2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(重庆卷)
2015年高考文数真题试卷(重庆卷)【答案加解析】
2015年高考文数真题试卷（重庆卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·重庆）已知集合,,则（）A. B. C. D.2.（2015·重庆）“”是“”的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件3.（2015·重庆）函数的定义域是（）A. B. C. D.4.（2015·重庆）重庆市2013年各月的平均气温（°C）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是（）A. 19B. 20C. 21.5D. 235.（2015·重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.6.（2015·重庆）若,,则（）A. B. C. D.7.（2015·重庆）已知非零向量，满足||=4||，且⊥（2+），则与的夹角为（）A. B. C. D.8.（2015·重庆）执行如图（8）所示的程序框图，则输出s的值为（）A. B. C. D.9.（2015·重庆）设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（)A. B. C. D.10.（2015·重庆）若不等式组,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（）A. B. C. D.二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案写在答题卡相应的位置11.（2015·重庆）复数的实部为________ .12.（2015·重庆）若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为________ .13.（2015·重庆）设的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,且,,,则c=________14.（2015重庆）设,则的最大值为________ .15.（2015重庆）在区间上随机地选择一个数p，则方程有两个负根的概率为________ .三.解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16.（2015·重庆）已知等差数列满足=2，前3项和=, 问：(1)求的通项公式(2)设等比数列满足= ，= ，求前n项和.(1)求的通项公式(2)设等比数列满足，，求前n项和.17.（2015·重庆）随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：(1)求y关于t的回归方程(2)用所求回归方程预测该地区2015年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程中18.（2015·重庆）已知函数：（1）求的最小周期和最小值；（2）将函数的图像上每一点的横坐标伸长到原谅的两倍，纵坐标不变，得到函数的图像。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学试题 (文科)解析版
2 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 A = {1, 2, 3}, B = {1, 3}，则 A B = （ ）(A) {2} (B) {1, 2} (C) {1, 3} (D) {1, 2, 3}【答案】C考点：集合的运算.2. “ x = 1”是“ x 2- 2x +1 = 0 ”的（ ） (A) 充要条件 (B) 充分不必要条件 (C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：由“ x = 1 ”显然能推出“ x 2- 2x +1 = 0”，故条件是充分的；又由 “ x 2- 2x +1 = 0”可得(x - 1)2= 0 ⇒ x = 1，所以条件也是必要的； 故选 A.考点：充要条件.3. 函数 f (x) = log (x 2+ 2 x - 3) 的定义域是（ ）(A) [-3,1](C) (-∞, -3] [1, +∞) 【答案】D(B) (-3,1)(D) (-∞, -3) (1, +∞) 【解析】试题分析：由 x 2+ 2x - 3 > 0 ⇒ (x + 3)(x - 1) > 0 解得 x < -3 或 x > 1； 故选 D.考点：函数的定义域与二次不等式.4. 重庆市 2013 年各月的平均气温（°C ）数据的茎叶图如下则这组数据中的中位数是（ ） (A) 19 (B) 20 (C ) 21.5 (D )23【答案】B考点：茎叶图与中位数.5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）(A) 1 + 2π(B)13π (C)7π (D)5π3【答案】B 【解析】632试题分析：由三视图可知该几何体是由一个底面半径为 1，高为 2 的圆柱，再加上一个半圆锥：其底面半径为 1，高也为 1；构成的一个组合体，故其体积为π⨯12 ⨯ 2 + 1 ⨯π⨯12 ⨯1 =13π；66故选 B.考点：三视图.6. 若 tan a = 1 , tan(a + b ) = 1,则 tan b = （ ）32(A)17【答案】A 【解析】(B)1 6(C)5 7(D)5 61 -1 试题分析： tan b = tan[(a + b ) - a ] = tan(a + b ) - tan a = 23 = 1 ；1 + tan(a + b ) tan a 1 + 1 ⨯ 1 72 3故选 A.考点：正切差角公式.7. 已知非零向量满足，且 ⊥ (2 则b 的夹角为（ ）π(A)3【答案】Ca ,b π (B)2|b |=4|a | (C)a a +b ) a 与2π 5π(D)36考点：向量的数量积运算及向量的夹角.8. 执行如图（8）所示的程序框图，则输出 s 的值为（ ）(A)34【答案】D(B)5 6(C)11 12(D)25 24考点：程序框图.± ⎩x 2 y 29. 设双曲线 a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0) 的右焦点是 F ，左、右顶点分别是 A 1 , A 2 ,过 F 做A 1A 2 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若 A 1B ⊥ A 2 C ,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 1 2 (B) ± 2 2(C) ±1 (D) ± 2【答案】C【解析】考点：双曲线的几何性质.⎧ x + y - 2 ≤ 0 10. 若不等式组 ⎪x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形，且其面积等于 4 ，则 m 的值为（ ）⎨⎪x - y + 2m ≥ 0 3(A)-3 (B) 1(C) 43(D)3【答案】B 【解析】试题分析：如图，⎩；⎧ x + y - 2 ≤ 0由于不等式组 ⎪ x + 2 y - 2 ≥ 0 ,表示的平面区域为三角形 ABC ，且其面积等于 4 ，⎨⎪x - y + 2m ≥ 0 3再注意到直线 AB ：x+y-2=0 与直线 BC:x-y+2m=0 互相垂直，所以三角形 ABC 是直角三角形；易知，A （2，0），B （1-m,m+1）,C( 2 - 4m ,2m + 2);33112m + 2 4 从而 S ∆ABC =2 2 + 2m ⋅ m +1 - 22 + 2m ⋅ 3= 3，化简得： (m +1)2 = 4，解得 m=-3,或 m=1；检验知当 m=-3 时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去；所以 m=1; 故选 B.考点：线性规划.二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上.11．复数(1+ 2 i ) i 的实部为 .【答案】-2考点：复数运算.12. 若点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点 P 处的切线方程为 .【答案】x+2y-5=0 【解析】试题分析：由点 P （1，2）在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为： x 2+ y 2= 5，所以该圆在点 P 处的切线方程为1⨯ x + 2 ⨯ y = 5即 x+2y-5=0； 故填：x+2y-5=0. 考点：圆的切线.⎩13. 设∆ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为 a , b , c ,且 a = 2, cos C = - 1, 3sin A = 2sin B ,4则 c= . 【答案】4 【解析】试题分析：由3sin A = 2sin B 及正弦定理知：3a=2b,又因为 a=2,所以 b=3；由余弦定理得： c 2= a 2+ b 2- 2ab cos C = 4 + 9 - 2 ⨯ 2 ⨯ 3⨯ (- 1) = 16 ，所以 c=4;4故填：4.考点：正弦定理与余弦定理.14. 设 a , b > 0, a + b = 5,则 a +1+ 的最大值为.考点：基本不等式.15. 在区间[0, 5]上随机地选择一个数 p ，则方程 x 2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的概率为 .2 【答案】 3【解析】⎧∆ = 4 p 2- 4(3 p - 2) ≥ 0 试题分析：方程 x 2+ 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的充要条件是⎪ x + x = -2 p < 0⎨ 1 22 <≤p ≥orp 1,,23 ⎪ x 1 x 2 = 3 p - 2 > 0即 ；又因为 p ∈[0, 5] ，所以使方程 x 2 + 2 px + 3 p - 2 = 0 有两个负根的(1- 2) + (5 - 2)2 p 的取值范围为( ,1] [2, 5]，故所求的概率= 2 ； 32故填： .35 - 0 3 考点：复数运算.【答案】3 2b +3 3三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(完整word版)2015年高考数学全国卷2理试题及答案word,推荐文档
2015年高考理科数学试卷全国卷II 、选择题：本大题共12道小题，每小题5分1 . 已知集合A{2,1,0,1,2}B x (x1)(x 2 0 ,则AI B ( )A . A1,0B.0,1 C . 1,0,1 D . 0,1,22 . 若a为实数且(2ai)(a2i)4i，则a( )A 1 B.0 C. 1 D . 23 •根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫排放量(单位：万吨)柱形图。
以下结论不正确的是( )A. 逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B. 2007年我国治理二氧化硫排放显现C. 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D. 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关4. 已知等比数列a n满足a i=3, a1a3a5=21，则a3a5a7( )A. 21 B . 42 C . 63 D . 841 log2(2 x),x 1,5. 设函数f (x) x1, f( 2) f (log212)( )2 ,x 1,A. 3 B . 6 C . 9 D . 126. 一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )7.过三点 A(1,3), B(4,2) , C(1, 7)的圆交y 轴于M N 两点，贝U | MN | (A . 2 6B . 8C . 4、6D . 108•右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入 a,b 分别为14,18，则输出的a ()A . 0B . 2C . 4D . 1411 .已知A , B 为双曲线E 的左，右顶点，点 M 在E 上, ?ABM 为等腰三角形，且顶角为 120°,贝U E 的离心率为( )A . 5B . 2C ..3 D . 212 .设函数f '(x)是奇函数f (x)(x R)的导函数，f ( 1)0 ,当x 0时，xf (x) f (x) 0,则使得f (x) 0成立的x 的取值范围是(已知A, B 是球O 的球面上两点,AOB 90 ,C 为该球面上的动点，若三棱锥ABC 体积的最大值为36,则球 36 B.64 C.144 O A . 10.如图，长方形ABCD 的边ABO 是AB 的中点，点P 沿着边BC , 动，记BOP x .将动P 到A 、 O 的表面积为 D.256 2, BC 1,CD 与DA 运B 两点距离之禾口表示为 x 的函数f (x)，则y f(x)的图像大致 为(16 .设S n 是数列a n 的前n 项和，且a 1 1 , a n1S n S n 1，则S n ______________三、解答题ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分 BAC , ABD 面积是ADC 面积的2 倍.18 •(本题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A , B 两地区分别随机调查了 20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 7678 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 8293 48 65 81 74 56 54 76 65 79(I)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图， 并通过茎叶图比较两地区满 意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)4-■r6 7 8A . ( ,(1,0)U(1,) C. (, 1)U( 1,0)D . (0,1)U(1,) 、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分r r13 .设向量a , b 不平行，向量a b 与a 2b 平行，则实数14 .若x ，y 满足约束条件x y 10,x 2y 0,，则z x y 的最大值为 x 2y 2 0,15. (a x)(1 x)4的展开式中 x 的奇数次幕项的系数之和为32,则 a17 .(本题满分12分)(I)sin B sin C(n)若 AD 1 , DC求BD 和AC 的长.g(n)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意满意非常满意记时间C:“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级” •假设两地区用户的评价结果相互独立•根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率.19.(本题满分12 分)如图，长方体ABCD A3GD,中，AB=16, BC=10, AA 8 ,点E , F分别在A1B1 , C1D1上，AE DiF 4•过点E , F的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.(I)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由) ；(n)求直线AF与平面所成角的正弦值.2 2 220. (本题满分12分)已知椭圆C:9x y m (m 0),直线I不过原点O且不平行于坐标轴，I与C有两个交点A , B，线段AB的中点为M•(I)证明：直线OM的斜率与I的斜率的乘积为定值；(n)若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边3形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由.21. (本题满分12分)设函数f(x) e mx x2 mx .(I)证明：f(x)在(，0)单调递减，在(0,)单调递增；(n)若对于任意为兀[1,1]，都有f(xj f(X2) e 1，求m的取值范围.22 .(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图，O为等腰三角形ABC内一点，圆O与ABC的底边BC交于M、N两点与底边上的高AD 交于点G，与AB、AC分别相切于E、F两点.AG(I)证明：EF//BC ;(n) 若AG等于eO的半径，且AE MN 2、3，求四边形EBCF的面积.23 .(本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程x tCOS ,在直角坐标系xoy中，曲线G：( t为参数，t 0)，其中0 ，在y tsin ,以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2: 2sin ，曲线Q2 3cos：(I).求C2与G交点的直角坐标；(n) •若C2与C1相交于点A , C3与G相交于点B，求AB 的最大值.24.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设a, b,c,d均为正数，且a b c d，证明：(I)若ab cd，贝U 、a . b 、c 、d ；(n)j a j b J C J d是a b c d的充要条件.1. A【解析】由已知得B x 2 x 1 ,故AI B 1,0，故选A . 考点：集合的运算.2. B考点：等比数列通项公式和性质. 5. C7. C2 2(x 1) (y 2) 25，令 x 0,得 y2J 6 2，所以MN4后，故选C.参考答案【解析】由已知得k AB1 _2 73 ,k C BT13，所以 k AB k CB 1，所以 AB CB ,即 ABC 为直角三角形，其外接圆圆心为(1,2),半径为5 ,所以外接圆方程为2【解析】由已知得4a (a 4)i4i ，所以 4a 0,a 2 44，解得a 0考点：复数的运算. 3. D【解析】由柱形图得，从 份负相关，故选 D. 考点：正、负相关. 4. B2006年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 【解析】设等比数列公比为 q ，则 a i2ag4ag21，又因为a 1 3，所以q 42解得q 2，所以a 3 a 5 a 7(a i a 32a 5)q42，故选 B.【解析】 由f( 2)1 log2 43 又 log 212f (log 2 12) 2log21212砚266，故f( 2) f (log9，故选C.考点：分段函数. 6. D【解析】由三视图得, 在正方体ABCD截去四面体 A A 1B 1D 1 ,如图所示，，设正方体棱长为 a，则 V A A I B 1D 11 3 1 3丄a 3丄a 3,故剩余几何体体积 2 6为 a 31a 36所以截去部分体积与剩余部分体1—,故选 5考点：三视图. 积的比值为D. 1A 1B 1C 1D 1中，考点：圆的方程. 8. B 【解析】程序在执行过程中, a 2； b 2，此时 a 考点：程序框图. 9. C 【解析】如图所示，当点a ,b 的值依次为a 14 , b 18 ； b b 2程序结束，输出a 的值为2,故选B . 4 ； a 10 ； a 6 ； 大，设球0的半径为R , C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 1R 3 6此时 V O ABC V C AOB [R 22 O ABC 的体积最 36，故R 6，则 球O 的表面积为S 4 R 2144 ，故选C. 考点：外接球表面积和椎体的体积. 【解析 】 由已知得，当点P 在BCPA PB「tan 2x 4 tanx ；当点P 在CD 边上运动时，即 3 ,x4时,2PA PB (宀 1)2 (" 2 1) 1，当 x —时, 2 PA PB 2 2 ；当点P 在AD 边上运动时，即3 4 时，PA PB tan 2 x 4 tanx ,从点P 的运动过程可以看出，轨迹关于直线 2对称，且 考点：函数的图象和性质. 11 . D 【解析】设双曲线方程为 2 x ~~2ay 2 b 2 1(a ABM1200如图所示，|AB BM , MN x 轴，垂足为N ，在Rt BMN 中，BN | a ,MN | J3a，故点M的坐标为M(2a, J3a)，代入双曲线方程得a2 b2 a2 c2，即c2 2a2，所以e 2，故选D.考点：双曲线的标准方程和简单几何性质.12. AI【解析】记函数g(x) ,贝y g'(x) xf (x)2f (x),因为当x 0时，x xxf'(x) f (x) 0，故当x 0时，g'(x) 0,所以g(x)在(0,)单调递减；又因为函数f(x)(x R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(，0)单调递减，且g( 1) g(1) 0 •当0 x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0 ；当x 1 时，g(x) 0，则f(x) 0,综上所述，使得f(x) 0成立的x的取值范围是(，1)U(0,1)，故选A. 考点：导数的应用、函数的图象与性质.13 .a b与a 2b平行，所以ab k(a 2b),则1考点：向量共线.14.【解析】画出可行域，如图所示，将目标函数变形为yx z,当z取到最大时，直线y x z的纵截距最大，故将直线尽可能地向上平移到D(1」)，则z x y的最大值为-.2 2考点：线性规划.【解析】试题分析：由已知得(1 x) 1 4x 6x 4x x ,故(a x)(1 x)的展开式中x的奇k'所以2k,【解析】因为向量15. 3数次幕项分别为4ax , 4ax3, x , 6x3, x5,其系数之和为4a 4a 1+6+1=32,解得a 3.考点：二项式定理.1,S nn考点：等差数列和递推关系.理得2 2 2 2 2AB 2AC 3AD BD 2DC 6 •由（I ）知 AB 2AC ，所以 AC 1 .18.【解析】（I ）两地区用户满意度评分的茎叶图如下B 地冈4fi35 1 56 46 4 26 2 4 5 5 6 S 8 6 4 3 1 35 4699 2 &6 $ 1 8 71 ? 1 75 S 291 3通过茎叶图可以看出，A 地区用户满意度评分的平均值高于 B 地区用户满意度评分的平均值;16. 【解析】由已知得a n 1 S n 1 S n S n 1 S n ，两边同时除以S i 11Sn ，得— S n 11S n故数列— 是以 1为首项， 1为公差的等差数列，则S n1 (n 1)所以17.【解析】（I ） S ABD〔AB AD sin BAD , S ADC2 i ACAD sin CAD , 因为S ABD 2S ADC,BADCAD ，所以AB 2AC .由正弦定理可得sin Bsin CACAB因为 S ABD : S ADCBD : DC ，所以 BD . 2 .在 ABD 和 ADC 中, 由余弦定AB 2AD 2 BD 2 2ADBD cos ADB,AC 2 AD 2 DC 2 2AD DC cos ADC .1,A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散. （n）记C A1表示事件：“A地区用户满意度等级为满意或非常满意”C A2表示事件：“A地区用户满意度等级为非常满意”；C B 1表示事件：“ B 地区用户满意度等级为不满意”；C B 2表示事件：“ B 地区用户满意度等级为满意”则 C A 1 与 C B 1 独立，C A 2 与 C B 2 独立，C B 1 与 C B 2 互斥，C C B1C A1 UC B2C A2 .P(C) P(C B1C A1 UC B2C A2)P(CB1CA1) P(CB2CA2)P(C BI )P(C AI ) P(C B 2)P(C A 2).由所给数据得 C A 1 , C A 2 , C B 1 , C B 2发生的概率分别为16 204 10 2 0 ' 2 0 呀•故 P (C A 1)=20，，P(C B 2)=20，A(10,0,0) , H (10,10,0) , E(10,4,8) , F (0,4,8) uuu，FE (10,0,0)，uuur HE(0, 6,8).设 r n n （x, y,z ）是平面EHGF 的法向量，贝U r n uuu FE UL UT0,即0,10x6y 0,8z 所以可取0,，P(C B 1)= 1020P(C A 2)=—20r UUUT n (0, 4,3) •又 AF (r UUUT10,4,8)，故 cos n, AFn| AF4 ” 5--- .所以直线AF 与15平面所成角的正弦值为4\5 1520.【解析】（I ）设直线l :y kx b (k 0,b0) ，A （为，yj ， B(x 2, y )，将 y kxb2 2 2 2 2 2 29x y m 得(k 9)x 2kbx b m 0 ，故9by M kx M b 斗•于是直线OM 的斜率k °M k 2 9线OM 的斜率与I 的斜率的乘积为定值.(n)四边形 OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(m ,m)，所以1不过原点且与3C 有两个交点的充要条件是 k 0 , k 3 •9由(I)得 OM 的方程为y- x .设点P 的横坐标为 X P .由y9x,kk小 22 29x y m ,2 m ^k® •解得 k i 4 -7 , k 2 4 .7 •因为 k i 0,k i 3, i 1, 2，所以当 I 3(k9)的斜率为4 17或4 J 时，四边形OAPB 为平行四边形.21 •【解析】(I) f '(x) m(e mx 1) 2x • 若m0，则当x (,0)时， —mxe1, f '(x)；当 x (0,mx /)时，e1,f '(x)0 •若m0，则当x (,0)时， mxe 1, f '(x)；当 x (0,mx A)时，e1,f '(x)0 •所以， f (x)在(,(0)单调递减,在 (0, )单调递增.(n)由(I)知，对任意的 m , f (x)在［1,0］单调递减，在［0,1］单调递增，故f (x)在kb k 2y MX M9，即k oM k 9 •所以直k2Xpk 2m 29k 281 '即—m — •将点(m,m)的坐标代入直线I 的方程得b 3、.k 2 9 3m(3 k) 3因此x M3)•四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段3(k 2 9)AB 与线段OP 互相平分,即x P2x M• 于是km 3 <k 2 9x 0处取得最小值•所以对于任意治兀［1,1］, f(xj f(X2) e 1的充要条件是:f(1 )f(°) e 1,即me m e1，①，设函数f( 1I) f(0) e 1,m e m e1,g'(t)e t 1 •当t 0 时，g'(t)；当t:0时，g'(t)0 . f在(0,）单调递增.又g（11) 0, g(1)e1 2 e 0,故当m [1,1]时，g(m) 0 , g(m)0, 即①式成立.当mg(m)0 ,即e m m e 1 ；当m1时寸，g( m) 0，即et [ 1,1]时，g(t) 0 .当1时,取值范围是[1,1].g（t）在（，0）单调递减,mmg(t) e t t e 1，则由g（t）的单调性,e 1 .综上，m的ABC是等腰三角形,AC相切于22.【解析】（I）由于因为e O分别与AB、EF//BC .（n）由（I）知，AE AF , AD 弦，所以O在AD上•连接OE , OMADE、F两点，BC，所以AD是所以AEAF，故ADCAB的平分线.又EF •从而EF，故AD是EF的垂直平分线，又，则OE AE •由AG等于eO的半径得EF是eO的AO 2OE,所以OAE 300.所以ABC和AEF都是等边三角形.因为AE 2「3，所以AO 4 , OE 2.1因为OM OE 2, DM —MN .3 ,2 所以OD 1 .于是AD 5, AB .所31以四边形EBCF的面积丄2(2「3)16 3【解析】（I）曲线23.x2C2的直角坐标方程为x22y 曲线C3的直角坐标方程为y22、、3X 0 •联立2x2xy2 2y y22、3X0,0,解得2所以C2与G交3点的直角坐标为（0,0）和（—3 ,-）2 2(n)曲线 C i 的极坐标方程为( R, 0)，其中 0因此A 得到极坐标AB 2sin 2A /3COS4 sin( —)，当34 .24.【解析】(I)因为,b)2 a b 2 ab , (、、C 、、d)2 C d cd ，由题设a b C d , ab cd ，得(、a、b)2 (、c ,d )2. 因此 jajb VC jd .(n) (i)若a b C d ，则(a b)2(C d)2 .即(ab)2 4ab(Cd)24cd .因为 a b C d ，所以 ab cd ，由(I)得 .a 、、b .. C .. d . (ii) 若、a. b 、、c 、、d , 贝U( •、. a . b)2(、、c . d )2, 即 a b 2.0b Cd2. cd .因为a b C d ,所以 ab cd,于是(ab)2 (a b)2 4ab (C d )2 4cd (C d)2 .因此 a b C d ，综上，的充要条件.为(2sinB 的 极坐标 为 (2 3 cosAB取得最大值，最大值为。
2015高考数学(重庆版)分项汇编专题15复数(含解析)理
专题15 复数
1. 【2005高考重庆理第2题】
（）
A．B．－C．D．－
【答案】A
2. 【2008高考重庆理第1题】复数1+= ( )
(A)1+2i (B)1-2i (C)-1 (D)3 【答案】A
考点：复数的概念与运算。
3. 已知复数的实部为，虚部为2，则=（）
A． B． C．D．
【答案】A
4. 【2011高考重庆理第1题】复数( )
（A） (B)
(C) (D)
【答案】B.
5. 【2014高考重庆理第1题】复平面内表示复数的点位于( )
第一象限第二象限
第三象限第四象限
【答案】A
考点：1、复数的运算；2、复平面.
6. 【2006高考重庆理第11题】复数的值是。
【答案】
7. 【2007高考重庆理第11题】复数的虚部为________.
【答案】
8. 【2010高考重庆理第11题】已知复数z＝1＋i，则－z＝__________.
【答案】－2i
9. 【2012高考重庆理第11题】若，其中为虚数单位，则；
【答案】4
10. 【2013高考重庆理第11题】已知复数(i是虚数单位)，则|z|＝__________.
【答案】
11. 【2015高考重庆，理11】设复数a+bi（a，bR）的模为，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3
【考点定位】复数的运算.。
2015年全国卷数学高考真题(理科)2015年全国卷数学高考真题(理科)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1） 设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=（A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°=（A ） （B （C ）12- （D ）12（3）设命题P ：∃n ∈N ，2n >2n ，则⌝P 为（A ）∀n ∈N, 2n >2n （B ）∃ n ∈N, 2n ≤2n （C ）∀n ∈N, 2n ≤2n （D ）∃ n ∈N, 2n =2n（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。
已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312（5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -= 上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF •2MF ＜0，则y 0的取值范围是（A ）（ （B ）（（C ）（3-，3） （D ）（）（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛（7）设D为ABC所在平面内一点=3，则（A）=+(B)=（C）=+(D)=(8)函数f(x)=的部分图像如图所示，则f（x）的单调递减区间为(A)（）,k (b)（）,k(C)（）,k(D)（）,k（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10）的展开式中，y²的系数为（A）10 （B）20 （C）30（D）60圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(重庆卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b b θ--=，所以22222320θ⨯-=，2cos θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，2222(42)(11)46AB AC r =-=--+---=.选C.9.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C.10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以4222()b c x a a b a c a c a -=<+=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11. 由3a bi +=223a b +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.12. 二项展开式通项为7153521551())()22k k kkk k k T C x C x x --+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠23=2sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，2cos306AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos 24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题及答案更多资料关注公众号：高中学习资料库。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(重庆卷,含解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A.6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a ab b θ--=，所以23(cos 2033θ⨯--=，cos 2θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4,1)A --，6AB ===.选C. 9.3cos()10sin()5παπα-=-33cos cossin sin 1010sin cos cos sin55ππααππαα+-33cos tan sin 1010tan cossin55ππαππα+=-33cos 2tan sin105102tan cos sin555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin510510sincos55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )210101010sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C.10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由BD AC⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=. 12.二项展开式通项为7153521551()()2k kkkk k k T C x C x--+==，令71582k-=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠=，解得sin ADB ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以18012030C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3C E E D ==，再相交弦定理有A E E B C E E D ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。
2015年重庆高考数学理科模拟试卷
2015年重庆市高考数学（理科）模拟试卷第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足错误!未找到引用源。
(3－4i)z ＝|4＋3i |，则z 的虚部为 ( )A 、－4（B ）－45错误!未找到引用源。
（C ）4 （D ）452. 等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A ．13 B ．13- C ．19 D ．19-3．某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.454．设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( )A ．1B ．2C ．3D ．55. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1586. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .787．某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )A 、16+8πB 、8+8πC 、16+16πD 、8+16π8. 已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )．A．4 B1 C．6- D9. 已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A ．(0,1) B．11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦ D ．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭10. 在平面上，1AB u u u r ⊥2AB u u u u r ，|1OB u u u r |＝|2OB u u u u r |＝1，AP u u u r ＝1AB u u u r ＋2AB u u u u r .若|OP uuu r |＜12，则|OA u u u r |的取值范围是( )．A．0,2⎛ ⎝⎦ B．,22⎛ ⎝⎦ C．2⎛ ⎝ D．2⎛ ⎝第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题 本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应位置上.11. 8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案)12. 函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.侧视图俯视图13. 若函数f (x )=(1－x 2)(x 2＋ax ＋b )的图像关于直线x =－2对称，则f (x )的最大值是______.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.14．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为__________．15.已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+=ty t x 32（t 为参数），以坐标原点为极点，x 正半轴为极轴线l 与曲线C 的公共点的极经=ρ________.16.若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|＜a 无解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算过程.17.（本小题满分13分）已知函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin 3πϕπωϕω，x x f 的图像关于直线3π=x 对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.（I ）求ω和ϕ的值；（II ）若⎪⎭⎫ ⎝⎛<<=⎪⎭⎫⎝⎛326432παπαf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+23cos πα的值.18.（本小题满分13分） 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个球中红球与蓝球的个数，设一、二、三等奖如下：其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级． (1)求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率； (2)求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X 的分布列与期望E (X )．19.(本小题满分13分)如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1，∠BAA 1=60°.（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。
[精品]2015年普通高等学校招生全国统一考试高中数学文试题重庆卷和答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷，含解析）1. 由于2,2,3,3,1,1A B A B A B ∈∈∈∈∈∉，故A 、B 、C 均错，D 是正确的，选D.2. 由等差数列的性质得64222240a a a =-=⨯-=，选B.3. 从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20，选B.4. 12log (2)0211x x x +<⇔+>⇔>-，因此选B.5. 这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，2111112(12)12323V ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯=+，选A. 6. 由题意22()(32)320a b a b a a b b -⋅+=-⋅-=，即223cos 20a a b bθ--=，所以2320θ⨯-=，cos θ=，4πθ=，选A. 7. 由程序框图，k 的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S =++=（此时6k =）还必须计算一次，因此可填1112s ≤，选C. 8. 圆C 标准方程为22(2)(1)4x y -+-=，圆心为(2,1)C ，半径为2r =，因此2110a +⨯-=，1a =-，即(4A --，6AB ===.选C.9. 3cos()10sin()5παπα-=-33cos cos sin sin 1010sin cos cos sin 55ππααππαα+-33costan sin 1010tan cos sin 55ππαππα+=-33cos2tan sin 105102tan cos sin 555ππππππ+=- 33cos cos 2sin sin 510510sin cos 55ππππππ+=＝155(cos cos )(cos cos )21010101012sin 25πππππ++-3cos 103cos 10ππ==，选C. 10. 由题意22(,0),(,),(,)b b A a B c C c a a-，由双曲线的对称性知D 在x 轴上，设(,0)D x ，由B D A C ⊥得2201b b a a c x a c-⋅=---，解得42()b c x a c a -=-，所以42()b c x a a c a c a -=<=+-，所以42222b c a b a <-=221b a ⇒<01b a ⇒<<，因此渐近线的斜率取值范围是(1,0)(0,1)-，选A.11.由a bi +=得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.12.二项展开式通项为7153521551()()2k kk kk k k T C x C x --+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.13. 由正弦定理得sin sin AB AD ADB B =∠，即sin sin120ADB =∠︒，解得s i n 2A D B ∠=，45ADB ∠=︒，从而15BAD DAC ∠=︒=∠，所以1801203C =︒-︒-︒=︒，2cos30AC AB =︒=14. 首先由切割线定理得2PA PC PD =⋅，因此26123PD ==，9CD PD PC =-=，又:2:1CE ED =，因此6,3CE ED ==，再相交弦定理有AE EB CE ED ⋅=⋅，所以6329CE ED BE AE ⋅⨯===. 15. 直线l 的普通方程为2y x =+，由2cos24ρθ=得222(cos sin )4ρθθ-=，直角坐标方程为224x y -=，把2y x =+代入双曲线方程解得2x =-，因此交点.为(2,0)-，其极坐标为(2,)π.16. 由绝对值的性质知()f x 的最小值在1x =-或x a =时取得，若(1)215f a -=--=，32a =或72a =-，经检验均不合；若()5f a =，则15x +=，4a =或6a =-，经检验合题意，因此4a =或6a =-.（大题解析在后面）2015重庆数学文原题 及 答案。
2015理科数学(重庆卷)
2015年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(重庆卷)共4页.满分150分.考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.特别提醒：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.(2015重庆，理1)已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则()A．A=B B．A∩B=⌀C．A⫋B D．B⫋A答案：D解析：因为A={1，2，3}，B={2，3}，所以B⫋A．2.(2015重庆，理2)在等差数列{a n}中，若a2=4，a4=2，则a6=()A．-1 B．0 C．1 D．6答案：B解析：因为{a n}是等差数列，所以2a4=a2+a6，于是a6=2a4-a2=2×2-4=0.3.(2015重庆，理3)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：则这组数据的中位数是()A．19 B．20 C．21.5 D．23答案：B=20.解析：由茎叶图可知，这组数据的中位数为20+202(x+2)＜0”的()4.(2015重庆，理4)“x＞1”是“lo g12A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：由lo g12(x+2)＜0可得x+2＞1，即x＞-1，而{x|x＞1}⫋{x|x＞-1}，所以“x＞1”是“lo g12(x+2)＜0”的充分不必要条件.5.(2015重庆，理5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A．13+πB．23+πC．13+2πD．23+2π答案：A解析：由三视图可知，该几何体是一个组合体，其左边是一个三棱锥，底面是等腰直角三角形(斜边长等于2)，高为1，所以体积V1=13×12×2×1×1=13；其右边是一个半圆柱，底面半径为1，高为2，所以体积V2=π·12·2·12=π，所以该几何体的体积V=V1+V2=13+π.6.(2015重庆，理6)若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且(a-b)⊥(3a+2b)，则a与b的夹角为()A．π4B．π2C．3π4D．π答案：A解析：由(a-b)⊥(3a+2b)知(a-b)·(3a+2b)=0，即3|a|2-a·b-2|b|2=0.设a与b的夹角为θ，所以3|a|2-|a||b|cos θ-2|b|2=0，即3·223|b|2-223|b|2cos θ-2|b|2=0，整理，得cos θ=22，故θ=π4.7.(2015重庆，理7)执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是()A．s≤34B．s≤56C．s≤1112D．s≤2524答案：C解析：由程序框图可知，程序执行过程如下：s=0，k=0，满足条件；k=2，s=12，满足条件；k=4，s=34，满足条件；k=6，s=1112，满足条件；k=8，s=2524，这时应不满足条件，才能输出k=8，故判断框内的条件是s ≤1112.8.(2015重庆，理8)已知直线l ：x+ay-1=0(a ∈R)是圆C ：x 2+y 2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A (-4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|=( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．2 10答案：C解析：依题意，直线l 经过圆C 的圆心(2，1)，因此2+a-1=0，所以a=-1，因此点A 的坐标为(-4，-1).又圆C 的半径r=2，由△ABC 为直角三角形可得|AB|= |AC |2-r 2.又|AC|=2 10，所以|AB|= (2 10)2-22=6.9.(2015重庆，理9)若tan α=2tan π5，则cos α-3π10 sin α-π5=( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：因为tan α=2tan π5，所以cos α-3π10 sin α-π5=sin α-3π10+π2 sin α-π5=sin α+π5sin α-π5=sin αcos π5+cos αsinπ5sin αcos π5-cos αsinπ5=tan α+tanπ5tan α-tanπ=3tanπ5tanπ=3.10.(2015重庆，理10)设双曲线x 2a-y 2b=1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ．若D 到直线BC 的距离小于a+2+b 2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是( ) A ．(-1，0)∪(0，1) B ．(-∞，-1)∪(1，+∞)C ．(- 2，0)∪(0， 2)D ．(-∞，- 2)∪( 2，+∞)答案：A解析：设双曲线半焦距为c ，则F (c ，0)，A (a ，0)，不妨设点B 在点F 的上方，点C 在点F 的下方，则B c ，b 2a ，C c ，-b 2a.由于k AC =0- -b 2aa -c=b 2a (a -c )，且AC ⊥BD ，则k BD =-a (a -c )b 2，于是直线BD 的方程为y-b 2a =-a (a -c )b (x-c )，由双曲线的对称性知AC 的垂线BD 与AB 的垂线CD 关于x 轴对称，所以两垂线的交点D 在x 轴上，于是x D = -b 2a × -b 2a (a -c ) +c=b 4a (a -c )+c ，从而D到直线BC的距离为c-x D=-b4a(a-c)，由已知得-b 4a(a-c)＜a+ a2+b2，即-b 4a2(a-c)＜a+c，所以b4＜a2(c-a)(c+a)，即b4＜a2b2，b2a＜1，从而0＜ba＜1.而双曲线渐近线斜率k=±ba，所以k∈(-1，0)∪(0，1).二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2015重庆，理11)设复数a+b i(a，b∈R)的模为，则(a+b i)(a-b i)=.答案：3解析：因为复数a+b i的模为 a2+b2=，即a2+b2=3.于是(a+b i)(a-b i)=a2-(b i)2=a2+b2=3.12.(2015重庆，理12) x32x 5的展开式中x8的系数是(用数字作答).答案：52解析：展开式的通项公式T r+1=C5r·(x3)5-r·2x r=C5r·2-r·x15-7r(r=0，1，2，…，5).令15-72r=8，得r=2，于是展开式中x8项的系数是C52·2-2=52.13.(2015重庆，理13)在△ABC中，B=120°，AB=2，A的角平分线AD=3，则AC=. 答案：6解析：如图所示，在△ABD中，由正弦定理得AD sin B =ABsin∠ADB，即3sin120°=2sin∠ADB，所以sin∠ADB=22，从而∠ADB=45°，则∠BAD=∠DAC=15°，所以∠ACB=30°，∠BAC=30°，所以△BAC是等腰三角形，BC=AB=.由余弦定理得AC=AB2+BC2-2·AB·BC·cos120°=(2)2+(2)2-2×2×2·-12=6.考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14.(2015重庆，理14)如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE∶ED=2∶1，则BE=.答案：2解析：因为PA是圆的切线，所以有PA2=PC·PD，于是PD=PA 2PC =623=12，因此CD=PD-PC=9.又因为CE∶ED=2∶1，所以CE=6，ED=3.又由相交弦定理可得AE·BE=CE·ED，所以BE=6×39=2.15.(2015重庆，理15)已知直线l的参数方程为x=-1+t，y=1+t(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos 2θ=4 ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，则直线l与曲线C的交点的极坐标为. 答案：(2，π)解析：由x=-1+t，y=1+t可得直线l的普通方程为y=x+2.又ρ2cos 2θ=4可化为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4，即(ρcos θ)2-(ρsin θ)2=4，所以x2-y2=4，即曲线C的直角坐标方程是x2-y2=4.由y=x+2，x2-y2=4可解得x=-2，y=0，即直线l与曲线C的交点坐标为(-2，0).又因为ρ＞0，3π4＜θ＜5π4，所以ρ=2，θ=π，即交点的极坐标是(2，π).16.(2015重庆，理16)若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5，则实数a=.答案：-6或4 解析：当a ≤-1时，f (x )=|x+1|+2|x-a|= -3x +2a -1，x ＜a ，x -2a -1，a ≤x ≤-1，3x -2a +1，x ＞-1，所以f (x )在(-∞，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增， 则f (x )在x=a 处取得最小值f (a )=-a-1， 由-a-1=5得a=-6，符合a ≤-1； 当a ＞-1时，f (x )=|x+1|+2|x-a|= -3x +2a -1，x ＜-1，-x +2a +1，-1≤x ≤a ，3x -2a +1，x ＞a .所以f (x )在(-∞，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增， 则f (x )在x=a 处取最小值f (a )=a+1， 由a+1=5，得a=4，符合a ＞-1. 综上，实数a 的值为-6或4.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分13分，(1)小问5分，(2)小问8分)(2015重庆，理17)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率；(2)设X 表示取到的豆沙粽个数，求X 的分布列与数学期望.解：(1)令A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )=C 21C 31C 51C 103=14.(2)X 的所有可能值为0，1，2，且 P (X=0)=C 83C 103=715，P (X=1)=C 21C 82C 103=715，P (X=2)=C 22C 81C 103=115.综上知，X 的分布列为故E(X)=0×715+1×715+2×115=35(个).18.(本小题满分13分，(1)小问7分，(2)小问6分) (2015重庆，理18)已知函数f(x)=sinπ2-x sin x-3cos2x.(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论f(x)在π6，2π3上的单调性.解：(1)f(x)=sinπ2-x sin x-3cos2x=cos x sin x-32(1+cos 2x)=1 2sin 2x-32cos 2x-32=sin2x-π3-32，因此f(x)的最小正周期为π，最大值为2-32.(2)当x∈π6，2π3时，0≤2x-π3≤π，从而当0≤2x-π3≤π2，即π6≤x≤5π12时，f(x)单调递增，当π2≤2x-π3≤π，即5π12≤x≤2π3时，f(x)单调递减.综上可知，f(x)在π6，5π12上单调递增；在5π12，2π3上单调递减.19.(本小题满分13分，(1)小问4分，(2)小问9分)(2015重庆，理19)如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB=π2.D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE=2，CE=2EB=2.(1)证明：DE⊥平面PCD；(2)求二面角A-PD-C的余弦值.(1)证明：由PC⊥平面ABC，DE⊂平面ABC，故PC⊥DE.由CE=2，CD=DE=2得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE.由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE⊥平面PC D．(2)解：由(1)知，△CDE为等腰直角三角形，∠DCE=π4.如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF=FC=FE=1， 又已知EB=1，故FB=2.由∠ACB=π2得DF ∥AC ，DF AC=FB BC=23，故AC=32DF=32.以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，CP 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A 32，0，0 ，E (0，2，0)，D (1，1，0)，ED=(1，-1，0)，DP =(-1，-1，3)，DA = 12，-1，0 .设平面PAD 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)，由n 1·DP =0，n 1·DA =0，得 -x 1-y 1+3z 1=0，12x 1-y 1=0，故可取n 1=(2，1，1).由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为ED ，即n 2=(1，-1，0). 从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 Cos<n 1，n 2>=n 1·n 2|n 1|·|n 2|= 36，故所求二面角A-PD-C 的余弦值为 36. 20.(本小题满分12分，(1)小问7分，(2)小问5分) (2015重庆，理20)设函数f (x )=3x 2+ax e (a ∈R).(1)若f (x )在x=0处取得极值，确定a 的值，并求此时曲线y=f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)若f (x )在[3，+∞)上为减函数，求a 的取值范围. 解：(1)对f (x )求导得f'(x )=(6x +a )e x -(3x 2+ax )e x(e x )2=-3x 2+(6-a )x +ae x.因为f (x )在x=0处取得极值，所以f'(0)=0，即a=0. 当a=0时，f (x )=3x 2e ，f'(x )=-3x 2+6x e ，故f (1)=3e ，f'(1)=3e ，从而f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y-3e =3e (x-1)，化简得3x-e y=0. (2)由(1)知f'(x )=-3x 2+(6-a )x +ae .令g (x )=-3x 2+(6-a )x+a ， 由g (x )=0解得x 1=6-a - a 2+366，x 2=6-a + a 2+366.当x＜x1时，g(x)＜0，即f'(x)＜0，故f(x)为减函数；当x1＜x＜x2时，g(x)＞0，即f'(x)＞0，故f(x)为增函数；当x＞x2时，g(x)＜0，即f'(x)＜0，故f(x)为减函数.由f(x)在[3，+∞)上为减函数，知x2=6-a+ a2+366≤3，解得a≥-92，故a的取值范围为-92，+∞.21.(本小题满分12分，(1)小问5分，(2)小问7分)(2015重庆，理21)如图，椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+|PF2|=2-，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|=|PQ|，求椭圆的离心率e.解：(1)由椭圆的定义，2a=|PF1|+|PF2|=(2+2)+(2-2)=4，故a=2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此2c=|F1F2|=|PF1|2+|PF2|2=(2+2)2+(2-2)2=23，即c=3，从而b=a2-c2=1.故所求椭圆的标准方程为x 24+y2=1.(2)解法一：如图，设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则x02 a +y02b=1，x02+y02=c2，求得x0=±ac a2-2b2，y0=±b2c.由|PF1|=|PQ|＞|PF2|得x0＞0，从而|PF1|2=a a2-2b2c+c2+b4c=2(a2-b2)+2a a2-2b2=(a+a2-2b2)2.由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=|PF1|，因此(2+|PF1|=4a，即(2+)(a+a2-2b2)=4a，于是(2++2e2-1)=4，解得e=121+2+212=6-3.解法二：如解法一中的图，由椭圆的定义，|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|，有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ，|PF1|=|PQ|，知|QF1|=2|PF1|，因此，4a-2|PF1|=2|PF1|，得|PF1|=2(2-2)a，从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-2)a=2(2-1)a.由PF1⊥PF2，知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2，因此e=ca =|PF1|2+|PF2|22a=(2-)2+(2-1)2=9-62=6-3.22.(本小题满分12分，(1)小问4分，(2)小问8分)(2015重庆，理22)在数列{a n}中，a1=3，a n+1a n+λa n+1+μa n2=0(n∈N+).(1)若λ=0，μ=-2，求数列{a n}的通项公式；(2)若λ=1k0(k0∈N+，k0≥2)，μ=-1，证明：2+13k0+1＜a k0+1＜2+12k0+1.解：(1)由λ=0，μ=-2，有a n+1a n=2a n2(n∈N+).若存在某个n0∈N+，使得a n0=0，则由上述递推公式易得a n0-1=0.重复上述过程可得a1=0，此与a1=3矛盾，所以对任意n∈N+，a n≠0.从而a n+1=2a n(n∈N+)，即{a n}是一个公比q=2的等比数列.故a n=a1q n-1=3·2n-1.(2)由λ=1k0，μ=-1，数列{a n}的递推关系式变为a n+1a n+1k0a n+1-a n2=0，变形为a n+1 a n+1k0=a n2(n∈N+).由上式及a1=3＞0，归纳可得3=a1＞a2＞...＞a n＞a n+1＞ 0因为a n+1=a n2a n+1k0=a n2-1k02+1k02a n+1k0=a n-1k0+1k0·1k0a n+1，所以对n=1，2，…，k0求和得a k0+1=a1+(a2-a1)+…+(a k0+1-a k)=a1-k0·1k0+1k0·1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0a k0+1＞2+1k0·13k0+1+13k0+1+…+13k0+1k0个=2+13k0+1.另一方面，由上已证的不等式知a1＞a2＞…＞a k0＞a k0+1＞2，得a k0+1=a1-k0·1k0+1k0·1k0a1+1+1k0a2+1+…+1k0a k0+1＜2+1k0·12k0+1+12k0+1+…+12k0+1k0个=2+12k0+1.综上，2+13k0+1＜a k0+1＜2+12k0+1.。
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2015年高考重庆卷理数试题解析（精编版）（解析版） 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页，时量120分钟，满分150分. 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合A=1,2,3,B=2,3，则 （ ） A、A=B B、AB= C、AØB D、BØA 【答案】D
【考点定位】本题考查子集的概念，考查学生对基础知识的掌握程度. 2．在等差数列na中，若2a=4，4a=2，则6a= （ ） A、-1 B、0 C、1 D、6 【答案】B
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质.
3．重庆市2013年各月的平均气温（oC）数据的茎叶图如下： 0891258200338312 则这组数据的中位数是 （ ） A、19 B、20 C、21.5 D、23 【答案】B. 【考点定位】本题考查茎叶图的认识，考查中位数的概念. 4．“1x”是“12log(2)0x”的 （ ） A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B
【考点定位】充分必要条件.
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A、13 B、23 C、 123 D、223 【答案】A
【考点定位】组合体的体积. 【名师点晴】本题涉及到三视图的认知，要求学生能由三视图画出几何体的直观图，从而分析出它是哪些基本几何体的组合，应用相应的体积公式求出几何体的体积，关键是画出直观图，本题考查了学生的空间想象能力和运算求解能力. 6．若非零向量a，b满足|a|=223|b|，且（a-b）（3a+2b），则a与b的夹角为 （ ） A、4 B、2 C、34 D、 【答案】A
【考点定位】向量的夹角. 7．执行如题（7）图所示的程序框图，若输入K的值为8，则判断框图可填入的条件是 （ ） A、s34 B、s56 C、s1112 D、s1524
【答案】C 【解析】由程序框图，k的值依次为0，2，4，6，8，因此1111124612S（此时6k）还必须计算一次，因此可填1112s，选C. 【考点定位】程序框图.
8．已知直线l：x+ay-1=0（aR）是圆C：224210xyxy的对称轴.过点A（-4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|= （ ） A、2 B、42 C、6 D、210 【答案】C
【考点定位】直线与圆的位置关系.
9．若tan2tan5，则3cos()10sin()5 （ ） A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】C 【解析】 【考点定位】两角和与差的正弦（余弦）公式，同角间的三角函数关系，三角函数的恒等变换. 10．设双曲线22221xyab（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于22aab，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ） A、(1,0)(0,1) B、(,1)(1,)
C、(2,0)(0,2) D、(,2)(2,) 【答案】A
【考点定位】双曲线的性质. 二、填空题：本大题共6小题，考生作答5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11．设复数a+bi（a，bR）的模为3，则（a+bi）（a-bi）=________. 【答案】3
【考点定位】复数的运算. 12．5312xx的展开式中8x的系数是________(用数字作答). 【答案】52
【考点定位】二项式定理 13．在ABC中，B=120o，AB=2，A的角平分线AD=3,则AC=_______. 【答案】6
【考点定位】解三角形（正弦定理，余弦定理） 考生注意：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分. 14．如图，圆O的弦AB，CD相交于点E，过点A作圆O的切线与DC的延长线交于点P，若PA=6，AE=9，PC=3，CE:ED=2:1，则BE=_______.
【答案】2 【考点定位】相交弦定理，切割线定理. 15．已知直线l的参数方程为11xtyt（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为235cos24(0,)44，则直线l与曲线C的交点的极坐标为_______. 【答案】(2,)
【考点定位】参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化. 16．若函数()12fxxxa的最小值为5，则实数a=_______. 【答案】4a或6a
【考点定位】绝对值的性质，分段函数. 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分13分，（1）小问5分，（2）小问8分） 端午节吃粽子是我国的传统习俗，设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个。 （1）求三种粽子各取到1个的概率； （2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望 【答案】（1）14；（2）分布列见解析，期望为35． 【解析】 383107(X0),15CPC===12283107(X1),15CCPC===2128310
1(X2),15CCPC===
综上知，X的分布列为
X 0 1 2 P 715 715 115
故7713E(X)0121515155=???． 【考点定位】古典概型，随机变量的颁布列与数学期望．考查学生的数据处理能力与运算求解能力．
18．（本小题满分13分，（1）小问7分，（2）小问6分） 已知函数2sinsin3cos2fxxxx （1）求fx的最小正周期和最大值； （2）讨论fx在2,63上的单调性. 【答案】（1）最小正周期为p，最大值为232-；（2）()fx在5[,]612上单调递增；()fx在52[,]123上单调递减. 【解析】
调区间．
【考点定位】三角函数的恒等变换，周期，最值，单调性，考查运算求解能力． 方法进行研究． 19．（本小题满分13分，（1）小问4要，（2）小问9分） 如题（19）图，三棱锥PABC中，PC平面,3,.,2ABCPCACBDE分别为线段,ABBC
上的点，且2,22.CDDECEEB （1）证明：DE平面PCD （2）求二面角APDC的余弦值。
【答案】（1）证明见解析；（2）36. 【解析】
试题解析：(1)证明：由PC平面ABC，DE平面ＡＢＣ，故PCDE 由CE＝２，CD=DE＝２得ＣＤＥ为等腰直角三角形，故CDDE 由PCCD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，故DE平面PCD 以Ｃ为坐标原点，分别以CACBCP， ,的方程为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则Ｃ(0,0,0,)，Ｐ(0,0,3)，Ａ(32,0,0), Ｅ(0,2,0)，Ｄ(1,1,0)，ED=(1,-1,0),
(DPDA=１=(-1,-1,3),-1,0)２
设平面PAD的法向量111n１＝（x,y,z)，
由0nDP１，0nDA１，
得11111130(2,1,1)102xyznxy故可取. 【考点定位】考查线面垂直，二面角．考查空间想象能力和推理能力． 20．（本小题满分12分，（1）小问7分，（2）小问5分） 设函数23xxaxfxaRe （1）若fx在0x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yfx在点1,1f处的切线方程； （2）若fx在3,上为减函数，求a的取值范围。 【答案】（1）0a，切线方程为30xey-=；（2）9[,)2. 【解析】 试题解析：(1)对()fx求导得2226336()xxxxxaexaxexaxafxee 因为()fx在0x=处取得极值，所以(0)0f，即0a=. 当0a=时，23()=,xxfxe236()xxxfxe,故33(1)=,(1)ffee,从而()fx在点1(1)f（，）处的切线方程为33(1)yxee-=-,化简得30xey-= (2)由(1)得，236()xxaxafxe, 令()2g()36xxaxa=-+-+
【考点定位】复合函数的导数，函数的极值，切线，单调性．考查综合运用数学思想方法分析与解决问题的能力．
问题的能力，该点和第二个点一般是解答题中的两个设问，考查的核心是导数研究函数性质的方法和函数