基本群
基本群的计算范文
基本群的计算范文一、基本群的定义二、基本群的计算方法试探法：通过考察空间X中的具体回路，找到它们的同伦变形形式，以及能够将它们变形为单位元的证明。
试探法的核心是通过反证法来寻找错误，即假设一个回路可以通过同伦变形变为单位元，然后根据群的定义给出一个矛盾，从而推理出回路是不可同伦的。
化简法：通过将空间X分解为简单的拓扑空间，然后计算每个子空间的基本群，并通过产品空间的构造来得到整个空间X的基本群。
化简法的思想是将复杂的问题转化为简单的子问题来求解，然后再将这些子问题的解组合成原问题的解。
三、基本群的应用1.拓扑学：基本群是拓扑空间的基本不变量，可以帮助研究拓扑空间的结构和分类。
通过计算基本群，可以判断一个拓扑空间是否同伦等价，从而判定其拓扑性质。
2.脑科学：基本群的计算在脑科学中有重要意义。
通过将大脑的神经网络建模为拓扑空间，可以利用基本群的计算方法来研究神经元之间的连接性，从而揭示大脑功能的内在机制。
3.统计力学：基本群的计算在统计力学中用于研究相变和相变热力学性质。
基于相变系统的拓扑结构，可以通过计算基本群来预测相变的类型和临界指数等物理性质。
4.弦理论：基本群在弦理论中有广泛的应用。
在弦论中，拓扑空间的结构对于弦的物理性质起到重要作用。
通过计算基本群，可以研究弦在不同拓扑空间中的运动和相互作用。
综上所述，基本群的计算是代数学中重要的内容，它不仅在理论上有深厚的数学基础，而且在实际应用中也具有广泛的应用价值。
基本群的计算方法包括试探法和化简法，其中化简法更适用于复杂问题的求解。
基本群的应用涵盖了拓扑学、物理学、脑科学和弦理论等多个领域，为这些学科的研究和发展提供了重要的工具和思路。
拓扑学课程详
2）连续映射的定义、判定及常用构造方法，同胚映射。
3）乘积空间。
4） 商空间，Mobius带、射影平面等典型空间的定义及制作。
2、几个重要的拓扑性质 （约12学时）：
1）分离性（特别是Hausdorff性质）和可数性。
2）度量化，Tietze扩张定理、及Urysohn度量化定理的结论。
7）基本群应用的几个经典例子（代数基本定理的证明等）。
5、复叠空间（约6学时）：
1）复叠映射，复叠空间，提升唯一性定理，复叠空间的基本群。
2）同伦提升定理，映射提升定理。
3）复叠变换，正则复叠空间，万有复叠空间。
每周授课3学时，共48学时 (包括期中考试占用的学时)
平时成绩占20%，期中考试占20-30%，期末考试占50-60%。
参考书
9787115218865；
9787111175070；
教学大纲
1、学习掌握一般拓扑学基本知识，掌握在现代数学中广泛使用的拓扑语言。
2、学习掌握几何拓扑及代数拓扑入门知识，用不变性、不变量讨论空间的拓扑分类。
3、培养拓展几何、拓扑的直观，训练抽象思维及逻辑推理能力，提高综合数学素养。
1、拓扑空间与连续性 （约8学时）：
3）紧致性，紧致空间的性质。乘积空间与紧致性，商空间与紧致性。
4）列紧性，度量空间中紧致等价于列紧。
5）连通性，连通空间的性质，连通分支。
6）道路连通性，道路分支。
7）用拓扑性质判断空间的不同胚。
3、曲面（约5学时）：
1）闭曲面，紧致曲面。。曲面的欧拉示性数。
3）闭曲面及紧致带边曲面的分类定理结论，曲面类型的判别。
4、同伦与基本群（约12学时）：
点集拓扑拓扑不变量_概述说明以及解释
点集拓扑拓扑不变量概述说明以及解释1. 引言1.1 概述本篇文章旨在探讨点集拓扑和拓扑不变量的概念以及它们之间的关系。
点集拓扑是数学中一个重要的分支，它研究空间中点的位置和它们之间的相互关系。
与传统几何学关注形状和尺寸不同，点集拓扑着眼于空间中元素的可连接性和连续性。
同时，我们将介绍拓扑不变量作为一种衡量和描述点集拓扑特征的指标。
拓扑不变量是在进行空间变形或连续映射时保持不变的性质，因此具有在不同空间结构下进行比较和分析的能力。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。
除了引言部分外，第二部分将系统地介绍点集拓扑的基本概念，包括开集、闭集、邻域等内容，并解释什么是相容映射、彼此映射等定义。
随后我们将详细讨论拓扑不变量，解释其定义以及常见的重要性质。
第三部分将重点介绍点集拓扑在数学、物理学和工程领域中的应用。
我们将阐述不同领域内对点集拓扑的不同需求，并举例说明其中的应用，包括网络连接性、材料科学等。
在第四部分中，我们将进一步解释点集拓扑和拓扑不变量之间的关系。
首先，我们将探讨拓扑不变量在点集拓扑中的作用，以及其如何帮助我们理解和研究空间结构的特征。
然后，我们将介绍如何使用拓扑不变量来解释点集拓扑特征，通过具体案例分析来说明此方法的有效性。
最后，我们将以一个实例来进行网络连通性问题的研究，展示拓扑不变量在实际问题中的应用。
最后, 本文在第五部分中进行总结，并对点集拓扑和拓扑不变量未来发展方向进行展望。
1.3 目的本文旨在为读者提供一个全面而系统的关于点集拓扑和拓扑不变量的概述与说明。
通过阐明这些基本概念和技术，希望读者能够加深对该领域的理解，并对其在实际应用中有更广泛而深入地认识。
同时，对于那些对数学、物理学和工程学领域中点集拓扑的应用有兴趣的读者，本文也能为其提供一些有关研究方向和思路的启发。
2. 点集拓扑和拓扑不变量：2.1 点集拓扑的基本概念：点集拓扑是数学中研究集合上一种特殊结构的分支，它关注的是集合内元素之间的相互关系而不考虑元素具体的度量或形状。
基本群
平凡群在数学里，平凡群是指一个只包含单一元素e的群，其群运算只有e + e = e，单位元素平凡是e，且为阿贝尔群；这些结果都是平凡的，因此以此命名。
平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。
不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。
每一个群都包含着一个平凡群。
直观诠释：二维环面的情形二维环面上由p点出发的环路首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。
从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。
设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。
这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。
我们只探讨环路的同伦类。
二维环面的基本群由环路的同伦类组成。
a与b非同伦等价在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。
借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。
a、b两条环路的衔接顾名思义，基本群不只是一个集合，它带还有群结构：二元运算由环路的衔接给出，即先走完第一条环路，再走第二条环路，使得两段环路上的速率相同。
基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。
形式定义设为拓扑空间，为其中定点。
一条连续道路是一个连续映射，而一个以为基点的环路是一条满足的连续道路。
以下若不另外说明，则环路皆以为基点。
对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）使得•••则称两者同伦等价。
不难验证此关系确为等价关系。
因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。
现在定两条环路的衔接为：直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。
可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。
[黎曼几何]比较定理的应用（直径估计、基本群）
![[黎曼几何]比较定理的应用（直径估计、基本群）](https://img.taocdn.com/s3/m/2e61ce55326c1eb91a37f111f18583d049640f78.png)
LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISONTHEOREM1.Volume Growth of Geodesic BallsLet(M,g)be a complete Riemannian manifold with Ric≥0.According to Bishop-Gromov volume comparison theorem,Vol(B r(p))≤Vol(B0r)=ωm r m,whereωm is the volume of unit ball in R m with equality holds if and only if(M,g)is isometric with(R m,g0).A natural question is:what is the lower bound of the volume growth?Of course this question is reasonable only for non-compact Riemannian manifolds.Theorem1.1(Calabi-Yau).Let(M,g)be a complete non-compact Riemannian man-ifold with Ric≥0.Then there exists a positive constant c depending only on p and m so thatVol(B r(p))≥crfor any r>2.Proof.(This proof is due to Gromov.)Since M is complete and non-compact,for any p∈M there exists a ray,i.e.a geodesicγ:[0,∞)→M withγ(0)=p such that dist(p,γ(t))=t for all t>0.(See PSet3problem4for more details.) For any t>32,using the Bishop-Gromov volume comparison theorem,we getVol(B t+1(γ(t))) Vol(B t−1(γ(t)))≤ωm(t+1)mωm(t−1)m=(t+1)m(t−1)m.On the other hand,by triangle inequality,B1(p)⊂B t+1(γ(t))\B t−1(γ(t)).It followsVol(B1(p)) Vol(B t−1(γ(t)))≤Vol(B t+1(γ(t))\B t−1(γ(t)))Vol(B t−1(γ(t)))≤(t+1)m−(t−1)m(t−1)m,i.e.Vol(B t−1(γ(t)))≥Vol(B1(p))(t−1)m(t+1)m−(t−1)m≥C(m)Vol(B1(p))t,wehre C(m)is the infimum of the function1t(t−1)m(t+1)m−(t−1)mon[32,∞),which is positive.Now the theorem follows from the factB r(p)⊃B r+12−1(γ(r+12)).12LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISON THEOREM2.Cheng’s Maximal Diameter TheoremAs a second application of volume comparison theorem,we will proveTheorem2.1(S.Y.Cheng).Let(M,g)be a complete Riemanniian manifold withRic≥(n−1)k for some k>0,and diam(M,g)=π√k ,then M is isometric to thestandard sphere of radius1√k.Proof.(This proof is due to Shiohama)For simplicity we may assume k=1.By Bishop-Gromov volume comparison theorem,for any p∈M,Vol(Bπ/2(p)) Vol(M)=Vol(Bπ/2(p))Vol(Bπ(p))≥Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12.Now let p,q∈M so that dist(p,q)=π.The the above inequality impliesVol(Bπ/2(p))≥12Vol(M),Vol(Bπ/2(q))≥12Vol(M).Since Bπ/2(p)∩Bπ/2(q)=∅,we must haveVol(Bπ/2(p)) Vol(Bπ(p))=Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12,Vol(Bπ/2(q))Vol(Bπ(q))=Vol(B1π/2)Vol(B1π)=12.According to Bishop-Gromov comparison theorem,Bπ/2(p)and Bπ/2(q)are both iso-metric to half sphere.It follows that M is isometric to S m.3.Fundamental Group and Milnor’s ConjectureLet’s start with some abstract definitions in algebra.Let G be a group.G is said to befinitely generated if there exists afinite subsetΓ={g1,···,g N}of G so that any element in G can be represented as group multiplications of elements inΓ.Note that if the group identity element e is inΓ,we can always remove it.Now let’sfix a setΓof generators of G.The growth function of G with respect toΓis defined to be the number of group elements that can be represented as a product of at most k generators,i.e.NΓG (k)=#{g∈G|∃l≤k and g i1,···,g il∈Γs.t.g=g i1···g il}.We say that G is of(at most)polynomial growth if NΓG (k)≤ck n for some constant cdepending only on G,Γ,and similarly G is of(at least)exponential growth if NΓG (k)≥ce k.Note that ifΓ is anotherfinite set of generators,then there exists integers c1,c2 so that any element ofΓcan be represented via at most c1elements ofΓ ,and any element ofΓ can be represented via at most c2elements ofΓ.It follows thatNΓG (k)≥NΓG(c1k),NΓG(k)≥NΓG(c2k).So the conception of polynomial/exponential growth is independent of the choice of the generating set.LECTURE40:APPLICATIONS OF THE VOLUME COMPARISON THEOREM3Coming back to Riemannian manifolds.If(M,g)is a compact Riemannian man-ifold,and M its universal covering endowed with pull-back metric.Then the funda-mental groupπ1(M)acts isometrically on M as the group of deck transformations.If M is compact,the following results are well-known:•π1(M)isfinitely generated.•(Gromov)If K≥0,then the set of generates can be choose to be no more than c(m)for some constant c depending only on m.A similar results holds for manifolds with K≥−k2and diam(M,g)≤D.(The proof uses Toporogov comparison theorem.)•(Milnor)If Ric≥0,then NΓ(k)≤ck m;if K<0,then NΓ(k)≥ce k.(The proof uses volume comparison theorem.See the following theorem for thefirst part.)For non-compact Riemannian manifolds,the fundamental group might be not finitely generated in general.However,we haveTheorem3.1(Milnor).Let M be a complete Riemannian manifold with Ric≥0 and let G⊂π1(M)be anyfinitely generated subgroup.Then there exists a constant c depending only on M and the chosefinite generating setΓof G so that NΓ(k)≤ck m. Proof.LetΓbe afinite set of generators of G.Fix a point˜p∈ M and letl=max{dist(˜p,g i˜p)|g i∈Γ}.Then by triangle inequality,for any g=g i1···g ik∈Γk⊂G,dist(˜p,g˜p)≤kl.One theother hand side,we can pickε=13min{dist(˜p,g˜p)|e=g∈G}>0so that the balls Bε(g˜p)are all disjoint for g∈G.It followsB kl+ε(˜p)⊃∪g∈Γk Bε(g˜p)and thusVol(B kl+ε(˜p))≥NΓGVol(Bε(p)). Applying the Bishop-Gromov’s volume comparison theorem,we getNΓG ≤Vol(B kl+ε(˜p))Vol(Bε(p))≤(kl+ε)mεm≤ck m.We end this course by stating the following major conjecture in this subject: Conjecture3.2(Milnor).Let M be a complete Riemannian manifold with Ric≥0, thenπ1(M)isfinitely generated.。
拓扑群的基本群
拓扑群的基本群拓扑群是拓扑空间和群的结合，它是一种具有特定性质的数学结构。
在拓扑群中，我们可以定义一种重要的概念，即基本群。
基本群是拓扑群中的一种代数不变量，它能够描述拓扑空间中的连通性。
为了理解基本群的概念，我们首先需要了解一些基本的拓扑群的定义和性质。
拓扑群是指既是群又是拓扑空间的集合，其中群运算和拓扑结构相容。
也就是说，群运算在拓扑空间中是连续的。
这样的结构使得我们能够在拓扑空间中进行群运算，并且保持拓扑性质。
基本群的定义是建立在拓扑群的基础上的。
给定一个拓扑空间X和一个点x0∈X，我们可以定义一个以x0为基点的回路类的集合，记作π1(X,x0)。
这个集合中的元素是由起点和终点都是x0的回路所构成的等价类。
这里的等价关系是通过回路的连续变形来定义的。
换句话说，两个回路是等价的，当且仅当它们可以通过连续变形相互转化。
基本群的运算是通过回路的连接来定义的。
给定两个回路类[a]和[b]，我们可以将它们连接起来得到一个新的回路类[a][b]。
这个运算满足结合律和单位元的性质，从而构成了一个群。
这个群就是拓扑空间X的基本群，记作π1(X,x0)。
基本群是拓扑空间的一个重要性质，它可以用来刻画拓扑空间的拓扑性质。
例如，如果两个拓扑空间的基本群是同构的，那么它们在拓扑上是等价的。
基本群还可以用来研究拓扑空间的连通性。
如果一个拓扑空间的基本群是平凡群，即只包含一个元素的群，那么这个空间是连通的。
反之，如果一个拓扑空间的基本群是非平凡群，那么这个空间是不连通的。
基本群的计算可以通过一些具体的拓扑空间的性质来简化。
例如，对于n维球面Sn，其基本群是整数环Z。
这个结果是由于球面上的回路可以通过连续变形来缩成一个点，从而等价于整数上的加法运算。
类似地，对于n维环面Tn，其基本群是n维整数环Z^n。
这个结果是由于环面上的回路可以通过连续变形来缩成一个点，并且可以通过整数向量来表示回路的位置。
除了球面和环面，还有许多其他的拓扑空间，它们的基本群可以是各种各样的群结构。
拓扑学中的同伦群与基本群
拓扑学中的同伦群与基本群拓扑学是数学中研究空间的一个分支，同伦群和基本群是拓扑学中重要的概念。
它们通过研究空间的连续变形和连通性，帮助我们了解空间的性质和结构。
本文将简要介绍同伦群和基本群的概念及其在拓扑学中的应用。
一、同伦群（Homotopy Group）同伦群是研究拓扑空间中的连续变形的代数性质。
在拓扑学中，同伦是指通过连续变形将一个空间变形为另一个空间的过程。
同伦群描述了这种连续变形的所有可能。
根据同伦理论，我们可以将一个空间中的每个点看作连续的函数，而同伦则是函数之间的连续变形。
同伦群通过对这些函数进行代数运算（如乘法和逆运算），构成了一种代数结构。
它可以帮助我们判断两个空间是否同伦等价，从而研究它们的性质和分类。
二、基本群（Fundamental Group）基本群是研究拓扑空间中的连通性的代数性质。
在拓扑学中，连通性是指空间中的任意两点都可以通过连续路径相连。
基本群描述了空间中的闭合路径的所有可能。
根据基本群的定义，我们可以将闭合路径看作连续的环路，并将两个环路视为等价的，如果它们可以通过连续变形相互转化。
基本群通过对这些环路进行代数运算（如乘法和逆运算），构成了一种代数结构。
它可以帮助我们判断空间的连通性和同伦等价，从而研究空间的拓扑性质和分类。
三、同伦群与基本群的关系同伦群和基本群是拓扑学中密切相关的两个概念，它们之间存在着紧密的联系。
首先，同伦群是基本群的一种特殊情况。
对于一个空间，如果它是连通的且具有一个基点，那么它的基本群就是同伦群。
同伦群是基本群的第一同伦群，常用符号为π₁(X)，其中X表示拓扑空间。
其次，同伦群可以通过基本群来计算。
给定一个连通的拓扑空间，我们可以选取一个基点，并以此为起点构造所有的闭合路径。
这些闭合路径构成了拓扑空间的基本群。
通过对这些闭合路径进行同伦变形，我们可以确定同伦群的结构。
最后，同伦群和基本群都可以帮助我们研究拓扑空间的性质。
通过计算同伦群和基本群，我们可以判断两个空间之间的同伦等价关系，以及它们的拓扑结构是否相同。
群在拓扑学中的应用——运用基本群解决二维环面T^2与球面S^2不同胚问题
映射 ｆ ． ｘ—Ｙ在每个Ａ 上 的限制都是连续的， 则ｆ 是连续映射 。 ｘ的道路类 。 ｘ 的所有道路类的集合记作［ ｘ］ ， 一条道路Ⅱ 所在 定义 １ ； 如果 ｆ ： ｘ—Ｙ是一一对应， 并且 ｆ 及其逆 ｆ ： Ｙ一 的道路类记作 ＜ａ ＞， 称ｄ 的起点和终点分别为 ＜ｄ ＞的起点和
设 Ｘ和 Ｙ 都 是 拓 扑 空 间 ， 记 Ｃ（ Ｘ， Ｙ） 是 Ｘ 到 Ｙ 的所 有连 续 映射 集 合 。 定义 ６ ： 设 ￡ｇ ∈（ Ｘ， Ｙ） 如果 有 连续 映 射 Ｈ： ｘ× Ｉ — Ｙ， 使 得 ∈Ｘ， Ｈ（ ｘ ， ｏ ） ： ｆ （ ｘ ） ， Ｈ（ ｘ ， １ ） ： ｇ （ ｘ ） ， 则称 ｆ 与 ｇ同伦 ， 记作 ｆ ？ｇ ： Ｘ～Ｙ 称 Ｈ是 连 接 ， ｆ 和 ｇ的一 个 同伦 ， 记 作 Ｈ： ｉｇ ｆ （ 或 者 Ｄ。 （ １ ） 如果 ａ ． ｂ ， 则ｆ ｏ ａ ； ｆ ｏ ｂ ； （ ２ ） 如果 ａ 与ｂ 也 可乘 ， 则ｆ ０ ａ 与 ） ｂ 并且（ ｆ ｏ ａ ） （ ｆ ｏ ｂ ） ＝ ｆ ｏ （ ａ ｂ ） ； （ ３ ） Ｉ ｂ ａ ＝ ｔ Ｏ ￣ 。 命题 １ １ ： 道路类乘法有结合律。 命题 １ ２ ： 设 道 路类 ａ的起终 点分 别是 ｘ ０ 和Ｘ ”记 ｅ ｘ 。 和ｅ ｘ
定为 （ ｔ ） ＝ Ⅱ （ １ － ｔ足 （ １ ） ＝
Ｈｔ （ ｉ ， ｔ ） ＝ Ｈ（ １ 一 ｉ ， ｔ ） ＝ ａ （ ｉ － ｔ ） － ｂ （ ｉ ＿ ｔ ） （ ｉ ） （ ｉ ） ， （ ｉ ） ＝ １ 从而－ ． ｂ 。
２基本群 有 了道路及其运算 （ 逆和乘积） ， 我们可 以开始建立基本 群， 但道路不能直接 当作元素来 建立群 。有两个 问题 ： 一是道
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平凡群
在数学里，平凡群是指一个只包含单一元素e的群，其群运算只有e + e = e，单位元素平凡是e，且为阿贝尔群；这些结果都是平凡的，因此以此命名。
平凡群通常被写做Z1，或尽标示为0。
不可把平凡群和空集相混淆，空集中没有任何元素，因此缺少一个单位元而无法形成一个群，虽然这两者在其各自的范畴中扮演着极相近的角色。
每一个群都包含着一个平凡群。
直观诠释：二维环面的情形
二维环面上由p点出发的环路
首先，让我们考虑二维环面（或甜甜圈面）的例子作为热身，固定其上一点。
从此点出发，则可以建构环路（即：从出发的并回到的闭曲线）。
设想环路如橡皮筋可自由变形与拉长，只要起点与终点仍是且环路仍处在环面上即可。
这种变形叫做同伦，若一环路可以从另一环路借此变形而得到，则称两者同伦等价。
我们只探讨环路的同伦类。
二维环面的基本群由环路的同伦类组成。
a与b非同伦等价
在上图中，与并非同伦等价：无法连续地从一者变换到另一者而不将环路“扯断”，它们代表基本群中的不同元素。
借着增加环绕圈数，可以获得更多的同伦类。
a、b两条环路的衔接
顾名思义，基本群不只是一个集合，它带还有群结构：二元运算由环路的衔接给出，即先走完第一条环路，再走第二条环路，使得两段环路上的速率相同。
基本群中的单位元素由静止在点的环路代表，逆元由环路的逆行代表之，即：若一元素由环路代表，则其逆元由代表，其中。
形式定义
设为拓扑空间，为其中定点。
一条连续道路是一个连续映射
，而一个以为基点的环路是一条满足
的连续道路。
以下若不另外说明，则环路皆以为基点。
对两条环路，如果存在一个连续函数（保持基点的同伦）
使得
•
•
•
则称两者同伦等价。
不难验证此关系确为等价关系。
因此我们可考虑环路对此关系的等价类，以表一环路隶属的等价类，亦称同伦类。
现在定两条环路的衔接为：
直观地说，此环路是先走再走，每一段都将速度加倍，以在单位时间内走完全程。
可证明决定于，因此可在环路的同伦类上定义二元运算“*”。
不难看出此运算满足结合律。
令单位元为环路（即静止于点的环路），并令环路
之逆为（即逆行）。
可证明
在同伦类上有明确定义，且同伦类在此运算下成为一个群。
此群称为在基点的基本群，表为。
例子
•对任何基点的基本群皆为平凡群。
换言之，每个环路都可以连续地变形到基点。
这类空间称为单连通空间。
•当时，为单连通。
•圆环之基本群为。
其元素一一对应于，其中表示环路绕行圆环的次数（计入方向）；群运算由
给出。
一般而言，维环面的基本群同构于。
•基本群也可能含挠元：例如射影平面的基本群便同构于。
•基本群不一定可交换：例如挖去两点的平面的基本群同构于两个生成元的自由群，生成元分别对应于绕行与的环路。
事实上，可以证明对任何群皆存在一个拓扑空间，使其基本群同构于（此空间可以用二维CW复形构造，当群为有限展示时则能以四维流形构造）。