从而使问题得到解决.【知识验证实验】假设A型进口汽车关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年进口汽车每辆的价格为64万元（其中含32万元关税款）①已知与A型车性能相近的B型国产车，2001年每辆价格为46万元。

若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格不高于A型车的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多万元？②某人在2001年将33万元存入银行，假设该银行扣利息税后的年利率为1.8%（五年内不变），且每年按复利计算（例如，第一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期是这笔连本带息是否一定够买一辆按①中所述降低价格后的B型汽车？【解】①∵2006年关税款为税款的41，故所减少的关税款为32×43=24（万）。

所以2006年A 型车价格为64-24=40(万元)。

因5年后B 型车价格应不高于A 型车价的90%，所以有B 型车价格≤40×90%=36（万元）。

因2001年B 型车价格为46万元，故5年中至少要降10万元，所平均每年至少降价2万元。

②根据题意,2001年存入的33万元5年到期时连本带息可得33×（1+1.8%）5, ∵33×（1+1.8%）5>33×(1+5×0.018+10×0.000324)=36.07692(万元)。

所以够买一辆依①中所述5年后降价为36万元以下的B 型车。