常微分方程习题课

练习题
1 1 dY 1. 已 知 方 程组 A( x )Y的 基 本 解组 为 1 , 1 : dx 1 x 0 F ( x ) 0 .求 初 值 问题 x dY A( x )Y F ( x ) dx Y (0) 0 的 解. 0 x x x e , 1 e . 1
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d2y dy 4. 证 明 ： 二 阶 线 性 方 程 2 p( x ) q( x ) y 0可 dx dx 经 过 变 换 uv变 成 y d 2u Q ( x )u 0 2 dx 其 中 ，v ( x ) e
1 2
p ( x ) dx
, p( x )可 导 且 导 数 连 续 。
0.
(b ). 如果存在 0 I , 使得W ( x0 ) 0, 则函数组 x Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )在区间I上线性无关 .
(c ). 如果函数组 1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )是( 4.1)在 Y 区间I上的解, 则Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )在I上线性 相关的充要条件是 ( x ) 0 ( x I ). W
注： 如果y1 y1 ( x )是方程(4.1)的一个特解 则利用线性变换 , y y1 ( x ) z可将方程化成 1阶齐次方程 n .
2. n阶线性非齐次方程
y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) p2 ( x ) y ( n 2 ) pn ( x ) y f ( x ) (4.2)
答案: 通解 : y e x (C1 C 2 x C 3 x 2 C 4 x 3 ).
方程 : y ( 4 ) 4 y ( 3 ) 6 y"4 y' y 0.
提示 : 1是四重根 .
例4 求方程y"2 y'4 y ( x 2)e 3 x的通解.
n 0
( 4 .5 )
定 理2 如 果p0 ( x ), p1 ( x )和p2 ( x )在x x0的 某 邻 域 内 解 析, x0 是p0 ( x )的s重 零 点, 是p1 ( x )的 不 低 于 1 s 重 零 点 ， 是 2 ( x )的 不 低 于 2重 零 点(如 果s 2), p s 则 方 程(4.5)至 少 有 一 个 形 如
的特解.
如果f ( x ) e x [ Pm ( x ) cos x Qm ( x ) sin x ], 则(4.4)有下列 形式的特解: u( x ) x k ex [C m ( x ) cos x Dm ( x ) sin x ] 其中, Pm ( x )、Qm ( x )、C m ( x )、Dm ( x )是m 次多项式， 为 k (*)的特征根 i 的重数.
(3). 朗斯基行列式: (a ). 如果函数组 1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )在区间I上 Y
线性相关 则在I上它们的朗斯基行列式 , Y1 W ( x) Y1 ' Y1
( n 1 )
Y2 Y2 ' Y2
( n 1 )
Yn Yn ' Yn
( n 1 )
d( x ) 2. 设( x )是n n函 数 矩 阵 , x 0 存 在, dx 并 且( x y ) ( x )( y ), ( 0) E .证 明 存 在 d( x ) 矩 阵A, 使 得 A( x ). dx dY 3. 求 方 程 组 A( x )Y的 标 准 基 本 解 矩 阵 Ax , 其 中 e dx 2 2 1 A 1 0 2 . 0 0 1
x0 x
其中 Y1 Y1 ' ( x ) Y ( n 1 ) 1 Y2 Y2 ' Y2
( n 1 )
C1 0 Yn ' C2 0 , F ( x ) , C . f ( x) ( n 1 ) C Yn n Yn
第四章 n阶线性微分方程 习题课
2012.12.31
一. n阶线性微分方程解的结构
1. n阶线性齐次方程
y ( n ) p1 ( x ) y ( n1) p2 ( x ) y ( n 2 ) pn ( x ) y 0 (4.1)
的解的性质其中pi ( x )( i 1,2,, n)在区间I上连续. .
(1). 叠加性: 方程(4.1)的任何两个解的线性组合 仍是解.
(2). 通解结构: 如果Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )是方程
(4.1)的n个线性无关解则(4.1)的通解具有形式 , Y ( x ) C1Y1 ( x ) C nYn ( x ) 其中, C1 , C 2 , , C n为任意常数 .
10 1 y e (C1 cos 3 x C 2 sin 3 x ) e ( x ). 49 7
x 3x
答案:
例5 求方程x 2 y"2 xy'2 y x ln x的通解.
答案:
1 2 通解 : y x(C1 C 2 x ln x ln x ). 2
提示: 欧拉方程 .
如果Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x )是方程(4.1)的n个线性无关解，
Y ( x ) C1Y1 ( x ) C nYn ( x ) u( x ) 其中, C1 , C 2 , , C n为任意常数 .
(3). 常数变易法求特解:
u( x ) ( x )C ( x ) 1 ( x ) f ( x )dx
5. 拉普拉斯变换法求初值问题的解:
设f ( x )在区间 0,)上有定义如果含参变量 [ . s 的广义积分
0
e st f ( t )dt当t I时收敛, 则称 F ( s)
0
e st f ( t )dt
为函数f ( x )的拉普拉斯变换 .
6. 幂级数解法:
(d ). 对方程(4.1)的任何n个解Y1 ( x ), Y2 ( x ), , Yn ( x ), 它们的朗斯基行列式满 足 W ( x ) W ( x0 )e (刘维尔公式 )

x0 p1 ( x ) dx
x
x0 I
(e ). 刘维尔公式的应用
对二阶方程，如果1 y1 ( x )是方程(4.1)的一个特解 y , 则(4.1)可以降为一阶方程 .
的解的性质其中pi ( x ), f ( x )( i 1,2,, n)在区间I上连续. .
(1). 叠加性: 方程(4.2)的任何解与(4.1)的解的和仍是(4.2)的解. 方程(4.2)的任何两个解的差是(4.1)的解. (2). 通解结构:
u( x )是方程(4.2)的一个特解 则(4.2)的通解具有形式 , :
3. 常系数n阶线性齐次方程
y ( n ) a1 y ( n 1) a 2 y ( n 2 ) a n ( x ) y 0 其中a i ( i 1,2, , n)为常数.
(a ). 如 果 是方 程(4.3)的特 征方程
( 4. 3 )
n a1n 1 a 2 n 2 a n 0
y ( x x0 )
r
a n ( x x0 ) n
n 0

的广义幂级数解其中r是一个实数 , .
例题选讲
例1 设y e x 为方 程 y" p( x ) y 0 的一 个特 解 其中p( x )连续.求此 方程 的通解 及( x ). , p
答案:
通解： C1e C 2e y
定理1 如果p0 ( x ), p1 ( x )和p2 ( x )在x x0的某邻域 内解析, 且p0 ( x0 ) 0, 则方程
p0 ( x ) y" p1 ( x ) y' p2 ( x ) y 0 的 解 在x x0的 邻 域 内 可 以 展 成 幂 级 数 y a n ( x x0 ) n .
x x
.
p( x ) 1.
例2 求方程y ( 4 ) 4 y ( 3 ) 8 y"8 y'3 y 0的通解.
答案:
y e x (C1 C 2 x ) e x (C 3 cos 2 x C 4 sin 2 x ).
例3 设y x 3 e x 是一个常系数四阶齐次 线性 方程的特解 确定此方程及其通解 , .
的单 特征根 则(4.3)有形 式为 x的 解. , e
(*)
(b ). 如果是(*)的k重特征根 则(4.3)有k个形式为 , e x , xex , x 2 e x , , x k 1e x的解.
4. 待定系数法求常系数n阶线非性齐次方程
y ( n ) a1 y ( n1) a2 y ( n 2 ) an ( x ) y f ( x ) (4.4)