初二数学尺规作图典型例题归纳

初二数学尺规作图典型例题归纳

典型例题一

例已知线段a、b，画一条线段，使其等于

．

分析所要画的线段等于

，实质上就是

．

画法：1．画线段

．2．在AB的延长线上截取

．线段AC就是所画的线段．

说明

1．尺规作图要保留画图痕迹，画图时画出的所有点和线不可随意擦去．

2．其它作图都可以通过画基本作图来完成，写画法时，只需用一句话来概括叙述基本作图．

典型例题二

例如下图，已知线段a和b，求作一条线段AD使它的长度等于2a－b．

图（2）

正解如图（2），

（1）作射线AM；（2）在射线AM上，顺次截取AB=BC=a；

（3）在线段CA上截取CD=b，则线段AD就是所求作的线段．

典型例题三

例求作一个角等于已知角∠MON（如图1）．

图（1）图（2）

正解如图（2），

（1）作射线

；（2）在图（1）上，以O为圆心，任意长为半径作弧，交OM于点A，交ON于点B；（3）以

为圆心，OA的长为半径作弧，交

于点C；

（4）以C为圆心，以AB的长为半径作弧，交前弧于点D；（5）过点D作射线

．

则∠

就是所要求作的角．

典型例题四

例如下图，已知∠α及线段a，求作等腰三角形，使它的底角为α，底边为a．

分析先假设等腰三角形已经作好，根据等腰三角形的性质，知两底角

∠B=∠C=∠α，底边BC=a，故可以先作∠B=∠α，或先作底边BC=a．作法如下图

（1）∠MBN=∠α；（2）在射线BM上截取BC=a；（3）以C为顶点作

∠PCB=∠α，射线CP交BN于点A．△ABC就是所要求作的等腰三角形．

说明画复杂的图形时，如一时找不到作法，一般是先画出一个符合条件的草图，再根据这个草图进行分析，逐步寻找画图步骤．

典型例题五

例如图（1），已知直线AB及直线AB外一点C，过点C作CD∥AB（写出作法，画出图形）．

分析根据两直线平行的性质，同位角相等或内错角相等，故作一个角

∠ECD=∠EFB即可．

作法如图（2）．

图（1）图（2）

（1）过点C作直线EF，交AB于点F；

（2）以点F为圆心，以任意长为半径作弧，交FB于点P，交EF于点Q；

（3）以点C为圆心，以FP为半径作弧，交CE于M点；

（4）以点M为圆心，以PQ为半径作弧，交前弧于点D；

（5）过点D作直线CD，CD就是所求的直线．

说明作图题都应给出证明，但按照教科书的要求，一般不用写出，但要知道作图的原由．

典型例题六

例如下图，△ABC中，a=5cm，b=3cm，c=3.5cm，∠B=

，∠C=

，请你从中选择适当的数据，画出与△ABC全等的三角形（把你能画的三角形全部画出来，不写画法但要在所画的三角形中标出用到的数据）．

分析本题实质上是利用原题中的5个数据，列出所有与△A BC全等的各种情况，依据是SSS、SAS、AAS、ASA．

解与△ABC全等的三角形如下图所示．

典型例题七

例正在修建的中山北路有一形状如下图所示的三角形空地需要绿化．拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的三个三角形，以便种上三种不同的花草，请你帮助规划出图案（保留作图痕迹，不写作法）．

（2003年，桂林）

分析这是尺规作图在生活中的具体应用．要把△ABC分成面积相等的三个三角形，且都是从A点出发，说明这三个三角形的高是相等的，因而只需这三个三角形的底边也相等，所以只要作出BC边的三等分点即可．

作法如下图，

找三等分点的依据是平行线等分线段定理．

典型例题八

例已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OC．

错解如图（1）

作法（1）以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；

（2）分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧相交于C点；

（3）连结OC，则OC就是∠AOB的平分线．

错解分析对角平分线的概念理解不够准确而致误．作法（3）中连结OC，则OC是一条线段，而角平分线应是一条射线．

图（1）图（2）

正解如图（2）

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于D、E两点；

（2）分别以D、E为圆心，以大于

DE的长为半径作弧，两弧交于C点；

（3）作射线OC，则OC为∠AOB的平分线．

典型例题九

例如图（1）所示，已知线段a、b、h（h＜b）．

求作△ABC，使BC=a，AB=b， BC边上的高AD=h．

图（1）

错解如图（2），

（1）作线段BC=a；

（2）作线段BA=b，使AD⊥BC且AD=h．

则△ABC就是所求作的三角形．

错解分析①不能先作BC；②第2步不能同时满足几个条件，完全凭感觉毫无根据；③未考虑到本题有两种情况．对于这种作图题往往都是按照由里到外的顺序依次作图，如本题先作高AD，再作AB，最后确定BC．

图（2）图（3）

正解如图（3）．

（1）作直线PQ，在直线PQ上任取一点D，作DM⊥PQ；

（2）在DM上截取线段DA=h；

（3）以A为圆心，以b为半径画弧交射线DP于B；

（4）以B为圆心，以a为半径画弧，分别交射线BP和射线BQ于

和

；

（5）连结

、

，则△

（或△

）都是所求作的三角形．

典型例题十

例如下图，已知线段a，b，求作Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=a，AC=b （用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）．

分析本题解答的关键在于作出∠ACB=90°，然后确定A、B两点的位置，作出△ABC．

作法如下图