1.1-1.2群的基本概念.ppt
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群论(1)第一章
左
右
具体的例子
变换群G：{E,D,F,A,B,C}
E：保持不变 D：绕O轴逆时针转动120度 F：绕O轴顺时针转动120度 A：绕a轴翻转180度 B：绕b轴翻转180度 C：绕c轴翻转180度
a轴
O c轴 b轴
O轴垂直纸面向上 abc三轴间夹角60度
变换群G对普通三角形的变换
量子力学中若干问题的分析
角动量，跃迁定则等
基本相互作用的规范对称性
弱电 ~ SU(2) ×U(1)，强作用 ~ SUc (3)
晶体的对称性 ……
对称性破缺
由于某种原因系统丢失了原有的对称性，例
破 缺
1.4 群的分类
有限群 vs 无限群 分类标准：群元个数是否有限
有限群中群元的个数称为群的阶。 例：置换群Sn，阶为n！ 平面转动群SO(2) 所有实数构成的群，群乘法为数的加法。
例：
所有正实数可以构成群G2，群的乘法规则为数的乘法 (1) a×1=1×a=a，1为恒元 (2) a×(1/a)=1，a和1/a互为逆元 (3) a×(b×c)=(a×b) ×c，结合律 (4) a×b为正实数，即属于群G2，封闭性
思考：如果乘法规则为数的加法能否构成群。
首先确定群 的乘法规则 判断集合 能否成为群
构成G的子群，所以n为群G阶g的因子。即群元 的阶一定是群阶的因子。 群阶为质数的群只有平庸子群，与同阶循环群同 构。 群G中的两元素R和T，但不属于子群H， 属于同一左陪集的充要条件：R-1T∈H 属于同一右陪集的充要条件：TR-1∈H
不变子群
不变子群：若子群H的所有左陪集都与对应的右 陪集相等，则称H为G的不变子群。
1.1-集合的基本概念(离散数学)
幂集的性质
1.
为有穷集， 若A为有穷集，|A|=n，则 为有穷集 ， |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。 x∈ρ 当且仅当 A。 ∈ρ(A)当且仅当 ∈ρ 当且仅当x 。 是两个集合， 当且仅当 设 A、 B是两个集合 ， AB当且仅当 、 是两个集合 ρ(B)； ρ(A)ρ ； ρ
多样性
集合中的元素可以是任意的对象， 集合中的元素可以是任意的对象，相 互独立， 互独立，不要求一定要具备明显的共 同特征。 同特征。 例如： 例如： A={a,{a},{{a},b},{{a}}, 1} A={1,a,*,-3,{a,b},{x|x是汽车 地球 是汽车},地球 是汽车 地球}
罗素悖论(Russell’ paradox) 罗素悖论(Russell’s paradox)
集合的表示法
列举法；将集合中的元素一一列举， 列举法；将集合中的元素一一列举， 或列出足够多的元素以反映集合中元 素的特征，例如： 素的特征，例如：V={a,e,i,o,u} 或 B={1,4,9,16,25,36……}。 。 描述法 ；通过描述集合中元素的共同 特征来表示集合，例如： 特征来表示集合，例如： V= {x|x是元 是元 音字母} 是自然数} 音字母 ，B= {x|x=a2 , a是自然数 是自然数
空集、 空集、全集
约定，存在一个没有任何元素的集合， 约定，存在一个没有任何元素的集合， 称为空集(empty set) ，记为φ，有时也用{} ) 记为φ 有时也用{} 来表示。 来表示。 约定， 约定，所讨论的对象的全体称为全集 (universal set)，记作 或U，我们所讨论 ，记作E或 ， 的集合都是全集的子集 全集是相对的。 的集合都是全集的子集 。全集是相对的。 全集
群论 第1章 群论基础(1)
在不引起歧义的情况下, 我们会省略乘法符号. 群G的元素个数称为群的阶(order), 记为|G|. 根据群的元素个数, 可以将群分为有限 群(元素的数目有限)和无限群(元素的数目无限). 在无限群中, 连续群可以用一个或多个 实参数来标记群的元素. 另一种对群的分类方式, 是按照群的乘法是否可以交换位置. 定义 2 (Abel群) G是群, 并且满足 ∀a, b ∈ G, ab = ba, 则称群G是Abel群. Abel群的乘法一般又称为加法. 例1 例2 例3 实数的集合按数值加法运算(R, +)构成Abel群. 非零实数的数值乘法(R\{0}, *)构成Abel群. n-维非奇异复矩阵按矩阵乘法构成非Abel群GL(n, C). (1.1.1)
e e a b c d f a a e d f b c b b f e d c a c c d f e a b d d c a b f e f f b c a e d 表 1.4: D3 群的乘法表
∀g ∈ G, ∃n, m ∈ N, n > m, g n = g m . 记k = n − m ∈ N, 那么 g k = e, 称使上式满足的最小自然数k 为元素g 的阶. 有限群的生成元的数目是有限的, 其中最小的数目称为有限群的秩(rank).
于是, 生成元的任意乘积可以写成标准的形式q m pn , 从而|G| = 6. 群的乘法见表 1.3. p2 p2 qp2 qp2 qp q p2 p e
e
p
q
qp
e
a
b
c
d f
e e p q qp 2 2 p p p e qp q 2 2 p p e p qp qp2 q q qp qp2 e p qp qp qp2 q p2 e 2 2 qp qp q qp p p2 表 1.3: ⟨p, q ⟩群的乘法表 对有限群, 必有
半群与群的基本概念
第一节 半群与群的基本概念定义1.1 设代数系统<S,*>，其中*为二元运算。
如果*是可结合的,则称<S,*>为一个半群（semigroup ），如果半群的二元运算有单位元，则称此半群为独异点（含幺半群）。
如果独异点的每个元素都是可逆的，则称它为群(group)。
根据定义，代数系统<G ,*>为成一个群当且仅当二元运算*满足下述条件： (1)适合结合律(*)**(*),,,a b c a b c a b c G =∀∈。
(2)有单位元e G ∈∀∈==，**a G a e e a a 。
(3)a G ∀∈,有逆元1a G −∈，使得11**a a a a e −−==群<G ,*>可简记作G ，a*b 可略去*，简记作ab 。
如果半群，独异点和群中的运算是可交换的，则分别称作为交换半群，交换独异点和交换群。
交换群又称作阿贝尔（Abel ）群。
如果群中的运算不是可交换的，则称它为非交换群。
习惯上，常将群中的二元运算叫作乘法，记做 。
定义1.2 若群G 所含元素个数有限，则称G 是有限群,否则称G 是无限群。
群G 中元素个数称作群的阶。
当G 是有限群时，用|G|表示它的阶。
例1.1，,Z +<+>是半群，但不是独异点，因为它没有单位元，,N <+>是独异点，但不是群,因为除0外其它元素无逆元。
而,Z +是一个群，并且是一个交换群，叫作整数加法群。
例1.2模n剩余类加法群<⊕>,n Z 是阿贝尔群,这里{[0],[1],,[1]}n Z n =−L ,[][][()mod ]x y x y n ⊕=+, [0]是它的单位元，对于每个x=0,1,2,…,n-1，[x]的逆元是[-x]=[n-x]。
例1.3 (),n M R <•>是独异点，这里•是矩阵乘法，n 阶单位矩阵是单位元，但它不是可交换的,而且不是每一个矩阵都是可逆的。
第六章有限域
指数：G可按其子群H的左陪集分排成一些两两 不交的等价类。若这些等价类的个数有限，则 称这个陪集的个数为H在G中的指数，记为 [G:H]。
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
正规子群和商群
正规子群：G为群，H是G的子群，若 a G, h H
有 aha1 H ， 则称H为G的正规子群，记为H G。
H G g G, gHg 1 H g G, gH Hg
第一部分 代数学基础
1.1 群、环、域基本概念 1.2 剩余类环、理想 1.3 多项式环 1.4 域与扩域
一、环的定义
定义1.2.1：设R是一个非空集合，在R中定义两种二元运 算，一种叫加法，记做＋，另一种叫乘法，记做·；且满足：
（1）（R，＋）是一个可换群； （2）（R，·）是一个半群； （3）左、右分配律成立：对任何a，b，cR，有：a(b ＋c)=ab＋ac，(a＋b)c=ac＋bc； 则称代数系统（R，＋，·）是一个环。
群同态
同态：设f：G→H是群G到H的一个映射，如果 a,b G 有 f(a·b)=f(a)*f(b) ,则称f是G到H的同态。
同构： 若上述f是一一映射，则称f是G到H的同构。
G到G自身的同构称为内自同构
核（kernel)：设f：G→H是群同态映射，f的核定义 为kerf={a∈G|f(a)=1H}，其中1H是H中的单位元。
定理1.2.1：有限整环是域。
证明思路：根据域的定义，只需要证明每一个 非零元都有逆元即可。
四、子环、理想和商环
定义1.2.7：设（R，＋，·）是一个环，S是R的一个非空子 集；如果S关于R的运算构成环，则称S为R的一个子环，R为S的 一个扩环。
对于任意一个环R，都有两个子环：{0}与R。这两个子环称 为R的平凡子环。
指数法则：对任意的m，nZ，a，bR，
群论-1 群论基础
一般记为c = a· b，或c = ab 。
二元运算一般也称为“乘法”—— 数值加法 数值乘法 对称操作…… 集合的所有代数性质都由其乘法结果决定
群论-群论基础-集合与运算
A
乘法表：有限集
l m O
D3 e a b k
B
k
C
e
e a b k
a
a b e l
b
b e a m
k
k m l e
l
l k m a
群论-群论基础-集合与运算
3 一些基本概念
1) 阿贝尔群：交换群
2) 有限群：可给出群表
3) 无限群：离散群，连续群
4) 群元素的阶： gn = e 群阶：|G| 5) 生成元：通过乘法产生群G的最小子集
6) 循环群：一个生成元
群论-群论基础-集合与运算
4 一些基本性质 设G = {gi } 是一个群 ∀ gi , gj ∈ G, 方程 gi x = gj ， x gi = gj 有唯一解 ( gi -1 ) -1 = gi ( gi gj ) -1 = gj -1 gi -1
群论-群论基础
第一章 群论基础
群的基本概念和基本性质
§1.1 §1.2 §1.3 §1.4 集合与运算 群的定义和基本性质 子群及其陪集 群的共轭元素类
§1.5
§1.6 §1.7 §1.8
正规子群和商群
直积和半直积 对称群 置换群
群论-群论基础-集合与运算
§0 绪论
群论的发展历史
群论在数学中的作用
物理学中的群论
—— 群论基础
主讲 翦知渐
群论
教材与参考书
教材： 自编 参考书：群论及其在固体物理中的应用 （徐婉棠） 物理学中的群论 （马中骐） 物理学中的群论基础 （约什）
1.1-1.2对称.群
4）任元素的逆存在于集合中，满足
R G, R1 G
R1R E
6
说明
1. 规定的“乘积”法则，不一定相乘，只是一种
运算规则
如：所有整数集合，在数的加法规则下构成群
2. 群元素的唯一性 3. 群中恒元的唯一性
4. 恒元的逆元仍是恒元
5. 群中任一元素的逆元是唯一的
7
几个公式
1.
2
斜三角形： 恒等变换 E （1个）
等腰三角形： E，x→ -x （2个）
正三角形： E，x→ -x，绕O转120度 （ 1个 3个 6个 ） 圆： E，任直径反射，绕O任转动 无穷多
3
二、对称变换 保持系统不变的变换
●对称变换的集合描写系统的全部对称性质 ●根据系统的对称性质，通过群论方法，可直接得到
证明是否构成群；若构成群则说明属于哪类群。
10
四、对称群 一个系统所有对称变换构成的群
以正方形为例
6
a f
1
b 2
5
e
o
g
7
d
h
c
4
8
3
11
讨论所有对称变换（如转动，反射，但无弯曲，拉伸） Cn
绕某轴转 2π/n 角度，轴称为 n 重对称轴
Cnk 连续k个Cn操作，即绕轴转2kπ/n 角度
m/σ 标记对平面反射 E
标记恒等变换
下面列举正方形的所有对称变换
12
规定正方形逆时针转动
E =C4
4
a
b
c c d d a
mx
d
c
b a d d c
d
b a c b
a
b c a b
C4
my
R G, R1 G
R1R E
6
说明
1. 规定的“乘积”法则，不一定相乘，只是一种
运算规则
如：所有整数集合，在数的加法规则下构成群
2. 群元素的唯一性 3. 群中恒元的唯一性
4. 恒元的逆元仍是恒元
5. 群中任一元素的逆元是唯一的
7
几个公式
1.
2
斜三角形： 恒等变换 E （1个）
等腰三角形： E，x→ -x （2个）
正三角形： E，x→ -x，绕O转120度 （ 1个 3个 6个 ） 圆： E，任直径反射，绕O任转动 无穷多
3
二、对称变换 保持系统不变的变换
●对称变换的集合描写系统的全部对称性质 ●根据系统的对称性质，通过群论方法，可直接得到
证明是否构成群；若构成群则说明属于哪类群。
10
四、对称群 一个系统所有对称变换构成的群
以正方形为例
6
a f
1
b 2
5
e
o
g
7
d
h
c
4
8
3
11
讨论所有对称变换（如转动，反射，但无弯曲，拉伸） Cn
绕某轴转 2π/n 角度，轴称为 n 重对称轴
Cnk 连续k个Cn操作，即绕轴转2kπ/n 角度
m/σ 标记对平面反射 E
标记恒等变换
下面列举正方形的所有对称变换
12
规定正方形逆时针转动
E =C4
4
a
b
c c d d a
mx
d
c
b a d d c
d
b a c b
a
b c a b
C4
my
群的基本概念
群是由一组元素构成的集合，这些元素之间定义了一种称为乘法的组合运算。当这个集合满足封闭性、结合律，并且拥有恒等元素和逆元素时，我们就称这个集合为群。封闭性指的是群中的元素通过乘法运算后得到的结果仍然在这个群中。结合律则表明，无论元素乘法的顺序如何，结果都是相本身。同时，群中的每个元素都有一个逆元素，元素与其逆元素相乘会得到恒等元素。群的特征不在于构成群的是何种元素，而在于这些元素共同遵守的规则，这种规则揭示了群元素之间的内在联系。为了更直观地展示群元素之间的关系，我们可以使用群的乘法表。乘法表是一个由群元素的行和列组成的表格，通过查找表中对应的元素，我们可以方便地知道两个元素相乘的结果。