群的定义比较及其应用定稿
群的基本概念.
（2）E E-1 = E-1 E = E-1 （令：A= E-1 ， 由EA = A E= A ）
∴ (AB)-1 = B-1A-1
三、 群阶: 群元的数目（g）
有限群 h（g 为有限）
无限群 ∞
四, 可换群:
离散的无限群 （可数的无穷多） 连续群 （不可数的无穷多）
( Abel 阿贝尔群 )
1、 群乘：将集合中的任意两个元素构成唯一的另一个 元素的一种运算。群乘不一定是代数运算中的乘法（如相继 操作），也不一定满足交换律。 2、交换群（阿贝尔群）： 群乘与群元的顺序无关 AB = BA
的晶体结构只有确定的230种。（230个空间群）
通过对这些具有一定力学性能、物理性能的材料
的微观本质的分析，可以反过来利用对称群分析看看
可以通过哪些方式（如掺杂等）来改变晶体的晶格以
获得性能更佳、物理效应更显著的晶体。
相似的物理性能
（压电、铁电、热释电、光学性能等）
对称性
晶体结构
对称性分析
改变晶体的结构
伽罗瓦最主要的成就是提出了群的概念，并 用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而 且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪 念他，人们称之为伽罗瓦理论。 正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学 的研究推向了一个新的里程。正是这套理论为数 学研究工作提供了新的数学工具—群论。它对数 学分析、几何学的发展有很大影响，并标志着数 学发展现代阶段的开始。
站在巨人阿贝尔的肩膀上面
• 这样的求根公式究竟有没有呢?在伽罗瓦刚 上中学不久，年轻的挪威数学家阿贝尔已经 作出了回答：“没有。”阿贝尔从理论上予 以证明，无论怎样用加、减、乘、除以及开 方运算，无论将方程的系数怎样排列，它都 决不可能是一般五次方程的求根公式。
定稿的名词解释
定稿的名词解释一、引言定稿，作为一个常见的词汇，经常在办公场合中出现。
它具有一定的实际意义和使用方法。
通过对定稿的深入解释，能够帮助人们更好地理解和运用这一概念。
本文将对定稿进行详细剖析，揭示其背后的含义和应用。
二、定稿的定义定稿，指的是在完成初稿之后经过修改、补充和完善后的最终版本，通常被视为最正式、最终的文本作品。
在各行各业中，均有定稿这一概念的存在，它对于保证文本的准确性、合格性以及一致性都起着重要作用。
三、定稿的过程1. 修改：定稿的过程通常开始于对初稿的修改。
在修改中，人们会审查和审核文本中存在的错误、不合理之处，以确保文本的正确性和清晰度。
同时，人们还会对表达方式、语气、用词等进行优化和改善，以使得文本更具可读性和良好的沟通效果。
2. 补充：在确认初稿的基础上，定稿的过程还可能包括对文本内容的补充。
补充的内容可以是初稿中遗漏的重要信息，亦或是根据需求和目标群体的反馈，增加对某个问题的详细描述。
补充不仅能够提高文本的完整性和信息量，还可以让读者更充分地了解所涉及的话题。
3. 完善：最后一步是对定稿进行完善。
这一过程主要包括对定稿的排版、格式进行调整，确保文本的版式规范和美观。
同时，也要对文中的图片、图表等进行优化和调整，以提高视觉效果。
完善是定稿过程中不可忽视的环节，是文本最终达到高质量的必要步骤。
四、定稿在不同领域中的应用1. 文学创作：在文学创作中，定稿扮演着决定性的角色。
作家们需要通过反复的修改和完善，将初稿中的思想和情感融入到最终的文本中。
只有经过多次的审阅和推敲，才能使作品更加精炼、有力地表达出作者想要传达的主题和意图。
2. 学术论文：学术界对于定稿有着更为严格的要求。
在学术论文中，定稿需要经过严格的评审和同行专家的批阅，才能最终被正式发布或发表。
在这个过程中，作者需要对研究内容进行充分论证和分析，确保论文的学术性和科学性。
3. 商务合同：商务合同的定稿对于商业活动的顺利进行至关重要。
第四章-种群与群落(定稿)
第四章种群和群落第1节种群的特征一、学习目标:1.列举种群的特征, 种群的特征之间的内在关系。
2、初步学会调查种群密度的方法, 分析种群其他特征对于种群密度的影响3. 能用种群特征去描述身边的种群, 并能对种群的研究提出有建设性的看法；关注人口问题, 认同计划生育国策、关注濒危动物种群数量的变化及措施。
二、学习重点: 种群的基本特征及内在关系学习难点: 样方的选择和确定【自学导航】: 带着问题进课堂掌握学习主动权（一）种群的概念:生活在的生物的个体。
思考: 个体与种群的区别与联系是什么呢？种群各特征之间有内在的联系吗？（二）种群的特征:1. 种群密度概念: 是指在________ _或________ _中的个体数。
意义: 反映了种群在一定时期的数量。
种群密度是种群最基本的________ _。
调查方法: ___________法和_________ __法。
（1）如果要调查某麦田中某杂草的种群密度, 可用_________法, 简要写出该方法调查种群密度的步骤：①调查对象: 一般选取__________植物作为调查对象。
②样方多少: 一般来说, 样方数量_______, 调查结果_________。
③样方大小: 对草本植物而言, 一般以的正方形为宜。
④样方位置：要做到_________, 是取样的关键。
⑤取样方法: 法和法。
⑥测量方法: 在被调查种群的分布范围内, 选取若干样方, 计算出所有样方种群密度的 , 作为该种群的种群密度估计值。
（2）如果要调查某麦田中田鼠的种群密度, 应用_________ __法。
①应用范围: 活动能力 , 活动范围的动物。
②测量方法: 在被调查的种群的活动范围内, 捕获一部分个体, 做上后再放回原来的环境中, 经过一段时间后进行 , 根据重捕到的动物中占总个体数的比例, 估计种群密度。
思考：在调查种群密度时, 样方法与标志重捕法有什么不同？尝试在适用对象、统计方法和注意问题上分析？2. 出生率和死亡率:⑴概念:出生率: 在单位时间内_____________的个体数目, 占该________个体总数的比例。
群的等价定义及其证明
群的等价定义及其证明1 引言群是具有一种代数运算的代数系，是代数结构中重要的一种．群的系统研究起源于19世纪初Galois 研究多项式方程根式解的问题．这是数学史中一块众所周知的里程碑．随后人们在理解了Galois 的思想之后，于19世纪中叶给出了抽象群的概念，开始以公理化的方式研究群．群论是近世代数的重要内容，近世代数又在近代物理、近代化学、计算机科学、数字通信、系统工程等许多领域都有重要应用，因而群论是现代科学技术的数学基础之一．时至今日，群论的发展已日趋完善，在各个学科领域得到广泛的应用．为了便于学习、掌握群的知识和全面、深刻理解群的概念，以下给出了群的近十种定义，并通过证明，阐明群的各个定义间的等价关系．2 预备知识代数系[]1(23)P - 设A 、B 是两个非空集合，映射σ:A B C ⨯→称为A B ⨯到C 的一个代数运算．称(),,A B C σ⨯是一个代数系，特别地，当B C =时，称σ是A 左乘B 的代数运算，当A C=时，称σ为B 右乘A 的代数运算，当A B C ==时，称σ为A 的一个二元运算，此时代数系统记作()σ,A 或简记作A ．半群[]1(5)P 设() ,A 是一个代数系统，定义A 的一个二元运算“ ”，我们称它为乘法运算，如果“ ”满足结合律，则称() ,A 是一个半群．幺半群[]1(7)P () ,A 是半群，如果有e G ∈，恒有a ae ea ==，则称e 是A 的单位元，又称幺元，() ,A 就称为幺半群．为简便其间，在以下群的定义当中所定义的二元运算，即乘法运算“ ”不再书写．3 群的定义定义 1[]1(24)P 若幺半群() ,G 中每个元都有逆元，则称() ,G 是一个群．定义 2 设G 是半群，G 中存在左幺元素e （即对a G ∈，均有ea a =），并且G 中每个元素a均有左逆元素1-a ( 即1a a e -=)， 则称G 是一个群．定义 3[]2(33)P 一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于的G 任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个左单位元e ，能让ea a =，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ，在G 里至少存在一个左逆元a1-，能让1a a e -=． 定义 4[]3(21)P 设G 是半群，对于任意元素a 、b ∈G ，方程ax =b 和xa =b 在G 都可解，则称G 为群．定义 5[]2(31)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的 ;Ⅱ．结合律: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元素a 、b 、c 都对;Ⅲ．对于G 的任意两个元a 、b 来说ax =b 和ya =b 都在G 里有解．定义 6[]2(35)P G 是一个非空集合，具有一个叫乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: ∀a 、b ∈G ，∃c G ∈，使ab =c ;Ⅱ．结合律: ∀a 、b 、c G ∈， ()bc a =()c ab ;Ⅲ．右单位元: ∃e G ∈，∀a ∈G ，a ea =;Ⅳ．右逆元: ∀a ∈G ， ∃1-a ∈G ，e a a =-1．定义 7[]3(21)P 一个不空集合G 对于一个叫乘法的代数运算作成一个群，假如:Ⅰ．G 对于这个乘法来说是封闭的;Ⅱ．结合律成立: ()bc a =()c ab 对于G 的任意三个元a 、b 、c 都对;Ⅲ．G 里至少存在一个单位元e ，使a ea ae ==，对于G 的任何元a 成立;Ⅳ．对于G 的每一个元a ， G 里至少存在一个逆元1-a ，使 a a 1-=a 1-a =e ．定义 8 设一个非空集合G ，对于一个叫做乘法的代数运算，称G 是一个群，假如满足:Ⅰ．封闭性: a ∀、b G ∈，ab ∈G ;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c G ∈，()bc a =()cab 成立; Ⅲ．存在右单位元，即对∀a ∈G ae =a ;Ⅳ．存在左逆元，即对a ∀∈G ∈∃-1a G 使得e a a =-1;Ⅴ．左商不变性: 对a ∀、b ∈G ， 都有11--=bb aa．4 群的等价证明(为了简便只对定义间的不同条件做等价证明)定义1⇒定义2 由定义1可知G 中有单位元e ，对∈∀a G 使得a ae ea ==，且每个元都有逆元．显然，G 中存在左幺元e 使a ae =．并且G 中每个元素均有左逆元1-a ，使得1a a e -=．定义2⇒定义3 显然成立．定义3⇒定义4 从定义3的条件可知G 中存在左单位元e ，并且对a ∀、b G ∈，G 中1a -∃、1b -使得1a a e -=，1b b e -=，ea a =，由封闭性1ba G -∈，显然1ba a b -=，即xa b =在G 中有解，再由ax b =，可得11a ax a b --=．显然易得1ex x a b -==，且有1a b G -∈，因而ax b =在G 中也有解．定义4⇒定义5 显然成立．定义5⇒定义6 由定义5可知，在G 里对a G ∀∈ ，ax a =有解，设x e G =∈即ae a =．对b G ∀∈， ya b =在G 里有解，则be yae ya b ===，所以e 为右单位元．且有ax e =在G 中有解，设1x a -= 即1aae -=．由a 的任意性可得，对于G 里的每个元a ，在G 里至少存在一个右逆元1a -，使1aa e -=．定义6⇒定义7 由定义6可知，G 里面存在右单位元e ，对于a G ∀∈，都有右逆元即1ae a aa e -==，．设元1a -的右逆元为11a -，即111a a e --=，又111111a ea a a e ----=，可得1111a aa a e ---=，得1a a e -=．显然1a -同为a 的左逆元，又由于1ae aa a ea a -===，e 同时为左单位元，所以G 里面至少存在一个单位元e ，能让ae ea a ==．同样G 里面至少存在一个逆元1a-能使11aa a a e --==，其中a G ∀∈．定义7⇒定义8 由定义7可知，在G 里存在右单位元e ，使得a G ∀∈，ae a = ，存在逆元，即对于a G ∀∈，1a G -∃∈使得11a a aa e --==．显然G 的每一个元a 存在左逆元1a G -∈，使得1a a e -=．且对a b G ∀∈，，即11a b G --∃∈，，使得11aa bb --=．定义8⇒定义1 设G 为一个非空集合，根据定义8可知，G 中存在右单位元e ，使得对a G ∀∈，都有ae a =．且每个元都有左逆元．则有1e G -∈，使得11e e e e --==．且可知1ee ee e -==．对1a G -∈使得1a a e -=，11aa ee e --==．由a 的任意性可知，G 里每个元素都有右逆元．又由1ae aa a a -==，可得ea a =，即e 同时为左单位元．显然(),G 为幺半群，且每个元都有逆元．5 有限群定义[]2(3840)P -设 G 是一个有限非空集合，对于一个叫做乘法的代数运算， 称G 是一个群，假如满足: Ⅰ．封闭性: a b G ∀∈、，bc G ∈;Ⅱ．结合律: a ∀、b 、c ∈ G ，()bc a =()c ab 成立;Ⅲ．左消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若zy zx =，则y x =，右消去律: 对∀x 、y 、z ∈G ，若yz xz =，则y x =．证明 （此处用定义１的各个条件证明G 是一个群）集合G 是代数运算封闭且满足结合律．则首先是个半群．因G 为限集，不妨设G n =，对于a G ∀∈，设'121{,,,,}n n G a a a a+=⋅⋅⋅，显然'G 中元素的个数有1n +个．又有'G G ⊂，所以'G 中至少有两个元素相等．在此不妨,(11)i ja a j i n =≤≤≤+．再设G 存在元素1e ，使得1j j a e a =，那么i j a a =等价于1j i j j a a a e -=，由左消去律得1i j a e G -=∈，显然同样有1j i j j i j e a a a a a -===，有i j a a =得1i j i j j aa a aa ---=，由右消去律可得i j a a a -=，即1e a a =，易知1ae a =．对∀b G ∈，同理有2e G ∈，使得22e b be b ==．由等式1212ae be e ae b =，变形整理得12ae b ae b =，由消去律可得12e e =．不妨设12e e e ==，由,a b 的任意性，可知对c G ∀∈，有ec ce c ==，即G 存在单位元e ．由以上可知对于a G ∀∈，显然有m a e =，(m 为整数)．令11m aa --=，则11a a aa e --==，所以G 里每个元素都有逆元．6 群与对称性以及几种特殊群6.1 对称和群的关系这里所讲的对称概括的说是：若考虑的对象A 是一个带有若干关系的集合M （数学中的对象大致都具有这种形式）时，我们就把所有保持这些关系不变的，集合M 的一一变换的全体所购成的群看作是这个对A 的对称，即为集合M 的对称群[]4(11)P ． 在此补充以下几个定义．1) 置换：一个有限集合的一一变换叫作一个置换[]()250P ．2) 置换群：一个有限集合的若干个置换作成的群叫做一个置换群[]()250P ．3) n 次对称群:若一包含n 个元的集合的全体置换作成的群叫作n 次对称群，这个群通常用n S 来表示[]()250P ．下面通过一个例子阐述对称群的意义和实质．我们把以数域F 中的数作系数的n 元多项式的全体记作[]12,,,n F x x x ⋅⋅⋅(或简记作[]F x )，每一n 元多项式可以唯一地表示为不同类单项式的有限线性和:()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅1212nn a x x x ααααα=⋅⋅⋅∑．其中()12,,,n αααα=⋅⋅⋅，{}0i Z α+∈而a F α∈．令{}12,,n M x x x =⋅⋅⋅，则M 的n 次对称群n S 中的元素就是{}12,,,n x x x ⋅⋅⋅的一个置换，略去字母x 的下标，这时一一变换可记作1212n n i i i σ⋅⋅⋅⎛⎫= ⎪⋅⋅⋅⎝⎭, 其中()12,,,n i i i ⋅⋅⋅是1,2,n ⋅⋅⋅的一个排列，而()j j i σ=．利用变换群n S 中的元素∑去定义集合[]F x 到[]F x 的一个映射． [][]:F x F x σφ→,()()1212,,,,,n n i i i f x x x f x x x ⋅⋅⋅→⋅⋅⋅,其中()12,,n i i i f x x x ⋅⋅⋅是在多项式()12,,,n f x x x ⋅⋅⋅中将1x 换成1i x ，2x 换成2i x ，⋅⋅⋅后所得到的多项式，显然σφ是集合[]F x 的一个变换．令{}|n n T S σφσ=∈，n T 是[]F x 的一些(n !个)变换组成的集合．定义“ ”为变换之间的乘法运算．证明代数系(),n T 为[]F x 的置换群．证明 任取,n S σθ∈，令12121212,n n n n i i i i i i j j j σθ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎝⎭. 则有σθφφ：()()()121212,,,,,,,,n n n i i i j j j f x x x f x x x f x x x →→, σθφ： ()()1212,,,,,n n j j j f x x x f x x x →. 显然有θσθφσφφ=即运算满足封闭性．对,,n S σθϕ∀∈，则有对应的,,n T σθϕφφφ∈，可得等式：()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==，()σθϕσθϕσθϕφφφφφφ==， 所以()()σθϕσθϕφφφφφφ= 即运算满足结合律．对单位元n I S ∈，则有I n T φ∈ 显然有I Iσσφφωφφ== I I σσσφφφφ==． 令()11σσφφ--=，显然()n T ∈-1σφ， 可得:()()111I σσσσσσφφφφφφ---===． 显然由σφ的任意性可知n T 中每个元都有逆元．进而可知()n T 为[]F x 的置换群．令()12,,,n f x x x 是一个n 元多项式，令(){}|f n S T f f σσφφ=∈=，同理可证(),f S 满足群的各个条件，即f S 为群．则称()f S 为n 元多项式()12,,n f x x x 的对称群[]()289P -.6.2 几种特殊群 例1 设()n SL Q 是有理数域Q 上所有其行列式为1的n 阶矩阵的全体，()n SL Q 关于矩阵的乘法“”作成的代数系()(),n SL Q 为一个群，称之为特殊线性群[]()252P .证明 任取三个元(),,n A B C SL Q ∈，则考虑AB 其行列式的值:||||||1AB A B =⨯=，所以()n AB SL Q ∈，运算满足封闭．由矩阵的运算性质显然有:()()AB C A BC =既满足结合律．又有单位矩阵I ，||1I =即()n I SL Q ∈，显然I 为()n SL Q 里的单位元．再有()n SL Q 里每个矩阵的行列式的值为1，显然每个元都可逆，设1A -为A 的逆矩阵，则1AA I -=．由此可得11||||||1AA A A --=⨯=，易得1||1A -=，即()1n A SL Q -∈．由A 的任意性可知()n SL Q 中每个元都有逆元．所以()(),n SL Q 是一个群．例 2 设n Z 为对于模n 的剩余类，定义n Z 中的加法运算“⊕”．即对任n Z 中意元素[][](),01i j i j n ≤≤≤- [][][]i j i j ⊕=+．则()n Z ⊕构成群，称之为剩余类加群[]1(4951)P -．证明 由剩余类的性质，显然易知“⊕”满足封闭性，结合律．同样不难证明[]0为n Z 的单位元．对[]n i Z ∀∈，易得[]n i -为其逆元．很显然()n Z ⊕是一个群．例 3 假如A 是一个平面的所有的点作成的集合，那么平面绕一个定点的所有旋转组成的集合G ，用θτ表示旋转θ角的旋转．定义运算“”:1212θθθθτττ+=，则(),G 是一个群，也称为平面运动群[]2(48)P ．证明 1212G θθθθτττ+=∈封闭，结合律显然成立，单位元0e G τ=∈，再有对G θτ∈，其逆元，显1G θθττ--=∈然G 是一个群．例 4 若p 为素数，p N 表示关于模p 所有余数构成的集合，即小于p 的非负整数集合．定义pN中的运算“p ⋅”．对任意,p a b N ∈ 则 ()p b a b a p mod ⋅=⋅ 即代数系统{}p p N ⋅-,0是群，并称为模p 乘群，或模p 剩余乘群[]3(23)P .证明 任取{},,0P a b c N ∈-，(){}0mod -∈⋅=⋅p p N p b a b a 运算满足封闭性． 同样不难得知，运算满足结合律．很显然{}10p N ∈-，不难验证1为{}0p N -中的单位元．验证{}0p N -中元素有逆元，任取{}0p a N ∈-，则0a p <<，(),1a p =．因此有整数,c d 使得1c a d p ⋅+⋅=，从而得(),1c p =．当记mod p c c p =时，显然有1p c p ≤<，这表明{}0p p c N ∈-，进而可得等式：()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p a c p a c a c p p p()()()1mod mod mod =⋅+⋅=⋅=⋅=⋅p p d a c p c a p c a c a p p p所以p c 是关于p ⋅的逆元．由a 的任意性可知{}0p N -中元素有逆元．所以说{}p p N ⋅-,0是群．参考文献：[1] 华中师范大学数学系《抽象代数》编写组.抽象代数[M].华中师范大学出版社.2000[2] 张禾瑞.近世代数基础[M].高等教育出版社.1978[3] 王兵山，李舟军.抽象代数[M].国防科技大学出版社.2001[4] 刘绍学.近世代数基础[M].高等教育出版社.1999[5] 吴品三.近世代数[M].北京：人民教育出版社.1979[6] 谢邦杰.抽象代数学[M].上海：上海科学技术出版社.1982[7] 姚慕生.抽象代数学[M].上海：复旦大学出版社.1998[8] N Jacobson.Basic Algebra [M]. W H Freeman and Company .1985。
群的基本概念ppt课件
S3 置换群表：
S3
E (132) (123) (23) (13) (12)
E E (132) (123) (23) (13) (12)
(132) (132) (123) E (12) (23) (13)
(123) (123) E (132) (13) (12) (23)
Eˆ ECˆ31
Cˆ32
Aˆˆvv((12)) ˆv(3)
同构与同态在构造群表和群的特征标表中作用很大。
2.4 群的直积：直积群
2.4.1 子群 若一个群 H 的群元素皆包含于另一个群 G 之中，就称群 H 是群 G 的子群。 或者说，群 H 的阶为 h，群 G 的阶为 g，且 h ≤ g，H ∈ G。就称群 H 是群 G 的子群。 因为有相同的乘法关系，子群 H 与群 G 有相同的单位元素。
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
C 6:
E ˆ C ˆ6 2(C ˆ3 1) C ˆ6 3(C ˆ2 1) C ˆ6 5
C ˆ6 4(C ˆ3 2) C ˆ6 1
C 6 C 3 C 2
例 1 C6 群包含 C2 子群和 C3 子群。
Eˆ
C2v Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆ XZ ˆYZ
Cˆ 2 (Z) Cˆ 2 (Z)
Eˆ
ˆYZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆ XZ
ˆYZ
Eˆ Cˆ 2 (Z)
ˆYZ
ˆYZ
ˆ XZ
Cˆ 2 (Z) Eˆ
例 2-5 S3 置换群
S3 置换群是三个数码 1，2，3 的所有可能的置换，共有 6 个群 元素：
群的基本知识
第一章 群的基本知识二十一世纪以来，特别是爱因斯坦（Einstein ）发现相对论之后,对称性的研究在物理学中越来越重要.对称性帮助人们求得物理问题的解，也帮助人们寻求新的运动规律。
物理学家不仅研究了空间和时间的对称性，而且找到了许多内部对称性,如强作用的SU （2)同位旋对称，SU （3)色和味的对称，弱电统一的SU(2)XU （1)的对称，偶偶核的U （6）动力学对称等等.从七十年代起，又开展了超对称性的研究。
群论是研究对称性问题的数学基础,因此，它越来越受到物理学工作者的重视。
1.1 群定义 1.1 设G 是一些元素的集合，}{},,{g g G == .在G 中定义了乘法运算。
如果G 对这种运算满足下面四个条件：（1） 封闭性。
即对任意G g f ∈,，若h fg =,必有G h ∈。
（2） 结合律.对任意G h g f ∈,,，都有())(gh f h fg =.（3） 有唯一的单位元素。
有G e ∈,对任意G f ∈，都有f fe ef ==（4） 有逆元素。
对任意G f ∈，有唯一的G f∈-1，使e ff f f ==--11 则称G 为一个群。
e 称为群G 的单位元素,1-f称为f 的逆元素. 例1 空间反演群。
设E 和I 对三维实空间3R 中向量→r 的作用为 →→→→-==r r I r r E ,即E 是保持→r 不变的恒等变换，I 是使→r 反演的反演变换，定义群的乘法为从右到左连续对→r 作用。
集合{}I E ,构成反演群，其乘法表见表1.1。
例2 n 阶置换群n S ，又称n 阶对称群。
将n 个元素的集合},,2,1{n X =映为自身的置换为 ,2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n m n m m P 其中n m m m ,,,21 是n ,,2,1 的任意排列,P 表示把1映为1m ，2映为2m ，n 映为n m 的映射。
显然置换只与每列的相对符号有关，与第一行符号的顺序无关,如⎝⎛2421 ⎪⎪⎭⎫3143= ⎝⎛2324 ⎪⎪⎭⎫4113。
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群的等价定义及证明风雷摘要：群是近世代数一门古老而丰富的分支，交换群在几何学扮演了很重要的角色，有限群建立了伽利略的方程理论，这两个领域为群的发展提供了原始动力.本文主要讨论群的定义，并证明了它们的等价性，我们的主要目的是通过群的定义而获得群的一些基本性质并为以后的学习打下坚实的基础，另外本文还举例说明了群的一些性质在编码中的应用.关键词:群；等价性；单位元；逆元1 引言近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系，即具有一些n 元运算的集合.代数系中最简单的是具有一个二元运算，本文主要论述的群就是这样的代数系，群是近世代数的一个重要分支，在自然科学的许多领域中都有应用，如在自动机理论中就用到半群和群，在信息安全与编码理论中就用到群.群只有一种代数运算，我们已经知道，一个代数运算用什么符号表示是可以有我们自由决定的，有时可以用“ ”，有时可以用“⋅”，在实际运用中，对于一个群的代数运算表示，为便利起见不用“ ”来表示，而用普通乘法的符号来表示，就是我们不写 a b ，而写a b ⋅ ，因此我们不妨就把一个群的代数运算叫做乘法，当然一个群的乘法一般不是普通的乘法，下面主要就群的定义及其证明进行具体分析.2 群的第一定义设G 是一个非空集合，它对于一个叫作乘法的代数运算来说作成一个群，假如 ⅠG 对于这个乘法来说是闭的；Ⅱ 结合律成立：()()a bc ab c =对于的G 任意三个元素都成立;Ⅲ G 中有单位元素的存在，即存在元素e ，使的对于G 的每一元素a ，都有 ;ea ae a ==Ⅳ G 中元素有逆元，即对于G 的每一个元素a ，存在的G 元素1a -，使得11a a aa e --==.当群的运算“ ”满足交换律时，称(),G 为交换群，或阿贝尔群.例如，整数集Z 关于数的加法构成交换群(),G ，单位元是0，每一个数的逆元是它的负数，Z 关于数的乘法不够成群因为除了1,-1外的数没逆.例1 设G 为整数集，问：G 对运算4ab a b =++ 是否作成群？解：由于对任意整数显然4a b ++为由于惟一确定的整数，故Ⅰ成立.其次，有()(4)(4)48ab c a b ca b c a b c =++=++++=+++同理有()8a bc a b c =+++.因此，对G 中任意元素,,a b c 有 ()()ab c a bc =即Ⅱ成立.又因为对任意整数a 均有(4)(4)44a a a a -=-=-+=.即Ⅲ成立.最后，由于(8)(8)844a a a a a a --=--=--++=- 即Ⅳ成立.因此，整数集对代数运算“ ”作成一个群.例2 设 G ={1,-1,i,-i}，“。
第3节 群的定义及性质
近世 代数
群的三个等价定义
定义2 设G是一个非空集合， “∘”是G上的二元代 数 运算，称为乘法。如果下列四个条件成立，则称 G关于乘法“∘”作成一个群. I G关于乘法“∘”封闭，即a,b∈G，a ∘ b∈G； II 乘法“∘”满足结合律，即a,b,c∈G (a ∘ b) ∘ c=a ∘ (b ∘ c)； III G关于乘法“∘”有一个左单位元e，即 a∈G ，存在元e∈G，使得e ∘ a=a； IV 对于G的每个元素，关于乘法“∘”有一个左 5/28 逆元，即a∈G ，存在元b∈G，使得b ∘ a=e，其中
近世 代数
群的性质：幂运算规则
性质6 设G 为群，则G中的幂运算满足： (1) a∈G，anam = an+m，n, m∈Z (2) a∈G，(an)m = anm，n, m∈Z (3) 若G为交换群，则 (ab)n = anbn.
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近世 代数
元素的阶
定义6 设G是群，a∈G，使得等式 ak=e 成立的最小 正整数k 称为a 的阶，记作|a|=k，称 a 为 k 阶元. 若不存在这样的正整数 k，则称 a 为无限阶元. 例如，在(Z6, )中， [2]和[4]是3阶元， [3]是2阶元， [1]和[5]是6阶元， [0]是1阶元. 在(Z, +)中，0是1阶元，其它整数的阶都不存在.
e a b c a e c b b c e a c b a e
近ห้องสมุดไป่ตู้ 代数
群的性质：例题
例3 设群G=(P({a,b}), )，其中为对称差.
解下列群方程
{a}X=， Y{a, b}={b}. 解: X={a}1={a}={a}， Y={b}{a, b}1={b}{a, b}={a}
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群的定义及其证明摘要群在我们的自然科学研究中扮演者越来越重要的角色，从发现群到现在，它被广泛应用于各个领域的研究，无论是在数学上还是在物理化学等学科了，它的规律被人们广泛认可。
由此，肯定了我们对群的研究是有必要的，只有深刻地认识群的本质，才能让它在其他学科中的作用越来越突出。
所以，本文从群的发展演变，群的定义以及一些常见的群：循环群、有限群、同构群、子群、不变子群、置换群、直积群、线性群、二面体群、四元数群的定义，群的应用来进行阐述，让我们对群的定义有一定的把握和对群的应用有简单的认识。
关键词：集合、运算、群、群的定义群的定义比较及其应用AbstractGroup in our study of the natural sciences who plays an increasingly important role, from the discovery of the group until now, it has been widely used in various fields of research, whether in mathematics or in physical chemistry and other disciplines, and its laws are it is widely recognized. Thus, recognition of our research group is necessary, only a profound understanding of the nature of the group, to make it in other disciplines become increasingly prominent. Therefore, this article from the evolution of the development group, the definition of the group as well as some common group: cyclic group, finite group isomorphic groups, subgroups, invariant subgroup, permutation group, direct product group, linear group, dihedral group, quaternion group definition, application group to elaborate, let us define the group a degree of certainty and complex application has a simple understanding. Keywords: definition of set, operations, group, definition of group目录第一章群的由来 (1)第二章基本概念及预备知识 (4)2.2群的定义及其等价证明 (4)2.2.1 群的定义 (5)2.2.2 群的定义的等价证明 (5)第三章几种常见的群 (10)2.3.1循环群 (10)2.3.2 有限群 (10)2.3.3同构群 (12)2.3.4 子群 (12)2.3.5交换群 (13)2.3.6 直积群 (13)2.3.7 线性群 (13)2.3.8 二面体群 (14)2.3.9 四元素群 (14)第四章群的应用 (15)4.1 群在数学中的应用 (15)4.2 群在其他学科的应用 (16)参考文献 (17)谢辞 (18)第一章、群的历史由来群是代数系统的最基本类型之一，群论是近世代数的基本分支之一。
群的思想凝练到今天这样的瑰宝以前，可谓是历经曲折和磨难，从拉格朗日自发采用置换群以解决用根式解代数方程问题起【3】，到伽罗瓦提出了群的定义。
现在，群论是代数学发展最充分的分支之一，群，作为近代数学的基础；群不仅应用于数学本身：拓扑学、函数论、偏微分方程、伽罗瓦理论等，群，作为许多复杂的代数体系的组成部分；作为拓扑学的各种研究对象的性质的敏感的反应器；作为算法理论的练靶场【3】。
更是在分子轨道理论、分子振动、分子光谱学、化学反应选择规律、晶体学与相对论等问题时的研究中有着不可替代的应用。
群的概念是在19世纪时,有法国数学家伽罗瓦第一次提出来的，当时为了要解决高次代数式110(5)n n n x a x a n -+++=≥的代数方程的解的问题。
最初是由猜测的提出与猜测的论证时产生的，拉格朗日第一个明确宣布“不可能用根式解四次以上的方程”，但是从中看出了方程的根与置换的关系，提出了预解式的概念． 以一元二次方程为例:二次方程 02=++c bx ax 的求根公式显然2124x x ac b -=-，则()2121x x x x -=-ϕ称02=++c bx ax 的预解式，结合韦达定理得出：()04)(2221=---ac b x x ϕ所以得出ac b x x 4)(221-=-ϕ 拉格朗日还研究出三次方程和四次方程的预解式，但当解决五次方程时，他发现这种方法行不通了，于是当时的数学家就怀疑有可能是五次以上的代数方程根本不存在根式求解。
在预解式的研究中，拉格朗日第一次正确地指出方程的根的排列与置换的理论，也是解五次以上代数方程的关键所在．后来挪威数学家阿贝尔证明了对于一般的五次方程和五次以上的方程根式解不可能．后来法国数学家伽罗瓦就解决这样一个问题：什么样的特殊方程能够用根式来求解? 于是他就建立了判别方程根式可解的充分必要条件． 伽罗瓦证明了方程根式解的充分必要条件是方程的群为可解群. 其思想是将一个n 次方程02211=++++--n n n n a x a x a x的n 个根n x x x ,,,21 作成一个整体，将它们进行排列，也就是进行置换．这些置换的全体构成的集合，并且其中任意两个置换的乘积在这个集合内，伽罗瓦称为“群”，即方程的置换群，称之为“伽罗瓦群”，其中伽罗瓦提出的群的概念并不是现在我们所说的抽象的群概念，而是置换群的概念．他首次注意到一个多项式方程是否根式可解，是由这个方程根集上的一些特殊置换作成的集合是否具有某种性质决定的．为此，他最早使用了“群”这个词【7】．所谓“这个方程根集上的一些特殊置换作成的集合”，用今天的话来讲就是这个方程的伽罗瓦群．它是这个方程根集上的一个置换群，但未必是跟集的对称群：因为一部分根可能被另一些根生成，那些被生成的根在置换下变向何处，当然是由生成他们的那些根的变化情况群定．换句话说，伽罗瓦使用的方程(x)f 的伽罗瓦群，是指(x)f 的根集上的保持根之间所有代数关系的置换所构成的群【7】．这是数学史上最早的“群”的定义．伽罗瓦就是根据他所提出的群的概念来解决方程根式可解性问题的，伽罗瓦证明，当且仅当方程的群满足一定的条件，即方程的群是可解群，方程才是根式可解的．伽罗瓦群刻画了方程的根的对称性，一直到现在群都是作为研究对称性的有力工具．伽罗瓦的工作是代数学的新开端，最重要的是群的概念的引进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革．伽罗瓦提出群概念后，英国数学家凯莱就意识到群的一般性，于1949年引入“抽象群”的概念，他指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都可构成群，于是具体群的研究有了较深入广泛的发展．凯莱之后，德国数学家戴德金又一个给出了抽象群定义，他由置换群出发引导出有限群的抽象定义，还给出了抽象的有限交换群的定义．1870年，数学家克隆尼克类似凯莱抽象群概念给出了相当于有限阿贝尔群的抽象定义．他规定了抽象的元素和抽象的运算，说明运算具有封闭性、结合性和交换性以及一元素的逆元存在且唯一．其中一位法国数学家若尔当在《 置换论 》一书中 ，给出了许多重要的抽象代数的概念，比如：商群、同构、同态、阿贝尔群等，他还在物理学家布拉维斯关于运动群的理论的启发下开展了无限群的系统的研究．若尔当的无限群的系统的研究影响了克莱因对无限变换群的研究，以及挪威数学家李又研究了无限连续变换群，也就是李群的研究．19世纪末，数学家们已经对各类不同的群的研究有了一定的积累，已基本认清了群的本质，群作为整体是具有某种联系的元素的一个集合，我们无需认识这些元素是什么，也无需知道具体是哪一种联系，只需明确这些元素间的联系具备怎样的基本规则，于是就形成了抽象群的概念【10】．经过抽象定义的群，群是一个这样的集合，带有一个运算，即乘法运算，满足封闭性与结合律，即集合中的任意两个元素运算后仍在这个集合内，且在这个集合内有单位元与逆元的存在．也就是后来一直被人们广泛使用和接受的群的定义．一个非空集合G对于一个叫做乘法的代数运算来说作成一个群．群的定义发展到这儿，我们终于得到了一个明确且高度概括的概念，这个概念适用于所有的群，打破了群的定义的不全面性，同时，也为我们后来研究群作出了巨大的贡献，也为群在其他领域的快速发展奠定了基础，群的概念的发现，如同登月英雄阿姆斯特朗所说“这是个人的一小步，却是人类的一大步．”群，它是具有一个二元运算的集合【3】．在群里，二元运算通常是指乘法，常用“”来表示，常省略“”，写成群里元素相乘的形式，如abc．群的定义及其应用第二章、基本概念及预备知识2.1预备知识集合的定义：若干个（有限或无限）有明确定义的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成一个集合的事物叫做这个集合的元素，简称元．没有任何元素的集合成为空集合．两个集合的关系：如果集合B 中的每一个元素都属于集合A ，就称B 是A 的子集．集合B 是A 的集合A 的子集，而且至少有一个A 的元不属于B ，就称B 是A 的真子集．集合A 和集合B 的共同元素所组成的集合叫做A 和B 的交集．由至少属于集合A 和集合B 之一的一切元素组合的集合叫做A 和B 的并集． 映射的定义：通过一个法则φ，集合G 里的任何一个元g 都能在集合D 中得到一个唯一的元d ，那么这个法则φ叫做集合G 到集合D 的一个映射，元d 称为元g 在映射φ之下的象，元g 称为元在映射φ之下的一个逆元．代数运算的定义：一个A B ⨯到D 的映射叫做一个A B ⨯到D 的代数运算，常用表示．变换的定义：一个A 到A 的映射叫做A 的一个变换．一个A 到A 的满射，单射或A 与A 之间的一一映射称为Ａ的一个满射变换、单射变换或一一变换．同态和同构的定义：【1】①、一个A 到A 的映射φ，叫做一个对于代数运算。
和。
来说的，A 到A 的同态映射，假如，在φ之下，不管a 和b 是A 的哪两个元，只要a a →，b b →就有a b a b →．②、一个A 到A 的一一映射φ是一个对于代数运算。