高中数学 抛物线教案

抛物线的几何性质教案

一、要点归纳 1.抛物线的概念

平面内与一定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线。

2.抛物线的性质:抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表：

标准方程

22(0)y px

p =>

22(0)

y px p =->

22(0)

x py p =>

22(0)

x py

p =->

图形

焦点坐标 (,0)2

p (,0)2p -

(0,)2p

(0,)2p -

准线方程 2

p x =-

2p x =

2p y =-

2

p y =

范围 0x ≥

0x ≤

0y ≥ 0y ≤

对称性 x 轴

x 轴

y 轴

y 轴

顶点 (0,0) (0,0)

(0,0)

(0,0)

离心率 1e =

1e =

1e =

1e =

焦半径 02

x p

PF +=

02

x p

PF -=

02

y p

PF +=

02

y p

PF -=

焦点弦公式

)

(21x x p AB ++=

)

(21x x p AB +-=

)

(21y y p AB ++=

)

(21y y p AB +-=

3.12124．焦点弦：过抛物线2

2y px =(0)p >焦点F 的弦AB ，若1122(,),(,)A x y B x y ，

则(1)||AF =x 1+2

p ，（定义） (2)12x x =42p ，12y y =－p 2

．（韦达定理）

(3) 弦长)(21x x p AB ++=,p x x x x =≥+21212,即当x 1=x 2时,弦长最短为2p ，此时弦即为通径。 (4) 若AB 的倾斜角为θ，则AB =

θ

2

sin 2p

（焦点弦公式与韦达定理） 5. 直线与抛物线相交所得弦长公式2

121221

||1|1|AB k x x y y k

=+-=+- 6.点P(x 0,y 0)和抛物线2

2y px =(0)p >的位置关系 (1)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >内⇔y 2

0<2px 0

o F

x

y

l

o

x

y F l x

y

o

F l

(2)点P(x 0,y 0)在抛物线22y px =(0)p >上⇔y 2

0=2px 0 (3)点P(x 0,y 0)在抛物线2

2y px =(0)p >外⇔y 2

0>2px 0

7.直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．

这三种位置关系的判定条件可引导学生归纳为：

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、例题分析 [例1] 给定抛物线

，设A （）（

），P 是抛物线上的一点，且，试求的最小值。

解：设（

）（

） 则

∴

∵

，

∴（1）当时，，此时当时，

（2）当时，

，此时当

时，

[例2] 过抛物线

的焦点作倾斜角为的直线，设交抛物线于A 、B 两点，求

。

解：当

时，直线AB 的方程为

由得A （）、B （，） ∴

当

时，直线AB 的方程为

由得

设A （）、B （

），则

∴

[例3] 过抛物线的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M 、N 两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN 为直径的圆经过抛物线的焦点？

解：抛物线

的准线与对称轴的交点为（

），设直线MN 的方程为

由得

∵直线与抛物线交于M、N两点∴

即，，

设M（，），N（），抛物线焦点为F（1，0）

∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点

∴MF⊥NF ∴即

又，，且、同号

∴解得∴

即直线的倾斜角为或时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点。

[例4] 过抛物线的焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，求的值。

解：如图所示，设A（）、B（），AB的方程为

由得∴

又∵，∴

∴∴又

[例5] 如图，已知直线：交抛物线于A、B两点，试在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使的面积最大，并求这个最大面积。

解：由解得A（4，4）、B（1，），知，所以直线

AB的方程为

设P（）为抛物线AOB这条曲线上一点，为P点到直线AB的距离

∵

∴∴