离散数学的定义精简版
离散数学
3、：N×NN，N是自然数集 (0∈N)，(<x,y>)=|x2-y2|
解: 取<1,1>,<2,2>∈ N×N (<1,1>)=|12－12|=0 (<2,2>)=|22－22|=0 故不是单射. 又取2∈N, 因不存在自然数x,y∈N 满足: |x2－y2|=2 故不是满射. ∴ 既不是单射也不是满射.
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离散数学
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§3.2 映射的运算
• 逆映射的概念
定义3.2.1 设：AB，定义关系RBA为： R={<y,x> | y∈B , x∈A,且(x)=y}；如果R是B 到A的映射，则称R为的逆映射。记为– 1。
• 例如：设：N E，N 是自然数集合，E是 自然数中所有偶数的集合，(n) = 2n，n∈N。 则的逆映射-1为： -1 ：E N，-1(m)=m/2，m∈E。
§3.1 基本概念
定义3.1.1： 设A，B是两个集合，是A到B的二 元关系，若对A中每个元素a，有唯一的 b∈B， 使得<a,b>∈ ，则称为A到B的映射，记为： : AB 或 A B
• 所谓从A到B的映射就是A中的每个人都向B中 的人射了一箭，并且都射中了B中的一个人。 既没有人偷懒不射，也没有人一箭双雕。 • 这时，B中的人，有的可能身中数箭，有的可 能一箭未中。当然也可能刚好每人中了一箭。
• 充分性：设是双射，考虑的逆关系，易知，对于B 中的每个元素y，都对应着A中唯一的一个在下以y 为映象的元素x，因此， 的逆关系是B到A的映射。
2019/3/2 离散数学 4
满射、单射和双射的例子
• 设：N N，N 是自然数集，(n)= 2n， n∈N。则是 单射，但不是满射。
考试必备离散数学概念总结
1.1、单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式2.1、若等价式A↔B是重言式，则称A与B等值，记作A⇔B，并称A⇔B是等值式2.2、(1) 文字——命题变项及其否定的总称2.3、设C1=l∨C1', C2=lc∨C2', C1'和C2'不含l和lc, 称C1∨'C2'为C1和C2(以l和lc为消解文字)的消解式或消解结果, 记作Res(C1,C2)2.4、设S是一个合取范式, C1,C2,⋯,Cn是一个简单析取式序列. 如果对每一个i(1≤i≤n), Ci是S的一个简单析取式或者是Res(Cj,Ck)(1≤j<k<i), 则称此序列是由S导出Cn的消解序列. 当Cn=λ时, 称此序列是S的一个否证.3.1、设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值，A1∧A2∧…∧Ak为假，或当A1∧A2∧…∧Ak为真时，B也为真，则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正确的, 并称B是有效结论.4.1、个体词——所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示个体域(论域)——个体变项的取值范围4.2、谓词——表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：如, F(a)：a是人谓词变项：如, F(x)：x具有性质F一元谓词(n=1)——表示性质多元谓词(n≥2)——表示事物之间的关系0元谓词——不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项4.3、设L是一个非逻辑符集合, 由L生成的一阶语言L 的字母表包括下述符号：非逻辑符号（个体常项符号、函数符号、谓词符号）和逻辑符号（个体变项符号、量词符号、联结词符号、括号与逗号）4.4、设R(x1, x2, …, xn)是L的任意n元谓词，t1, t2, …, tn 是L的任意n个项，则称R(t1,t2, …, tn)是L的原子公式.4.5、在公式∀xA 和∃xA 中，称x为指导变元，A为相应量词的辖域. 在∀x和∃x的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，A中不是约束出现的其他变项均称为是自由出现.4.6、若公式A中不含自由出现的个体变项，则称A为封闭的公式，简称闭式.6.1、A⊆B⇔∀x ( x∈A →x∈B )6.2、A = B⇔A⊆B∧B⊆A6.3、A⊂B⇔A⊆B∧A≠BA⊈B⇔∃x ( x∈A ∧x∉B )6.4、幂集：P(A)={ x | x ⊆A } （一定包含空集）6.5、并A⋃B = {x | x∈A∨x∈B}交A⋂B = {x | x∈A∧x∈B}相对补A-B = {x | x∈A∧x∉B}对称差A⊕B = (A-B)⋃(B-A)绝对补~A = E-A6.6、广义并⋃A = { x | ∃z ( z∈A∧x∈z )}广义交⋂A= { x | ∀z ( z∈A →x∈z )}7.1、设A,B为集合，A与B的笛卡儿积记作A⨯B，且A⨯B = {<x,y>| x∈A∧y∈B}.7.2、设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.（计数：|A|=n, |A×A|=n^2, 所以A上有2^(n^2)个不同的二元关系。
离散数学1
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学定义列表
A.定义1.简单命题/原子命题、复合命题2.定义1.1：否定式、否定联结词3.定义1.2：合取式、合取联结词4.定义1.3：析取式、析取联结词定义1.4：蕴含式、前件、后件、蕴含联结词；规定19.4、20.45.定义1.5：等价式、等价联结词；规定6.联结词的定义（真值表）表1.1、优先级7.命题常项、命题变项（不是命题）、合式公式8.定义1.6：原子命题公式、公式、子公式9.定义1.7：公式层次10.定义1.8：赋值/解释、成真赋值、成假赋值11.定义1..9：真值表12.定义1..10：重言式/永真式、矛盾式/永假式、可满足式13.哑元************************重点：命题逻辑等值演算***************15.等值演算、置换规则4.116.定义2.2：文字、简单析取式、简单合取式17.定义2.3：析取范式、合取范式、范式18.定义2.4：极小项、极大项定义2.5：主析取范式、主合取范式********************************一阶逻辑**********************19.个体词、个体常项、个体变项、个体域/论域、全总个体域20.谓词、谓词常项、谓词变项、n元谓词、0元谓词量词、全称量词、存在量词全称蕴含、存在合取P71 5.3********************************集合代数**********************21.定义6.1：子集、包含22.定义6.2：相等23.定义6.3：真子集定义6.4：空集P139 124.n元集、m元子集、（单元集）25.定义6.5：幂集公式：26.定义6.6：全集27.定义6.7:并集、交集、相对补集、不交28.定义6.8：对称差集29.定义6.9：绝对补集30.定义6.10：广义并31.定义6.11：广义交幂等律、结合律、交换律、分配律、同一律、零律、排中律、矛盾律、吸收律、德摩根律、双重否定律eg6.8,P108 36****************************重点：二元关系***********************32.定义7.1：有序对/序偶33.定义7.2：笛卡尔积性质P11134.定义7.3：二元关系/关系P139 735.定义7.4：从A到B的二元关系、A上的二元关系、空关系36.定义7.5：A上的全域关系（E）、恒等关系（I）、小于等于关系（L）、整除关系（D）、包含关系（R）37.关系矩阵（x行，y列）、关系图38.定义7.6：定义域、值域、域39.定义7.7：逆关系40.定义7.8：右复合（左复合）41.定义7.9：R在A上的限制、A在R下的像42.定义7.10：关系的n次幂定义7.11：自反、反自反定义7.12：对称、反对称定义7.13：传递43.定义7.15：等价关系（性质）P142 32(4)、4144.定义7.16：等价类45.定义7.17：商集46.定义7.18：划分、划分块 P134 eg7.1847.定义7.19：偏序关系（性质）48.定义7.20：小于、可比49.定义7.21：全序关系/线序关系50.定义7.22：偏序集P13551.定义7.23：偏序集中顶点的覆盖关系（为画哈斯图）P143 43（2）***************************函数*******************************53.定义8.1：函数54.定义8.2：函数相等55.定义8.3：从A到B的函数P171 6（8）（9）56.定义8.4：从A到B的函数的集合B A57.定义8.5：A1在ƒ下的像、函数的像、完全原像定义8.6：满射、单射、双射/一一映射P173 2558.定义8.7: 常函数、恒等函数、单调递增、单调递减、严格单调递减、特征函数、自然映射59.反函数（双射）*************************代数系统*****************************60.定义9.2：一元运算定义9.3：可交换/交换律定义9.4：可结合/结合律定义9.5：幂等律、幂等元61.定义9.6：可分配/分配律62.定义9.7：吸收律63.定义9.8：左单位元（右单位元）、单位元/幺元64.定义9.9：左零元（右零元）65.定义9.10:左逆元（右逆元）、逆元、可逆66.定义9.11：消去律、左消去律（右消去律）注意P183 eg9.667.定义9.12：代数系统/代数、特异元素/代数常数68.定义9.13：具有相同的构成成分/同类型69.定义9.14：子代数系统/子代数、平凡的子代数、真子代数（函数对子集封闭）70.定义9.15：积代数、因子代数************************************群与环***************************************半群与群都是具有一个二元运算的代数系统71.定义 10.1：半群（）、幺半群/独异点（）、群（）72.有理数加群、整数加群、实数加群、复数加群、四元群、子代数、语言73.定义 10.2：有限群、无限群、平凡群、交换群/Abel群74.定义 10.3：n次幂75.定义 10.4：（元素的）阶/周期、k阶元、无限阶元***********************************格与布尔代数**********************************格与布尔代数是具有两个二元运算的代数系统定义11.1：格（偏序集定义的）P22176.幂集格、子群格77.定义11.2：对偶命题、格的对偶原理78.定义11.3：格（代数系统定义的）79.定义11.4：子格80.定义11.5：分配格81.定义11.6：全上界、全下界82.定义11.7：有界格83.定义11.8：补元84.定义11.9：有补元定义11.10：布尔格/布尔代数（有补分配格）85.定义11.11：布尔代数（代数系统定义）86.定义11.12：原子**********************************14.图的基本概念********************************87.无序积A&B88.定义14.1：无向图、顶点集、顶点/结点、边集、无向边/边89.定义14.2：有向图、无向边/边90.（P294）图、阶、n阶图；零图、平凡图；空图；标定图、非标定图；基图；端点、关联、关联次数、环、相邻；始点、终点、孤立点；邻域、闭邻域、关联集、后继元集、先驱元集91.定义14.3：平行边、重数、多重图、简单图92.定义14.4：度数/度、出度、入度、最大度、最小度、悬挂顶点、悬挂边、偶度（奇度）顶点93.度数列、可图化的、可简单图化的，出度列、入度列94.定义14.6：n阶无向完全图/n阶完全图、n阶有向完全图、n阶竞赛图95.定义14.7：k-正则图96.定义14.8：母图、真子图、生成子图、导出的子图97.定义14.10：删除边e、删除E’、删除顶点v、删除V‘、边的收缩、新加边删点边不留，删边点还在98.定义14.11：通路、始点、终点、长度、回路、简单通路、简单回路、初级通路/路径、初级回路/圈、奇圈、偶圈、复杂通路、复杂回路99.定义14.12:连通、连通图、非连通图100.定义14.13：连通分支、连通分支数101.定义14.14：短程线、距离102.定义14.15：点割集、割点103.定义14.16：边割集/割集、割边/桥104.定义14.21：弱连通图/连通图、单向连通图、强连通图105.定义14.22：二部图/二分图/偶图，完全二部图定义14.23：无向图关联次数、关联矩阵定义14.24：有向图关联矩阵定义14.25：邻接矩阵定义14.26可达矩阵**********************************15.欧拉图与哈密顿图****************************106.定义15.1：欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图107.定义15.2：哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密度图**********************************16.树*****************************************108.定义16.1：无向树/树、森林、平凡树、树叶、分支点109.定义16.2：生成树、树枝、弦、余树110.定义16.:5：权、最小生成树111.避圈法（Kruskal算法）B.定理1.定理2.1：简单析取式是重言式的充要条件；简单合取式是矛盾式的充要条件2.定理2.2：析取范式（矛盾式）、合取范式（重言式）3.定理2.3：范式存在定理4.定理2.4：极小项和极大项关系5.定理2.5：主析、主合存在并唯一6.定理6.1：子集是一切集合的子集推论：空集是唯一的7.定理7.1：逆关系性质8.定理7.2：复合结合律、逆9.定理7.3：关系与恒等关系复合10.定理7.4：复合分配律注意交11.定理7.5：限制和像的分配律注意像的交12.定理7.6：有穷集上只有又穷多个不同的二元关系13.定理7.7：关系的幂性质14.定理7.8：有穷集A上的关系R的幂序列R0，R1，R2等是一个呈现周期性变化的序列15.定理7.9：五大性质16.定理7.14：等价关系的性质17.定理8.1：函数的复合（关系的右复合）推论1：函数复合结合律推论2：ƒ：A→B，g：B→C，则ƒ。
离散的数学定义
离散的数学定义
离散数学是数学的一个分支，主要研究离散对象和离散结构之间的关系，重点关注离散的整数值、集合和图论等。
以下是离散数学的一些主要概念和定义：
1. 集合论：
- 集合是离散数学中最基本的概念之一，表示一组独立对象的总体。
集合论研究集合之间的关系、运算和性质。
2. 逻辑：
- 逻辑是研究命题和推理的学科，离散数学中的逻辑主要包括命题逻辑和谓词逻辑，用于研究命题的真假和推理规则。
3. 图论：
- 图论是离散数学的一个重要分支，研究图（vertices 和edges组成的结构）之间的关系和性质，包括图的遍历、连通性、最短路径等问题。
4. 离散结构：
- 离散结构指的是离散对象之间的关系和结构，如排列组合、树、图等。
离散数学研究这些结构的性质和应用。
5. 组合数学：
- 组合数学是离散数学的一个重要分支，研究离散对象的排列组合方式，包括排列、组合、二项式定理等。
6. 概率论：
- 离散概率论研究离散随机变量的概率分布和性质，包
括概率空间、随机变量、概率分布等。
7. 离散数学的应用：
- 离散数学在计算机科学、信息技术、密码学、通信等领域有着广泛的应用，如算法设计、数据结构、网络设计等。
总的来说，离散数学是研究离散对象和结构的数学分支，涉及集合论、逻辑、图论、组合数学等内容，在计算机科学和信息技术等领域具有重要的理论和实际应用。
离散数学部分概念和公式总结(精简版)
第一章命题逻辑一、等价公式(真值表)1)常用联结词：┐否定∨析取∧合取→：条件∆：双条件当且仅当Q 取值为F 时P →Q 为F ，否则为T ★等价公式表(等值公式表)常用的其它真值表┐┐P<=>P 双重否定P ∨P<=>P P ∧P<=>P幂等律(P ∧Q)∧R<=>P ∧(Q ∧R)(P ∨Q)∨R<=>P ∨(Q ∨R)结合律P ∧Q<=>Q ∧P P ∨Q<=>Q ∨P交换律P ∧(Q ∨R)<=>(P ∧Q)∨(P ∧R)P ∨(Q ∧R)<=>(P ∨Q)∧(P ∨R)分配律P ∨(P ∧Q)<=>P P ∧(P ∨Q)<=>P 吸收┐(P ∧Q)<=>┐P ∨┐Q ┐(P ∨Q)<=>┐P ∧┐Q 德摩根P ∨F<=>P P ∧T<=>P 同一律P ∨T<=>T P ∧F<=>F 零律P ∨┐P<=>T P ∧┐P<=>F否定律常用的其它真值表P ┐P T F FTP Q P ∨Q T T T T F T F T T FFFP Q P ∧Q T T T T F F F T F F FFP Q P →Q (┐P ∨Q)T T T T F F F T T FFTP→Q<=>┐P ∨Q P ∆Q<=>(P→Q)∧(Q→P)P ∆Q<=>Q ∆PP ∆Q<=>(P ∧Q)∨(┐P ∧┐Q)┐(P ∆Q)<=>P ∆┐Q R ∨(P ∨┐P)<=>T R ∧(P ∧┐P)<=>F P→Q<=>┐Q→┐P ┐(P→Q)<=>P ∧┐Q (P→Q)∧(P→┐Q)<=>┐P P→(Q→R)<=>(P ∧Q)→R (P ∆Q)∆R<=>P ∆(Q ∆R)命题公式的类型：(1)若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。
离散数学 数学学科
离散数学数学学科
摘要：
一、离散数学的定义
二、离散数学与数学学科的关系
三、离散数学的主要内容
四、离散数学的应用领域
五、离散数学的重要性
正文：
离散数学是数学学科的一个重要分支，主要研究离散对象的数学理论和方法。
与连续数学相比，离散数学关注的是离散结构，如集合、图论、组合数学等。
离散数学在计算机科学、信息理论、优化理论等领域具有广泛的应用。
离散数学与数学学科的关系密切，为其他数学分支提供了理论基础。
例如，图论是离散数学的一个核心领域，为网络科学、运筹学等学科提供了理论支撑。
集合论则为数学的逻辑基础奠定了基石。
离散数学的主要内容包括集合论、图论、组合数学、逻辑与布尔代数等。
集合论研究集合的基本概念和性质，如集合的表示、运算和关系等。
图论则是研究图的性质及其应用，涉及图的基本概念、生成函数和最短路径等问题。
组合数学研究离散结构的组合与排列问题，如计数原理、抽屉原理等。
逻辑与布尔代数则研究逻辑运算和电路设计等问题。
离散数学的应用领域广泛，与计算机科学、信息理论、优化理论等学科密切相关。
例如，在计算机科学中，离散数学被用于研究算法、数据结构、计算
机网络等问题。
在信息理论中，离散数学有助于分析信号处理、数据压缩和通信系统等问题。
在优化理论中，离散数学为解决最优化问题提供了方法。
离散数学的重要性在于为解决实际问题提供了理论工具。
随着计算机科学、信息技术的飞速发展，离散数学在各个领域中的应用日益广泛。
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
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图1.每个无向图所有结点度总和等于边数的2倍.2每个无向图中,奇数度的结点必为偶数个.3G=<V ,E>是有向图, 则G 的所有结点的出度之和等于入度之和.4无向完全图Kn, 有边数 5有n 个结点的有向简单完全图有边数为n(n-1).6有n 个结点的有向完全图, 有边数 n2.12 两个图同构的必要条件:1.结点个数相等. 2.边数相等.3.度数相同的结点数相等. 4. 对应的结点的度数相等.17 在一个有n 个结点的图中,如果从结点vi 到vj 存在一条路,则从vi 到vj 必存在一条长度不多于n-1的路.19 连通分支:令G=<V ,E>是无向图, R 是V 上连通关系, 设R 对V 的商集中有等价类V1,V2,V3,…, Vn ,这n 个等价类构成的n 个子图分别记作G(V1),G(V2),G(V3),…, G(Vn),并称它们为G 的连通分支. 并用W(G)表示G 中连通分支数.28 如果从u 到v 不可达,则d<u,v>=∞29 图的直径: G 是个有向图, 定义D=max{d<u,v>} u,v ∈V 为图G 的直径.30强连通、单侧连通和弱连通：在简单有向图G 中,如果任何两个结点间相互可达, 则称G 是强连通. 如果任何一对结点间, 至少有一个结点到另一个结点可达, 则称G 是单侧连通. 如果将G 看成无向图后(即把有向边看成无向边)是连通的,则称G 是弱连通.31一个有向图G 是强连通的,当且仅当G 中有一个回路, 此回路至少包含每个结点一次. 32一. 邻接矩阵这是以结点与结点之间的邻接关系确定的矩阵.1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵A=(aij)称为G 的邻接矩阵. 其中:aij ={ 1 vi 与vj 邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E0 否则33从邻接矩阵看图的性质:无向图:每行1的个数=每列1的个数=对应结点的度有向图:每行1的个数=对应结点的出度每列1的个数=对应结点的入度34在(A(G1))2 中a342 =2 表示从v3到v4有长度为2的路有2条:在(A(G1))3中a233 =6 表示从v2到v3有长度为3的路有6条:设G=<V ,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G 的邻接矩阵(A(G))k 中的第 i 行第j 列元素aijk=m, 表示在图G 中从vi 到vj 长度为k 的路有m 条.35二.可达性矩阵1.定义:设G=<V ,E>是个简单图,V={v1,v2,v3,…,vn }, 一个n ×n 阶矩阵P=(pij)称为G 的可达性矩阵. 其中: pij ={1 vi 到vj 可达, (至少有一条路)0 否则)1(21 n n37三.完全关联矩阵此矩阵是按照结点与边之间的关联关系确定的矩阵.1.无向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个无向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中:mij ={ 1 vi与ej关；0 否则2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有二个1.(因为每条边只关联两个结点)b)每行中1的个数为对应结点的度数.c)如果两列相同,则说明对应的两条边是平行边.2.有向图的完全关联矩阵1).定义:设G=<V,E>是个简单有向图,V={v1,v2,v3,…,vm },E={e1,e2,e3,…,en },一个m×n阶矩阵M=(mij)称为G的完全关联矩阵. 其中: mij ={1 vi是ej的起点；-1 vi是ej的终点；0 vi与ej不关联2).从关联矩阵看图的性质:a)每列只有一个1和一个-1.(每条边有一个起点一个终点)b)每行中1的个数为对应结点的出度.-1个数是结点入度38关键路径:就是各个结点的缓冲时间均为0的路径.39 欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.40 欧拉回路:在无孤立结点的图G中,若存在一条回路,它经过图中每条边一次且仅一次,称此回路为欧拉回路.41有欧拉路与有欧拉回路的判定:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有零个或两个奇数度的结点.42无向图G具有欧拉回路,当且仅当G是连通的,且所有结点的度都是偶数.43汉密尔顿图：定义:设G=<V,E>是个无向有限图,汉密尔顿路:通过G中每个结点恰好一次的路.汉密尔顿回路(H回路):通过G中每个结点恰好一次的回路.汉密尔顿图(H图):具有汉密尔顿回路(H回路)的图.44汉密尔顿图的判定:到目前为止并没有判定H图的充分和必要条件.(充分条件):G是完全图,则G是H图.(充分条件)设G是有n个结点的简单图,若G中每对结点度数之和大于等于n-1(n),则G 有一条H路(H回路)注意:上述条件只是充分条件,而不是必要条件,即不满足这个条件的, 也可能有H路.45 (必要条件) 若图G=<V,E>有H回路,则对V的任何非空子有限集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图的连通分支数. 48完全二部图:令G=<V,E>是以V1,V2为互补的结点子集的二部图,如果V1中的每个结点都与V2中每个结点相邻接,则称G是完全二部图. 如果|V1|=m, |V2|=n 则G记作Km,n 49.二部图的判定: 定理G=<V,E>是二部图当且仅当它的所有回路的长度都是偶数.52两个重要的非平面图:K5和K3,353 欧拉公式G是个连通的平面图, 设v、e、r分别表示G中结点数、边数、面数, 则有v-e+r=2. 称此式为欧拉公式.54 平面图的判定(必要条件) 设G是有v 个结点、e条边的连通简单平面图, 若v≥3, 则e ≤3v-6.55一个图是平面图的充分且必要条件是它不含有任何与K5、K3,3在2度结点内同构的子图.56如果G1和G2是同构的,或者通过反复插入或删去度数为2的结点, 使得它们变成同构的图, 称G1和G2 是在2度结点内同构.树1度数为1的结点,称为叶结点. 分支结点(内结点):度数大于1的结点.2无回路且e=v-1 其中e是T的边数,v是T的结点数.3如果图G的生成子图是树,则称此树为G的生成树.4图G中,不在其生成树里的边,称作弦. 所有弦的集合,称为该生成树的补.5连通图至少有一棵生成树. 寻找生成树的方法：深度优先；广度优先.6一棵生成树中的所有边的权之和称为该生成树的权. 具有最小权的生成树,称为最小生成树.7根树:如果一棵有向树,恰有一个结点的入度为0,其余所有结点的入度均为1,则称此树为根树. 1.树根:入度为0的结点. 2.叶:出度为0的结点. 3.分支结点(内结点):出度不为0的结点. 8在有向树中,如果规定了每一层上的结点的次序,称之为有序树.9 1.m叉树:在根树中,如果每个结点的出度最大是m, 则称此树是m叉树.2.完全m叉树:在根树中,如果每个结点的出度都是m或者等于0, 则称此树是完全m叉树.3. 正则m叉树:在完全m叉树中,如果所有树叶的层次相同, 则称之为正则m叉树.10 T是棵完全m叉树, 有t个叶结点, i个分支结点,则(m-1)i=t -1 .11 m叉有序树转化成二叉树：方法是:1.每个结点保留左儿子结点, 剪掉右边其它分支. 被剪掉的结点如下处理.2.同一个层次的结点, 从左到右依次画出.12 1.先序遍历⑴访问根结点.⑵先序遍历左子树⑶先序遍历右子树2.中序遍历⑴中序遍历左子树⑵访问根结点.⑶中序遍历右子树3.后序遍历⑴后序遍历左子树⑵后序遍历右子树⑶访问根结点.代数系统20 <X,★>和<X,★, ο>是代数系统, ★,ο是二元运算：1.封闭性：∀x,y∈X, 有x★y∈X。
2.可交换性：∀x,y∈X, 有x★y=y★ x。
3.幂等性：∀x∈X, 有x★x=x。
4. 有幺元：e∈X, ∀x∈X，有e★x=x★e=x.5.有零元: θ∈x,∀x∈X，有θ★x=x★θ=θ.6.可结合性：∀x,y,z∈X, 有(x★y)★z =x★(y★z)。
7.有逆元：x∈X, 有x-1∈X，使得x-1★x=x★x-1=e8.可消去性：a∈X，∀x, y∈X,有(a★x=a★y)∨(x★a=y★a) ⇒ x=y.9.分配律：★对ο可分配：∀x,y,z∈X，有x★(yοz)=(x★y)ο(x★z) 或(xοy)★z =(x★z)ο(y★z)10.吸收律：∀x,y∈X，有x★(xοy)=x 和xο(x★y)=x代数系统3从运算表看交换性：是个以主对角线为对称的表。
4三.幂等元、幂等性：设★是X上的二元运算，如果有a∈X，a★a=a, 则称a是幂等元，如果对任何x∈X,都有x★x=x,则称★有幂等性。
5从运算表看幂等元、幂等性：看主对角线的元素与上表头(或左表头)元素相同。
6幺元(单位元、恒等元)：设★是X上的二元运算，如果有eL∈X，使得对任何x∈X，有eL★x=x，则称eL是相对★的左幺元。
如果有eR∈X，使得对任何x∈X，有x★eR=x ，则称eR是相对★的右幺元。
如果eL= eR =e，对任何x∈X，有e★x=x★e=x, 称e是相对★的幺元。
对加法+，幺元是0，对乘法×，幺元是1，对并运算∪，幺元是Φ，对交运算∩，幺元是全集E，7 从运算表找左幺元eL ：eL所在行的各元素均与上表头元素相同。
如S行，所以S是eL 。
8 从运算表找右幺元eR ：eR所在列的各元素均与左表头元素相同。
如S列，所以S是eR9 零元：设★是X上的二元运算，如果有θL∈X，使得对任何x∈X，有θL★x=θL，则称θL 是相对★的左零元。
如果有θR∈X，使得对任何x∈X，有x★θR=θR ，则称θR是相对★的右零元。
如果θL=θR=θ，对任何x∈X，有θ★x=x★θ=θ, 称θ是相对★的零元。
例如：对乘法×，零元是0，对并运算∪，零元是全集E ，对交运算∩，零元是Φ10从运算表找左零元θL ：θL所在行的各元素均与左表头元素相同。
如Φ行，所以Φ是θL 。
11从运算表找右零元θR：θR所在列的各元素均与上表头元素相同。
如Φ列，所以Φ是θR 。
所以θ=Φ12可结合性：设★是X上的二元运算，如果对任何x,y,z∈X,有(x★y)★z =x★(y★z),则称★是可结合的。