山东高考理科历数学真题及答案
全国高考理科数学试题及答案-山东
普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页， 满分150分， 考试时间120分钟。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前， 考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后， 用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号， 答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答;不能写在试题卷上; 如需改动， 先画掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸,修正带,不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.。
参考公式：柱体的体积公式V=Sh ， 其中S 是柱体的底面积， h 是锥体的高。
锥体的体积公式V=13Sh ， 其中S 是锥体的底面积， h 是锥体的高。
如果事件A,B 互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);R 如果事件A,B 独立,那么P(AB)=P(A)P(B).事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率:()(1)(0,1,2,,)k k n kn n P k C p p k n -=-=L .第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题， 每小题5分， 共50分。
在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1、集合{}0,2,A a =,{}21,B a =,若{}0,1,2,4,16A B =U ,则a 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.42、复数31ii--等于（ ）. A ．i 21+ B.12i - C.2i + D.2i -3、将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是( ).A.cos 2y x =B.22cos y x = C.)42sin(1π++=x y D.22sin y x =4、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A.223π+ B. 423π+ C. 232π+D. 234π+ 5、 已知α， β表示两个不同的平面， m 为平面α内的 一条直线， 则“αβ⊥”是“m β⊥”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件22侧(左)视图222正(主)视俯视图26、函数x xx xe e y e e --+=-的图像大致为( ).7、设P 是△ABC 所在平面内的一点， 2BC BA BP +=u u u r u u u r u u u r， 则（ ） A.0PA PB +=u u u r u u u r r B.0PC PA +=u u u r u u u r r C.0PB PC +=u u u r u u u r r D.0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r r８、某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净 重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图， 其中产品净重的范围是 [96， 106]， 样本数据分组为[96， 98）， [98， 100),[100， 102)， [102， 104),[104， 106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36， 则样本中净重大 于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( ). A.90 B.75 C. 60 D.45 9、设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点， 则双曲线的离心率为( ). A.45B. 5C. 25D.510、 定义在R 上的函数f(x)满足f(x)= ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ， 则f （2009）的值为( )A.-1B. 0C.1D. 2 11、在区间[-1， 1]上随机取一个数x ， cos 2xπ的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2C.21D.32 12、设x ， y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0， b>0）的是最大值为12，则23a b +的最小值为( ). A.625 B.38 C. 311 D. 4D第8题图A BC P 第7题图第12题图 第∏卷二、填空题：本大题共4小题， 每小题4分， 共16分。
2023山东高考数学试题及答案_完整版
2023山东高考数学试题及答案_完整版2023山东高考数学试题及答案_完整版小编整理了2023山东高考数学试题及答案，数学被应用在很多不同的领域上，包括科学、工程、医学和经济学等。
下面是小编为大家整理的2023山东高考数学试题及答案，希望能帮助到大家!2023山东高考数学试题及答案怎样学好高中数学第一步，怎么样学好高中数学首先需要吃透数学书的知识，如何学习知识，如何提高高中数学成绩，同学上课前要做好预习，带着问题来认真听讲，做好布置的，作业。
建议：不管是高一二或者高三同学，怎样学好高中数学一定要把基础知识学扎实的前提下，才能提高数学成绩。
第二步，高中数学在掌握了基础知识之后，再考虑有两种：一种就题论题式思考;一种是思维全面化、系统化思考。
就题论题思考是必要的，拿到陌生题目一定要自己思考，实在思考不出来再去看答案或问别人，这对于你的做题水平的提高是很有帮助的。
第三步，这是拔高提升阶段，这一步对于怎样学好高中数学至关重要，我们有的同学做了很多数学题，可是遇到陌生题就不知从何入手了，那么这样的学生如果第二步做好了，那么他们缺的就是第三步: 对高中数学题目的全面系统化思考做到这一步需要整体思维和系统化思维，需要对各类题型进行总结，进行逻辑上的提炼和升华，同时需要一个思维逻辑高度来全面系统化思考。
怎么复习高三数学一、认真学《考试说明》，从参试题中寻找启示高考试题体现能力的同时更加人性化，解答题起点低，入口容易，不同层次的学生都能得到一定的分数。
由此可见，强调三基，突出三基，考查三基已成为命题的主旋律。
二、重视课本，把基础落到实处尽管当前高考数学试卷不再刻意追求知识点的覆盖面，但凡是《考试说明》中规定的知识点，在复习时不能遗漏，并且要突出重点。
回到基础中去，对课本中的概念、法则、性质、定理等进行梳理，要理清知识发生的本原，考生要注意从学科整体意义上建构知识网络，形成完整的知识体系，掌握知识之间内在联系与规律。
山东高考数学真题理科
山东高考数学真题理科2021年山东高考数学真题理科部分一、选择题1.已知集合$A=\{x|x=\frac{m-1}{2} , m \text{是整数}\} ,B={2^{n}|n=0,1,2,3}, A \cup B=\{3,4\}, A \cap B =\{3\}, 则m+n=$()A.8B.11C.6D.52.在$\triangle ABC$中，$BC=\sqrt{3} , \angle ADB=60^{\circ}, AB=3,AC=4,则BD=$()A.$\sqrt{3}-1$B. 1C. 2D. 43.设$f(1)=2, f(2)=3,f(3)=f(4)=5,f(5)=17,$则$f(x)=$()A.x+1B.x+2C.x+3D.x+44.曲线$y=\frac{x^2+2}{x}的对称轴方程是$A.y=xB.y=-xC.x=-yD.x=y5.图中是几个单位正旋角的相交部分，其中阴影部分的面积为$\frac{1}{6}, 则$此原图旋角度数为()A. 30B. 45C. 60D.906.已知函数$f(x)=\frac{x+a}{x^2+x}实数a, 且f(4)=\frac{1}{2},则a=$()A.1B.2C.3D.47.如图，已知四边形$ABCD$中$\angle ABC=\angle AFE,AB=4,AC=3,$则四边形$EFD$中$\angle DEF=$()A.$45^{\circ}$B.$30^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$75^{\circ}$8.在点$A(10,5)和B(2,1)上，能准确相应加平移矢量能使A、B垂直则的c的值是()A.$\frac{7}{2}$B.$\frac{29}{14}$C.$\frac{6}{7}$D.$-\frac{3}{7}$9.若$2A=3B=4C$,则$S_{\triangle{ABC}}:S_{\triangle{ABC}}:S_{\triangle{ABC}}$A.4:4:4B.4:8:12C.3:3:3D.9:6:410.已知函数$f(x)=sin\frac{\pi}{2}(x+2\pi)$,则$f(-3\pi)+f(-\pi)=$()A.1B.-1C.0D.311.若等差数列1,2,...,10+9有共同项数，求它的16项12.$\sqrt{2a^4b^4}$的值为$()$A.$a^4b^2$B.$a^2b$C.2$a^2$ B.2b13.已知$f(x)=3^x$,$f\left(\log_3{\frac{3}{2}}\right)=$()A.$\frac{1}{2}$B.$-\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$-\frac{3}{2}$14.用实数$a,b$表示直线x=y的方程为$(1+a)x+b=0$,则$a$与$b$满足的关系式「」A$x-1=0 B$(-1+a)x+b=0 C$(1-a)x+b=0 D$(-1+a)x-b=015.如图，过点P做两条直线与x轴交于A、B,S≠0，AB的方程为$ki+5k=0,$,则点P的函数式为$2k-3$A.-\frac{1}{2}B.-\frac{1}{3}C.\frac{1}{2}D.\frac{1}{3}16.若圆方程为$(x-1)2+(y-2)2=1$,则与x轴交在A与B的有一个象限像在D区的是「」A.I象限B.II象限C.III象限D.IV象限17.巧合点(0,0)在函数图像的关系，此的函数是「」A.对称B.奇函数C.偶函数D.周期函数18.阶为$\triangle ABC, \triangle DEF, 对$图，函数为$\triangle ABC 与偶函数の三边等分$$\triangle DEF=\{1,2,3,4\}$山东高考数学真题理科结束。
最新 理科数学高考精选试题(山东卷)附答案及解析
普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学本试卷分第I卷和第II卷两部分，共4页。
满分150分。
考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
注意事项：1.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己地姓名、准考证号、县区和科类填写在答题卡上和试卷规定地位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目地答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应地位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来地答案，然后再写上新地答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答地答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
参考公式：锥体地体积公式：V=Sh，其中S是锥体地底面积，h 是锥体地高。
如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P(B)；如果事件A，B独立，那么P（AB）=P（A）·P（B）。
第I卷（共60分）一、 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出地四个选项中，只有一项是符合题目要求地。
1 若复数x 满足z(2-i)=11+7i(i 为虚数单位)，则z 为A 3+5iB 3-5iC -3+5iD -3-5i 解析：i i i i i i z 535)1114(7225)2)(711(2711+=++-=++=-+=.答案选A 。
另解：设),(R b a bi a z ∈+=，则i i a b b a i bi a 711)2(2)2)((+=-++=-+ 根据复数相等可知72,112=-=+a b b a ，解得5,3==b a ，于是i z 53+=。
2 已知全集U ={0，1，2，3，4}，集合A={1，2，3，}，B={2，4} ，则（CuA ）U B 为A {1，2，4}B {2，3，4}C {0，2，4}D {0，2，3，4}解析：}4,2,0{)(},4,0{==B A C A C U U Y 。
普通高等学校招生国统一考试数学理试题山东卷,解析 试题
2021年普通高等招生全国统一考试数学理试题〔卷，解析版〕考前须知：1在答题之前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置，需要用2B铅笔将答题卡上试卷类型B后的方框涂黑。
2选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
咎在试题卷、草稿纸上无效。
3填空题和解答题用0 5毫米黑色墨水箍字笔将答案直接答在答题卡上对应的答题区域内。
答在试题卷、草稿纸上无效。
4考生必须保持答题卡的整洁。
在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第一卷〔一共60分〕一、选择题：本大题一一共l0小题．每一小题5分，一共50分在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项满足题目要求的.【解析】因为22(2)34255i i iz i ---===+,故复数z 对应点在第四象限,选D. 3.假设点〔a,9〕在函数3xy =的图象上，那么tan=6a π的值是 〔A 〕0 (B)33(C) 1 (D) 3 【答案】D【解析】由题意知:9=3a,解得a =2,所以2tantan tan 3663a πππ===,应选D. 5. 对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称〞是“y =()f x 是奇函数〞的〔A 〕充分而不必要条件 〔B 〕必要而不充分条件 〔C 〕充要条件 〔D 〕既不充分也不必要 【答案】B【解析】由奇函数定义,容易得选项B 正确. 6.假设函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，那么ω=〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕32 〔D 〕23【答案】C【解析】由题意知,函数在3x π=处获得最大值1,所以1=sin3ωπ,应选C.7. 某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为【答案】B【解析】由表可计算4235742x +++==,49263954424y +++==,因为点7(,42)2在回归直线ˆˆˆybx a =+上,且ˆb 为，所以7ˆ429.42a =⨯+, 解得9.1a =,故回归方程为ˆ9.49.1yx =+, 令x=6得ˆy =65.5,选B. 8.双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,那么该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -= 【答案】A【解析】由圆C:22650x y x +-+=得:22(3)4x y -+=,因为双曲线的右焦点为圆C 的圆心(3,0),所以c=3,又双曲线的两条渐近线0bx ay ±=均和圆C 相切,所以2232b a b=+,即32b c=,又因为c=3,所以b=2,即25a =,所以该双曲线的方程为22154x y -=,应选A. 9. 函数2sin 2xy x =-的图象大致是【答案】C【解析】因为'12cos 2y x =-,所以令'12cos 02y x =->,得1cos 4x <,此时原函数是增函数;令'12cos 02y x =-<,得1cos 4x >,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C正确.10. ()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,那么函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为〔A 〕6 〔B 〕7 〔C 〕8 〔D 〕9 【答案】A【解析】因为当02x ≤<时, 3()f x x x =-,又因为()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且(0)0f =,所以(6)(4)(2)(0)0f f f f ====,又因为(1)0f =,所以(3)0f =,(5)0f =,故函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为6个,选A.11.以下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定以下三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如以下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如以下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如以下图．其中真命题的个数是(A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以.12.设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，假设1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)，且112λμ+=,那么称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,点C(c ，o),D(d ，O)(c ，d ∈R)调和分割点A(0，0)，B(1，0)，那么下面说法正确的选项是 (A)C 可能是线段AB 的中点(B)D 可能是线段AB 的中点 (C)C ，D 可能同时在线段AB 上(D) C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上 【答案】D【解析】由1312A A A A λ= (λ∈R)，1412A A A A μ=(μ∈R)知:四点1A ，2A ，3A ，4A 在同一条直线上,因为C,D 调和分割点A,B,所以A,B,C,D 四点在同一直线上,且112c d+=, 应选D. 二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分． 13.执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5， 那么输出的y 的值是 . 【答案】68【解析】由输入l=2，m=3，n=5，计算得出y=278,第一次得新的y=173;第二次得新的y=68<105,输出y.14. 假设62()a x x -展开式的常数项为60，那么常数a 的值是 . 【答案】4【解析】因为6162()r rr r a T C x x -+=⋅⋅-,所以r=2, 常数项为26a C ⨯=60,解得4a =.15. 设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2x f x f x x ==+ 21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【答案】22(1)xn x n-+ 【解析】观察知:四个等式等号右边的分母为2,34,78,1516x x x x ++++,即(21)2,(41)4,(81)8,(161)16x x x x -+-+-+-+,所以归纳出分母为1()(())n n f x f f x -=的分母为22(1)n x n -+,故当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -==22(1)xn x n -+.f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .【答案】5【解析】方程log (0a 1)a x x b a +-≠＞，且=0的根为0x ,即函数log (23)a y x a =<<的图象与函数(34)y x b b =-<<的交点横坐标为0x ,且*0(,1),x n n n N ∈+∈,结合图象,因为当(23)x a a =<<时,1y =,此时对应直线上1y =的点的横坐标1(4,5)x b =+∈;当2y =时, 对数函数log (23)a y x a =<<的图象上点的横坐标(4,9)x ∈,直线(34)y x b b =-<<的图象上点的横坐标(5,6)x ∈,故所求的5n =.三、解答题：本大题一一共6小题，一共74分． 17.〔本小题满分是12分〕在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.cos A-2cos C 2c-a=cos B b. （I ） 求sin sin CA的值； （II ）假设cosB=14，2b =,求ABC ∆的面积.【解析】〔Ⅰ〕由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以cos A-2cos C 2c-a=cos B b=2sin sin sin C AB-,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即sin 2sin C A =,所以sin sin CA =2. 〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知:sin sin c Ca A ==2,即c=2a,又因为2b =,所以由余弦定理得： 2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯,解得1a =,所以c=2,又因为cosB=14，所以sinB=154，故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯154=154.18.〔本小题满分是12分〕红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进展围棋比赛，甲对A ，乙对B ，丙对C 各一盘，甲胜A ，乙胜B ，丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果互相HY 。
山东省数学高考试题及答案
山东省数学高考试题及答案一、选择题（每小题4分，共80分）1. 已知函数 f(x) 的图象如下：（略）根据图象可知， f(x) 在区间(−∞, 0] 上是增函数，则下列结论中正确的是（）A. f(−4) < f(0)B. f(−4) > f(0)C. f(−2) < f(−4)D. f(−2) > f(−4)答案：D2. 若集合 A={x | x＜4且x＞−2}，则集合 A 的数目是（）A. 7B. 5C. 3D. 2答案：B3. 已知数列 { an } 为等差数列，首项为 3，公差为 2。
若 a5 ＞ a6，则 n 的最小值为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：B4. 不等式x(x−2)(x−4)(x−6) ＞ 0 的整数解的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C5. y=log2(x−1)∣x＜3 ，则函数y=log2(x−1)的定义域为（）A. (−∞, 1)B. (1, ∞)C. (0, ∞)D. (−∞, 0) ∪ (0, 1)答案：A二、填空题（每小题4分，共40分）6. 整式−2a^2b^3 c 的由高到低的项系数和为______答案：-27. 平移变换 y＝(2−x)cos π(x−12) 的平移向量为______。
答案：(a, b)=(−2, 0)三、解答题（共80分）8. 已知函数 f(x)=x^x 交直线x=2x+3 于点 (1, 5)，求 a 的值。
解答：因为该函数与直线交于点 (1, 5)，所以有 f(1)=2×1+3=5，即 a=a^1=5。
所以 a=5。
9. 已知集合 A={x | 3x−2<−4}，集合 B={x | x＞0}，求集合A ∩ B 的解集。
解答：将不等式 3x−2<−4 化简得x＜−2/3。
由于x＞0，所以集合A ∩ B 的解集为∅。
10. 求等差数列 { a_n } 的第 8 项及公差，已知该数列前 7 项的和为42，首项为 2。
2020年高考真题数学【新高考全国Ⅰ卷】(山东卷)(含解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国Ⅰ一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设集合A＝{x|1≤x≤3},B＝{x|2<x<4},则A∪B等于()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}答案C解析A∪B＝{x|1≤x≤3}∪{x|2<x<4}＝{x|1≤x<4}．2.2－i1＋2i等于()A．1 B．－1 C．i D．－i 答案D解析2－i1＋2i＝(2－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝－5i5＝－i.3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有()A．120种B．90种C．60种D．30种答案C解析先从6名同学中选1名安排到甲场馆,有C16种选法,再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆,有C25种选法,最后将剩下的3名同学安排到丙场馆,有C33种选法,由分步乘法计数原理知,共有C16·C25·C33＝60(种)不同的安排方法．4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面．在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处的水平面所成角为()A．20° B．40° C．50° D．90°答案B解析如图所示,⊙O为赤道平面,⊙O1为A点处的日晷面所在的平面,由点A 处的纬度为北纬40°可知∠OAO 1＝40°,又点A 处的水平面与OA 垂直,晷针AC 与⊙O 1所在的面垂直, 则晷针AC 与水平面所成角为40°.5．某中学的学生积极参加体育锻炼,其中有96%的学生喜欢足球或游泳,60%的学生喜欢足球,82%的学生喜欢游泳,则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42% 答案 C解析 用Venn 图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图,设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x , 则(60%－x )＋(82%－x )＋x ＝96%,解得x ＝46%.6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型：I (t )＝e rt 描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位：天)的变化规律,指数增长率r 与R 0,T 近似满足R 0＝1＋rT .有学者基于已有数据估计出R 0＝3.28,T ＝6.据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)( ) A ．1.2天 B ．1.8天 C ．2.5天 D ．3.5天 答案 B解析 由R 0＝1＋rT ,R 0＝3.28,T ＝6, 得r ＝R 0－1T ＝3.28－16＝0.38.由题意,累计感染病例数增加1倍, 则I (t 2)＝2I (t 1), 即e0.38t 2＝2e0.38t 1, 所以e0.38(t 2－t 1)＝2, 即0.38(t 2－t 1)＝ln 2, 所以t 2－t 1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8.7．已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点,则AP →·AB →的取值范围是( ) A ．(－2,6) B ．(－6,2) C ．(－2,4) D ．(－4,6) 答案 A解析 如图,取A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则A (0,0),B (2,0),C (3,3),F (－1,3)． 设P (x ,y ),则AP →＝(x ,y ),AB →＝(2,0),且－1<x <3. 所以AP →·AB →＝(x ,y )·(2,0)＝2x ∈(－2,6)．8．若定义在R 上的奇函数f (x )在(－∞,0)上单调递减,且f (2)＝0,则满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是( ) A ．[－1,1]∪[3,＋∞) B ．[－3,－1]∪[0,1] C ．[－1,0]∪[1,＋∞) D ．[－1,0]∪[1,3]答案 D解析 因为函数f (x )为定义在R 上的奇函数, 则f (0)＝0.又f (x )在(－∞,0)上单调递减,且f (2)＝0, 画出函数f (x )的大致图象如图(1)所示, 则函数f (x －1)的大致图象如图(2)所示．当x ≤0时,要满足xf (x －1)≥0,则f (x －1)≤0, 得－1≤x ≤0.当x >0时,要满足xf (x －1)≥0,则f (x －1)≥0, 得1≤x ≤3.故满足xf (x －1)≥0的x 的取值范围是[－1,0]∪[1,3]．二、选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分) 9．已知曲线C ：mx 2＋ny 2＝1.( ) A ．若m >n >0,则C 是椭圆,其焦点在y 轴上B ．若m ＝n >0,则C 是圆,其半径为nC ．若mn <0,则C 是双曲线,其渐近线方程为y ＝±－m nx D ．若m ＝0,n >0,则C 是两条直线 答案 ACD解析 对于A,当m >n >0时,有1n >1m >0,方程化为x 21m ＋y 21n ＝1,表示焦点在y 轴上的椭圆,故A 正确．对于B,当m ＝n >0时,方程化为x 2＋y 2＝1n,表示半径为1n的圆,故B 错误． 对于C,当m >0,n <0时,方程化为x 21m －y 2－1n ＝1,表示焦点在x 轴上的双曲线,其中a ＝1m,b ＝－1n,渐近线方程为y ＝±－m n x ；当m <0,n >0时,方程化为y 21n －x 2－1m ＝1,表示焦点在y 轴上的双曲线,其中a ＝1n,b ＝－1m,渐近线方程为y ＝±－mnx ,故C 正确． 对于D,当m ＝0,n >0时,方程化为y ＝±1n,表示两条平行于x 轴的直线,故D 正确． 10．如图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象,则sin(ωx ＋φ)等于( )A ．sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3B ．sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x C ．cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 D ．cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 答案 BC解析 由图象知T 2＝2π3－π6＝π2,得T ＝π,所以ω＝2πT ＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π6，0,由“五点法”,结合图象可得φ＋π3＝π,即φ＝2π3,所以sin(ωx ＋φ)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3,故A 错误；由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π3－2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 知B 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6知C 正确； 由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫2x －5π6 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2x 知D 错误． 11．已知a >0,b >0,且a ＋b ＝1,则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤2答案 ABD解析 因为a >0,b >0,a ＋b ＝1, 所以a ＋b ≥2ab ,当且仅当a ＝b ＝12时,等号成立,即有ab ≤14.对于A,a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12,故A 正确；对于B,2a －b ＝22a －1＝12×22a ,因为a >0,所以22a >1,即2a －b >12,故B 正确；对于C,log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2,故C 错误；对于D,由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2, 得a ＋b ≤2,故D 正确．12．信息熵是信息论中的一个重要概念．设随机变量X 所有可能的取值为1,2,…,n ,且P (X ＝i )＝p i >0(i ＝1,2,…,n ),∑i ＝1np i ＝1,定义X 的信息熵H (X )＝－∑i ＝1np i log 2p i .( )A ．若n ＝1,则H (X )＝0B ．若n ＝2,则H (X )随着p i 的增大而增大C ．若p i ＝1n(i ＝1,2,…,n ),则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n ＝2m ,随机变量Y 所有可能的取值为1,2,…,m ,且P (Y ＝j )＝p j ＋p 2m ＋1－j (j ＝1,2,…,m ),则H (X )≤H (Y ) 答案 AC解析 对于A,当n ＝1时,p 1＝1,H (X )＝－1×log 21＝0,故A 正确；对于B,当n ＝2时,有p 1＋p 2＝1,此时,若p 1＝14或34都有H (X )＝－⎝⎛⎭⎫14log 214＋34log 234,故B 错误； 对于C,当p i ＝1n(i ＝1,2,…,n )时,H (X )＝－∑i ＝1n1n log 21n ＝－n ×1n log 21n ＝log 2n .显然H (X )随n 的增大而增大,故C 正确； 对于D,方法一 当n ＝2m 时,H (X )＝－(p 1log 2p 1＋p 2log 2p 2＋…＋p 2m －1log 2p 2m －1＋p 2m log 2p 2m )＝－[(p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m )＋(p 2log 2p 2＋p 2m －1log 2p 2m －1)＋…＋(p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1)], H (Y )＝－[(p 1＋p 2m )log 2(p 1＋p 2m )＋(p 2＋p 2m －1)·log 2(p 2＋p 2m －1)＋…＋(p m ＋p m ＋1)log 2(p m ＋p m ＋1)],由于p 1log 2p 1＋p 2m log 2p 2m ＝log 2(11p p ·22mp m p )<log 2[(p 1＋p 2m )p 1·212()mp m p p +]＝log 21212()m p p m p p ++ ＝(p 1＋p 2m )log 2(p 1＋p 2m ),同理可证p 2log 2p 2＋p 2m －1log 2p 2m －1<(p 2＋p 2m －1)·log 2(p 2＋p 2m －1), …,p m log 2p m ＋p m ＋1log 2p m ＋1<(p m ＋p m ＋1)log 2(p m ＋p m ＋1), 所以H (X )>H (Y )． 方法二 (特值法)令m ＝1,则n ＝2,p 1＝14,p 2＝34.P (Y ＝1)＝1,H (Y )＝－log 21＝0, H (X )＝－⎝⎛⎭⎫14log 214＋34log 234>0, ∴H (X )>H (Y )．三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13．斜率为3的直线过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点,且与C 交于A ,B 两点,则|AB |＝________. 答案163解析 如图,由题意得,抛物线焦点为F (1,0),设直线AB 的方程为y ＝3(x －1)．由⎩⎨⎧y ＝3(x －1)，y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 则x 1＋x 2＝103,所以|AB |＝x 1＋x 2＋2＝163.14．将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n },则{a n }的前n 项和为________． 答案 3n 2－2n解析 方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13,…； 数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13,….观察归纳可知,两个数列的公共项为1,7,13,…,是首项为1,公差为6的等差数列, 则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法) 令b n ＝2n －1,c m ＝3m －2,b n ＝c m ,则2n －1＝3m －2,即3m ＝2n ＋1,m 必为奇数． 令m ＝2t －1,则n ＝3t －2(t ＝1,2,3,…)． a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5,即a n ＝6n －5. 以下同方法一．15.某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图所示．O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC ＝35,BH ∥DG ,EF ＝12 cm,DE ＝2 cm,A 到直线DE 和EF的距离均为7 cm,圆孔半径为1 cm,则图中阴影部分的面积为________ cm 2.答案 4＋5π2解析 如图,连接OA ,过A 作AP ⊥EF ,分别交EF ,DG ,OH 于点P ,Q ,R . 由题意知AP ＝EP ＝7, 又DE ＝2,EF ＝12, 所以AQ ＝QG ＝5, 所以∠AHO ＝∠AGQ ＝π4.因为OA ⊥AH ,所以∠AOH ＝π4,∠AOB ＝3π4.设AR ＝x ,则OR ＝x ,RQ ＝5－x . 因为tan ∠ODC ＝35,所以tan ∠ODC ＝5－x 7－x ＝35,解得x ＝2,则OA ＝2 2. 所以S ＝S 扇形AOB ＋S △AOH －S 小半圆 ＝12×3π4×(22)2＋12×4×2－12π×12 ＝⎝⎛⎭⎫5π2＋4cm 2.16．已知直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长均为2,∠BAD ＝60°.以D 1为球心,5为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为________． 答案2π2解析 如图,设B 1C 1的中点为E ,球面与棱BB 1,CC 1的交点分别为P ,Q , 连接DB ,D 1B 1,D 1P ,D 1E ,EP ,EQ ,由∠BAD ＝60°,AB ＝AD ,知△ABD 为等边三角形, ∴D 1B 1＝DB ＝2,∴△D 1B 1C 1为等边三角形, 则D 1E ＝3且D 1E ⊥平面BCC 1B 1,∴E 为球面截侧面BCC 1B 1所得截面圆的圆心, 设截面圆的半径为r ,则r ＝R 2球－D 1E 2＝5－3＝ 2.又由题意可得EP ＝EQ ＝2,∴球面与侧面BCC 1B 1的交线为以E 为圆心的圆弧PQ . 又D 1P ＝5,∴B 1P ＝D 1P 2－D 1B 21＝1, 同理C 1Q ＝1,∴P ,Q 分别为BB 1,CC 1的中点, ∴∠PEQ ＝π2,知PQ 的长为π2×2＝2π2,即交线长为2π2.四、解答题(本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．在①ac ＝3,②c sin A ＝3,③c ＝3b 这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角形存在,求c 的值；若问题中的三角形不存在,说明理由．问题：是否存在△ABC ,它的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且sin A ＝3sin B ,C ＝π6,________？注：如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分． 解 方案一：选条件①.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c .由①ac ＝3,解得a ＝3,b ＝c ＝1.因此,选条件①时问题中的三角形存在,此时c ＝1. 方案二：选条件②.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c ,B ＝C ＝π6,A ＝2π3.由②c sin A ＝3,所以c ＝b ＝23,a ＝6.因此,选条件②时问题中的三角形存在,此时c ＝2 3. 方案三：选条件③.由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32.由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b . 于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32,由此可得b ＝c .由③c ＝3b ,与b ＝c 矛盾．因此,选条件③时问题中的三角形不存在．18．已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20,a 3＝8. (1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0,m ](m ∈N *)中的项的个数,求数列{b m }的前100项和S 100. 解 (1)由于数列{a n }是公比大于1的等比数列, 设首项为a 1,公比为q ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12(舍)所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ,n ∈N *.(2)由于21＝2,22＝4,23＝8,24＝16,25＝32,26＝64,27＝128, 所以b 1对应的区间为(0,1],则b 1＝0； b 2,b 3对应的区间分别为(0,2],(0,3], 则b 2＝b 3＝1,即有2个1； b 4,b 5,b 6,b 7对应的区间分别为 (0,4],(0,5],(0,6],(0,7], 则b 4＝b 5＝b 6＝b 7＝2, 即有22个2；b 8,b 9,…,b 15对应的区间分别为(0,8],(0,9],…,(0,15],则b 8＝b 9＝…＝b 15＝3, 即有23个3；b 16,b 17,…,b 31对应的区间分别为(0,16],(0,17],…,(0,31], 则b 16＝b 17＝…＝b 31＝4,即有24个4；b 32,b 33,…,b 63对应的区间分别为(0,32],(0,33],…,(0,63], 则b 32＝b 33＝…＝b 63＝5,即有25个5；b 64,b 65,…,b 100对应的区间分别为(0,64],(0,65],…,(0,100],则b64＝b65＝…＝b100＝6,即有37个6.所以S100＝1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×37＝480.19．为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3),得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d),解(1)由表格可知,该市100天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的天数为32＋6＋18＋8＝64,所以该市一天中,空气中的PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64.(2)由所给数据,可得2×2列联表：(3)根据2×2列联表中的数据可得K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝100×(64×10－16×10)280×20×74×26≈7.484>6.635,故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO 2浓度有关．20.如图,四棱锥P －ABCD 的底面为正方形,PD ⊥底面ABCD .设平面P AD 与平面PBC 的交线为l .(1)证明：l ⊥平面PDC ；(2)已知PD ＝AD ＝1,Q 为l 上的点,求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值． (1)证明 在正方形ABCD 中,AD ∥BC , 因为AD ⊄平面PBC ,BC ⊂平面PBC , 所以AD ∥平面PBC ,又因为AD ⊂平面P AD ,平面P AD ∩平面PBC ＝l , 所以AD ∥l ,因为在四棱锥P －ABCD 中,底面ABCD 是正方形, 所以AD ⊥DC ,所以l ⊥DC ,且PD ⊥平面ABCD ,所以AD ⊥PD ,所以l ⊥PD , 因为DC ∩PD ＝D , 所以l ⊥平面PDC .(2)解 以D 为坐标原点,DA →的方向为x 轴正方向,如图建立空间直角坐标系D －xyz ,因为PD ＝AD ＝1,则有D (0,0,0),C (0,1,0),A (1,0,0),P (0,0,1),B (1,1,0), 设Q (m,0,1),则有DC →＝(0,1,0),DQ →＝(m,0,1),PB →＝(1,1,－1), 设平面QCD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),则⎩⎪⎨⎪⎧DC →·n ＝0，DQ →·n ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，mx ＋z ＝0，令x ＝1,则z ＝－m ,所以平面QCD 的一个法向量为n ＝(1,0,－m ), 则cos 〈n ,PB →〉＝n ·PB →|n ||PB →|＝1＋0＋m 3·m 2＋1. 根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值,所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值等于 |cos 〈n ,PB →〉|＝|1＋m |3·m 2＋1＝33·1＋2m ＋m 2m 2＋1＝33·1＋2m m 2＋1≤33·1＋2|m |m 2＋1≤33·1＋1＝63,当且仅当m ＝1时取等号,所以直线PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值为63. 21．已知函数f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a .(1)当a ＝e 时,求曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)若f (x )≥1,求a 的取值范围．解 f (x )的定义域为(0,＋∞),f ′(x )＝a e x －1－1x .(1)当a ＝e 时,f (x )＝e x －ln x ＋1,f ′(x )＝e x －1x ,所以f (1)＝e ＋1,f ′(1)＝e －1,曲线y ＝f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1), 即y ＝(e －1)x ＋2.直线y ＝(e －1)x ＋2在x 轴,y 轴上的截距分别为－2e －1,2.因此所求三角形的面积为2e －1. (2)当0<a <1时,f (1)＝a ＋ln a <1.当a ＝1时,f (x )＝e x －1－ln x ,f ′(x )＝e x －1－1x .当x ∈(0,1)时,f ′(x )<0；当x ∈(1,＋∞)时,f ′(x )>0.所以当x ＝1时,f (x )取得最小值,最小值为f (1)＝1, 从而f (x )≥1.当a >1时,f (x )＝a e x －1－ln x ＋ln a ≥e x －1－ln x ≥1. 综上,a 的取值范围是[1,＋∞)．22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22,且过点A (2,1)．(1)求C 的方程；(2)点M ,N 在C 上,且AM ⊥AN ,AD ⊥MN ,D 为垂足．证明：存在定点Q ,使得|DQ |为定值． (1)解 由题设得4a 2＋1b 2＝1,a 2－b 2a 2＝12,解得a 2＝6,b 2＝3.所以C 的方程为x 26＋y 23＝1.(2)证明 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)． 若直线MN 与x 轴不垂直,设直线MN 的方程为y ＝kx ＋m ,代入x 26＋y 23＝1,得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0. 于是x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2,x 1x 2＝2m 2－61＋2k 2.①由AM ⊥AN ,得AM →·AN →＝0,故(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0,整理得(k 2＋1)x 1x 2＋(km －k －2)(x 1＋x 2)＋(m －1)2＋4＝0. 将①代入上式,可得(k 2＋1)2m 2－61＋2k 2－(km －k －2)·4km1＋2k2＋(m －1)2＋4＝0, 整理得(2k ＋3m ＋1)(2k ＋m －1)＝0. 因为A (2,1)不在直线MN 上,所以2k ＋m －1≠0,所以2k ＋3m ＋1＝0,k ≠1. 所以直线MN 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －23－13(k ≠1)． 所以直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 若直线MN 与x 轴垂直,可得N (x 1,－y 1)． 由AM →·AN →＝0,得(x 1－2)(x 1－2)＋(y 1－1)(－y 1－1)＝0.又x 216＋y 213＝1,所以3x 21－8x 1＋4＝0. 解得x 1＝2(舍去),x 1＝23.此时直线MN 过点P ⎝⎛⎭⎫23，－13. 令Q 为AP 的中点,即Q ⎝⎛⎭⎫43，13.若D 与P 不重合,则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边, 故|DQ |＝12|AP |＝223.若D 与P 重合,则|DQ |＝12|AP |.综上,存在点Q ⎝⎛⎭⎫43，13,使得|DQ |为定值．。
高考山东理科数学试题及答案解析
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 〔1〕【2021年山东，理1】集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，那么A B =〔 〕〔A 〕()1,3 〔B 〕()1,4 〔C 〕()2,3 〔D 〕()2,4 〔2〕【2021年山东，理2】假设复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，那么z =〔 〕 〔A 〕1i - 〔B 〕1i + 〔C 〕1i -- 〔D 〕1i -+〔3〕【2021年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像〔 〕〔A 〕向左平移12π个单位〔B 〕向右平移12π个单位〔C 〕向左平移3π个单位〔D 〕向右平移3π个单位 〔4〕【2021年山东，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，那么BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =〔 〕 〔A 〕232a - 〔B 〕234a - 〔C 〕234a 〔D 〕232a〔5〕【2021年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是〔 〕〔A 〕(,4)-∞ 〔B 〕(,1)-∞ 〔C 〕(1,4) 〔D 〕(1,5)〔6〕【2021年山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-3 〔7〕【2021年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔 〕〔A 〕23π 〔B 〕43π 〔C 〕53π 〔D 〕2π〔8〕【2021年山东，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为〔 〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=〕〔A 〕4.56% 〔B 〕13.59% 〔C 〕27.18% 〔D 〕31.74% 〔9〕【2021年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，那么反射光线所在的直线的斜率为〔 〕〔A 〕53-或35- 〔B 〕32-或23- 〔C 〕54-或45- 〔D 〕43-或34-〔10〕【2021年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩那么满足()(())2f a f f a =的取值范围是〔 〕〔A 〕2[,1]3 〔B 〕[0,1] 〔C 〕2[,)3+∞ 〔D 〕[1,)+∞第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分 〔11〕【2021年山东，理11】观察以下各式：0010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．〔12〕【2021年山东，理12】假设“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么实数m 的最小值为 ．〔13〕【2021年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．〔14〕【2021年山东，理14】函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，那么a b += ．〔15〕【2021年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，假设OAB ∆的垂心为2C 的焦点，那么1C 的离心率为 ．三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2021年山东，理16】〔本小题总分值12分〕设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．〔17〕【2021年山东，理17】〔本小题总分值12分〕如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：//BD 平面FGH ；〔Ⅰ〕假设CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小．〔18〕【2021年山东，理18】〔本小题总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，233nn S =+．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅰ〕假设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．〔19〕【2021年山东，理19】〔本小题总分值12分〕假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数〞〔如137，359，567等〕．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得-1分；假设能被10整除，得1分．〔Ⅰ〕写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；〔Ⅰ〕假设甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ．〔20〕【2021年山东，理20】〔本小题总分值13分〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅰ〕设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．〔i 〕求||||OQ OP 的值；〔ii 〕求ABQ ∆面积最大值．〔21〕【2021年山东，理21】〔此题总分值14分〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．2021年普通高等学校招生全国统一考试〔山东卷〕数学〔理科〕第一卷〔共50分〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 〔1〕【2021年山东，理1】集合2{|430}x x x -+<，{|24}B x x =<<，那么A B =〔 〕〔A 〕()1,3 〔B 〕()1,4 〔C 〕()2,3 〔D 〕()2,4 【答案】C【解析】2{|430}{|13}A x x x x x =-+<=<<，(2,3)A B =，应选C ．〔2〕【2021年山东，理2】假设复数z 满足i 1iz=-，其中i 是虚数单位，那么z =〔 〕 〔A 〕1i - 〔B 〕1i + 〔C 〕1i -- 〔D 〕1i -+ 【答案】A【解析】2(1i)i i i 1i z =-=-+=+，1i z =-，应选A ．〔3〕【2021年山东，理3】要得到函数sin(4)3y x π=-的图象，只需将函数sin 4y x =的图像〔 〕〔A 〕向左平移12π个单位〔B 〕向右平移12π个单位〔C 〕向左平移3π个单位〔D 〕向右平移3π个单位 【答案】B【解析】sin 4()12y x π=-，只需将函数sin 4y x =的图像向右平移12π个单位，应选B ．〔4〕【2021年山东，理4】菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，那么BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD⃗⃗⃗⃗⃗ =〔 〕 〔A 〕232a - 〔B 〕234a - 〔C 〕234a 〔D 〕232a【答案】D【解析】由菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=可知18060120BAD ∠=-=，2223()()cos1202BD CD AD AB AB AB AD AB a a a a ⋅=-⋅-=-⋅+=-⋅+=，应选D ．〔5〕【2021年山东，理5】不等式|1||5|2x x ---<的解集是〔 〕〔A 〕(,4)-∞ 〔B 〕(,1)-∞ 〔C 〕(1,4) 〔D 〕(1,5) 【答案】A【解析】当1x <时，1(5)42x x ---=-<成立；当15x ≤<时，1(5)262x x x ---=-<，解得4x <，那么14x ≤<；当5x ≥时，1(5)42x x ---=<不成立．综上4x <，应选A ． 〔6〕【2021年山东，理6】,x y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩假设z ax y =+的最大值为4，那么a =〔 〕〔A 〕3 〔B 〕2 〔C 〕-2 〔D 〕-3【答案】B【解析】由z ax y =+得y ax z =-+，借助图形可知：当1a -≥，即1a ≤-时在0x y ==时有最大值0，不符合题意；当01a ≤-<，即10a -<≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足10a -<≤；当10a -<-≤，即01a <≤时在1x y ==时有最大值14,3a a +==，不满足01a <≤；当1a -<-，即1a >时在2,0x y ==时有最大值24,2a a ==，满足1a >，应选B ． 〔7〕【2021年山东，理7】在梯形ABCD 中，2ABC π∠=，//AD BC ，222BC AD AB ===．将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为〔 〕〔A 〕23π 〔B 〕43π 〔C 〕53π 〔D 〕2π【答案】C【解析】2215121133V πππ=⋅⋅-⋅⋅=，应选C ．〔8〕【2021年山东，理8】某批零件的长度误差〔单位：毫米〕服从正态分布2(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间()3,6内的概率为〔 〕〔附：假设随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，那么()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=〕〔A 〕4.56% 〔B 〕13.59% 〔C 〕27.18% 〔D 〕31.74% 【答案】D【解析】1(36)(95.44%68.26%)13.59%2P ξ<<=-=，应选D ．〔9〕【2021年山东，理9】一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射与圆22(3)(2)1x y ++-=相切，那么反射光线所在的直线的斜率为〔 〕〔A 〕53-或35- 〔B 〕32-或23- 〔C 〕54-或45- 〔D 〕43-或34-【答案】D【解析】(2,3)--关于y 轴对称点的坐标为(2,3)-，设反射光线所在直线为3(2),y k x +=-即230kx y k ---=，那么22|3223|1,|55|11k k d k k k ----==+=++，解得43k =-或34-，应选D ． 〔10〕【2021年山东，理10】设函数31,1,()2,1.x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩那么满足()(())2f a f f a =的取值范围是〔 〕〔A 〕2[,1]3 〔B 〕[0,1] 〔C 〕2[,)3+∞ 〔D 〕[1,)+∞【答案】C【解析】由()(())2f a f f a =可知()1f a ≥，那么121a a ≥⎧⎨≥⎩或1311a a <⎧⎨-≥⎩，解得23a ≥，应选C ．第II 卷〔共100分〕二、填空题：本大题共5小题，每题5分〔11〕【2021年山东，理11】观察以下各式：010113301225550123377774;4;4;4;C C C C C C C C C C =+=++=+++=照此规律，当*n ∈N 时，012121212121n n n n n C C C C -----++++= ．【答案】14n -【解析】0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++021122223121212121212121210121212112121212121211[()()()()]211()2422n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C C C C C C C ----------------------=++++++++=+++++++=⋅= 〔12〕【2021年山东，理12】假设“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么实数m 的最小值为 ． 【答案】1【解析】“[0,],tan 4x x m π∀∈≤〞是真命题，那么tan 14m π≥=，于是实数m 的最小值为1．〔13〕【2021年山东，理13】执行右边的程序框图，输出的T 的值为 ．【答案】116【解析】11200111111236T xdx x dx =++=++=⎰⎰．〔14〕【2021年山东，理14】函数()x f x a b =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[1,0]-，那么a b += ．【答案】32-【解析】当1a >时1010a b a b -⎧+=-⎨+=⎩，无解；当01a <<时1001a b a b -⎧+=⎨+=-⎩，解得12,2b a =-=，那么13222a b +=-=-．〔15〕【2021年山东，理15】平面直角坐标系xOy 中，双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线22:2(0)C x py p =>交于点,,O A B ，假设OAB ∆的垂心为2C 的焦点，那么1C 的离心率为 ． 【答案】32【解析】22122:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线为b y x a =±，那么22222222(,),(,)pb pb pb pb A B a a a a-22:2(0)C x py p =>的焦点(0,)2pF ，那么22222AF pb pa a k pb b a-==，即2254b a =，2222294c a b a a +==，32c e a ==． 三、解答题：本大题共6题，共75分．〔16〕【2021年山东，理16】〔本小题总分值12分〕设2()sin cos cos ()4f x x x x π=-+．〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间；〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，假设()0,12Af a ==，求ABC ∆面积．解：〔Ⅰ〕由111111()sin 2[1cos(2)]sin 2sin 2sin 22222222f x x x x x x π=-++=-+=-，由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，那么()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈； 由3222,22k x k k Z ππππ+≤≤+∈得3,44k x k k Z ππππ+≤≤+∈，那么()f x 的递增区间为3[,],44k k k Z ππππ++∈．〔Ⅰ〕在锐角ABC ∆中，11()sin 0,sin 222A f A A =-==，6A π=，而1a =，由余弦定理可得2212cos 23(23)6b c bc bc bc bc π=+-≥-=-，当且仅当b c =时等号成立，即12323bc ≤=+-，11123sin sin 22644ABC S bc A bc bc π∆+===≤故ABC ∆面积的最大值为234+．〔17〕【2021年山东，理17】〔本小题总分值12分〕如图，在三棱台DEF ABC -中，2,,AB DE G H =分别为,AC BC 的中点． 〔Ⅰ〕求证：//BD 平面FGH ；〔Ⅰ〕假设CF ⊥平面ABC ，,,45AB BC CF DE BAC ⊥=∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小．解：〔Ⅰ〕证明：连接DG ，DC ，设DC 与GF 交于点T ，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，那么2AC DF =， 而G 是AC 的中点，DF AC ，那么//DF GC ，所以四边形DGCF 是平行四边形，T 是DC 的中点，DG FC ． 又在BDC ∆，是BC 的中点，那么TH DB ，又BD ⊄平面FGH ，TH ⊂平面FGH ，故//BD 平面FGH ．〔Ⅰ〕由CF ⊥平面ABC ，可得DG ⊥平面ABC 而，AB BC ⊥，45BAC ∠=，那么GB AC ⊥，于是,,GB GA GC 两两垂直，以点G 为坐标原点， ,,GA GB GC 所在的直线，分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设2AB =,那么1,22,2DE CF AC AG ====,22(0,2,0),(2,0,0),(2,0,1),(,,0)22B C F H ---， 那么平面ACFD 的一个法向量为1(0,1,0)n =，设平面FGH 的法向量为 2222(,,)n x y z =，那么2200n GH n GF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22222202220x y x z ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩， 取21x =，那么221,2y z ==，2(1,1,2)n =，1211cos ,2112n n <>==++，故平面FGH 与平面ACFD 所成角〔锐角〕的大小为60．〔18〕【2021年山东，理18】〔本小题总分值12分〕设数列{}n a 的前n 项和为n S ，233nn S =+．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅰ〕假设数列{}n b 满足3log n n n a b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：〔Ⅰ〕由233n n S =+可得111(33)32a S ==+=，11111(33)(33)3(2)22n n n n n n a S S n ---=-=+-+=≥，而11133a -=≠，那么13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩．〔Ⅰ〕由3log n n n a b a =及13,13,1n n n a n -=⎧=⎨>⎩，可得3111log 3113n n n n n a b n a n -⎧=⎪⎪==⎨-⎪>⎪⎩ 2311123133333n n n T --=+++++，2234111123213333333n n n n n T ---=++++++，22312231211111111111111()3333333333333331121213113213319392233182313n n n n n n n n n nn n T n n n ----=+-++++-=-+++++----+=+-=+--=-⋅⋅- 113211243n n n T -+=-⋅ 〔19〕【2021年山东，理19】〔本小题总分值12分〕假设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，那么称n 为“三位递增数〞〔如137，359，567等〕．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数〞中随机抽取一个数，且只能抽取一次，得分规那么如下：假设抽取的“三位递增数〞的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；假设能被5整除，但不能被10整除，得-1分；假设能被10整除，得1分．〔Ⅰ〕写出所有个位数字是5的“三位递增数〞；〔Ⅰ〕假设甲参加活动，求甲得分X 的分布列和数学期望EX ． 解：〔Ⅰ〕125，135，145，235，245，345；〔Ⅰ〕X 的所有取值为-1，0，1．32112844443339992111(0),(1),(1)31442C C C C C P X P X P X C C C ⋅+====-===== 甲得分X 的分布列为：0(1)13144221EX =⨯+⨯-+⨯=．〔20〕【2021年山东，理20】〔本小题总分值13分〕平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离左、右焦点分别是12,F F ,以1F 为圆心，以3为半径的圆与以2F 为圆心，以1为半径的圆相交，交点在椭圆C 上．〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅰ〕设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上的任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q ．〔i 〕求||||OQ OP 的值；〔ii 〕求ABQ ∆面积最大值．解：〔Ⅰ〕由椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>c e a ==，而222a b c =+那么2,a b c =， 左、右焦点分别是12(,0),,0)FF ,圆1F ：22()9,x y +=圆2F ：22()1,x y += 由两圆相交可得24<<，即12<，交点在椭圆C 上，那么224134b b =⋅，整理得424510b b -+=，解得21b =，214b =〔舍去〕， 故21b =，24a =，椭圆C 的方程为2214xy +=．〔Ⅰ〕〔i 〕椭圆E 的方程为221164x y +=，设点00(,)P x y，满足220014x y +=，射线000:(0)y PO y x xx x =<， 代入221164x y +=可得点00(2,2)Q x y --，于是||2||OQ OP ==． 〔ii 〕点00(2,2)Q x y --到直线AB 距离等于原点O 到直线AB 距离的3倍：d ==221164y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得224()16x kx m ++=，整理得222(14)84160k x kmx m +++-=．2222226416(41)(4)16(164)0k m k m k m ∆=-+-=+->，||AB = 211||||32214m S AB d k ∆==⋅⋅⋅+ 22221646122(41)m k m k ++-≤⋅=+，当且仅当22||82m m k ==+等号成立．而直线y kx m =+与椭圆22:14x C y +=有交点P ，那么2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩有解， 即222224()4,(14)8440x kx m k x kmx m ++=+++-=有解，其判别式22222216416(14)(1)16(14)0k m k m k m ∆=-+-=+-≥，即2214k m +≥， 那么上述2282m k =+不成立，等号不成立，设(0,1]t =，那么S ∆==(0,1]为增函数，于是当2214k m +=时max S ∆=ABQ ∆面积最大值为12．〔21〕【2021年山东，理21】〔此题总分值14分〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈．〔Ⅰ〕讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；〔Ⅱ〕假设0x ∀>，()0f x ≥成立，求a 的取值范围．解：〔Ⅰ〕2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞，21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++，设2()21g x ax ax a =++-， 当0a =时，1()1,()01g x f x x '==>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 当0a >时，228(1)98a a a a a ∆=--=-， 假设809a <≤时0∆≤，()0,()0g x f x '≥≥，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 假设89a >时0∆>，设()0g x =的两个不相等的实数根12,x x ，且12x x <， 且1212x x +=-，而(1)10g -=>，那么12114x x -<<-<，所以当1(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递增；当12(,),()0,()0,()x x x g x f x f x '∈<<单调递减；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞>>单调递增．因此此时函数()f x 有两个极值点；当0a <时0∆>，但(1)10g -=>，121x x <-<，所以当2(1,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈->>单调递増；当2(,),()0,()0,()x x g x f x f x '∈+∞<<单调递减，所以函数只有一个极值点．综上可知当809a ≤≤时()f x 的无极值点；当0a <时()f x 有一个极值点；当89a >时，()f x 的有两个 极值点．〔Ⅰ〕由〔Ⅰ〕可知当809a ≤≤时()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 那么当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意； 当819a <≤时，2(0)0,0g x ≥≤，()f x 在(0,)+∞单调递增，而(0)0f =， 那么当(0,)x ∈+∞时，()0f x >，符合题意；当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，那么当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<， 此时()0f x <，不符合题意．综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．另解：〔Ⅰ〕2()ln(1)()f x x a x x =++-，定义域为(1,)-+∞ 21(21)(1)121()(21)111a x x ax ax a f x a x x x x -++++-'=+-==+++， 当0a =时，1()01f x x '=>+，函数()f x 在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 设222()21,(1)1,8(1)98g x ax ax a g a a a a a =++--=∆=--=-，当0a ≠时，根据二次函数的图像和性质可知()0g x =的根的个数就是函数()f x 极值点的个数．假设(98)0a a ∆=-≤，即809a <≤时，()0g x ≥，()0f x '≥函数在(1,)-+∞为增函数，无极值点． 假设(98)0a a ∆=->，即89a >或0a <，而当0a <时(1)0g -≥ 此时方程()0g x =在(1,)-+∞只有一个实数根，此时函数()f x 只有一个极值点； 当89a >时方程()0g x =在(1,)-+∞都有两个不相等的实数根，此时函数()f x 有两个极值点； 综上可知当809a ≤≤时()f x 的极值点个数为0；当0a <时()f x 的极值点个数为1；当89a >时， ()f x 的极值点个数为2．〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，0x ∀>，都有()0f x ≥成立，即2ln(1)()0x a x x ++-≥当1x =时，ln 20≥恒成立；当1x >时，20x x ->，2ln(1)0x a x x++≥-； 当01x <<时，20x x -<，2ln(1)0x a x x++≤-；由0x ∀>均有ln(1)x x +<成立． 故当1x >时，，2ln(1)11x x x x +<--(0,)∈+∞，那么只需0a ≥； 当01x <<时，2ln(1)1(,1)1x x x x +>∈-∞---，那么需10a -+≤，即1a ≤．综上可知对于0x ∀>，都有 ()0f x ≥成立，只需01a ≤≤即可，故所求a 的取值范围是01a ≤≤．另解：〔Ⅰ〕设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-，(0)0f =，要使0x ∀>，都有()0f x ≥成立，只需函数函数()f x 在(0,)+∞上单调递增即可，于是只需0x ∀>，1()(21)01f x a x x '=+-≥+成立， 当12x >时1(1)(21)a x x ≥-+-，令210x t -=>，2()(,0)(3)g t t t =-∈-∞+， 那么0a ≥；当12x =时12()023f '=>；当102x <<，1(1)(21)a x x ≤-+-， 令21(1,0)x t -=∈-，2()(3)g t t t =-+关于(1,0)t ∈-单调递增， 那么2()(1)11(13)g t g >-=-=--+，那么1a ≤，于是01a ≤≤． 又当1a >时，2(0)0,0g x <>，所以函数()f x 在2(0,)x 单调递减，而(0)0f =，那么当2(0,)x x ∈时，()0f x <，不符合题意；当0a <时，设()ln(1)h x x x =-+，当(0,)x ∈+∞时1()1011x h x x x'=-=>++， ()h x 在(0,)+∞单调递增，因此当(0,)x ∈+∞时()(0)0,ln(1)0h x h x >=+<，于是22()()(1)f x x a x x ax a x <+-=+-，当11x a>-时2(1)0ax a x +-<，此时()0f x <，不符合题意． 综上所述，a 的取值范围是01a ≤≤．【评析】求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a 的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是别离参数法，求相应函数的最值或取值范围以到达解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的局部进行分析验证其不符合题意，即可确定所求．。
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绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
3.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番。
为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区系农村建设前后农村的经济收入构成比例。
得到如下饼图：建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是（）新农村建设后，种植收入减少新农村建设后，其他收入增加了一倍以上新农村建设后，养殖收入增加一倍新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半7某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图。
圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A.5B.6C.7D.810.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个车圈构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB,AC 。
△ABC 的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ 、Ⅱ 、Ⅲ的概率分别记为123,,p p p ,则（）17(12分)p的值。
已知现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱的检验费用与赔偿费用的和记为X，求EX；(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？2017年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学2016年高考理科数学试卷（山东卷）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟.考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回.注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在试卷上无效.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)；如果事件A,B独立，那么P(AB)=P(A)·P(B). 第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的【答案】B考点：注意共轭复数的概念.【答案】C【解析】这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D考点：频率分布直方图（A）4（B）9（C）10（D）12【答案】C【解析】考点：线性规划求最值（5）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为【答案】C考点：根据三视图求几何体的体积.（6）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线a与直线b相交,则α，β一定相交,若α，β相交,则a,b可能相交，也可能平行,故选A.考点：直线与平面的位置关系；充分、必要条件的判断.【答案】B考点：平面向量的数量积考点：函数求导，注意本题实质上是检验函数图像上是否存在两点的导数值乘积等于-1.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.（11）执行右边的程序框图，若输入的a,b的值分别为0和9，则输出的i的值为________.【答案】3【解析】试题分析：第一次循环：a=1,b=8；第二次循环：a=3,b=6；第三次循环：a=6,b=3；满足条件，结束循环，此时，i=3.考点：循环结构的程序框图E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______.【答案】2考点：双曲线的几何性质，把涉及到的两个线段的长度表示出来是做题的关键.（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）1/2考点：两角和的正弦公式、正切公式、正弦定理、余弦定理及基本不等式.（17）（本小题满分12分）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O'的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；（II）解法一：解法二：考点：空间平行判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力（18）（本小题满分12分）亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动，求：（I）“星队”至少猜对3个成语的概率；（Ⅱ）“星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX.(Ⅱ)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性，得X 0 1 2 3 4 6 P 11445722514411251214综上所述，考点：利用导函数判断函数的单调性；分类讨论思想. （21）（本小题满分14分）考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.2015年山东高考理科数学答案解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的（1） 已知集合A={X|X ²-4X+3<0}，B={X|2<X<4},则A B=（A ）（1，3） （B ）（1，4） （C ）（2，3） （D ）（2，4）【答案】C 【解析】（2）若复数Z 满足1Zi i=-，其中i 为虚数为单位，则Z= （A ）1-i （B ）1+i （C ）-1-i （D ）-1+i 【答案】A【解析】高三网（3）要得到函数y=sin （4x-3π）的图像，只需要将函数y=sin4x 的图像（） （A ）向左平移12π个单位 （B ）向右平移12π个单位（C ）向左平移3π个单位 （D ）向右平移3π个单位 【答案】B 【解析】（4）已知ABCD 的边长为a，∠ABC=60o ,则·＝（A）- （B）- （C）（D）【答案】D【解析】（5）不等式|X-1|-|X-5|<2的解集是（A）（-，4）（B）（-，1）（C）（1，4）（D）（1，5）【答案】A【解析】（6）已知x,y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a= （A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【解析】（7）在梯形ABCD中，ABC=，AD//BC，BC=2AD=2AB=2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（A）（B）（C）（D）2【答案】C【解析】（8）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0，3），从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（附：若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²）），则P（μ-σ<ξ<μ+σ）=68.26%，P（μ-2σ<ξ<μ+2σ）=95.44%.）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%【答案】B【解析】（9）一条光纤从点（-2，-3）射出，经y轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）（A）或（B或（C）或（D）或【答案】D【解析】（10）设函数f(x)=,则满足f(f(a))=的a取值范围是（）（A）[,1]（B）[0,1]（C）[（D）[1, +【答案】C【解析】二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）观察下列各式：C10=40照此规律，当n∈N时，C02n-1 + C12n-1 + C22n-1 +…+ C n-12n-1 = .【答案】14n-【解析】学科网(12)若“∀x ∈[0,4π]，tanx ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为 . 【答案】1 【解析】（13）执行右边的程序框图，输出的T 的值为 .【答案】116【解析】(14)已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ，则a b +=【答案】32-【解析】（15）平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22122x y a b -=（a>0,b>0）的渐近线与抛物线C 2：。