离散数学课本定义和定理
离散数学 第三章 函数
下面先规定几个标准集合的基数： 1) 空集的基数为0。 2) 设n为一自然数，Nn为从1到n的连贯的自然数集合， Nn={1,2,3,…,n}，Nn的基数为n，|Nn|=n 。 3) 设N为自然数的全体，N={1,2,3,…},N的基数为ℵ0(读成 阿列夫零， ℵ是希伯莱文的第一个字母)。 4) 设R为实数的全体，R的基数为ℵ ,|R|= ℵ 。 • • 以上四项规定，对于空集及Nn的基数，实际上就是集 合中元素的个数，关于ℵ0及ℵ，下面将予探讨。 有了标准基数之后，我们可以对各种集合测量其基数。 测量的手段是以双射函数为主体的等价关系一等势。 比如说，一个集合与N等势，那么这个集合的基数为 ℵ0 。
定理6 设A及B为两个可数集，那么A×B为一可数集。 定理 推论1 推论 设A1,A2,A3,…,An为n个可数集，那么 × A是可数集。
i=1 i n
定理7 (0,1)开区间上的实数不是可数集。 定理 定理8 设A为一集Y的函数，若f 是双射函数，则f 的逆关系 f –1是从Y到X的双射函数。 定理2 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数，则复合关 系f οg是从 X到Z的函数，将f ο g记为g ο f 。 定理3 定理 设f 是从X到Y的函数，g 是从Y到Z的函数。 1）若f 和g是满射函数，则g ο f 是满射函数； 2）若f 和g是单射函数，则g ο f 是单射函数； 3）若f 和g是双射函数，则g ο f 是双射函数。 定理4 定理 设f 是从X到Y的双射函数， f –1是f 的逆函数，则 1) (f –1) –1 = f 2) f –1 ο f = IX 3) f ο f –1 = IY
定义3 定义 设 |X|=n，P是从X到X的双射函数，称P为X上的置 换，称n为置换的阶。 • 在n个元素的集合中，不同的n阶置换的个数为n!。 • 通常用下面的方法表示置换。 x1 x2 x3 … xn P = p(x ) p(x ) p(x ) … p(x ) 1 2 3 n • 若∀xi∈X 有 p(xi) = xi ，则称P是恒等置换。 • P的逆函数P-1可表示为 p(x1) p(x2) p(x3) … p(xn) P-1 = x1 x2 x3 … xn • 置换的复合与关系的复合相同。 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3 2 1 2 1 3 3 1 2
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
2019/3/2
离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
离散数学定义列表
A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。
离散数学课本定义和定理
第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为A⊆A或A⊇A，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足A⊆A，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为A⊂A，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为A(A)或2A1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为A∪A.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为A∩A.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足A∩A=A，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为A−A.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为A′.定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差A⊕A为A⊕A=(A−A)∪(A−A)1.3 包含排斥原理定理1.3.1设A1,A2为有限集，其元素个数分别为|A1|，|A2|则|A1∪A1|=|A1|+|A2|−|A1∩A2|定理 1.3.2设A1,A2,A3为有限集，其元素个数分别为|A1|,|A2|,|A3|，则|A1∪A2∪A3|=|A1|+|A2|+|A3|−|A1∩A2|−|A1∩A3|−|A2∩A3|+|A1∩A2∩A3|定理1.3.3设A1,A2,…,A A为有限集，则|A1∪A2∪…A A|=∑|A A| AA=1−∑|A A∩A A|1≤A<A≤A+∑|A A∩A A∩A A|1≤A<A<A≤A+⋯+(−1)A−1|A1∩A2∩…A A|重要例题 P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1（序偶）：若A和A是两个元，将它们按前后顺序排列，记为〈A,A〉，则〈A,A〉成为一个序偶。
离散数学课本定义和定理
第1章集合集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A的幂集，记为或集合的运算定义（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.!定义（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B的差集，记为.定义（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为包含排斥原理定理设为有限集，其元素个数分别为，则。
定理设为有限集，其元素个数分别为，则定理设为有限集，则重要例题P11 例第2章二元关系关系定义（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
:定义（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。
如果，则称为上的二元关系。
定义（恒等关系）：设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。
离散数学定义(必须背)
命题逻辑▪令狐采学▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(Q)、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R) 、(Q R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,An是由S生成的公式，则FA1…An是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1 B2，或A=B1 B2，或A=B1B2，或A=B1 B2，或A=B1 B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{，，，，，}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= Q1，则v(Q)= v(Q1)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪若Q=Q1 Q2，则v(Q)=v(Q1) v(Q2)▪若Q=Q1Q2，则v(Q)=v(Q1)v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
离散数学中的基本概念和原理概述
离散数学中的基本概念和原理概述离散数学是数学中一个重要的分支学科，它主要研究离散对象及其结构、性质和关系。
在计算机科学、信息技术等领域，离散数学具有重要的应用价值。
本文将对离散数学的基本概念和原理进行概述，并介绍其在实际应用中的意义。
1. 集合论在离散数学中，集合论是最基础的概念之一。
集合是指由确定的元素组成的整体，而元素即集合中的个体。
集合间可以进行并、交、差等操作，而对于集合中的元素，可以通过包含关系、等于关系等进行描述。
在实际应用中，集合论常被用于数据库的设计和查询、逻辑推理等领域。
2. 关系和图论关系是研究离散数学中的另一个基本概念。
关系可以描述元素之间的某种联系或者特定的性质。
图论则是研究图的结构、性质和算法的学科，图由节点和边组成，节点表示元素，边表示元素之间的关系。
关系和图论在计算机网络、社交网络、电路设计等领域有广泛的应用。
3. 逻辑和命题逻辑是离散数学中的重要分支，研究命题之间的关系和推理规则。
命题是对某个陈述的真假进行判断的语句，可以用真或假来表示，通过逻辑运算符如与、或、非等进行连接。
逻辑在计算机科学中有广泛的应用，例如布尔代数、编程语言的设计等。
4. 组合数学组合数学是研究离散结构中的组合问题的学科，主要研究排列、组合和选择等问题。
排列是指对一组元素进行有序排列，组合是指从一组元素中选择出若干个元素的集合，选择是指对一组元素中进行有序或无序的选择。
组合数学在密码学、图像压缩、排课等领域有着广泛的应用。
5. 图的连通性和树图的连通性研究的是图中节点之间是否存在某种路径使得它们可以相互到达。
连通性在网络设计、电路设计等领域有着重要的应用。
树是一种特殊的图，它没有回路且任意两个节点之间存在唯一的路径。
树在数据结构、优化算法等方面有着广泛的应用。
综上所述，离散数学中的基本概念和原理涵盖了集合论、关系和图论、逻辑和命题、组合数学以及图的连通性和树等多个方面。
这些概念和原理在计算机科学、信息技术等领域有着广泛的应用，为解决实际问题提供了数学工具和方法。
离散数学第四章
构造一个数b=0.b1b2b3b4…bn……， 其中 ： b1≠a11 b2 ≠ a22 b3≠a33… 于是 b ≠x 1 , b≠ x2, b≠ x3 ... 因此： b(0,1)
bn≠ ann... b ≠ xn …
但是b这样的形式应该是属于集合(0,1)的，因此产生 矛盾，所以(0,1)是不可数的。
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基本概念
定义4.1 一个集合S与集合Nn={0,1,2，…n-1}，如 存在一一对应函数 f : Nn→S，则称S是有限集合， 并称其有基数n，如果S不是有限集合，则称为无 限集合。 说明：
由集合的元素个数来定义； 由于量变引起的质变； 它们中的一种性质都不能随意扩展到另一个集合中。
有限集和无限集
有限集合
元素的个数称为该集合的基数； 满足包含排斥原理。 元素无限多，如：自然数集合N、整数集I、实数集R等。 对于这样的集合有没有基数呢？ 如果有，基数是多少？ 无限集合之间有无大小的差别?
无限集合
问题：
本章主要借助于函数讨论集合的所谓“大小”问题。这里 用到自然数集合这个重要的概念讨论无限集。
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说明：
• • • •
这种方法称为：康托对角线法； 对角线法并非康托尔关于实数不可数的第一个证 明，而是发表在他第一个证明的三年后； 他的第一个证明既未用到十进制展开，也未用到 任何其它数字系统； 自从该技巧第一次使用以来，在很大范围内的证 明中都用到了类似的证明构造方法。
28
由前面这些定理可知：
•
如此继续，可取出m3,m4,m5,…无限多个元素，则可得到另一个集合 M1={m1,m2,…}； 令M2=M-M1，即M中除去M1后得到的集合， 则M=M1∪ M2， 做另一集合M’={m2,m3,…} ∪M2，显然M⊃M’且M’~M，因此存在如 下一一对应的关系： 对于M的每个mi对应mi+1，对于M中的每个m∈ M2，对应M’中的 m。
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第1章集合1.1 集合的基本概念1. 集合、元（元素）、有限集、无限集、空集2. 表示集合的方法：列举法、描述法3. 定义1.1.1（子集）：给定集合A和B，如果集合A的任何一个元都是集合B中的元，则称集合A包含于B或B包含A，记为或，并称A为B的一个子集。
如果集合A和B满足，但B中有元不属于A，则称集合A真包含于B，记为，并且称A为B的一个真子集。
4. 定义1.1.2（幂集）：给定集合A，以A的所有子集为元构成的一个集合，这个集合称为A 的幂集，记为或1.2 集合的运算定义1.2.1（并集）：设A和B是两个集合，则包含A和B的所有元，但不包含其他元的集合，称为A和B的并集，记为.定义1.2.2（交集）：A和B是两个集合，包含A和B的所有公共元，但不包含其他元的集合，称为A和B的交集，记为.定义1.2.3（不相交）：A和B是两个集合，如果它们满足，则称集合A和B是不相交的。
定义1.2.4（差集）：A和B是两个集合，属于A而不属于B的所有元构成集合，称为A和B 的差集，记为.定义1.2.5（补集）：若A是空间E的集合，则E中所有不属于A的元构成的集合称为A的补集，记为.定义1.2.6（对称差）：A和B是两个集合，则定义A和B的对称差为1.3 包含排斥原理定理1.3.1设为有限集，其元素个数分别为，则定理 1.3.2设为有限集，其元素个数分别为，则定理1.3.3设为有限集，则重要例题P11 例1.3.1第2章二元关系2.1 关系定义2.1.1（序偶）：若和是两个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个序偶。
※对于序偶和，当且仅当并且时，才称和相等，记为定义2.1.2（有序元组）：若是个元，将它们按前后顺序排列，记为，则成为一个有序元组（简称元组）。
定义2.1.3（直接积）：和是两个集合，则所有序偶的集合，称为和的直接积（或笛卡尔积），记为. 定义2.1.4（直接积）：设是个集合，，则所有元组的集合，称为的笛卡尔积（或直接积），记为.定义2.1.5（二元关系）若和是两个集合，则的任何子集都定义了一个二元关系，称为上的二元关系。
如果，则称为上的二元关系。
定义2.1.5（恒等关系）：设是上的二元关系，，则称是上的恒等关系。
定义2.1.7（定义域、值域）：若是一个二元关系，则称存在使为的定义域。
存在使为的值域。
定义2.1.8（自反）：设是集合上的关系，若对于任何．．，都有即则称关系是自反的。
定义2.1.9（反自反）：设是集合上的关系，若对于任何，都满足,即对任何都不成立，则称关系是反自反的。
定义2.1.10（对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要,就有,那么称关系是对称的。
定义2.1.11（反对称）：设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时,就有，那么称关系是对称的。
定义2.1.11（传递）设是集合上的关系，若对于任何，只要并且时，就有，则称关系是传递的。
定理2.1.1设是集合上的关系，若是反自反的和传递的，则是反对称的。
2.2 关系矩阵和关系图定义无定理无2.3 关系的运算定义2.3.1（连接）：设为上的关系，为上的关系，则定义关系存在使且称为关系和的连接或复合，有时也记为.定义2.3.2（逆关系）：设为上的关系，则定义的逆关系为为上的关系：.定理2.3.1设和都是上的二元关系，则下列各式成立（1）（2）（3）（4）（5）定理2.3.2设为上的关系，为上的关系，则2.4 闭包运算定义2.4.1（自反闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小自反关系，则称是关系的自反闭包，记为.定义2.4.2（对称闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小对称关系，则称是关系的对称闭包，记为.定义2.4.3（传递闭包）：设是集合上的二元关系，如果是包含的最小传递关系，则称是关系的传递闭包，记为或.定理2.4.1设是集合上的二元关系，则（1）是自反的，当且仅当.（2）是对称的，当且仅当.（3）是传递的，当且仅当.定理2.4.2设是集合上的二元关系，则. “恒等关系”定理2.4.3设是集合上的二元关系，则. “逆关系”定理2.4.4设是集合上的二元关系，则. “幂集”定理2.4.5设是一个元集，是上的二元关系，则存在一个正整数，使得.2.5 等价关系和相容关系定义 2.5.1（覆盖、划分）：是一个集合，,如果，则称是的一个覆盖。
如果，并且，则称是的一个划分，中的元称为的划分块。
定义2.5.2（等价关系）：设是上的一个关系，如果具有自反性、对称性和传递性三个性质，则称是一个等价关系。
设是等价关系，若成立，则称等价于.定义2.5.3（等价类）：设是上的一个等价关系，则对任何，令且，称为关于的等价类，简称为的等价类，也可以简记为.定义2.5.4（同余）：对于整数和正整数,有关系式：如果，则称对于模同余的，记作定义2.5.5（商集）：设是上的一个等价关系，由引出的等价类组成的集合称为集合上由关系产生的商集，记为. “等价类的集合”定理2.5.1 若是上的一个等价关系，则由可以产生唯一的一个对的划分。
“商集”定义2.5.6（相容关系）：设是上的一个关系，如果是自反的和对称的，则称是一个相容关系。
相容关系可以记为.所有的等价关系都是相容关系，但相容关系却不一定是等价关系。
定义2.5.7（最大相容块）：设是一个集合，是定义在上的相容关系。
如果,中的任何两个元都有关系，而的每一个元都不能和中所有元具有关系，则称是的一个最大相容块。
2.6 偏序关系定义2.6.1（偏序关系）：是定义在集合上的一个关系，如果它具有自反性、反对称性和传递性，则称是上的一个偏序关系，简称为一个偏序，记为.更一般地讲，若是一个集合，在上定义了一个偏序，则我们用符号来表示它，并称是一个偏序集。
定义2.6.2（全序/链）：是一个偏序集，对任何，如果或这两者中至少有一个必须成立，则称是一个全序集或链，而称是上的一个全序或线性序。
定义2.6.3（盖住）：是一个偏序集，，若，并且不存在,使并且，则称盖住. “紧挨着”定义2.6.4（最小元、最大元）：是一个偏序集，如果中存在有元，对任何都满足，则称是的最小元。
如果中存在有元，对任何都满足，则称是的最大元。
定义2.6.5（极小元、极大元）：是一个偏序集，如果,而中不存在元，使,则称是的极小元。
如果,而中不存在元,使,则称是的极大元。
定义2.6.6（上界、下界、上确界、下确界）：是一个偏序集，,如果对于所有的,都有,则称是的一个上界。
如果对于所有的,都有,则称是的一个下界。
如果是的一个上界，对于的任一上界,都有,则称是的最小上界（上确界）. 如果是的一个上界，对于的任一上界,都有,则称是的最大下界（下确界）.定义2.6.5（良序集）：设是一个偏序集，对于偏序，如果的每个非空子集都具有最小元，则称是一个良序集，而称是上的一个良序。
每个良序集都是全序集。
第3章函数和运算3.1 函数定义3.1.1（映射、象）：关系定义在上，如果对于每一个．．．．．，．．．，都有唯一的一个使，则称是从到的一个函数（或映射），记为.称为函数的变元，称为变元在下的值（或象），记为.注意：（1）定义域，而不是.（2）每一个，有唯一的，使. 多值函数不符合定义（3）值域.定义3.1.2（受限、扩展）：若是从到的一个函数，，则也是一个函数，它定义于到，我们称它是在上的受限。
如果是函数的一个受限，则称是的一个扩展。
★定义3.1.3（映上、映内、一对一、一一对应）：若，则的值域时，称函数是映上的（或满射）。
如果的值域时，则称函数是映内的。
如果，则有,则称是一对一的（单射）（即时，有）.如果映上的，又是一对一的，则称是一一对应的（或双射）。
定义3.1.4（复合运算）：若，则定义和的复合运算为：存在使且即.注：逆函数若要存在需要满足以下条件：（1）函数是映上的（2）函数必须是一对一的定义3.1.5（恒等函数）函数称为恒等函数。
定理3.1.1，则的充分必要条件是，并且3.2 运算定义3.2.1（二目运算）：若是一个集合，是从到的一个映射（函数），则称为一个二目运算。
一般地，若是从到的一个映射（是正整数），则称是一个目运算。
运算的封闭：运算的结果总是集合中的一个元，因此这个定义保证了运算的施行，这种情况又称为集合对于该种运算是封闭的。
定义3.2.2（可交换）：若是一个运算，对于任何，都有，则称运算是可交换的（或者说，服从交换律）.定义3.2.3（可结合）：若是一个运算，对于任何,都有，则称运算是可结合的（或者说，服从结合律）.定义 3.2.4（可分配）：若是一个运算，是一个运算，对于任何，都有，则称运算对于运算是可分配的（或者说，对于服从分配律）定义3.2.5（左单位元、右单位元）：设是上的一个运算，如果中存在有一个元，对于任何，有，则称是运算的左单位元；如果中存在有一个元，对于任何，有，则称是运算的右单位元。
定理3.2.1若是上的一个运算，和分别是它的左、右单位元，则，并且是唯一的（因此，称为运算的单位元）.定义3.2.6（左零元、右零元）：设是上的一个运算，如果中存在有一个元，对于任何，有，则称是运算的左零元；如果中存在有一个元，对于任何，有，则称是运算的右零元.定义3.2.7（等幂）：若是上的一个运算，，对于运算，有，则称元对于运算是等幂的。
定义3.2.8（左逆元、右逆元）：若是上的一个运算，它具有单位元，对于任何一个,如果存在有元，使，则称是的左逆元；如果存在有元，使，则称是的右逆元；定理3.2.3若是上的一个运算，它具有单位元，并且是可结合．．．的，则当元可逆时，它的左、右逆元相等，并且唯一的（此时称之为的逆元，并且记为）.定义3.2.9（可消去）：若是上的一个运算，对于任何，如果元满足：则；或则，则称元对于运算是可消去的。
第4章无限集合4.1 基数★定义4.1.1（等势）：若和是两个集合，如果在和之间可以建立一个一一．．．．对应关系，则称集合和等势，并记为。
定理4.1.1令是由若干个集合为元所组成的集合，则上定义的等势关系是一个等价关系。
定义4.1.2（有限集、无限集）：若是一个集合，它和某个自然数集等势，则称是一有限集，不是有限集的集合称为无限集。
定理4.1.2有限集的任何子集都是有限集定理4.1.3有限集不与其任何真子集等势定理4.1.4自然数集是无限集4.2 可列集定义4.2.1（可列集）：若是一个集合，它和所有自然数的集合等势，则称是一个可列集。
可列集的基数用符号表示。
定理4.2.1若是一个集合，可列的充分必要条件是可以将它的元排列为的序列形式。
定理4.2.2任何无限集必包含有可列子集。
定理4.2.3可列集的子集是有限集或可列集（记为：）定理4.2.4若是可列集，是有限集，并且，则是可列集（记为：）. 定理4.2.5若和都是可列集，并且，则是可列集（记为：）推论4.2.1设都是可列集，则是可列集（记为：）定理4.2.6设都是可列集，并且，则是可列集（记为：）推论4.2.1设都是可列集，则是可列集.定理4.2.7所有有理数的集合是可列集。