2020年北师大版八年级上册数学期末复习《勾股定理》(含答案)
2019—2020年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析(试卷).docx
《第1章勾股定理》一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为，斜边上的高为．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为cm2．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行米．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= ；若a=12，b=5，则C= ；若c=15，b=13，则a= ．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= ．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= ．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是m．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行千米．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=1715．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=1516．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．16918．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．619．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．4823．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．31．已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：；（2）错误的原因为；（3）本题正确的解题过程：《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）参考答案与试题解析一、填空题1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为13 ，斜边上的高为．【考点】勾股定理．【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．【解答】解：由勾股定理可得：AB2=52+122，则AB=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×CD，可得：斜边的高CD=．故答案为：13，．【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为5或．【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．【解答】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；②长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；综上，第三边的长为：5或．故答案为：5或．【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为12 cm2．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．【解答】解：如图，作底边BC上的高AD，则AB=5cm，BD=×6=3cm，∴AD===4，∴三角形的面积为：×6×4=12cm2．【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为30 ．【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．【解答】解：如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．根据勾股定理得到：A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．即A、B、C、D的面积之和为M的面积．∵M的面积是82=64，∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，∴11+10+13+x=64，∴x=30．故答案为：30．【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行10 米．【考点】勾股定理的应用．【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E，连接BD．在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．根据勾股定理得BD=10米．【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD 的面积是 5 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，∴∠EAB=∠CBF，在△AEB和△BFC中，，∴△AEB≌△BFC（AAS），∴BE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理得：AB==，即正方形ABCD的面积是5，故答案为：5．【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为30 ．【考点】勾股定理．【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．【解答】解：如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC===5．在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC===13．所以，图中阴影部分的三角形的周长为：AB+BC+AC=12+5+13=30．故答案是：30．【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b= 8 ；若a=12，b=5，则C= 13 ；若c=15，b=13，则a= 2．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，a=6，c=10，则b===8；在Rt△ABC中，a=12，b=5，则c===13；在Rt△ABC中，c=15，b=13，则a===2．故答案为8，13，2．【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD= 12 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【专题】几何图形问题．【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，∴BD=BC=×10=5，∴AD===12．故答案为：12．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2= 100或28 ．【考点】勾股定理．【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：62+82=a2，所以a2=100；（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：62+x2=82，所以a2=28．故答案为：100或28．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为16 ．【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，∴BD===8，∴BC=2BD=16．故答案为：16．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是170 m．【考点】勾股定理的应用．【专题】计算题．【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵正南方向和正东方向成90°，∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为=170（米）．故答案为：170．【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行540 千米．【考点】勾股定理的应用．【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．【解答】解：设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，∴BC=3000米，∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），故答案为：540．【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．二、选择题14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5C．D．a=15，b=8，c=17【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40 B．a=5，b=12，c=13C．a：b：c=3：4：5 D．a=11，b=12，c=15【考点】勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．【解答】解：A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．故选D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（）A．14 B．4 C．14或4 D．以上都不对【考点】勾股定理．【专题】分类讨论．【分析】分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．【解答】解：（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC=BD+DC=9+5=14；（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，则BD=5，在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，则CD=9，故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（）A．13 B．14 C．25 D．169【考点】勾股定理．【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．【解答】解：根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，四个三角形的面积=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，联立解得：（a+b）2=13+12=25．故选C．【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和a，b的关系．18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x 的值，进而得出DE的长．【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，设DE=x，则AE=8﹣x，∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，∴∠ABE=∠C′DE，在Rt△ABE与Rt△C′DE中，，∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），∴BE=DE=x，在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，∴42+（8﹣x）2=x2，解得：x=5，∴DE的长为5．故选C．【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（）A．50cm B．100cm C．140cm D．80cm【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】首先根据题意知：它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．【解答】解：由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，AB===100cm．故选B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（）A．20cm B．50cm C．40cm D．45cm【考点】勾股定理的应用．【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．【解答】解：如图，AC为圆桶底面直径，∴AC=24cm，CB=32cm，∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，∴AB==40cm．故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．故选C．【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是11cm≤a≤12cm ．【考点】勾股定理的应用．【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，如图所示：此时，AB===13cm，故a=24﹣13=11cm．所以a的取值范围是：11cm≤a≤12cm．故答案是：11cm≤a≤12cm．【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（）A．96 B．49 C．24 D．48【考点】勾股定理．【专题】方程思想．【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．【解答】解：直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，设一直角边为x，则另一边14﹣x，根据勾股定理可知：x2+（14﹣x）2=100，解得x=6或8，所以面积为6×8÷2=24．故选C．【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．23．有下面的判断：①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，需要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：①c不一定是斜边，故错误；②正确；③正确；④若△ABC是直角三角形，c不是斜边，则（a+b）（a﹣b）≠c2，故错误．共2个正确．故选C．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．三、解答题：24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．【考点】勾股定理．【分析】直接利用勾股定理得出a的值．【解答】解：∵∠C=90°，c=25，b=15，∴a==20．【点评】此题主要考查了勾股定理，正确应用勾股定理是解题关键．25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意画出示意图，然后根据勾股定理计算出CB的长．【解答】解：过C作CA⊥BA，由题意得：=20（米），答：此时甲、乙两同学相距20米．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是画出示意图，掌握勾股定理．26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？【考点】勾股定理的应用．【专题】数形结合．【分析】如（解答）图，AB为梯子长，AC为底端离建筑物的长9m，BC为顶端离地面的长12m；根据勾股定理即可求得．【解答】：解：如图：∵AC=9m，BC=12m，∠C=90°∴AB==15m∴梯子的长度为15米．【点评】此题考查了勾股定理的应用．解题时要注意数形结合思想的应用，关键是从实际问题中整理出数学问题．27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】根据勾股定理可求出AC的长，根据勾股定理的逆定理可求出∠ACB=90°，可求出△ACB的面积，减去△ACD的面积，可求出四边形ABCD的面积．【解答】解：如图，连接AC．∵CD=6cm，AD=8cm，∠ADC=90°，∴AC==10（cm）．∵AB=26cm，BC=24cm，102+242=262．即AC2+BC2=AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB=90°．∴四边形ABCD的面积=S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96（cm2）．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，关键判断出直角三角形从而可求出面积．28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？【考点】勾股定理的应用．【专题】应用题．【分析】由题意可知滑杆AB与AC、CB正好构成直角三角形，故可用勾股定理进行计算．【解答】解：设AE的长为x米，依题意得CE=AC﹣x．∵AB=DE=2.5，BC=1.5，∠C=90°，∴AC===2∵BD=0.5，∴在Rt△ECD中，CE====1.5．∴2﹣x=1.5，x=0.5．即AE=0.5．答：滑杆顶端A下滑0.5米．【点评】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】首先由折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，即可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，然后过点G作GE⊥BD于E，即可得AG=EG，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中利用勾股定理，即可求得AG的长．【解答】解：过点G作GE⊥BD于E，根据题意可得：∠GDA=∠GDB，AD=ED，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=3，∴AG=EG，ED=3，∵AB=4，BC=3，∠A=90°，∴BD=5，设AG=x，则GE=x，BE=BD﹣DE=5﹣3=2，BG=AB﹣AG=4﹣x，在Rt△BEG中，EG2+BE2=BG2，即：x2+4=（4﹣x）2，解得：x=，故AG=．【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．（1）求BE的长；（2）求CF的长．【考点】翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）根据矩形的性质得到AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，由折叠的性质得到AE=AD=BC=5，根据勾股定理即可得到结果；（2）由（1）知BE=3，于是得到CE=BC﹣BE=2，根据折叠的性质得到EF=DF=4﹣CF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）长方形ABCD中，∵AD=BC=5，∠D=∠B=∠C=90°，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴AE=AD=BC=5，∴BE===3；（2）由（1）知BE=3，∴CE=BC﹣BE=2，∵△AEF是△ADF沿折痕AF折叠得到的，∴EF=DF=4﹣CF，∵EF2=CE2+CF2，∴（4﹣CF）2=22+CF2，解得：CF=．【点评】本题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理、全等三角形、方程思想等知识，关键是熟练掌握勾股定理，找准对应边．31．（2011•大田县校级模拟）已知：a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②∴c2=a2+b2．③∴△ABC是直角三角形．问：（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号：③；（2）错误的原因为除式可能为0 ；（3）本题正确的解题过程：【考点】勾股定理的逆定理．【专题】推理填空题．【分析】（1）（2）两边都除以a2﹣b2，而a2﹣b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立．（3）根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论．【解答】解：（1）③（2）除式可能为零；（3）∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2），∴a2﹣b2=0或c2=a2+b2，当a2﹣b2=0时，a=b；当c2=a2+b2时，∠C=90°，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．故答案是③，除式可能为零．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用、分类讨论．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．。
2024学年八年级数学(北师大版)上学期期末复习：历年真题分类(勾股定理的应用)汇编(附答案)
2024学年八年级数学（北师大版）上学期期末复习：历年真题分类（勾股定理的应用）汇编求梯子滑落高度1．【河南省郑州市金水区一八初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】图中的两个滑块A，B由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A距O点20厘米，滑块B距O点15厘米．问：当滑块A向下滑13厘米时，滑块B滑动了厘米．2．【辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在池塘的正中央有一根芦苇AD，高出水面部分CD为1尺，如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部D恰好碰到岸边的点B，则水深和芦苇长各多少尺?若设这根芦苇的长度为x尺，根据题意可列方程为．3．【湖北省咸宁市咸安区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一梯子AB斜靠在竖直AO ，若梯子的顶端沿墙下滑1m，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动1m，的墙AO上，测得5m梯子到CD的位置，则梯子的长度为m．4．【河南省驻马店市上蔡县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一架25m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上．(1)若梯子底端B距墙角7m，求梯子的顶端A距地面多高；(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端A下滑4m至点A'，那么梯子的底端B向外移至点B'，求BB'的长．求旗杆高度5．【河南省开封市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（）A．14m B．15m C．16m D．17m6．【安徽省黄山市2022—2023学年八年级下学期期末数学试题】某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．则风筝的垂直高度CE=米．7．【湖北省十堰市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O离地面的距离为2.4m，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m．试求出秋千荡出的水平距离BC的长．8．【黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若1n=米，求旗杆AB的长．m=米，5求大树折断前的高度9．【山东省东营市广饶县实验中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x尺，则可列方程为（）A ．()222920x x -=-B ．()222910x x -=- C ．()222920x x +=- D ．()222910x x +=- 10．【四川省自贡市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米．11．【辽宁省大连市庄河市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x 尺，则根据题意列方程为： ．12．【安徽省合肥市蜀山区2022-2023学年下学期八年级期末数学试题】如图，立在地上的旗杆AB ，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B 点 10米处的一点C ，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB 的高度为 米.解决水杯中筷子问题13．【河北省邢台市威县第三中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，钓鱼竿AB 的长为6m ，露在水面上的鱼线BC 长为2m ．钓鱼者想看鱼钩上的情况，把钓鱼竿AB 转到AB '的位置，此时露在水面上的鱼线B C ''长为，则CC '的长为（ ）AB ．CD ．14．【山东省临沂市费县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，有一个水池，水面是一边长为6尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度．15．【吉林省吉林市丰满区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题．有一个水池，水面是一个边长为10尺（10AB =尺）的正方形，在水池正中央有一根芦苇(点P 是AB 的中点)，它高出水面1尺(1MP =尺)． 如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面(MN BN =)． 水的深度PN 与这根芦苇MN 的长度分别是多少？16．【广东省惠州市第五中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．水的深度与这根芦苇的长度分别是多少尺？（丈、尺是长度单位，1丈10=尺，11m 3=尺）．解决航海问题17．【北京市怀柔区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，在我军某次海上演习中，两艘航母护卫舰从同一港口O 同时出发，1号舰沿东偏南60︒方向以9节（1节=1海里/小时）的速度航行，2号舰沿南偏西60 方向以12节的速度航行，离开港口2小时后它们分别到达A，B两点，此时两舰的距离是（）A．9海里B．12海里C．15海里D．30海里18．【云南省昆明市嵩明县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，已知A，B两艘船同时从港口O出发，船A以40km/h的速度向东航行，船B以30km/h的速度向北航行，它们离开港口1h 后相距多远？19．【吉林省长春市长春净月高新技术产业开发区2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】轮船A以16海里/时的速度离开港口O向东北方向航行，轮船B在同时同地以12海里/时的速度向西北、两船离开港口O一个半小时后的距离．方向航行．试求A B20．【河南省南阳市卧龙区第十二中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】轮船A B、同时从港口O出发，若轮船A以8海里/时的速度向西南方向航行，轮船B以10海里/时的速度向东南方向航行，求A B、两船离开港口O一个半小时后的距离（结果保留根号）．求河的宽度21．【广东省中山市2022—2023学年八年级下学期数学期末数学试题】如图，A ，C 之间隔有一湖，在与AC 方向成90︒角的CB 方向上的点B 处测得500m AB =，400m BC =，则AC 的长为（ ）A ．300mB ．400mC ．500mD ．600m22．【河北省保定市雄县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，湖的两岸有A B ，两点，在与AB 成直角的BC 方向上的点C 处测得50AC =米，30BC =米，则A B ，两点间的距离为（ ）A ．40米B ．30米C ．50米D ．23．【浙江省台州市黄岩区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，池塘边有两点A ，B ，点C 是与BA 方向成直角的AC 方向上一点，测得18m,30m AC BC ==．求A ，B 两点间的距离．24．【吉林省白山市浑江区白山市浑江区四校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一块边BE 米．由于居住在A 长为40米的正方形绿地ABCD，如图所示，在绿地旁边E处有健身器材，9处的居民去健身践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走■米，踏之何忍”．请你计算后帮小明在标牌的■处填上适当的数．求最短路径问题25．【山东省德州市夏津县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】现有一个圆柱体水晶杯（容器厚度忽略不计），其底面圆的周长为16cm，高为15cm，在杯子内壁离容器底部4.5cm的点B处有一滴蜂蜜，与蜂蜜相对，此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离容器上沿4.5cm的点A处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为（）A．17cm B．10cm C．D．16cm26．【广西壮族自治区玉林市兴业县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离（杯壁厚度不计）为（ ）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm27．【河南省周口市郸城县第二实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，圆柱的底面半径为1cmπ，圆柱高AB为1cm，BC是底面直径，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路线长cm．28．【山西省吕梁市中阳县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】攀岩是一项在天然岩壁或人工岩壁上进行的向上攀爬的运动项目．如图，攀岩墙近似一个长方体的两个侧面，小天根据学过的数学知识准确地判断出从点A攀爬到点B的最短路径为米．29．【云南省红河哈尼族彝族自治州红河县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】已知长方体的长、宽、高分别为6，3，5，一只蚂蚁从A处出发到P处寻觅到食物的最短路径为（）A．14B．C．10D30．【河南省商丘市虞城县部分学校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】将一根24cm长的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h不可以是（）A ．7B ．15C ．16D ．1731．【天津市西青区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，从电线杆离地8m 的A 处向地面B 处拉一条长17m 的缆绳，则B 处到电线杆底部C 处的距离为（ ）A B ．25m C ．15m D ．9m32．【广东省深圳市龙岗区2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题】勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具也是数形结合的组带之一，如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度1BE =m ，将它往前推6m 至C 处时（即水平距离6CD =m ），踏板离地的垂直高度4CF =m ，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．152mB ．92mC ．6mD ．212m 33．【河南省郑州市金水区实验中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一大楼的外墙面ADEF 与地面ABCD 垂直，点P 在墙面上，若10PA AB ==米，点P 到AD 的距离是8米，有一只蚂蚁要从点P 爬到点B ，它的最短行程是（ ）米．A ．20B ．C ．24D ．34．【四川省泸州市江阳区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题】如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度为（ ）A ．3尺B ．3.2尺C ．3.6尺D ．4尺35．【新疆维吾尔自治区喀什地区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，动点E 在矩形的边AB 上运动，连接DE ，作点A 关于DE 的对称点P ，连接BP ，则BP 的最小值为 ．36．【四川省绵阳市江油市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，圆柱的底面半径为6cm π，高为8cm ，蚂蚁在圆柱侧面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是 cm ．37．【重庆市南岸区重庆南开（融侨）中学校2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一个长方体盒子，其中9AB =，3BC =，M 为AB 上靠近A 的三等分点，在大长方体盒子上有一个小长方体盒子，6EC =，1CG =，4CF =，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点M 爬行到N 点，它爬行的最短路程为 ．38．【江苏省镇江地区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为米．39．【河南省开封市通许县丽星中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】某条高速公路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C 处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．(1)求AB的长．(2)这辆大巴车超速了吗？40．【辽宁省葫芦岛市建昌县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一艘轮船航行到B 处时，测得小岛A在船的北偏东60°的方向上，轮船从B处继续向正东方向航行100海里到达C处时，测得小岛A在船的北偏东30°的方向上．在小岛A处周围80海里范围内均有暗礁，小船继续向正东方向航行是否有触礁危险？请说明理由．41．【山东省聊城市莘县2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】燕塔广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级的王明和孙亮两位同学在学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：）①测得BD的长度为8米；（注：BD CE②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17米；③牵线放风筝的王明身高1.6米；(1)求风筝的垂直高度CE．(2)若王明同学想让风筝沿CD方向下降9米，则他应该往回收线多少米？42．【海南省海口市龙华区海口中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为100cm，宽为50cm的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于场地宽AD，木块从正面看是一个边长为20cm的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过．．．的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接AC．(2)线段AC的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．答案解析求梯子滑落高度1．【河南省郑州市金水区一八初级中学2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】图中的两个滑块A ，B 由一个连杆连接，分别可以在垂直和水平的滑道上滑动．开始时，滑块A 距O 点20厘米，滑块B 距O 点15厘米．问：当滑块A 向下滑13厘米时，滑块B 滑动了 厘米．【答案】9【详细分析】根据勾股定理求出AB 的长，再求出下滑后的OA ，利用勾股定理求出下滑后的OB ，继而求出滑块B 滑动的距离．【答案详解】解：依题意得：90AOB ∠=︒， 设滑动后点A 、B 的对应位置是A B ''、，由勾股定理得，25AB ==(厘米)， 当滑块A 向下滑13厘米时，20137OA '=-=(厘米)，∴24OB '==(厘米)，∴滑块B 滑动的距离为：24159OB OB '-=-=(厘米)，故答案为：9．【名师点评】本题考查的是勾股定理的应用，善于观察题目的信息，灵活运用勾股定理是解题的关键．2．【辽宁省大连市甘井子区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在池塘的正中央有一根芦苇AD ，高出水面部分CD 为1尺，如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部D 恰好碰到岸边的点B ，则水深和芦苇长各多少尺若设这根芦苇的长度为x 尺，根据题意可列方程为 ．【答案】()22215x x -+=【详细分析】在Rt ACB △中，用勾股定理求解即可． 【答案详解】解：设这根芦苇的长度为x 尺， 由题意得：AB x =尺，(1)AC x =-尺，∵水面是一个边长为10尺的正方形，芦苇在水池的正中央，∴5BC =尺，在Rt ACB △中，由勾股定理得：222AC BC AB +=， 即()22215x x -+=， 故答案为：()22215x x -+=．【名师点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．3．【湖北省咸宁市咸安区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，一梯子AB 斜靠在竖直的墙AO 上，测得5m AO =，若梯子的顶端沿墙下滑1m ，这时梯子的底端也沿水平方向向外滑动1m ，梯子到CD 的位置，则梯子的长度为 m ．【详细分析】设m BO x =，利用勾股定理用x 表示出AB 和CD 的长，进而求出x 的值，然后由勾股定理求出AB 的长度． 【答案详解】解：设m BO x =，由题意得：1m =AC ，1m BD =，5m AO =，在Rt AOB △中，根据勾股定理得：222225AB AO OB x =+=+， 在Rt COD 中，根据勾股定理得：()()22222511CD CO OD x =+=-++，∴()()22225511x x +=-++，解得：4x =，∴)m AB === ，即梯子AB ．．【名师点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解题的关键． 4．【河南省驻马店市上蔡县2022-2023学年八年级上学期期末数学试题】如图，一架25m 长的梯子AB斜靠在一竖直的墙上．(1)若梯子底端B 距墙角7m ，求梯子的顶端A 距地面多高；(2)在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑4m 至点A '，那么梯子的底端B 向外移至点B '，求BB '的长．【答案】(1)梯子的顶端A 距地面24m (2)8m【详细分析】（1）根据勾股定理222OA AB OB =-，即可求解； （2）先求出A O '，再根据勾股定理求出15m OB '=，即可求解． 【答案详解】（1）解：在Rt AOB △中，25m AB =，7m OB =， 根据勾股定得22222225757624OA AB OB =-=-==， 所以24m OA =．所以梯子的顶端A 距地面24m ． （2）解：()24420m A O =-='，在Rt A OB '' 中，根据勾股定理得222222515OB A B OA '=-'==''，所以15m OB '=， 所以()1578m BB =-='．【名师点评】本题主要考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．求旗杆高度5．【河南省开封市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m 处，发现此时绳子末端距离地面2m ，则旗杆的高度为 （滑轮上方的部分忽略不计）（ ）A ．14mB ．15mC ．16mD ．17m【答案】D【详细分析】根据题意画出示意图，设棋杆的高度为x ，可得m AC AD x ==，()2m AB x =-，8m BC =，在Rt ABC △中利用勾股定理可求出x ．【答案详解】解：设旗杆高度为x 米，则AC AD x ==，(2)m AB x =-， 在Rt ABC △中，由勾股定理得222AB BC AC +=即()22228x x -+= 解得：17x =∴旗杆的高度为17米．故选：D ．【名师点评】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．6．【安徽省黄山市2022—2023学年八年级下学期期末数学试题】某校八年级学生小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.7米．则风筝的垂直高度CE = 米．【答案】21.7【详细分析】利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度 【答案详解】解：在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =-=-=， 所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.721.7=+=+=CE CD DE 米， 故答案为21.7【名师点评】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．7．【湖北省十堰市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】同学们都玩过荡秋千吧？如图，已知秋千顶端O 离地面的距离为2.4m ，秋千静止时座位离地面的距离是0.4m ．当秋千荡到最高处，此时座位离地面的距离恰为0.8m ．试求出秋千荡出的水平距离BC 的长．【答案】秋千荡出的水平距离BC 的长为1.2m【详细分析】根据题意求出2m OB OA ==， 1.6m OC OD CD =-=，根据勾股定理求出 1.2m BC =即可．【答案详解】解：根据题意得： 2.4m OD =，0.4m AD =，0.8m BE =，∴2m OA OD AD =-=，0.8m CD BE ==， ∴2m OB OA ==， 1.6m OC OD CD =-=， ∵90OCB ∠=︒，∴()1.2m BC ===．答：秋千荡出的水平距离BC 的长为1.2m ．【名师点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，数形结合求出2m OB =，1.6m OC =，8．【黔东南州教学资源共建共享实验基地名校2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C 到旗杆底部B 的距离n ，利用所学知识就能求出旗杆的长，若1m =米，5n =米，求旗杆AB 的长．【答案】12米【详细分析】设旗杆的高为x 米，在Rt ABC △中，推出()22251x x +=+，可得12x =，由此解决问题.【答案详解】解：设AB x =米，因为90ABC ∠=︒，所以在Rt ABC △中， 根据勾股定理，得：()22251x x +=+， 解之，得：12x =， 所以，AB 的长为12米， 答：旗杆AB 的长为12米．【名师点评】本题考查直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程.求大树折断前的高度9．【山东省东营市广饶县实验中学2022-2023学年七年级上学期期末数学试题】《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断后垂直地面的竹子高度为x 尺，则可列方程为（ ）A ．()222920x x -=- B ．()222910x x -=- C ．()222920x x +=- D ．()222910x x +=-【答案】C【详细分析】根据题意画出图形，设折断处离地面的高度为x 尺，再利用勾股定理列出方程即可． 【答案详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x 尺，则()20AB x =-尺，9BC =尺，在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，即()222920x x +=-． 故选：C ．【名师点评】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．10．【四川省自贡市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】有一棵9米高的大树距离地面4米处折断．（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米． 【答案】3【详细分析】根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答． 【答案详解】解：在Rt ABC △中，AB 为斜边， 已知4AC =米，9AC AB +=米， 则222AB BC AC =+， 即()222944BC -=+， 解得：3BC =．故大树顶端触地点距大树的距离为3米． 故答案为：3．【名师点评】此题考查了直角三角形的性质及勾股定理的应用，要根据题意画出图形即可解答．11．【辽宁省大连市庄河市2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架，其中记载了一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？设折断处离地面x 尺，则根据题意列方程为： ．【答案】()222310x x +=-【详细分析】设折断处离地面x 尺，根据勾股定理建立方程即可求解． 【答案详解】解：如图，设折断处离地面x 尺， 根据题意可得：2223(10x)x +=-，．故答案为：2223(10x)x +=-【名师点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．12．【安徽省合肥市蜀山区2022-2023学年下学期八年级期末数学试题】如图，立在地上的旗杆AB ，有一根绳子从杆顶 A 垂下，绳碰到地面后还余 4米，把绳的着地端沿地面移动到离旗杆底部 B 点10米处的一点C ，恰好把绳子拉直， 则旗杆AB 的高度为 米.【答案】212【详细分析】由题可知，旗杆、绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【答案详解】由题意得：10BC =，4AC AB =+∵旗杆垂直于地面，∴旗杆，绳子与地面构成直角三角形，由题意列式为()222104AB AB +=+，解得212AB =． ∴旗杆的高为212米， 故答案为：212． 【名师点评】此题考查了利用勾股定理解决实际问题的能力．在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．解决水杯中筷子问题13．【河北省邢台市威县第三中学2022-2023学年八年级下学期期末数学试题】如图，钓鱼竿AB 的。
期末复习勾股定理-2020秋八年级北师大版数学上册作业课件
身体健康，学习进步！ 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。——罗曼·罗兰
你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 别说别人可怜，自己更可怜，自己修行又如何？自己又懂得人生多少？ 唯书籍不朽。——乔特 凡过于把幸运之事归功于自我的聪明和智谋的人多半是结局很不幸的。 唯书籍不朽。——乔特
第1章勾股定理-北师大版八年级数学上册期末单元练习(详解)
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。
——高斯第一章《勾股定理》期末复习练习卷（详解）一.选择题（每小题3分共36分）1. 如果3，a ，5是勾股数，则a 的值是（ ）A. 4B. √34C. 4或 √34D. 4或342. 如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A 所代表的正方形的边长为（ ）A. 64B. 16C. 8D. 43. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ）A ．3，4，5B ．√3，5，2√7C ．6，9，15D ．4，12，134. 已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、18D 、7或255. 如图，Rt △ABC 中，AC=10,BC=24，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为（ ）．A. 110B. 120C. 130D. 1406. 如图，在直角ABC ∆中，90=∠C ，3=AC ，4=AB ，则点C 到斜边AB 的距离是（ ）A. 7B.512C. 8D. 57.如图，△ABC 的顶点A ，B ，C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为（ ） A ．45B ． 85C ．165D ．2458. △ABC 的三条边分别为a ，b ，c ，下列条件不能判断△ABC 是直角三角形的是（ ） A. a 2+b 2=c 2B. a=5，b=12，c=13C. ∠A=∠B+∠CD. ∠A：∠B：∠C=3：4：59. 如图所示，△ABC 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，作BD ⊥AC 于点D ，则BD 的长为（ ）A. 3B. 32C. 410. 如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知AB=6,BC=5,CG=3,这只蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A. 14B. 10C. √106D. √13011. 如图，在RT△ABC 中，AB=AC, D ，E 是斜边上BC 上两点，且∠DAE=45°,在RT△ABC 外作△ABF≌△ACD，连接EF ，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE=3, DC=4，则36ABC S ∆=其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 412. 如图，点E 是BC 的中点，AB ⊥BC,DC ⊥BC,AE 平分∠BAD,下列结论中：①∠AED=90°；②∠ADE=∠CDE ；③AE=2BE ；④若AB=2CD ，则AD 2=BC 2+CD 2,其中正确的是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.二.填空题（每小题3分共12分）13. 如图，在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝9√2，AD ⊥BC 于D ，∠ACB ＝45°，则BC 的长为 ．14．如图，一只蚂蚁从长为3cm 、宽为2cm 、高为4cm 的长方体纸箱外壁的A 点沿纸箱爬到纸箱内壁的B 点，CB ＝ 1，那么它所行的最短路线长是 5√2 cm ．15.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为_________．16. 如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为______．三.解答题17. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？18．如图，在△ABC中，AB＝17cm，AC＝8cm，BC＝15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．（1）证明：△ABC是直角三角形；（2）求△AEB的面积．19. 如图，Rt△ABC，AC⊥CB,AC=15，AB=25,点D为斜边上动点。
北师大版八年级上册数学：勾股定理经典题目(含答案)
勾股定理经典题目一.填空题（共20小题）1.如图，C为线段BD上一动点，分别过从D作丄BD, ED丄BD,连接AC、EC,已知AB=5, DE=1, BD=8,设CD=x.请用含x的代数式表示AC+CE的长，根据上述方法，求岀厶2+4^（11） ? + 9 的最小值为________________ .2.如图，RtAACB中，ZC=90°, AC=5cnu BC=2cm，点P从B点出发以Is办的速度沿CB延长线运动，运动时间为/秒.以AP为斜边在其上方构造等腰宜角ZVIPD.当/=1秒时，则C£>= _____________________ c m,当D运动的路程为"⑷时，则P运动时间尸_____________ 秒.3・如图ZkABD和ZXACE是AABC外两个等腰直角三角形，ZBAD= ZCAE=9^ ,下列说法正确的是：_①CD=BE；②DC丄B£；（3）DE2+BC2 = 2BD2+EC2:④网平分ZDFE；⑤取BC 的中点M,连MA,则MA丄DE.4.如图，RtZ\ABC中，ZC=90° , AC=3・BC=4・分别以AB. AC. BC为边在AB的同侧作正方形ABEF、ACPQ. BCMN.四块阴影部分的而积分别为Si、S2、S3、S.则Si - S2+S3+S4等于_____________ ・25.如图，已知RtAABC 中.ZACB=90° , ZBAC=30° ,延长BC 至 D 使CD=BC,连接AD,且AD=4,点P为线段AC上一动点，连接BP・则2BP+AP的最小值为__________ ・6.如图，以AB为斜边的RtAABC的每条边为边作三个正方形，分别是正方形ABMN,正方形BCPQ,正方形ACEF,且边£尸恰好经过点M若S3=S4=5,则Si+S5= _____________ .（注：图中所示面积S表示相应封闭区域的而积，如G表示AABC的面积）7.如图，长方体的长为15厘米，宽为10厘米，髙为20厘米.点B到点C的距离是5厘米.一只小虫在长方体表而从A爬到B的最短路程是________,AC=4. BC=4^点D在AB上，将ZkACD沿CD折叠，点人落在点A1处，AiC与AB相交于点E,若AiD//BC f则A]D的长是 ____________9. 如图，在ZVIBC 中，ZA=90° , AB=2庇 以BC 为斜边作等腰RtABCD,连接AD,则线段AD 的长为 _______ ・10. 如图，在正方形网格中，AABC 的每一个顶点都在格点上，AB=5,点D 是AB 边上的动点（点D 不与点A ，B 重合），将线段AD 沿直线AC 翻折后得到对应线段A£h,将线段BD 沿直线BC 翻折后得到对 应线段B6,连接D\Di.则四边形DxABDi 的而积的最小值是 _____________ ・11. 七巧板被誉为“东方魔板”.小明利用七巧板（如图1）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形, 则该凸六边形（如图2）的周长是 _______ ・A12. 在8X8的格子纸上,IX 1小方格的顶点叫做格点.AABC的三个顶点都是格点（位置如图）.若一个格点P使得APBC与△用C的面积相等，就称P点为“好点”.那么在这张格子纸上共有_________ 个“好点”.13. 左理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即：如图1,在RtAABC 中，ZACB=90° ,若点D是斜边的中点，则CD=Zw,运用：如图2, △ABC 中，ZBAC=90° , AB=2, AC=3,点D 是 2BC 的中点，将AABD 沿AD 翻折得到/VIED 连接BE, CE, DE,则CE 的长为 ______________ ・14. 如图，厶48(7 中，ZAC5=90° , AC=8, BC=6,分别以AABC 的边 AB. BC 、CA 为一边向ZV1BC外作正方形ABDE. BCMN 、CAFG,连接EF 、ND 、则图中阴影部分的而积之和等于 _______________ ・15. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3,点E 为边CD 上一点，将AADE 沿AE 所在宜线翻折，得到ZUFE, 点F 恰好是BC 的中点，M 为AF 上一动点，作MN 丄AD 于M 则BM+AN 的最小值为 ___________・A16. 如图，长方形ABCD中AB=2, BC=4,正方形AEFG的边长为1・正方形AEFG绕点A旋转的过程中,线段CF的长的最小值为_______ •17・我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？ ”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的 髙为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处，则问题中 葛藤的最短长度是 _______ 尺.18.图①所示的正方体木块棱长为&•加，沿英相邻三个而的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表而从顶点A 爬行到顶点B 的最短距离为.19.图中所示是一条宽为1・5加的直角龙廊，现有一辆转动灵活的手推车，其矩形平板而ABCD 的宽AB 为若要想顺利推过（不可竖起来或侧翻）直角走廊，平板车的长AD 不能超过 _________cm.20•如图，由四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，连接小正方形的三个顶点，可得到△ABC,则厶ABC中BC边上的髙是_________二.解答题（共20小题）21・如图，'ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°, AC=BC=6, D在BC上且ZBAD=15° , E是线段AD上的一点，现以C£为直角边，C为直角顶点，在CE的下方作等腰直角△ECF,连接BF.（2）点E在线段AD上运动，当CE=5时，求BF的长：（3）如图2,连接DF,当E运动到使ZAC£=30°时，求△DEF的面积.22•问题背景：我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即：如图1,在RtAABC中，ZACB=90°, ZABC=30° 贝Ih AC=X AB・2（1）如图1,连接AB边上中线CF,试说明AACF为等边三角形：（2）如图2,在（1）的条件下，点D是边CB延长线上一点，连接AD,作等边△ADE,且点E在ZACB 的内部，连接BE, EF.试说明EF丄AB：（3）如图3,在（1）的条件下，若D为BC中点，连接AD,作等边△ADE,且点£在ZACB的内部，连接B£・已知AC=2.试求ZiBDE的而积・时从B 点出发，沿射线BC 向右匀速移动，已知点F 的移动速度是点E 移动速度的2倍，以为一边 在CB 的上方作等边△ EFG,设E 点移动距离为x (0<x<6)(1) AB= ________ : BC= ________ ・(2) 当3WxV6时，求AEG 与四边形ABCD 重叠部分而积y 与x 之间的关系式.(3) 如图2,当点F 到达C 点时，将等边AFFG 绕点E 逆时针旋转a° (0<a<180),宜线EF 分别与 直线CD 、直线AD 交于点M 、N.是否存在这样的ct,使△DMN 为等腰三角形？若存在，请直接写出此时线段DM 的长度：若不存在，请说明理由.(1) 如图 1,若 AB=6, ZDEC=90° ,求△DEC 的而积. (2) M 为DE 中点,当D E 分别为AB 、AC 的中点时，判CD, AM 的数量关系并说明理由.(3) 如图2, M 为QE 中点，当D, E 分别为AB, AC 上的动点时，判沱CD, AM 的数量关系并说明理 由・團123.如图 1,在四边形 ABCD 中，AD//BC. ZB=90° ,图3 ZDCB=30° , CD=2^ AD=3.点 E, F 同24. 已知AABC 是等边三角形，点D,E 分别为边AB, AC k 的点，且有AE=DB,连接DE, DC.ED备用團备用團25. (1)如图h 锐角AABC 中分别以AB. AC 为边向外作等腰AABE 和等腰△ACD,使AD=AC, ZBAE=ZCAD 、连接BD 、CE,试猜想BD 与CE 的大小关系，并说明理由.(2) 如图 2,四边形 ABCD 中，AB=lcm, BC=3cm. ZABC= ZACD= ZADC=45Q,求 BD 的长.甲同学受到第一问的启发构造了如图所示的一个和832)全等的三角形，将BD 进行转化再计算，请你 准确的叙述辅助线的作法，再计算.(3) 如图 3,四边形 ABCD 中，AB=BC, ZABC=60Q , ZADC=30° , AD=6, BD=10,求 CD 的 长度.26. 如图，矩形ABCD 中，AB=6, BC= 10,将矩形沿AC 折叠，使点B 与点E 重合，AD 与EC 相交于点 F.(1) 求证：AF=CF ；(2) 求ZV1EF 的而积.27. 在等腰△ABC 与等腰/VIDE 中，AB=AC, AD=AE, ZBAC=ZDAE,且点D 、E 、C三点在同一条直A 图1 AEMD@2线上，连接BD・（1）如图1,求证：△ADB9ZV1EC（2）如图2,当ZBAC=ZDAE=90°时，试猜想线段AD, BD, CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3） ___________________________________________________________________________ 如图3,当ZBAC=ZDAE=\20。
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北师大版八上数学期末复习《勾股定理》
一、选择题
1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）
A.7，12，13
B.30，40，50
C.5，9，12
D.3，4，6
2.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列
结论中不正确的是( )
A.如果∠A﹣∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形
B.如果a2=b﹣2c2，那么△ABC是直角三角形且∠C=90°
C.如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，那么△ABC是直角三角形
D.如果a2：b2：c2=9：16：25，那么△ABC是直角三角形
3.下列各组数中，能构成直角三角形的是( ）
A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，23
4.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( ）
A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=9：12：15 C．∠C=∠A﹣∠B D．b2﹣a2=c2
5.若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的值可能有
( )．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则
AE=（）
A.1
B.
C.
D.2
7.如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5,AD=3,
则BC的长为（）
A.5
B.6
C.8
D.10
8.如图,CB=1,且OA=OB,BC⊥OC,则点A在数轴上表示的实数是
( )
A. B.﹣ C.
D.﹣
9.已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为
（）
A.12
B.7＋
C.12或7+
D.以上都不对
10.勾股定理是“人类最伟大的十个科学发现之一”．我国对勾
股定理的证明是由汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽．下列图案中是“赵爽弦图”的是( )
11.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，分别以各边为直径作半圆，图中阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”，当AC=4，BC=2时，则阴影部分的面积为（）
A．4 B．4π C．8
π D．8
12.如图，盒内长、宽、高分别是6cm、3cm、2cm，盒内可放木棒最长的长度是（）
A．6cm B．7cm C．8cm
D．9cm
二、填空题
13.一个三角形的三边的比为5∶12∶13，它的周长为60cm，则
它的面积是．
14.小明同学要做一个直角三角形小铁架，他现有4根长度分别为4cm、6cm、8cm、10cm的铁棒，可用于制作成直角三角形铁架的三条铁棒分别是____________；
15.如图，轮船甲从港口O出发沿北偏西25°的方向航行8海里，同时轮船乙从港口O出发沿南偏西65°的方向航行15海里，这时两轮船相距海里．
16.若直角三角形的两小边为5、12，则第三边为．
17.如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长m，某钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′为m，则鱼竿转过的角度
是．
18.如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长
方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．
三、解答题
19.如图,已知一块四边形草地ABCD,其中∠A=45°,∠B=∠
D=90°,AB=20m,CD=10m,求这块草地的面积．
20.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD=16，CD=12，BD=9．
(1）求△ABC的周长．
(2）判断△ABC的形状并加以证明．
21.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点
C偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，该河流的宽度为多少？
22.操场上有一根竖直立在地面上的旗杆，绳子自然下垂到地
面还剩余2米，当把绳子拉开8米后，绳子刚好斜着拉直下端接触地面（如图①）
（1）请根据你的阅读理解，将题目的条件补充完整：如图
②，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8米，AB比AC长2米，求
AC的长.
根据（1）中的条件，求出旗杆的高度.
23.一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子底端距墙底6m．
（1）若梯子的底端水平向外滑动1m，梯子的顶端下滑多少米？
（2）如果梯子顶端向下滑动的距离等于底端向外滑动的距离，那么滑动的距离是多少米？
24.如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．（1）如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要 cm?
（2）如果从点A开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B，那么所用细线最短需要 cm．
参考答案1.B.
2.B
3.答案为：B.
4.答案为：B.
5.B．
6.D
7.C
8.D
9.答案为：C.
10.答案为：B.
11.A．
12.B.
13.答案为：120 cm2.
14.答案为：6cm、8cm、10cm.
15.答案为：17；
16.答案为：13.
17.答案为：15°．
18.答案为：8．
19.150m2．提示：延长BC，AD交于E．
20.解：
(1）∵CD是AB边上高，∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴AC===20，BC===15，
∵AB=AD+BD=25，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=25+20+15=60；
(2）△ABC是直角三角形，理由如下：202+152=252，
即AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形．
21.解：根据图中数据，
运用勾股定理求得：
AB===480m，
答：该河流的宽度为480m．
22.解：(1)补充条件：AB比BC大2. 设AC=x，则BC=x+2,在Rt△
ABC，∠ACB=90°.
∵AC2+BC2=AB2，∴x2+82=(x+2)2，解得x=15.答：旗杆高15米.
23.
24.。