§32 群的定义和简单性质

1 §3.2 群的定义和简单性质 3.2.1 定义 群 G是非空集合，是G上二元运算(按习惯将(a, b)记为ab)，eG。 代数结构称为一个群，如果满足以下条件： (1) 结合律 (a, b, cG)((ab)c = a(bc))； (2) (aG)( ea = a)； (3) (aG)(bG)(ba = e)。 一般称为乘法，e称为G的单位元。当和e是已知或不必指出时，简称G是一个群。为了简单，经常将ab简记为ab，由结合律，多个元素作乘法时也可以省略括号。

数的乘法和加法是群的最常见的例子。 按习惯用N, Z, Q, R和C分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数。加上标*表示数的集合中不为零的数，加上标表示集合中大于零的数，如： R* = {x | xR且x  0}，R = {x | xR且x0} 等。 3.2.2 例 、和是群。和是群。其中是是通常的数的乘法。 注意，Z, Q, R和C对通常的乘法不能构成群，因为对于0，不存在b，使得b0 = 1。 3.2.3 例 、、、是群。其中是+是通常的加法。 注意，N对通常的加法法不能构成群，因为对于1，不存在b，使得b1 = 0。 3.2.4 例 n0，在Z上定义等价关系 ~n 如下： x ~n y当且仅当n | xy 2

商集Z / ~n = {0,…, n1}简记为Z / n，在Z / n上定义运算如下：ab = ab，则是群。

群的乘法不一定是交换的。 3.2.5例 在R*×R上定义乘法如下：  = ， 则>是群。证明如下： (1) 任给, , R*×R，都有 () = () = = () = () = = 所以() = () (2) 任给R*×R，都有 <1, 0> = <1a, 1b0> = (3) 任给R*×R，存在R*×R，使得  = < a1a, a1b(a1b)> = <1, 0>

群的元素不一定是数或数的构造。实际上由置换(集合到自身的双射)构成的群更重要。 3.2.6 例 平面上由旋转和反射复合而成的变换称为正交变换，两个正交变换的复合还是正交变换。 设F是一个平面图形，令 DF = { | 是平面上使得F不变的正交变换}， ◦是复合运算，I是恒等变换，则是群，称为平面图形F 3

的对称群，它刻画了F的对称程度。当F是中心在原点的正n边形时，记DF为Dn，称为两面体群。 3.2.7 例 M是非空集合，S(M) = { | 是M置换}，◦是复合运算，IM是M上的恒等置换，则< S(M), ◦, IM>是群，称为M的全置换群。 当M = {1,…, n}时，称S(M)为(n个文字的)对称群，记为Sn，记IM为e。 Sn中的任何一个置换由<(1),…, (n)>唯一确定，所以每个都可以表示为：

1 2 … n (1) (2) … (n)

如恒等置换e就表示为： 1 2 … n 1 2 … n

任给Sn，因为是置换，所以(1),…, (n)恰好是1,…, n的一个全排列。反之，任给1,…, n的全排列a1,…, an，取置换，使得 任给1in，都有(i) = ai， 则Sn。 所以Sn的元素和1,…, n的全排列一一对应，因此| Sn | = n!。 任给a1,…, asM (s1)，取：MM，使得 (1) (a1) = a2 ,…, (as1) = as , (as) = a1； (2) 任给bai，都有(b) = b， 则称是一个s-轮换，记为(a1…as)。 令as1 = a1，则条件(1)可表示为：任给1is，(ai) = a i1。 可以用轮换将S3和S4的元素表示如下： S3 = {e, (12), (13), (23), (123), (132)} S4 = {e, (12), (13), (23), (14), (24), (34), (123), (124), (132), 4

(134), (142), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432)}

以下是一个由集合运算形成的群。 3.2.8 例 A是非空集合，P(A)是A的幂集，在P(A)定义运算△(对称差)如下： X△Y = (X \ Y)(Y \ X) (= (XY) \ (XY))， 则< P(A), △, >是群。证明如下： (1) 任给X, Y, Z P(A)，都有 (X△Y)△Z = (X△Y \ Z)(Z \ X△Y) = ((X \ Y)(Y \ X) \ Z)(Z \ ((XY) \ (XY))) = (X \ YZ)(Y \ XZ)(Z \ (XY)(ZXY)， X△(Y△Z) = (X \ Y△Z)(Y△Z \ X) = (X \ ((YZ) \ (YZ)))((Y \ Z)(Z \ Y) \ X) = (X \ YZ)(XYZ)(Y \ ZX)(Z \ YX)， 所以(X△Y)△Z = X△(Y△Z)。 (2) 任给X P(A)，都有 △X = ( \ X)(X \ ) = X。 (3) 任给X P(A)，存在X P(A)，使得 X△X = (X \ X)(X \ X) = 。

3.2.9 定义 有限群 是一个群，如果| G |(G的基数)有限，则称G是有限群，称| G |是G的阶。 对于有限群G = {a1,…, an}，可以用一张表将G的结构完全表示出来，这样的表称为G的乘法表，一般形式如下：

a1 … aj … an a1 a1a1 … a1aj … a1an 5

ai aia1 … aiaj … aian an ana1 … anaj … anan 3.2.10 例 和的乘法表如下： 0 1 2 3 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 0 1 1 2 3 4 5 0 2 2 3 0 1 2 2 3 4 5 0 1

3 3 0 1 2 3 3 4 5 0 1 2 4 4 5 0 1 2 3 5 5 0 1 2 3 4

3.2.11 例 S3的乘法表如下： e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (132) (123) (13) (23) (13) (13) (123) e (132) (23) (12) (23) (23) (132) (123) e (12) (13) (123) (123) (23) (12) (13) (132) e (132) (132) (13) (23) (12) e (123)

3.2.12 例 Kleen群K = {1, a, b, c}的乘法表如下： 1 a b c 6

1 1 a b c a a 1 c b b b c 1 a c c b a 1

3.2.13 例 四元数群H = {1, i, j, k}的乘法表如下： 1 i j k 1 i j k 1 1 i j k 1 i j k i i 1 k j i 1 k j j j k 1 i j k 1 i k k j i 1 k j i 1 1 1 i j k 1 I j k i i 1 k j i 1 k j j j k 1 i j k 1 i k k j i 1 k j i 1

2.1.14定义 交换群 是一个群，如果任给a, bG，都有ab = ba，则称是交换群，或称是Abel群。 例3.2.2、3.2.3、3.2.4和3.2.8中的群是交换的，例3.2.5、3.2.6、和3.2.7中的群一般不是交换的。 如果乘法表中(沿对角线)对称的两个元素相等，则称这张乘法表的对称的。乘法表中对称的两个元素分别是aiaj和ajai，所以一个有限群是交换的当且仅当它的乘法表是对称的。从乘法的对称性可知，例3.2.12中的Kleen群K是交换的，例3.2.13中的四元数群H不是交换的。 对于交换群，一般用(称为加法)表示二元运算，用0(称为零)表示单位元。使用这种表示，交换群的条件就是： (1) 任给a, b, cG，都有(ab)c = a(bc)；