无失效数据情形失效率的E-Bayes估计
区间删失数据下参数估计的比较
区间删失数据下参数估计的比较杨军【摘要】This paper discusses is the parameter estimation of interval censored data when the life distribution is exponential distribution.Mainly discusses the estimates for type Ⅰ censored cases data,and calculated display solution.%主要讨论了寿命分布为指数分布时区间删失数据的参数估计。
在I型删失情况下得到了参数的Bayes估计和矩估计。
进而,利用数值模拟的方法比较了Bayes估计和矩估计的优劣。
【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】3页(P18-20)【关键词】I型区间删失;指数分布;Bayes估计;矩估计【作者】杨军【作者单位】江西师范大学数学与信息学院,江西南昌330022【正文语种】中文【中图分类】O211.9在生存分析和可靠性研究中，常常因为客观条件的限制无法得到失效时间的准确观测值，只能观测到它所处的区间，在统计学中一般将这类数据称为区间删失数据(Interval censored data)，简称区间数据。
Huang与 Wellner［1］，郑祖康和丁邦俊［2］就区间数据问题的出现和统计研究有一个比较全面地介绍。
为了统计处理上的方便，常常将区间数据分为以下2类(用Y表示目标随机变量):(1)区间截断情况1(“Case 1”Interval censoring)。
在试验中，只观测到了(V，δ)，V表示“检查”或“观测”的时间，δ=I(Y≤V)，其中I(·)是示性函数，这类模型被简记为类型Ⅰ。
(2)区间截断情况2(“Case 2”Interval censoring)。
在实验中只知道Y相对于某个区间(U，V)的位置，可能在区间内，也可能在区间的左边或在区间的右边，因此观测值包括(U，V，δ1，δ2)=(U，V，I(Y≤U)，I(U＜Y＜V))。
贝叶斯方法评估系统(产品)的可靠性
贝叶斯方法评估系统（产品）的可靠性用随机抽样进行统计分析计算的可靠性评估方法很多，而且都已标准化。
但都要专门进行长时间的可靠性试验。
这里介绍应用贝叶斯方法，推导了产品在研制中的增长评定方程式，充分利用产品在研制过程中和各现场试验信息，进行多母体统计分析，导出一种通用的故障率计算方程式，利用本方程式计算故障率，不仅简单、方便和经济，而且计算结果更符合产品的实际。
1 贝叶斯法可靠性评估模型设产品研制分为m 个阶段，或产品的可靠性有m 次改进（一般m ＝2或m ＝3），每个阶段产品的故障率为λ1、λ2···λm ，且有λ1>λ2>···>λm ，各阶段的试验信息为（г1，r 1）、(г2，r 2)···(гm ，r m )，其中τi 和r i 分别为I 阶段的试验时间和故障数。
根据贝叶斯公式，产品在（г1，r 1）···(гm ，r m )条件下，λ的分布密度函数由条件分布密度表示为： f[λ1···λm /(г1，r 1) ···(гm ，r m )]f[(г1，r 1) ···(гm ，r m ) ·λ1·λ2···λm ] =f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )]式中：f[λ1···λm /(г1，r 1) ···(гm ，r m )]为验后密度函数。
f （λ1···λm ）为验前分布函数 f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )/ λ1···λm ]为似然函数 f[(г1，r 1) ···(гm ，r m )]为(г1，r 1) ···(гm ，r m )的边缘密度函数。
可修系统可靠性指标的Bayes估计
的后验 分布可 以
ｆ［ （ ｉ ｚ
］） ． （Ｊｅ ＿／ ｐ １ｂ ＿ Ｂ ｙ ｓ ａ ｅ 估计 ．
１ ． １平方损失函数下参数的 Ｂ ｙｓ ａｅ估计
平方损 失 函数 Ｌ ， ） ５ ｘ 一 是一种 对称 的损 失函数 ，它 的参数 的估计 就是其 后 （ （）＝（ （） ）
和Ｆ Ｘ ， 样 （） 这 会得到ｒ 观测 据． 于 几 据可能 不稳 所以 将前Ｓ １ 个 数 由 前面 个数 会 定， 可以 一 个数
据截掉，这样可得次序统计量为 ）
的联合分 布密度 （ 似然 函数 ）为 ：
州） …
，，１ Ｓ ｒ ）
，因而 （ｓＸ＋ …Ｘ＋ Ｘ） Ｘ ，ｓ ， ｒ ， ｌ ｌ
令 卜 ＝－ ＋ ［ｒ 喜 （ Ｈ
＝
（ ４ ）
］程４ ： ， （ 方 ） 为
＝
薹 ］ ｅ以 一 （ｃ ｘ 一 ｐ ， ・ 一
ｂ＋ｌ
（１ ／ ｅ ｛ ） 一）． ｘ 一 ｔ ｐ
Ｓ—ｌ
∑
０
㈣（ ＿ １
，
…
ｊ ０ｋ ＝ ．
ｚｓ ＋ １ｒ 二 二 ｎｆｉ （］ 一 。Ｘ，・ ‘ ） （） ） ＋ ） ＿ （） ， ） ＝ （［ｘ卜一（ｒ ｒ （ ， ， 】 — Ｘ ’ ， ＝ （ … ’ ＸＦｓ Ｆ ）卜 ） ）［ （ｒ ． １ ［ ） １ ］
：
１ Ｂ ｙ ｓ 计 ａｅ 估
可修 系统 可靠性 指 标 的 Ｂ ｙ ｓ 计 ｅ 估 ａ
康 达，郑海鹰
（ 温州 大学数 学 与信 息科 学 学院 ，浙江 温州 ３５ ３） ２０ ５
摘 要 ：构 建 了一 个可 修 系统 的修 理 工 修 理 时 间 的试 验 方 法 ，从 而得 到 修 理 工 修 理 时 间的 似 然 函数 ，
二项分布的几种经验bayes估计方法
二项分布的几种经验bayes估计方法二项分布是概率论中常用的一种离散概率分布，它描述了在一系列独立的伯努利试验中成功的次数。
经验Bayes估计是一种在贝叶斯统计中用于参数估计的方法，可以用于估计二项分布的参数。
本文将介绍几种常见的经验Bayes估计方法，以及它们在二项分布中的应用。
一、贝叶斯估计简介贝叶斯估计是一种统计学中的参数估计方法，它基于贝叶斯定理，并结合了先验概率和样本观测数据，得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
经验Bayes估计是一种特殊的贝叶斯估计方法，它假设参数的先验分布是由样本数据估计得到的。
二、Laplace平滑估计Laplace平滑估计是一种常用的经验Bayes估计方法，它用于解决估计参数为0的问题。
在二项分布中，如果样本观测中某个事件的发生次数为0，那么根据传统的极大似然估计方法，该事件的概率将被估计为0，这显然是不合理的。
因此，Laplace平滑估计引入了一个先验概率，将所有事件的发生次数都加上一个正数k，从而解决了参数为0的问题。
三、贝叶斯估计与最大似然估计的比较贝叶斯估计与最大似然估计是两种常用的参数估计方法。
最大似然估计是基于频率学派的思想，通过最大化样本观测数据的似然函数，得到参数的估计值。
而贝叶斯估计则引入了先验概率，通过贝叶斯定理得到后验概率分布，从而得到参数的估计值。
在二项分布中，贝叶斯估计相比最大似然估计具有更好的稳定性和鲁棒性，尤其在样本量较小的情况下效果更好。
四、Dirichlet分布的经验Bayes估计Dirichlet分布是一种常用的多维概率分布，它常用于描述多个参数的分布。
在二项分布中，可以使用Dirichlet分布作为先验分布，利用样本观测数据来估计参数的分布。
Dirichlet分布的参数可以通过最大似然估计或贝叶斯估计得到，从而得到二项分布的参数估计值。
五、经验Bayes估计的优缺点经验Bayes估计作为一种参数估计方法，具有一些优点和缺点。
eFuse失效分析与可靠性电路设计
eFuse失效分析与可靠性电路设计
晏颖;曹玉升;张睿
【期刊名称】《电子技术应用》
【年(卷),期】2023(49)1
【摘要】电编程熔丝(eFuse)基于电子迁移原理,通过熔断熔丝使其电阻特性发生不可逆改变来实现编程操作。
提高可靠性是eFuse系统和电路优化设计的核心目标。
从eFuse工作原理以及失效模式分析入手,重点介绍了影响其可靠性的系统原因和
主要机理及过程,并在综合常规电路设计基础上,结合考虑各种工作模式下和具体模
块中存在的影响可靠性的因素,最后提出了具有针对性的电路设计解决方案。
【总页数】6页(P26-31)
【作者】晏颖;曹玉升;张睿
【作者单位】上海飞聚微电子有限公司;浙江大学微纳电子学院
【正文语种】中文
【中图分类】TN406
【相关文献】
1.基于“失效模式-失效机理-分析模型”的电子产品可靠性分析应用
2.基于无失效数据失效概率多层Bayes估计的单失效数据可靠性分析
3.电磁继电器贮存失效分
析及小子样零失效可靠性分析综述4.电磁继电器贮存失效分析及小子样零失效可
靠性分析综述5.失效分析是提高元器件可靠性的关键工作——纪念航空航天部半
导体器件失效分析中心成立四周年
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估算 产品失效率的方法
估算产品失效率的方法产品失效率是指产品在特定时间内发生故障或失效的概率。
估算产品失效率对于制造商和消费者来说都是非常重要的，因为它可以帮助制造商改善产品的质量和性能，并帮助消费者选择更可靠的产品。
在本文中，我们将讨论估算产品失效率的几种方法以及它们的优缺点。
1.统计估算方法统计估算方法是最常用的一种估算产品失效率的方法。
它利用实际数据来计算产品在特定时间内发生故障或失效的概率。
通常，制造商会收集产品的失效数据，包括故障类型、故障时间、维修时间等，然后利用统计方法来估算产品的失效率。
统计估算方法的优点是可以利用大量的实际数据来进行估算，结果比较准确可靠。
但是，它也存在一些缺点，例如需要大量的数据支持，而且需要专业的统计分析知识来进行计算和分析。
2.加速寿命测试法加速寿命测试法是一种通过在实验室条件下对产品进行加速老化测试来估算产品失效率的方法。
通过提高温度、湿度、电压等条件，可以加速产品的老化过程，从而在短时间内得到产品失效的数据，再利用统计方法来估算产品的失效率。
加速寿命测试法的优点是可以在较短的时间内获得产品的失效数据，从而加快产品开发和改进的进程。
但是，它也存在一些缺点，例如实验条件与实际使用条件之间存在差异，得到的失效数据可能不够准确。
3.可靠性建模法可靠性建模法是一种利用数学模型来估算产品失效率的方法。
通过建立产品的可靠性模型，可以对产品在不同条件下的失效概率进行估算。
常见的可靠性模型包括Weibull分布模型、指数分布模型等。
可靠性建模法的优点是可以准确地估算产品的失效率，并且可以对不同条件下的产品失效概率进行分析。
但是，它也存在一些缺点，例如需要准确的产品数据来建立可靠性模型，而且需要专业的数学建模知识来进行分析。
4.经验法经验法是一种利用专家经验和历史数据来估算产品失效率的方法。
通过分析产品的设计、制造和使用经验，专家可以对产品的失效情况进行估算。
这种方法通常用于新产品或者缺乏详细数据的产品。
定数截尾数据缺失场合下参数m,η的Bayes估计
LiberalArtsGuidance2020年11月（总第392期）文理导航No.11,2020Serial No.392参数黄娟娟【摘要】Multiple type-II 截尾（或称为带有缺失的定数截尾或多重定数截尾）样本是Type-II 截尾的一种推广。
自20世纪70年代开始，对定数截尾缺失数据样本的统计方法就有了较多的研究结果。
本文是在前人研究的基础上，进一步研究两参数威布尔分布在定数截尾情形下的参数估计问题，并且主要讨论了两参数威布尔分布在定数截尾缺失数据情形下的参数的Bayes 估计方法。
【关键词】两参数威布尔分布；定数截尾；Bayes 估计；近似区间估计Multiple type-II 截尾(或称为带有缺失的定数截尾或多重定数截尾)样本是Type-II 截尾的一种推广。
自20世纪70年代开始,对定数截尾缺失数据样本的统计方法有了较多的研究结果。
本文主要在前人研究的基础上,初步研究两参数威布尔分布在定数截尾情形下的参数估计问题,给出了参数Bayes 估计方法。
参数m,η的Bayes 估计:从总体样本中抽取n 个产品进行定数截尾数据缺失寿命试验,当失效产品数达到给定的正数r(1<r<n)时,试验停止,设次序失效数据为t 1≤t 2≤···≤t r ,因为某些原因造成数据丢失,设剩下的数据为:0<t r +1≤···≤t r +s r +1≤···≤t r +s ···≤r +s(m,η)先验分:π1(m,η)=1b 2-b 1βαΓ(α)η-(α+1)e -βη,0≤b 1≤b 2≤∞,η>0其中α>0,β>0为超参数,(m,η)的后验分布为:π(m,η|t *)=c *m sη-(s+α+1)△m-1r v =0∑m 0j 0=1∑···m -1j =1∑[k-1i =1∏(m j )(-1)j ](r1v )(-1)ve-1η[△(m,v,j ,···,k )+β]其中:s=ki =1∑s i ,△=ki =1∏s j =1∏t r +j△(m,v,j 1,···,j k -1)=k-1i =1∑[(r i+1-s i -r i -j i )t mr +s+j i t mr+1-vt mtr+1]c *=c b 2-b 1·βαΓ(α)从而在平方损失下,参数m,η)Bayes 估计为:B (m x ,ηy ,α,β)=+∞0∫+∞∫m xηyπ(m,η|t *)dmd η=c*+∞0∫+∞∫m s +x η-(s +α+1-y)△m -1r v =0∑m 0j 0=1∑···m j =1∑[k-1i =1∏(mi ji)(-1)ji ](r1v )(-1)ve-1η[△(m,v,j ,···,j )+β]dmd η=c *Γ(s+α-y)r 1v =0∑m 0j 0=1∑···m k-1j =1∑[k-1i =1∏(m j )(-1)ji ](riv )(-1)v +∞∫m s+x [△(m,v,j i ,···,j k -1)+β]-(s+α-y )dm则m~=E(m|t *)=B(m 1,η0,α,β)B(m 0,η0,α,bet α),n~=E(η|t *)=B(m 0,η1,α,β)B(m 0,η0,α,β)。
车辆部件Bayes可靠性评估研究
车辆部件Bayes可靠性评估研究针对车辆部件故障率低和定时维修策略的特点，建立了基于截尾寿命数据的双参数Weibull分布Bayes可靠性评估模型，对威布尔分布的形状参数β及特征寿命参数η参数进行估计。
通过实例验证了本文提出方法的有效性。
相关研究结果对于合理控制部件风险，为进一步制定维修决策提供依据。
标签：贝叶斯；威布尔分布；参数估计；可靠性0 引言在车辆系统及其部件中，有许多通用的基础零部件都是损耗型机械单元，比如轴承等，对这类部件的可靠性进行定量评估，必须建立该部件故障时间的分布模型。
对于部件可靠性进行评估，对于控制部件发生故障的危险，避免非计划维修具有重要意义。
相关研究成果还可以与维修大纲有机组合，实现对部件的寿命管理，为部件的延寿和维修任务组合优化奠定基础。
在可靠性工程中常用的分布主要包括二项分布、指数分布、正态分布、对数正态分布和威布尔分布，其中威布尔分布的拟合能力最强。
另外，对于一般车辆部件而言，是个典型的可修系统，可靠性随着时间具有一定的衰退，采用双参数Weibull分布更加符合实际情况。
对车辆部件进行可靠性评估，其难点还体现在故障数据的匮乏，其样本的不一致性強，难以满足统计上的大样本需求，Bayes方法充分利用先验信息，具有融合多种来源信息的功能，在试验数据少甚至没有的情况下能够得到可接受的评估结果，满足可靠性评估中小样本、变母体的评估问题，与经典方法相比有更广泛的适用空间。
综上，本文侧重讨论了在贝叶斯理论基础上二参数威布尔分布在定数或定时截尾寿命试验下，形状参数及特征寿命参数的点估计[1]。
设产品寿命T 服从双参数威布尔分布，其分布函数为二参数Weibull分布的分布函数为：（1）概率密度函数为：（2）其中，为特征寿命参数，为形状参数。
1部件可靠性的Bayes评估流程对符合双参数威布尔分布的车辆部件进行Bayes可靠性评估，首先求出参数的联合验前分布，然后结合截尾实验的似然函数，得到参数的联合验后分布，进而确定的边缘分布，通过积分得到的点估计和区间估计。
小样本下离散广义逆威布尔分布的可靠性统计分析
小样本下离散广义逆威布尔分布的可靠性统计分析赵爱红岳德权(燕山大学理学院，河北秦皇岛066004)摘要：离散广义逆威布尔分布(DGIWD)通过广义逆威布尔分布离散化得到，该分布补充了寿命数据存在的离散型情况。
实际中，寿命试验通常无法获得完全样本数据，所以本文研究了II型截尾数据下，离散广义逆威布尔分布的可靠性统计推断。
首先运用极大似然估计方法对DGIWD三参数未知情况给出参数、可靠度和失效率的点估计。
其次针对小样本情况，运用贝叶斯估计法针对先验分布选取经验分布情况，给出参数、可靠度和失效率的点估计和HPD区间估计。
最后运用数值模拟将不同截尾方案下贝叶斯的估计结果和极大似然估计的估计结果进行比较。
结果表明:小样本情况下,贝叶斯估计的表现远优于极大似然估计。
关键词：I型截尾数据；离散广义逆威布尔分布；贝叶斯估计；失效率中图分类号:O213.2文献标识码:AD0I：10.13999/ki.tjllysj.2021.05.001文章编号：2096-8647(2021)05-0008-06一、弓1言在可靠性试验中为了节约试验时间和经费，即使采用加速寿命试验的方法往往也很难得到完全样本数据，得到的样本数据往往是截尾的。
截尾寿命试验分为定时截尾寿命试验和定数截尾寿命试验两种。
定时截尾寿命试验指试验到指定时间就立即停止，定数截尾寿命试验是指试验到指定的失效个数停止。
11型截尾数据是定数截尾寿命试验下产生的样本数据。
在寿命试验中，有时候不能连续测量产品的寿命，或者产品寿命本身就是离散型的数据，比如开关的使用寿命。
因此需要对连续型寿命分布进行离散化,得到离散化的寿命分布，以拟合实际的寿命试验数据，并且根据试验数据对产品总体的可靠性进行统计推断。
Gusmao FRS和Ortega EMM等山提岀了广义逆威布尔分布，并且对该分布的一些性质进行了研究。
Para B A和Jan T R[2]提岀三参数离散广义逆威布尔分布(简称DGIWD)，给岀了DGIWD完全样本下参数的极大似然估计。
定数截尾数据缺失场合下Weibull分布的Bayes统计分析
定数截尾 数据缺 失场 合下 Ｗｌ ｕ 分 布 的 Ｂ ｙｓ ｅ ｌ ｉ １ ｂ ａｅ 统计分 析
刘有新 ， 方龙祥 ， 一
（． １安徽师范大学 数学系， 安徽 芜 湖 ２ １ ０ ２ 芜湖信息技术职业学 院 数学 系 ， ４０ ；． ０ 安徽 芜湖 ２ １０ ） ４ ０ ０
－
Ｊ
＝Ｊ ＝ Ｊ ｉ ＋ｊ
ｉ
口＝ ｏ ０ ｊ＝
∑
一
， Ｌ ｍ ７
ｌ＝ｌｉ＝ Ｊ
一
．
１
ｍ
Ⅱ ０
ｅ一
蚤（ ［
一
一ｚ 幺 ］ ｍ ＋
ｍ
＋
・
（ ａ ） １ Ａ 一
ｍｉ（ ） ］ ）一１ 一 … ・ ） 一１‘ （ （ ） （ ） …
摘
要： 当寿命分布为 Ｗｅ ｕ 分布时， ｉｎ ｂ 本文给 出了定数截尾数据缺失场合下各种参数的 Ｂ ｙｓ ａｅ 估
计， 并且给 出了它们与极大似然估计的模拟比较．
关 键词 ： ｉｕ Ｗｅ ｎ分布 ； 验分布 ；ａｅ 估计 ； ｂ 先 Ｂｙｓ 定数截 尾数 据缺 失
中图分类号： ２２ ８ ０ １ ．
Ｃ —ｌ
，
ｍ ｉ： ｒ ＋ ｉ １一 ｒ ｉ一 ＆ ， ＝ １， … ， ｉ ２， ｋ．
ｒ１ ｒ ｌ 是 ！ｚ 一 ！ １ Ⅱ ｆ —ｒ一 ） ， ＋ （ 一 ）
ｉ＝ ｌ
收稿 日期 ：０６一ｏ ２０ ４—１ ０
基金项 目： 安徽省高等学校青年教师科研资助计划 （０５ ｌ４ ） ２ｏｊ ｏ４ ． ｑ
ｔ（ ｏ ｍ） ｏ ， ０≤ ｂ ≤ ｂ ≤ ＋∞ ， ｌ ２ （） ３
而对 于形状参 数 的先 验分布 可取为 逆伽玛分 布 ［ （ ， ） 引， ａ 卢 ，
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无失效数据情形失效率的E-Bayes估计
[摘要] 本文基于指数分布场合的无失效数据,引进失效信息,给出了失效率
的的E-Bayes估计,并结合发动机的实际问题进行了计算,结果表明方法可行.
[关键词] 无失效数据失效率E-Bayes估计
1、引言
在可靠性试验中,常获得各种截尾数据.在定时截尾试验中,有时会遇到无
失效数据（在规定的截尾时间内没有产品失效）.随着科学技术的发展,产品质量
的不断提高,无失效数据的出现越来越多,特别是在高可靠性、小样本问题中更容
易产生无失效数据.所以,对无失效数据进行可靠性研究越来越具有理论和实用价
值.
对无失效数据问题的研究,是可靠性领域中前沿的研究课题,现已引起国
内外的重视,寻找在无失效数据条件下进行科学、有效的估计方法,现已成为可靠
性研究中一个新的而又十分重要的领域.自从文献[1]发表以来,对无失效数据问
题的研究已经有二十多年的历史了,并且取得了一些成果.关于无失效数据问题的
研究进展情况见文献[2].
文献[3]综述了有错检验模型的研究进展情况,并提醒人们重视检验方法
本身的错误.在时间问题中,有些工程技术人员认为该剧无失效数据直接对产品进
行可靠性评定,可能会产生“冒进”. 文献[4]给出了无失效数据情形失效率的一种
新的E-Bayes估计,但没有考虑到无失效数据在进行外推估计时可能产生“冒进”,
本文引进失效信息对失效率给出了新的E-Bayes估计,并从实例结果可以得出本
文的方法可行.
2、引进失效信息后的的E-Bayes估计
对某产品进行次的截尾试验,截尾时间为,相应试验样品数为,若试验的结
果是所有样品无一失效,则称为无失效数据.
2.1 的E-Bayes估计的定义
设某产品的寿命服从指数分布,其密度函数为
（1）
其中为指数分布（1）的失效率.
定义2.1[2] 设为（实数集合）上的连续函数,且,若,称
为参数的E-Bayes估计（expected Bayesian estimation）.其中是超参数的取值
范围,是在上的密度函数,为的Bayes估计.
定义2.1表明,的E-Bayes估计
是的Bayes估计对超参数的数学期望,即的E-Bayes估计是的Bayes估计对超
参数的数学期望.
2.2的E-Bayes估计
在文献[4]中,当的先验密度函数的核为且超参数时,给出了的先验密度函
数为
[作者简介]马志明(1979-),男,四川南充人,讲师,硕士,研究方向:概率与数理统
计.
, （2）
其中为超参数.
定理2.1对寿命服从指数分布(1)的产品进行次定时截尾试验,前次定时截尾
试验无一样品失效,获得无失效数据.若在第次定时截尾试验中,截尾时间为,相应
的试验样品数为,结果有个样品失效,若的先验密度函数由(2)式给出,则有：
(Ⅰ)在平方损失下,的Bayes估计；
(Ⅱ)若超参数的先验密度函数分别为：
（3）
（4）
（5）
则的E-Bayes估计分别为：
,,
.
证明(Ⅰ)对寿命服从指数分布(1)的产品进行次定时截尾试验,若在第次定时
截尾试验中有个样品失效,根据文献[5]服从参数为的普哇松分布,则有
.
若在第次定时截尾试验中,截尾时间为,相应的试验样品数为,结果有个样品
失效,则的似然函数为
其中,
若的先验密度函数由(2)给出,根据Bayes定理,则的后验密度函数为
,
其中.
则在平方损失下,的Bayes估计
.
(Ⅱ)若的先验密度函数由(3)-(5)给出,根据定义2.1,则的E-Bayes估计为
,
.
证毕.
那么如何确定以及呢?由于第次定时截尾试验实际上并没有进行(也不允许
进行),所以以及还是未知的,以下给出的一种确定方法：
可以解释为：在第次定时截尾试验中,其截尾时间是第次的截尾试验的截尾
时间再加上前次定时截尾试验的平均试验间隔时间,相应地取2个样品进行试验,
结果有1个样品失效.
3、实例
仍以文献[4]中某型发动机的无失效数据为例,见表1.
4、结束语
本文结合实际问题,防止在外推估计时产生“冒进”,引进了失效信息,得出
了失效率的E-Bayes估计,并通过实例证明,尽管超参数取不同的先验分布,都是稳
健的,说明引进失效信息得出的失效率的E-Bayes估计方法是有效、可行的.
参考文献：
[1]Martz H F waller R A.zero-failure(BAZE) reliability demonstration
testing procedure[J].Journal of Quality Technology,1979,11(3):128-137.
[2]韩明,无失效数据可靠性进展[J].数学进展,200231(1):7-19.
[3]吴喜之,有错检验模型[J]应用概率统计,1993,9(3):310-318.
[4]韩明,失效率的E-Bayes估计和多层Bayes估计[J].高校应用数学学
报,2008,23(4):399-407.
[5]马志明,刘瑞元,指数分布无失效数据情形的参数估计[J].清华大学学
报,2007,25(2)82-85.