高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力定律及其应用教案
2021版高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天4第四节万有引力与航天学案
第四节 万有引力与航天【基础梳理】提示：椭圆 一个焦点 面积 半长轴 公转周期 质量m 1和m 2的乘积 它们之间距离r 的二次方G m 1m 2r2 质量分布均匀GM RgR【自我诊断】1．判一判(1)所有物体之间都存在万有引力．( )(2)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心．( ) (3)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．( ) (4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关．( )(5)同步卫星可以定点在北京市的正上方．( )(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度．( ) 提示：(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)× (6)√ 2．做一做(1)近年来，人类发射了多枚火星探测器，对火星进行科学探究，为将来人类登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该探测器运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 是一个常数)( )A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝kT2提示：选D.由万有引力定律知G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，联立M ＝ρ·43πR 3 和r ＝R ，解得ρ＝3πGT 2，3πG为一常数，设为k ，故D 正确．(2)(2020·安徽安庆二模)2019年1月3日10时26分，嫦娥四号探测器成功着陆在月球背面南极艾特肯盆地的预选着陆区．存在“月球背面”是因为月球绕地球公转的同时又有自转，使得月球在绕地球公转的过程中始终以同一面朝向地球．根据所学物理知识，判断下列说法中正确的是( )A ．月球绕地球公转的周期等于地球自转的周期B ．月球绕地球公转的周期等于月球自转的周期C ．月球绕地球公转的线速度大于地球的第一宇宙速度D ．月球绕地球公转的角速度大于地球同步卫星绕地球运动的角速度提示：选B.由题意知，月球绕地球一周的过程中，其正面始终正对地球，据此可知，月球公转一周的时间内恰好自转一周，故形成人们始终看不到月球背面的原因是月球绕地球的公转周期与其自转周期相同，故A 错误，B 正确；根据万有引力提供向心力得线速度为v ＝GM r，地球的第一宇宙速度是绕地球做圆周运动的最大环绕速度，所以月球绕地球公转的线速度小于地球的第一宇宙速度，故C 错误；根据万有引力提供向心力得角速度为ω＝GM r 3，月球绕地球公转的半径大于地球同步卫星绕地球运动的半径，所以月球绕地球公转的角速度小于地球同步卫星绕地球运动的角速度，故D 错误．开普勒行星运动定律与万有引力定律[学生用书P78]【知识提炼】1．地球表面的重力与万有引力地面上的物体所受地球的吸引力产生两个效果，其中一个分力提供了物体绕地轴做圆周运动的向心力，另一个分力等于重力．(1)在两极，向心力等于零，重力等于万有引力；(2)除两极外，物体的重力都比万有引力小；(3)在赤道处，物体的万有引力分解为两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F ＝F 向＋mg ，所以mg ＝F －F 向＝GMm R 2－mRω2自.2．星体表面上的重力加速度(1)设在地球表面附近的重力加速度为g (不考虑地球自转)，由mg ＝GmM R 2，得g ＝GM R 2.(2)设在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′，由mg ′＝GMm （R ＋h ）2，得g ′＝GM（R ＋h ）2所以gg ′＝（R ＋h ）2R 2.3．求天体质量和密度常用的估算方法使用方法 已知量 利用公式 表达式 备注质量的计算利用运行天体r、TGMmr2＝mr4π2T2M＝4π2r3GT2只能得到中心天体的质量r、v GMmr2＝mv2r M＝rv2Gv、TGMmr2＝mv2rT＝2πrvM＝v3T2πG利用天体表面重力加速度g、R mg＝GMmR2M＝gR2G密度的计算利用运行天体r、T、RGMmr2＝mr4π2T2M＝43ρπR3ρ＝3πr3GT2R3当r＝R时ρ＝3πGT2利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、Rmg＝GMmR2M＝43ρπR3ρ＝3g4πGR(2019·高考全国卷Ⅱ)2019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆，在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图象是( )[解析] 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图象是D.[答案] D【迁移题组】迁移1 开普勒定律在椭圆轨道上的应用1．(多选)(2017·高考全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中( )A ．从P 到M 所用的时间等于T 04B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：选CD.在海王星从P 到Q 的运动过程中，由于引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，根据动能定理可知，速率越来越小，C 正确；海王星从P 到M 的时间小于从M 到Q 的时间，因此从P 到M 的时间小于T 04，A 错误；由于海王星运动过程中只受到太阳引力作用，引力做功不改变海王星的机械能，即从Q 到N 的运动过程中海王星的机械能守恒，B 错误；从M 到Q 的运动过程中引力与速度的夹角大于90°，因此引力做负功，从Q 到N 的过程中，引力与速度的夹角小于90°，因此引力做正功，即海王星从M 到N 的过程中万有引力先做负功后做正功，D 正确．迁移2 星球附近重力加速度的求解2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的．电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样．若某黑洞的半径R 约为45 km ，质量M 和半径R 的关系满足M R ＝c 22G (其中c ＝3×108 m/s ，G 为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度大约为( )A ．108 m/s 2B ．1010 m/s 2C ．1012 m/s 2D ．1014 m/s 2解析：选C.黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g ，对黑洞表面的某一质量为m 的物体，有GMm R 2＝mg ，又有M R＝c 22G，联立解得g ＝c 22R，代入数据得重力加速度约为1012 m/s 2，故C 正确．迁移3 天体质量和密度的计算3．(2018·高考全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T ＝5.19 ms ，假设星体为质量均匀分布的球体，已知引力常量为 6.67×10－11 N ·m 2/kg 2.以周期T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A ．5×109 kg/m 3B ．5×1012 kg/m 3C ．5×1015 kg/m 3D ．5×1018 kg/m 3解析：选C.毫秒脉冲星稳定自转时由万有引力提供其表面物体做圆周运动的向心力，根据G Mm R 2＝m 4π2R T 2，M ＝ρ·43πR 3，得ρ＝3πGT2，代入数据解得ρ≈5×1015 kg/m 3，C 正确．计算中心天体的质量、密度时的两点区别(1)天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径．卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径．卫星的轨道半径大于或等于天体的半径．(2)自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间．自转周期与公转周期一般不相等．卫星运行规律及特点[学生用书P79]【知识提炼】1．卫星的轨道(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．(2)极地轨道：卫星的轨道过南北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道，且轨道平面一定通过地球的球心． 2．地球同步卫星的特点：六个“一定”3．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律4．解决天体圆周运动问题的两条思路(1)在中心天体表面或附近而又不考虑中心天体自转影响时，万有引力等于重力，即G MmR2＝mg ，整理得GM ＝gR 2，称为黄金代换．(g 表示天体表面的重力加速度)(2)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即G Mm r 2＝m v 2r ＝mrω2＝m 4π2rT2＝ma n . 【典题例析】(2019·高考全国卷Ⅲ)金星、地球和火星绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动，它们的向心加速度大小分别为a 金、a 地、a 火，它们沿轨道运行的速率分别为v 金、v 地、v 火．已知它们的轨道半径R 金<R地<R 火，由此可以判定()A ．a 金>a 地>a 火B ．a 火>a 地>a 金C ．v 地>v 火>v 金D ．v 火>v 地>v 金[解析] 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G Mm R 2＝ma ，解得a ＝G MR 2，结合题中R 金<R 地<R 火，可得a 金>a 地>a 火，A 正确，B 错误；同理，有G Mm R 2＝m v 2R，解得v ＝GM R，再结合题中R 金<R 地<R 火，可得v 金>v 地>v 火，C 、D 均错误．[答案] A【迁移题组】迁移1 卫星运行参量的比较1．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F 1，向心加速度为a 1，线速度为v 1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F 2，向心加速度为a 2，线速度为v 2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F 3，向心加速度为a 3，线速度为v 3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v ，假设三者质量相等，则( )A ．F 1＝F 2＞F 3B ．a 1＝a 2＝g ＞a 3C ．v 1＝v 2＝v ＞v 3D ．ω1＝ω3＜ω2解析：选D.地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v ＝ωr 和a ＝ω2r 可知，v 1＜v 3，a 1＜a 3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即G Mm r 2＝mω2r ＝mv 2r＝ma 可得v ＝GMr ，a ＝G Mr2，ω＝GM r 3，可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v 2＞v 3，a 2＞a 3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v 2＝v ，其向心加速度等于重力加速度，即a 2＝g ；所以v ＝v 2＞v 3＞v 1，g ＝a 2＞a 3＞a 1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F ＝ma ，所以F 2＞F 3＞F 1.由以上分析可见，A 、B 、C 错误，D 正确．迁移2 同步卫星的运行特点2．(多选)(2020·甘肃兰州理一诊)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是( )A ．它们均位于赤道正上方B ．它们的周期小于近地卫星的周期C ．它们离地面的高度都相同D ．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯解析：选AC.所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A 正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B 错误；根据G Mmr 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C 正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就可能实现全球通讯，故D 错误．迁移3 宇宙速度问题3．(2020·广西高三上学期跨市联合调研)天文兴趣小组查找资料得知：某天体的质量为地球质量的a 倍，其半径为地球半径的b 倍，表面无大气层，地球的第一宇宙速度为v .则该天体的第一宇宙速度为( )A ．vabB ．vb aC.abvD.b av解析：选A.设地球质量为M ，半径为r ，某天体的质量是地球质量的a 倍，其半径是地球半径的b 倍，卫星沿地球表面做匀速圆周运动的速度为v ，则由万有引力提供向心力得：G Mm r 2＝m v 2r，解得地球的第一宇宙速度v ＝GM r，同理得该天体的第一宇宙速度v 天体＝G ·aM br＝va b，A 正确．双星及多星模型[学生用书P80]【知识提炼】1．模型特征(1)多星系统的条件①各星彼此相距较近．②各星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)多星系统的结构类型双星模型三星模型结构图向心力由两星之间的万有引力提供，故两星的向心力大小相等运行所需向心力都由其余行星对其万有引力的合力提供运动参量两星转动方向相同，周期、角速度相等—【跟进题组】1．(多选)(2018·高考全国卷Ⅰ)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s 时，它们相距约400 km ，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看做是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星( )A ．质量之积B ．质量之和C ．速率之和D ．各自的自转角速度解析：选BC.由题意可知，合并前两中子星绕连线上某点每秒转动12圈，则两中子星的周期相等，且均为T ＝112 s ，两中子星的角速度均为ω＝2πT，两中子星构成了双星模型，假设两中子星的质量分别为m 1、m 2，轨道半径分别为r 1、r 2，速率分别为v 1、v 2，则有：G m 1m 2L 2＝m 1ω2r 1、Gm 1m 2L 2＝m 2ω2r 2，又r 1＋r 2＝L ＝400 km ，解得m 1＋m 2＝ω2L 3G，A 错误，B 正确；又由v 1＝ωr 1、v 2＝ωr 2，则v 1＋v 2＝ω(r 1＋r 2)＝ωL ，C 正确；由题中的条件不能求解两中子星自转的角速度，D 错误．2.(多选)2017年三名美国科学家获本年度诺贝尔物理学奖，用以表彰他们在引力波研究方面的贡献．人类首次发现了引力波来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．设两个黑洞A 、B 绕其连线上的O 点做匀速圆周运动，如图所示．黑洞A 的轨道半径大于黑洞B 的轨道半径，两个黑洞的总质量为M ，两个黑洞间的距离为L ，其运动周期为T ，则( )A ．黑洞A 的质量一定大于黑洞B 的质量B ．黑洞A 的线速度一定大于黑洞B 的线速度C ．两个黑洞间的距离L 一定，M 越大，T 越大D ．两个黑洞的总质量M 一定，L 越大，T 越大解析：选BD.设两个黑洞质量分别为m A 、m B ，轨道半径分别为R A 、R B ，角速度为ω，由万有引力定律可知：Gm A m BL 2＝m A ω2R A ，Gm A m BL 2＝m B ω2R B ，R A ＋R B ＝L ，得m A m B ＝R B R A，黑洞A 的质量小于黑洞B 的质量，A 错误；v A ＝ωR A ，v B ＝ωR B ，B 正确；又由M ＝m A ＋m B 得GM ＝ω2L 3，又因为T ＝2πω，故T ＝2πL 3GM，C 错误，D 正确．卫星的变轨问题[学生用书P81]【知识提炼】1．卫星发射及变轨过程概述人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示．(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A 点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B 点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．卫星变轨的实质两类变轨离心运动近心运动示意图变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小万有引力与向心力的大小关系GMmr2<mv2r GMmr2>mv2r变轨结果转变为椭圆轨道运动或在较大半径圆轨道上运动转变为椭圆轨道运动或在较小半径圆轨道上运动新圆轨道上运动的速率比原轨道的小，周期比原轨道的大新圆轨道上运动的速率比原轨道的大，周期比原轨道的小动能减小、势能增大、机械能增大动能增大、势能减小、机械能减小【典题例析】如图所示，1、3轨道均是卫星绕地球做圆周运动的轨道示意图，1轨道的半径为R，2轨道是一颗卫星绕地球做椭圆运动的轨道示意图，3轨道与2轨道相切于B点，O点为地球球心，AB为椭圆的长轴，三轨道和地心都在同一平面内．已知在1、2两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G，地球质量为M，三颗卫星的质量相等，则下列说法正确的是( )A．卫星在3轨道上的机械能小于在2轨道上的机械能B．若卫星在1轨道上的速率为v1，卫星在2轨道A点的速率为v A，则v1＜v AC．若卫星在1、3轨道上的加速度大小分别为a1、a3，卫星在2轨道A点的加速度大小为a A，则a A ＜a1＜a3D．若OA＝0.4R，则卫星在2轨道B点的速率v B＞5GM8R[解析] 2、3轨道在B点相切，卫星在3轨道相对于2轨道是做离心运动的，卫星在3轨道上的线速度大于在2轨道上B点的线速度，因卫星质量相同，所以卫星在3轨道上的机械能大于在2轨道上的机械能，A错误；以OA为半径作一个圆轨道4与2轨道相切于A点，则v4＜v A，又因v1＜v4，所以v1＜v A，B正确；加速度是万有引力产生的，只需要比较卫星到地心的高度即可，应是a A＞a1＞a3，C错误；由开普勒第三定律可知，2轨道的半长轴为R ，OB ＝1.6R ，3轨道上的线速度v 3＝5GM8R，又因v B ＜v 3，所以v B ＜5GM8R，D 错误． [答案] B【迁移题组】迁移1 卫星变轨过程中运动参量的变化分析1．(2020·江南十校联考)据外媒综合报道，英国著名物理学家史蒂芬·霍金在2018年3月14日去世，享年76岁．这位伟大的物理学家，向人类揭示了宇宙和黑洞的奥秘．高中生对黑洞的了解为光速是在星球(黑洞)上的第二宇宙速度．对于普通星球，如地球，光速仍远远大于其宇宙速度．现对发射地球同步卫星的过程进行分析，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P 点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q 点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ，则( )A ．卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/sB ．该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/sC ．在轨道Ⅰ上，卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/sD ．在轨道Ⅰ上，卫星在Q 点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s解析：选C.第一宇宙速度是卫星在近地轨道的线速度，根据G Mm r 2＝m v 2r可知v ＝GM r，故轨道半径越大，线速度越小，所以同步卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A 错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B 错误；P 点为近地轨道上的一点，但要从近地轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P 点加速，所以在轨道Ⅰ上卫星在P 点的速度大于第一宇宙速度，C 正确；在Q 点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q 点加速，即轨道Ⅱ上经过Q 点的速度大于轨道Ⅰ上经过Q 点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上经过Q 点时的速度小于第一宇宙速度，D 错误．迁移2 卫星的追及、相遇问题2．(2020·江西重点中学联考)小型登月器连接在航天站上，一起绕月球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球半径的3倍，某时刻，航天站使登月器减速分离，登月器沿如图所示的椭圆轨道登月，在月球表面逗留一段时间完成科考工作后，经快速启动仍沿原椭圆轨道返回，当第一次回到分离点时恰与航天站对接，登月器的快速启动时间可以忽略不计，整个过程中航天站保持原轨道绕月运行．已知月球表面的重力加速度为g，月球半径为R，不考虑月球自转的影响，则登月器可以在月球上停留的最短时间约为( )A．10π5Rg－6π3Rg B．6π3Rg－4π2RgC．10π5Rg－2πRg D．6π3Rg－2πRg解析：选B.当登月器和航天站在半径为3R的轨道上绕月球做匀速圆周运动时，应用牛顿第二定律有GMm r2＝m4π2rT2，r＝3R，则有T＝2πr3GM＝6π3R3GM.在月球表面的物体所受重力近似等于万有引力，可得GM＝gR2，所以T＝6π3Rg①，登月器在椭圆轨道上运行的周期用T1表示，航天站在圆轨道上运行的周期用T2表示，对登月器和航天站依据开普勒第三定律有T2（3R）3＝T21（2R）3＝T22（3R）3②，为使登月器仍沿原椭圆轨道回到分离点与航天站实现对接，登月器可以在月球表面停留的时间t应满足t＝nT2－T1(其中n＝1、2、3、…)③，联立①②③式得t＝6πn 3Rg－4π2Rg(其中n＝1、2、3、…)，当n＝1时，登月器可以在月球上停留的时间最短，即t min＝6π3Rg－4π2Rg.[学生用书P82]卫星运动规律分析【对点训练】1．(2019·高考天津卷)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”．已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的( )A．周期为4π2r3GM B．动能为GMm2RC．角速度为Gmr3D．向心加速度为GMR2解析：选A.嫦娥四号探测器环绕月球做匀速圆周运动时，万有引力提供其做匀速圆周运动的向心力，有GMmr2＝mω2r＝mv2r＝m4π2T2r＝ma，解得ω＝GMr3、v＝GMr、T＝4π2r3GM、a＝GMr2，则嫦娥四号探测器的动能为E k＝12mv2＝GMm2r，由以上可知A正确，B、C、D错误．2．(2019·高考江苏卷)1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r ，地球质量为M ，引力常量为G .则( )A ．v 1>v 2，v 1＝GM r B ．v 1>v 2，v 1>GM rC ．v 1<v 2，v 1＝GM rD ．v 1<v 2，v 1>GM r解析：选B.“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运行的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，引力势能增加，动能减小，因此v 1>v 2；又“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G Mm r 2<m v 21r，解得v 1>GM r，B 正确，A 、C 、D 错误．[学生用书P323(单独成册)] (建议用时：40分钟)一、单项选择题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)为了探测引力波，“天琴计划”预计发射地球卫星P ，其轨道半径约为地球半径的16倍；另一地球卫星Q 的轨道半径约为地球半径的4倍．P 与Q 的周期之比约为( )A ．2∶1B ．4∶1C ．8∶1D ．16∶1解析：选C.由开普勒第三定律得r 3T 2＝k ，故T PT Q＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R P R Q 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1643＝81，C 正确． 2．(2020·山东聊城一模)嫦娥四号探测器平稳落月，全国人民为之振奋．已知嫦娥四号探测器在地球上受到的重力为G 1，在月球上受到月球的引力为G 2，地球的半径为R 1，月球的半径为R 2，地球表面处的重力加速为g .则下列说法正确的是( )A ．月球表面处的重力加速度为G 1G 2gB ．月球与地球的质量之比为G 1R 22G 2R 21C ．若嫦娥四号在月球表面附近做匀速圆周运动，周期为2πR 2G 1gG 2D ．月球与地球的第一宇宙速度之比为G 1R 2G 2 R 1解析：选C.嫦娥四号绕月球表面飞行时受到月球的引力为G 2，由G 2＝mg ′，解得月球表面的重力加速度为：g ′＝G 2m ＝G 2G 1g ，故A 错误；嫦娥四号的质量为：m ＝G 1g ，根据万有引力等于重力得：G M 地mR 21＝mg ，解得地球质量为：M 地＝gR 21G ，月球对飞船的引力为：G 2＝G M 月m R 22，解得月球的质量为：M 月＝G 2R 22Gm＝G 2R 22g GG 1，则月球与地球质量之比为：M 月M 地＝G 2R 22G 1R 21，故B 错误；根据G 2＝m4π2T 2R 2得探测器沿月球表面轨道上做匀速圆周运动的周期为：T ＝2πR 2G 1gG 2，故C 正确；根据G MmR 2＝mg 得第一宇宙速度为：v ＝gR ，则月球与地球的第一宇宙速度之比为v 月v 地＝g ′R 2gR 1＝G 2R 2G 1R 1，故D 错误．3．(2017·高考全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：选C.组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMm R 2＝m v 2R，可得v ＝GM R，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 错误；又T ＝2πRv，则周期T 不变，A 错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 正确；向心加速度a ＝GM R 2，不变，D 错误．4.(2020·北京顺义二模)2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器成功在月球背面着陆，标志着我国探月航天工程达到了一个新高度．已知地球和月球的半径之比为4∶1，表面重力加速度之比约为6∶1.则地球和月球相比较，下列说法中最接近实际的是( )A ．地球的密度与月球的密度之比为3∶2B ．地球的质量与月球的质量之比为64∶1C ．地球的第一宇宙速度与月球的第一宇宙速度之比为8∶1D ．苹果在地球表面受到的引力与它在月球表面受到的引力之比为60∶1解析：选A.由G Mm R 2＝mg 得M ＝R 2g G ，则M 地M 月＝4212×61＝961，B 错误；由M ＝R 2g G 、V ＝43πR 3、ρ＝MV 得：ρ＝3g4πRG ，则ρ地ρ月＝61×14＝32，A 正确；由G Mm R 2＝m v 21R 和G Mm R 2＝mg 得v 1＝gR ，则v 1地v 1月＝61×41＝261，C 错误；由F ＝G Mm R 2得F 苹地F 苹月＝M 地M 月×R 2月R 2地＝961×1242＝61，D 错误．5．土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每16天绕土星一周，其公转轨道半径约为1.2×106 km ，已知引力常量G ＝6.67×10－11 N ·m 2/kg 2，则土星的质量约为( )A ．5×1017 kgB ．5×1026 kgC ．7×1033 kgD ．4×1036 kg解析：选B.卫星绕土星运动，土星的引力提供卫星做圆周运动的向心力，设土星质量为M ：GMm R 2＝m4π2T 2R ，解得M ＝4π2R 3GT2，代入数据计算可得：M ≈5×1026 kg ，故B 正确，A 、C 、D 错误． 6．(2020·江苏淮安质检)科学家预测银河系中所有行星的数量大概在2～3万亿之间．目前在银河系。
高考物理大一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天课件
题组阶梯突破 3.过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b” 的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕.“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运 动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径
的 1 ，该中心恒星与太阳的质量比约为
20
1
A. 10
B.1√
C.5
D.10
1.天体半径和卫星的轨道半径 通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径.卫星的轨道 半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径.卫星的轨道半径大于 等于天体的半径. 2.自转周期和公转周期 自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指 卫星绕中心天体做圆周运动一周所用的时间.自转周期与公转周期一般 不相等.
B.4倍
D.64倍
√
天体表面的重力加速度 g＝GRM2 ，又知 ρ＝MV ＝43πMR3，所以 M＝16π92gρ32G3，
故MM星 地＝(gg星 地)3＝64.
3
命题点二
天体质量和密度的估算
天体质量和密度常用的估算方法
使用方 已知 法量
M利r2m用公4T式π22
质
r、T GMr2m ＝vrm2 r
R－d A.R＋h
R－d2 B.R＋h2
R－dR＋h2 R－dR＋h
√C.
R3
D.
R2
方法感悟
万有引力的“两点理解”和“两个推论”
1.两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力.
2.地球上的物体受到的重力只是万有引力的一个分力.
3.万有引力的两个有用推论
(1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为
√A.P1的平均密度比P2的大
高三物理一轮复习第四章第4讲万有引力定律及其应用课件
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1．[估算天体质量] (2018·浙江 4 月选考)土星最大的卫星叫“泰坦”(如图)，每 16 天绕
土 则卫星 土星一 星绕周 的土， 质星其 量运公 约动转 为，轨(土B道星半的) 径引约力为提供1.2卫×星10做6 圆km周，运已动知的引向力心常力量，G设＝土6星.67质×量10为－11MN，·mG2RM/k2mg2，
约为( C )
代入可得 ρ≈5×1015 kg/m3，故 C 正确．
A．5×109 kg/m3
B．5×1012 kg/m3
C．5×1015 kg/m3
D．5×1018 kg/m3
12/9/2021
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3大“．工慧[天程眼体建”质设卫量捷星和报的密频向度传心的，加综“速合慧度计眼大算”]小卫为习星近a邀＝平游(2主T太π席)空2 在r．＝2“40Tπ1慧228r，眼年选”新于项年贺2A0词1正7中确年提；6到根月，据1科5G日技M在创r2m酒新＝泉、m重卫4Tπ22r
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(1)在赤道上：GMRm2 ＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：GMRm2 ＝mg2. (3)在一般位置：万有引力 GMRm2 等于重力 mg 与向心力 F 向的矢量和． 越靠近南北两极 g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引 力近似等于重力，即GRM2m＝mg.
12/9/2021
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2．[万有引力定律的应用] (2018·高考北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与 若“使想苹检果验落“地使的月力球”绕遵地循球同运样动的的规力律”，与在已“知使月苹地果距落离地约的为力地”球遵半循径同60样倍的的规情律况—下—，万需有
(江苏专用)2021版高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第4节万有引力与航天教案
第4节 万有引力与航天一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
2．开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。
3．开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T＝k 。
二、万有引力定律 1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引。
(2)引力的方向在它们的连线上。
(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。
2．表达式F ＝G m 1m 2r，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定。
3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用。
(2)对质量分布均匀的球体，r 为两球心间的距离。
三、宇宙速度 1．三种宇宙速度比较 宇宙速度 数值(km/s)意义第一宇宙速度 7.9 地球卫星最小发射速度(环绕速度)第二宇宙速度11.2物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度(脱离速度)第三宇宙速度 16.7物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度(逃逸速度)(1)由G Mm R 2＝m v 2R 得v ＝GMR。
(2)由mg ＝m v 2R得v ＝gR 。
1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)地面上的物体所受地球的引力方向一定指向地心。
(√)(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大。
(×) (3)开普勒第三定律a 3T2＝k 中k 值与中心天体质量无关。
(×) (4)第一宇宙速度与地球的质量有关。
(√) (5)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。
(×)2．(教科版必修2P 44T 2改编)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 C [太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A 错误；不同的行星对应不同的运行轨道，运行速度大小也不相同，B 错误；同一行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积才能相同，D 错误；由开普勒第三定律得r 3火T 2火＝r 3木T 2木，故T 2火T 2木＝r 3火r 3木，C 正确。
高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天学案(2021年整理)
2019年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天学案编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力与航天学案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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第4讲万有引力与航天板块一主干梳理·夯实基础【知识点1】开普勒行星运动定律Ⅰ1．定律内容开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间扫过相等的面积.开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即错误!＝k。
2．使用条件:适用于宇宙中一切环绕相同中心天体的运动，也适用于以行星为中心的卫星。
【知识点2】万有引力定律及应用Ⅱ1．内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的,引力的大小与两物体的质量的乘积成正比,与两物体间距离的二次方成反比。
2．公式：F＝G错误!,其中G为万有引力常量，G＝6.67×10－11N·m2/kg2，其值由卡文迪许通过扭秤实验测得。
公式中的r是两个物体之间的距离。
3．使用条件：适用于两个质点或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离.【知识点3】环绕速度Ⅱ1．第一宇宙速度又叫环绕速度，其数值为7。
9 km/s。
2．第一宇宙速度是人造卫星在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度。
3．第一宇宙速度是人造卫星的最小发射速度，也是人造卫星的最大环绕速度。
高考物理一轮复习 第四章 曲线运动 万有引力与航天学案
第四章曲线运动万有引力与航天[全国卷5年考情分析]匀速圆周运动、角速度、线速度、向心加速度(Ⅰ)离心现象(Ⅰ)第二宇宙速度和第三宇宙速度(Ⅰ)经典时空观和相对论时空观(Ⅰ)以上4个考点未曾独立命题第1节曲线运动__运动的合成与分解(1)速度发生变化的运动，一定是曲线运动。
(×) (2)做曲线运动的物体加速度一定是变化的。
(×) (3)做曲线运动的物体速度大小一定发生变化。
(×) (4)曲线运动可能是匀变速运动。
(√)(5)两个分运动的时间一定与它们的合运动的时间相等。
(√) (6)合运动的速度一定比分运动的速度大。
(×)(7)只要两个分运动为直线运动，合运动一定是直线运动。
(×)(8)分运动的位移、速度、加速度与合运动的位移、速度、加速度间满足平行四边形定则。
(√)1.物体做直线运动还是做曲线运动是由物体的速度与合外力是否在同一直线上决定的。
2．两个分运动的合运动是直线运动还是曲线运动要看两个分运动的合速度与合加速度是否在同一直线上。
3．解题中常用到的二级结论： (1)小船过河问题①船头的方向垂直于水流的方向，则小船过河所用时间最短，t ＝dv 船。
②若船速大于水速，则合速度垂直于河岸时，最短航程s ＝d 。
③若船速小于水速，则合速度不可能垂直于河岸，最短航程s ＝d ×v 水v 船。
(2)用绳或杆连接的两物体，沿绳或杆方向的分速度大小相等。
突破点(一) 物体做曲线运动的条件与轨迹分析1．运动轨迹的判断(1)若物体所受合力方向与速度方向在同一直线上，则物体做直线运动。
(2)若物体所受合力方向与速度方向不在同一直线上，则物体做曲线运动。
2．合力方向与速率变化的关系[题点全练]1．关于曲线运动，下列说法中正确的是( )A．做曲线运动的物体速度方向必定变化B．速度变化的运动必定是曲线运动C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动D．加速度变化的运动必定是曲线运动解析：选A 做曲线运动的物体速度大小不一定变化，但速度方向必定变化，A正确；速度变化的运动可能是速度方向在变，也可能是速度大小在变，不一定是曲线运动，B错误；加速度恒定的运动可能是匀变速直线运动，也可能是匀变速曲线运动，C错误；加速度变化的运动可能是非匀变速直线运动，也可能是非匀变速曲线运动，D错误。
高考物理一轮复习 第4章 曲线运动万有引力与航天 第四节 万有引力与航天课件
v、T
GMr2m＝mvr2
GMr2m＝
4mπ2r T2
利用天
M＝2vπ3TG
只能得到 中心天体 的质量
体表面M＝gGR2
______
速度
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[突破训练] 1．(多选)(2018·河北大名一中模拟)通过观测冥王星的卫星，可 以推算出冥王星的质量．假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动， 除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的 质量．这两个物理量可以是( ) A．卫星的速度和角速度 B．卫星的质量和轨道半径 C．卫星的质量和角速度 D．卫星的运行周期和轨道半径
C.万有引力提供近地卫星绕地球运动的向心力
M地m G R2
＝m4πT22R，且 ρ 地＝43πMR地3，由以上两式得 ρ 地＝G3Tπ2.而ρρ星 地＝MV星星MV地 地
＝ba，因而 ρ 星＝a3GπTb2，C 正确．
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2．(多选)(2018·福建泉州质检)我国于 2016 年发射“天宫二 号”，并计划于 2020 年发射“火星探测器”．设“天宫二号” 绕地球做圆周运动的半径为 r1、周期为 T1；“火星探测器”绕 火星做圆周运动的半径为 r2、周期为 T2，万有引力常量为 G. 根据题设条件，可得( ) A．关系式Tr1321＝Tr2322 B．地球与火星的平均密度之比为TT2122 C．地球与火星的质量之比为rr3132TT2212 D．“天宫二号” 和“火星探测器”的向心加速度大小之比为rr12TT2212
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用万有引力定律的两个推论计算万有引力 推论Ⅰ：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万 有引力的合力为零，即∑F＝0.
高三物理一轮复习 第4章 曲线运动 万有引力与航天 4
[填一填] 1．地球同步卫星的特点 (1)轨道平面一定：轨道平面和__赤__道__平面重合． (2)周期一定：与地球_自__转__周期相同，即T＝24 h＝86 400
s. (3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．
(4)高度一定：据G
Mm r2
＝m
4π2 T2
r得r＝
3
GMT2 4π2
＝4.24×104
这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 _1_6._7_ v≥16.7 km/s，物体将脱离太阳引力束缚在_宇__宙__空__间_
运行(逃逸速度)
[练一练] (2015·汕头高三上学期质检)a、b、c、d是在地球大气层 外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于 P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻 四颗卫星的运行方向及位置如图所示．下列说法中正确的是
(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动 的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地_球__的__半__径____，其 运行线速度约为7_.9____ km/s.
(3)两种卫星的轨道平面一定通过___地__球__的__球__心___．
3．三种宇宙速度比较
宇宙 数值 速度 (km/s)
意义
()
A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D．a、c存在在P点相撞的危险 【解析】 由GMr2m＝mvr2＝mrω2＝mr4Tπ22＝ma，可知B、 C、D错误，A正确．
【答案】 A
知识点三 相对论简介
km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．
(5)速率一定：运动速度v＝2πr/T＝3.07 km/s(为恒量)．
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【2019最新】精选高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第4讲万有引力定律及其应用教案知识点一开普勒行星运动定律1.开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个上.2.开普勒第二定律(面积定律)对每一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过的相等.3.开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的的三次方跟它的的二次方的比值都相等.答案：1.焦点 2.面积 3.半长轴公转周期知识点二万有引力定律1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的成正比，与它们之间距离r的成反比.2.公式：F＝G，其中G＝N·m2/kg2，叫万有引力常量.3.适用条件公式适用于间的相互作用.当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；r为两物体间的距离.答案：1.乘积二次方 2.6.67×10－11 3.质点知识点三经典时空观和相对论时空观1.经典时空观(1)物体的质量不随速度的变化而变化.(2)同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果.(3)适用条件：宏观物体、运动.2.相对论时空观同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果.答案：1.相同低速 2.不同(1)所有行星绕太阳运行的轨道都是椭圆.( )(2)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越近，运行速率越小.( )(3)德国天文学家开普勒在天文观测的基础上提出了行星运动的三条定律.( )(4)只要知道两个物体的质量和两个物体之间的距离，就可以由F ＝G计算物体间的万有引力.( )(5)地面上的物体所受地球的引力方向指向地心.( )(6)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大.( )答案：(1)√(3)√(5)√(6)考点开普勒行星运动定律的理解和应用1.行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算.2.开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动.3.开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同.考向1 对开普勒定律的理解[典例1] 火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A.太阳位于木星运行轨道的中心B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D.相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积[解析] 由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，A错误.火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B错误.根据开普勒第三定律(周期定律)可知，所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，C正确.对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等，D 错误.[答案] C考向2 开普勒定律的应用[典例2] (2016·新课标全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍.假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( )A.1 hB.4 hC.8 hD.16 h[解题指导] 画出由三颗同步卫星实现赤道上任意两点保持通讯的示意图，由几何关系计算轨道半径，根据开普勒第三定律计算周期.[解析] 设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示.由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r＝2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，＝，解得T≈4 h，选项B正确.[答案] B涉及椭圆轨道运动周期的问题，在中学物理中，常用开普勒第三定律求解.但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间，如绕太阳运行的两行星之间或绕地球运行的两卫星之间，而对于一颗行星和一颗卫星比较时不能用开普勒第三定律，开普勒第三定律不仅适用于天体沿椭圆轨道运动，也适用于天体沿圆轨道运动.考点万有引力的计算及应用1.万有引力定律适用于计算质点间的引力，具体有以下三种情况：(1)两物体间的距离远远大于物体本身的线度，两物体可视为质点，例如行星绕太阳的旋转.(2)两个均匀的球体间，其距离为两球心的距离.(3)一个均匀的球体与一个形状、大小均可忽略不计的物体即质点之间，其距离为质点到球心的距离.2.重力与万有引力的关系重力是因地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力的合力.(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg≈.(2)若考虑地球自转，在赤道上的物体有－FN＝F向，其中FN大小等于mg，对处于南北两极的物体则有＝mg.(3)在地球上空某一高度h处有＝mg′，可知随着高度的增加，重力逐渐减小，重力加速度也逐渐减小.考向1 万有引力的计算[典例3] (多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( )A.地球对一颗卫星的引力大小为GMm－R）2B.一颗卫星对地球的引力大小为GMmr2C.两颗卫星之间的引力大小为Gm23r2D.三颗卫星对地球引力的合力大小为3GMmr2[解析] 地球与卫星之间的距离应为地心与卫星之间的距离，选项A错误，B正确；两颗相邻卫星与地球球心的连线互成120°角，间距为r，代入数据得，两颗卫星之间的引力大小为，选项C正确；三颗卫星对地球引力的合力为零，选项D错误.[答案] BC考向2 万有引力与重力的关系[典例4] 假设地球可视为质量均匀分布的球体.已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为( )A. B.3πGT2g0g0－gC. D.3πGT2g0g [解析] 在地球两极处，G ＝mg0，在赤道处，G －mg ＝mR ，故R ＝，则ρ＝＝＝＝，B 正确.[答案] B考向3 万有引力的应用[典例5] 假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零.矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( )A.1－B.1＋C.2D.2[解题指导] 解答本题时应从以下两点进行分析：(1)地球表面重力加速度的计算方法：mg ＝G.(2)质量分布均匀的球体(模型)可以看成无数个球壳(模型)的组合.球体内部某一点的重力加速度，可以等效为以球心到该点为半径的球体表面的重力加速度.[解析] 在地球表面，由万有引力定律有G ＝mg ，其中M ＝πR3ρ；在矿井底部，由万有引力定律有G ＝mg0，其中M0＝πR ρ，R ＝R0＋d ，联立解得＝1－，A 正确.[答案] A1.g ＝G 和g′＝G 不仅适用于地球，也适用于其他星球.2.在赤道上随地球自转的物体所受的万有引力F 引分解的两个分力F 向和mg 刚好在一条直线上，则有F 引＝F 向＋mg.3.地球卫星的重力和万有引力地球卫星的重力和万有引力是同一个力，且万有引力全部用来提供向心力，故地球卫星处于完全失重状态.考点天体质量和密度的计算1.自力更生法利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.(1)由G＝mg得天体质量M＝.(2)天体密度ρ＝＝＝.(3)Gm＝gR2称为黄金代换公式.2.借助外援法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T.(1)由G＝m得天体的质量M＝.(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度.[典例6] (2017·广东珠海模拟)某火星探测实验室进行电子计算机模拟实验，结果为探测器在靠近火星表面轨道做圆周运动的周期是T，探测器着陆过程中，第一次接触火星表面后，以v0的初速度竖直反弹上升，经t时间再次返回火星表面，设这一过程只受火星的重力作用，且重力近似不变.已知引力常量为G，试求：(1)火星的密度；(2)火星的半径.[解析] (1)设火星的半径为R，火星的质量为M，探测器的质量为m，探测器绕火星表面飞行时，有G＝mR，①可得火星的质量M＝，②则根据密度的定义有ρ＝＝＝.(2)探测器在火星表面的万有引力近似等于重力，有G＝mg′，③根据题意有探测器在火星表面反弹后做竖直上抛运动，根据竖直上抛运动落回抛出点的时间t＝得火星表面的重力加速度g′＝，④将②④代入③得R＝.[答案] (1) (2)v0T22π2t[变式1] (多选)如图所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是( )A.轨道半径越大，周期越长B.轨道半径越大，速度越大C.若测得周期和张角，可得到星球的平均密度D.若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度答案：AC 解析：设星球质量为M，半径为R，飞行器绕星球运动的半径为r，周期为T.由G＝mr知T＝2π，r越大，T越大，选项A 正确；由G＝m知v＝，r越大，v越小，选项B错误；由G＝mr 和ρ＝得ρ＝，又＝sin ，所以ρ＝，所以选项C正确，D错误.1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量.2.区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径.考点宇宙中双星及多星模型1.双星模型(1)两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等.(2)两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的.(3)两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L.2.三星模型甲(1)如图甲所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动.这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡.运转的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma向.两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等. (2)如图乙所示，三颗行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动.每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供.三颗行星转动的方向相同，周期、角速度相等.乙考向1 双星模型的计算[典例7] 2012年7月，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示.此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中( )A.它们做圆周运动的万有引力保持不变B.它们做圆周运动的角速度不断变大C.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度也变大D.体积较大星体圆周运动轨迹半径变大，线速度变小[解析] 对双星M1、M2，设距离为L，圆周运动半径分别为r1、r2，它们做圆周运动的万有引力为F＝G，距离L不变，M1与M2之和不变，其乘积大小变化，则它们的万有引力发生变化，A错；依题意双星系统绕两者连线上某点O做匀速圆周运动，周期和角速度相同，由万有引力定律及牛顿第二定律：G＝M1ω2r1，G＝M2ω2r2，r1＋r2＝L，可解得：M1＋M2＝，M1r1＝M2r2，由此可知ω不变，质量比等于圆周运动半径的反比，故体积较大的星体因质量减小，其轨道半径将增大，线速度也增大，B、D错，C对.[答案] C考向2 三星模型的计算[典例8] (多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，则( )A.每颗星做圆周运动的线速度为GmRB.每颗星做圆周运动的角速度为3GmR3C.每颗星做圆周运动的周期为2πR33GmD.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关[解析] 每颗星受到的合力为F＝2Gsin 60°＝G，轨道半径为r＝R，由向心力公式F＝ma＝m＝mω2r＝m，解得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，显然加速度a与m有关，故A、B、C正确.[答案] ABC [变式2] (多选)美国科学家通过射电望远镜观察到宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统：三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行.设每个星体的质量均为M，忽略其他星体对它们的引力作用，则( )A.环绕星运动的角速度为5GMR3B.环绕星运动的角线度为5GM4RC.环绕星运动的周期为4πR35GMD.环绕星运动的周期为2πR3GM答案：BC 解析：环绕星做匀速圆周运动，其他两星对它的万有引力充当向心力，即G＋G＝M＝Mω2R＝M2R，解得v＝，ω＝，T＝4π，B、C正确，A、D错误.1.双星模型的重要结论(1)两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比＝.(2)双星的运动周期T＝2π.(3)双星的总质量m1＋m2＝.2.多星问题的解题技巧(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等.(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是多个星的万有引力的合力来提供.(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力中两天体的距离是不同的，不能误认为一样.1.[开普勒定律的应用]地球的公转轨道接近圆，但彗星的运行轨道则是一个非常扁的椭圆.天文学家哈雷曾经在1682年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转轨道半径的18倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现.哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星.哈雷彗星最近出现的时间是1986年，它下次将在哪一年飞近地球( )A.2042年B.2052年D.2072年C.2062年答案：C 解析：根据开普勒第三定律＝k，可得＝，且r慧＝18r 地，得T慧＝54T地，又T地＝1年，所以T慧＝54年≈76年，故选C.2.[天体质量的计算]观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图所示.已知引力常量为G，“嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，由此可推导月球的质量为( )B.A.2πD.lC.Gθt2答案：B 解析：“嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为v＝，角速度为ω＝；根据线速度和角速度的关系式：v＝ωr，可得其轨道半径r＝＝；“嫦娥三号”做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，＝mωv，解得M＝，故选B.3.[双星模型]双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动.研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化.若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为( )B.TA.TC.TD.T答案：B 解析：设两双星的质量分别为M1和M2，轨道半径分别为r1和r2.根据万有引力定律及牛顿第二定律可得＝M12r1＝M22r2，解得＝2(r1＋r2)，即＝2①，当两星的总质量变为原来的k倍，它们之间的距离变为原来的n倍时，有＝2②，联立①②两式可得T′＝T，故B项正确.4.[天体质量、密度的计算]若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v0水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L，已知月球半径为R，引力常量为G，则下列说法正确的是( )A.月球表面的重力加速度g月＝2hv20L2B.月球的质量m月＝2hR2v20GL2C.月球的第一宇宙速度v＝v02hRLD.月球的平均密度ρ＝3hv202πGL2答案：ABC 解析：根据平抛运动规律，有L＝v0t，h＝g月t2，联立解得g月＝，选项A正确；由mg月＝解得m月＝，选项B正确；由mg月＝m解得v＝，选项C正确；月球的平均密度ρ＝＝，选项D错误.5.[万有引力定律的应用]假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体.一矿井深度为 d.已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球表面的重力加速度为g.把质量为m的矿石从矿井底部提升至地面处的过程中，克服重力做的功为( )A.mgdB.mgdD.m2gdC.mgd答案：A 解析：在地表，mg＝G，g＝G＝πρGR，在井底，g′＝πρG(R－d)，可见g′＝g∝r＝R－d，提升过程克服重力做的功W＝d＝mgd.选A.6.[万有引力定律的应用]如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球中挖去一个直径为R的小球，放在相距为d＝2.5R 的地方，分别求下列两种情况下挖去部分与剩余部分的万有引力大小.(答案必须用分式表示，已知G、M、R)(1)从球的正中心挖去；(2)从球心右侧挖去.答案：(1) (2)103GM26 400R2解析：半径为R的匀质实心球的密度ρ＝，挖去的直径为R的球的质量m＝ρ·π3＝.(1)从球的中心挖去时F＝G－G＝＝.(2)从球心右侧挖去时F＝G－G＝－＝.。