特殊的平行四边形复习课

类型之二
菱形的性质与判定
例2.如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°,有一60°角的 三角板绕点A旋转。 （1）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD于点E 、F,则线段CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论 （2）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD的延长 线于点E、F,则线段CE、DF还有（1）中的结论吗？请 说明你的理由。 F N D A A D F N B
【总结】1、用特殊图形的思想方法推出一般的方法． 2、辅助线的作法
类型之四
特殊平行四边形的综合问题
例4.以△ABC的边AB、AC为边的等边三角形ABD和等边三角形ACE， 四边形ADFE是平行四边形.
（1）当∠BAC等于 60° 时，平行四边形ADFE不存在； （2）当∠BAC等于 150°时，四边形ADFE是矩形； （3）当△ABC分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形.
四边形
平行四 边形
正方形
平行四边形 正 方 形
矩形
菱形
知识点1：矩形的性质和判定
有一个内角是直角的平行四边形 定义：_________________________ 对边平行且相等 性质：边_____________ 四个角都是直角 角__________________ 互相平分且相等 对角线________________________
由．
类型之三
正方形的性质与判定
(1)求证：MD＝MN； (2)若将上述条件中“M是AB中点”改为“M是AB上任意一点”， 其余条件不变(如图②)，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果 成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【解析】 (1)取AD的中点F，连结FM，则AF＝FD＝AM＝ MB，∠AFM＝∠AMF＝45°，可得∠DFM＝∠MBN＝
E M
C
B
E C M
例2.在菱形ABCD中，∠ABC=60°,有一度数为60°的 ∠MAN绕点A旋转。
（1）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD于点E 、F,则线段CE、DF的大小关系如何？请证明你的结论
连接AC
A F
D
N
△AEC≌△AFD（ASA）
B
E M
C
例2.在菱形ABCD中，∠ABC=60°,有一度数为60°的 ∠MAN绕点A旋转。
D
2．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD ＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上 的一个动点，则PE+PB的最小值是 4 ______. 。 A
E
P
C
B
3、如图，已知四边形ABCD是边长为2的正方形，以 对角线BD为边作正三角形BDE，过E作DA的延长线的 垂线EF，垂足为F。 （1）找出图中与EF相等的线段，并证明你的结论； （2）求AF的长。
解:（3) AB=AC时，平行四边形ADFE时菱形。 AB=AC且∠BAC=150°时，平行四边形ADFE是正方形。
D 【总结】转化化归数学思想． B 60° F A 60° C E
1、
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD )
相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝ 4，则四边形CODE的周长是(
135°.由∠DMN＝90°，得到∠DMF＋∠NMB＝90°－45°
＝45°.又∠FDM＋∠DMF＝45°，得∠FDM＝∠NMB，于 是可证△DMF≌△MNB(ASA)，所以DM＝MN； (2)同理可证MD＝MN.
解：(1)证明：如图①，取 AD 的中点 F，连结 FM. 1 1 ∵ AF＝ AD＝ DF， AM＝ AB＝BM， AD＝AB， 2 2 ∴ AF＝ AM，DF＝ BM. ∵∠A＝90°， ∴∠AFM＝ ∠ AMF＝ 45° .∴∠DFM＝ 135°. ∵ BN 平分∠CBE，∠CBE＝90°， ∴∠EBN＝ 45°.∴∠MBN＝135°. ∴∠DFM＝∠ MBN＝ 135°. ∵ DM⊥MN，∴∠DMN＝ 90°.
性质： 正方形具有平行四边形，矩形，菱形 的一切性质 有一个角是直角的菱形 判定：①__________________ 是正方形 邻边相等的矩形 ②__________________ 是正方形
③ 有一个角是直角的菱形 __________________是正方形
对角线相等的菱形 ④ __________________ 是正方形
D
P
图1
C
D P
图2
C
类型之二
菱形的性质与判定
在证明一个四边形是菱形时，要注意判定条件是平行 四边形不是任意四边形，任意四边形，则需证四条边
都相等，若是平行四边形，则需利用对角线互相垂直
或一组邻边相等来证明．菱形是特殊的平行四边形， 除具有平行四边形的性质外，还有其特殊性质：四条 边都相等，对角线互相垂直且每一条对角线平分一组 对角．
边形AFDE是怎样的四边形？说明你的理由。
A 12 F B 34 D
E C
类型之三
正方形的性质与判定
正方形是特殊的平行四边形，还是特殊的矩形，特殊
的菱形，因此正方形具有这些图形的所有性质；正方
形的判定方法有两类：(1)先判定四边形是矩形，再判 定这个矩形是正方形；(2)先判定四边形是菱形，再判
定这个菱形是正方形．
（2）若∠MAN的两边AM、AN分别交BC、CD的延长 线于点E、F,则线段CE、DF还有（1）中的结论吗？请 说明你的理由。
连接AC
A
F
N
D
△AEC≌△AFD（ASA）
B
【总结】1、熟练应用菱形的性质． 2、辅助线的作法
E
C
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练习2、已知如图，△ABC中AD平分∠BAC， DE∥AB交AC于F， DF∥AC交AB于E。四
类型之三
例3
正方形的性质与判定
已知：如图，正方形ABCD中M是AB的中点，E是
AB的延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于
N(如图①)． (1)求证：MD＝MN；
(2)若将上述条件中“M是AB中点”改为“M是AB上任意一 点”，其余条件不变(如图②)，则结论“MD＝MN”还成
立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理
类型之一
矩形的性质与判定
矩形是有一个角是直角的特殊平行四边形，它具有平 行四边形的一切性质；判定矩形往往是先判定一个四
边形是平行四边形，再结合一个直角或对角线相等来
证明．
类型之一
矩形的性质与判定
例1 (2015· 呼和浩特)如图，▱ABCD的对角线 AC，BD相交于点O，AE＝CF. (1)求证：△BOE≌△DOF； (2)若BD＝EF，连结DE，BF，判断四边形 EBFD的形状，并说明理由．
三个角是直角的四边形 判定：①_____________________ 是矩形
对角线相等的平行四边形 ②_____________________ 是矩形 有一个角是直角的平行四边形 ③_____________________ 是矩形
知识点2：菱形性质与判定
一组邻边相等的平行四边形 定义：_________________________ 四边相等 性质：边_____________ 对角相等，邻角互补 角__________________ 互相垂直平分，且平分一组对角 对角线________________________
一组邻边相等的平行四边形 是菱形 判定：①_____________________
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 ②_____________________ 四边都相等的四边形 ③_____________________ 是菱形
知识点3：正方形的性质和判定
一组邻边相等的矩形叫做正方形 定义：_________________________
解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝OC，∵AE＝CF， ∴AO－AE＝OC－CF，即 OE＝OF， OB＝OD， 在△BOE 和△DOF 中，∠BOE＝∠DOF， OE＝OF， ∴△BOE≌△DOF(SAS)；
(2)四边形 EBFD 是矩形． 理由：∵△BOE≌△DOF， ∴BE＝DF，∠BEO＝∠DFO， ∴BE∥DF，∴四边形 EBFD 为平行四边形． ∵BD＝EF，∴平行四边形 EBFD 为矩形．
A．4
B．6
C．8 D．10
D
2．如图，菱形ABCD中，AB=4，∠BAD ＝60°，E是AB的中点，P是对角线AC上 的一个动点，则PE+PB的最小值是 ______. A
E
P
C
B
1、
如图，矩形ABCD的对角线AC，BD
相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝ 4，则四边形CODE的周长是( C ) A．4 B．6 C．8 D．10
又∵∠AMF＝45°，∴∠DMF＋∠NMB＝45°. 又∵∠FDM＋∠DMF＝45°，∴∠FDM＝∠NMB. 又∵DF＝MB，∠DFM＝∠MBN＝135°， ∴△DFM≌△MBN(ASA)，∴DM＝MN；
①
②
(2)结论MD＝MN还成立． 如图②，在AD上取一点F，使DF＝MB，连结 MF，证法同(1)，证△DFM≌△MBN，即可得 MD＝MN.
特殊平行四边形的判定定理
①有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩
形
②对角线相等的平行四边形是矩形 ③有三个角是直角的四边形是矩形 ①有一组邻边相等的平行四边形是菱形
②四条边都相等的四边形是菱形 ③对角线互相垂直的平行四边形是菱形
菱
形
①一组邻边相等的矩形是正方形
正方形 ②对角线互相垂直的矩形是正方形 ③有一个角是直角的菱形是正方形 ④对角线相等的菱形是正方形
【小结】从全等三角形的判定方法入手，以及矩形的判定定理寻找思 路．
练习1：如图，矩形ABCD的对角 线AC、BD交于点O，过点D作 DP∥OC，且 DP=OC，连结CP， 试判断四边形CODP的形状．
A
B
O
D P C
如果题目中的矩形变为菱形(图1），结论会变为什么？ 如果题目中的矩形变为正方形(图2），结论又会变为什 么？ A B A B O O
特殊平行四边形的性质
四边形
矩形
图形
边
对边相等
角
都是90°
对角线
互相平分 且相等 互相平分且垂 直，每一条对 角线平分一组 对角 互相平分、相 等且垂直，每 一条对角线平 分一组对角
对称性
轴对称 中心对称 轴对称 中心对称
菱形
四条边相等
对角相等
正方形
四条边相等
都是90°
轴对称 中心对称
周长公式： 面积公式：
第一章 特殊的平行四边形
复习课
学习目标: 1、通过梳理特殊平行四边形的有关知识， 构建网络，使知识系统化、结构化，加深 对矩形、菱形、正方形知识的理解与记忆。 2、通过典型例题讲解，揭示解题规律，总 结解题方法，进一步掌握特殊平行四边形 的性质及判定方法，并能熟练应用性质及 判定方法解决问题。
矩形