福大《博弈论》期中考试试卷及参考答案

2011级经济学专业（1-2班）

《博弈论》期中考试试卷（开卷）

班级 学号 姓名 成绩

1、不能用铅笔答题，违反者按缺考处理；

2、开卷考试，给足够时间答题，请认真完成考试；卷面务必保持清楚整洁，每涂改一处扣10分；

3、每一道题的解务必写出完整的解题过程，没有过程，只有答案不给分；

4、如果发现雷同卷，一律按零分处理。

一、下面的支付矩阵表示一个两人的静态博弈。问当a 、b 、c 、d 、f 、g 、h 之间满足什么条件时，该博弈存在严格优势策略均衡（20分）

参考答案：

1、严格优势策略均衡是由各博弈方的严格优势策略组成的策略组合。（2分）

2、对于博弈方1，如果a ＞e 且c ＞g ，则U 是相对于D 的严格优势策略；如果a ＜e 且c ＜g ，则D 是相对于U 的严格优势策略；（3分）

3、对于博弈方2，如果b ＞d 且f ＞h 则L 是相对于R 的严格优势策略；如果b ＜d 且f ＜h ，则R 是相对于L 的严格优势策略。（3分）

4、上述两个博弈方各自有两种严格优势策略的相对支付情况的组合，总共可能构成四种严格优势策略均衡：（12分）

1）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（U ，L ） 2）如果a ＞e 且c ＞g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（U ，R ） 3）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＞d 且f ＞h ，严格优势策略均衡是（D ，L ） 4）如果a ＜e 且c ＜g ，b ＜d 且f ＜h ，严格优势策略均衡是（D ，R ）

（在求解本题时，如果前面三点没有写，但这四条都能写出来，可以按每条5分计算，共20分）

二、一个工人给一个老板干活，工资标准是100元。工人可以选择是否偷懒，老板则选择是否克扣工资。假设工人不偷懒有相当于50元的负效用，老板想克扣工资总有借口扣掉60元工资，工人不偷懒老板有150元产出，而工人偷懒时老板只有80元产出，但老板在支付工资之前无法知道实际产出，这些情况是双方都知道的。请问：（1）如果老板完全能够看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的所有Nash 均衡及博弈的结果（2）如果老板无法看出工人是否偷懒，博弈属于哪种类型？请用支付矩阵或博弈树表示该博弈（要求按教材给出的格式来表示，并求出博弈的均衡解。（共30分） 参考答案

g ，h e ，f c ，d

a ，

b L R

U D 博弈方2博弈方1

（1）

①动态博弈、完全信息的动态博弈、完全且完美信息的动态博弈（2分） ②该博弈的博弈树是：（2分）

③用以下两种方法可求出该博弈的所有Nash 均衡（16分）

方法1：该博弈共有2×（2×2）=8个策略组合；用粗线表示法表述8个策略组合；用箭头排除确定法求出该博弈的Nash 均衡（偷懒，{克扣，克扣})

40，40）

100，-20）-10，110）50，50）

40，40）100，-20）-10，110）50，50

）40，40）

100，-20）-10，110）50，50）（不偷懒，{克扣，不克扣})对局（不偷懒，{克扣，克扣})对局40，40）100，-20）-10，110）50，50）

40

，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）100，-20）-10，110）50，50）40，40）

100，-20）-10，110）50，50）

（偷懒，{克扣，克扣})对局（偷懒，{克扣，不克扣})对局（偷懒，{不克扣，不克扣})对局

（偷懒，{不克扣，克扣})对局

方法2：把用博弈树表示的序贯博弈，转换成矩阵式表示的博弈（正规型表示的博弈），然后用§2介绍的划线法求Nash 均衡。该博弈的Nash 均衡是（偷懒，{克扣，克扣})

④博弈的结果：用倒推法（剪枝法）求得该博弈的结果是（偷懒，克扣）（4分）

（2）

①静态博弈、完全信息静态博弈 （2分） ②该博弈的支付矩阵是：（2分）

③用划线法可求出该博弈的Nash 均衡是（偷懒，克扣） （2分） （本题也可以用反应函数法来做）

50，50

-10，110

100，-2040，40克扣不克扣偷懒P

不偷懒1-P

老板

工人

q 1-q

解：设工人、老板选择纯策略的概率如上图所示 1）求期望支付函数

老板

工人

{克扣，克扣}偷懒不偷懒{不克扣，克扣}{不克扣，不克扣}

{克扣，不克扣}

-10，110100，-2050，5050，50-10，110100，-20

40，4040，

4040，40）100，-20）-10，110）50，50）

偷懒老板工人

40，40）100，-20）-10，110）50，50）

40，40）100，-20）-10，110）50，50）

（不偷懒，{不克扣，克扣})对局

（不偷懒，{不克扣，不克扣})对局

U 工人=40pq ＋100p （1－q ）－10（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）

=40pq ＋100p －100pq －10q ＋10pq ＋50－50p －50q ＋50pq =50p －60q ＋50

U 老板=40pq －20p （1－q ）＋110（1－p ）q ＋50（1－p ）（1－q ）

=40pq －20p ＋20pq ＋110q －110pq ＋50－50p －50q ＋50pq =60q －70p ＋50

2）根据期望支付函数写出反应函数 p=1 q=[0,1] q=1 p=[0,1] 3）作图

4）图中交点（1,1）即该博弈的混合Nash 均衡→（偷懒，克扣）

三、在一条狭窄的巷子里，两个年轻人骑着自行车相向而行。每人都有两个策略，即或者选择“冲过去”或者选择“避让”。如果选择“避让”，不管对方采取什么策略，他得到的收益都是0。如果其中一人采取“冲过去”的策略，如果对方采取“避让”，那么他得到的支付是9；如果对方不避让，那么他得到的支付是－36。请用反应函数法求出该博弈的全部纳什均衡。（10分） 参考答案

1、由所给条件可求得支付矩阵（如下图）；用划线法可求得这个博弈有两个纯策略Nash 均衡（避让，冲过去）、（冲过去，避让）（2分）

2、根据支付矩阵求期望支付函数；设甲、乙选择纯策略的概率如下图所示（2分）

u 甲=9（1－p ）q －36（1－p ）（1－q ） =9q －9pq －36＋36p ＋36q －36pq =－45pq ＋36p ＋45q －36

避让

乙

甲

-36，-36

9，00，90，0避让冲过去

避让P 冲过去1-P

乙甲

q 1-q

，1）