常微分方程(第三版)王高雄著课后习题答案.doc

\

习题 1．

dx

dy

=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：

y

dy

=2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e

2

x +e c =cex 2

另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0

原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2

x .

2. y 2

dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。

&

解：y 2

dx=-(x+1)dy

2y dy dy=-1

1+x dx

两边积分: -

y

1

=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c

另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=

|

)1(|ln 1

+x c

3．dx dy =y

x xy y 321++

解：原方程为：dx

dy =y y 21+3

1

x x + y y 21+dy=3

1

x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2

、

4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为：

y y -1dy=-x

x 1

+dx

两边积分：ln|xy|+x-y=c

另外 x=0,y=0也是原方程的解。

5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为：

dx dy =-y

x y x +-

{

令

x

y

=u 则dx dy =u+x dx du 代入有：

-1

12++u u du=x 1dx

ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x

y

. 6. x

dx

dy -y+2

2y x -=0 解：原方程为：

dx dy =x y +x

x |

|-2)(1x y -

则令

x

y

=u dx dy =u+ x dx du

2

11u - du=sgnx

x

1

dx }

arcsin

x

y

=sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：

tgy dy =ctgx

dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=

x c cos 1=x

c

cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0.

所以原方程的通解为sinycosx=c.

8 dx dy +y

e x y 32

+=0 解：原方程为：dx dy =y

e y 2

e x 3

`

2 e

x

3-3e

2

y -=c.

(lnx-lny)dy-ydx=0

解：原方程为：

dx dy =x y ln x y 令x

y

=u ,则dx dy =u+ x dx du

u+ x

dx du

=ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+ln

x

y

=cy. ]

10.

dx

dy =e y

x -

解：原方程为：

dx

dy =e x e y

- e y

=ce x

11

dx

dy =(x+y)2

解：令x+y=u,则

dx dy =dx

du -1 dx du -1=u 2

2

11

u

+du=dx arctgu=x+c 、

arctg(x+y)=x+c

12.

dx dy =2)

(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx

du -1

dx du -1=21u

u-arctgu=x+c y-arctg(x+y)=c. 13.

dx dy =1

212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dx ！

xdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0 dxy-d(y 2

-y)-dx 2

+x=c

xy-y 2+y-x 2-x=c 14:

dx dy =2

5--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dx xdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0 dxy-d(

21y 2+2y)-d(2

1

x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c.

(

15: dx

dy

=(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+

解：原方程为：dx

dy =（x+4y ）2

+3

令x+4y=u 则dx dy =41dx du -4

1

41dx du -41=u 2

+3 dx du =4 u 2

+13 u=2

3

tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=3

2

(x+4y+1).

16:证明方程

y x dx

dy

=f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1） <

2）

y(1+x 2y 2

)dx=xdy

3） y x dx dy =2

222x -2 y x 2y +

证明： 令xy=u,则x dx dy +y=dx

du 则dx dy =x 1dx du -2x u

，有：

u x dx

du

=f(u)+1

)1)((1+u f u du=x

1

dx

所以原方程可化为变量分离方程。

1） 令xy=u 则

dx dy =x 1dx du -2

x u (1) （

原方程可化为：dx dy =x

y

[1+（xy ）2] (2)

将1代入2式有：x 1dx du -2x u =x

u

(1+u 2)

u=22+u +cx

17.求一曲线，使它的切线坐标轴间的部分初切点分成相等的部分。

解：设（x +y ）为所求曲线上任意一点，则切线方程为：y=y ’(x- x )+ y 则与x 轴，y 轴交点分别为： x= x 0 -

'

y y y= y 0 - x 0 y’ 则 x=2 x 0 = x 0 -

'

y y 所以 xy=c ）

18.求曲线上任意一点切线与该点的向径夹角为0的曲线方程，其中α =

4

π 。 解：由题意得：y ’=

x

y

y 1dy=x 1 dx

ln|y|=ln|xc| y=cx. α =

4

π

则y=tg αx 所以 c=1 y=x. 19.证明曲线上的切线的斜率与切点的横坐标成正比的曲线是抛物线。 证明：设(x,y)为所求曲线上的任意一点，则y ’=kx 则：y=kx 2

+c 即为所求。

$

常微分方程习题 1.

xy dx

dy

2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得

。

故它的特解为代入得

把即两边同时积分得：e e x

x y c y x x c y c y xdx dy y

2

2

,11,0,ln ,21

2

=====+==

,0)1(.22

=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解.

解：对原式进行变量分离得：

。

故特解是

时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x

y c y x y x c y c y x y dy dx x y

++=====++=+=+≠=+-

1ln 11

,11,001ln 1,11ln 0,1112

:

3 y

xy dx dy

x y 32

1++=

解：原式可化为：

x x y x

x y x y

x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2

2

2

2

2

2

2

2

322

32)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2

1

1

1,0111=++

=++

≠++-=+

+=+≠+?+=+）

故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

10ln 1ln ln 1ln 1,0

ln 0

)ln (ln :931:8.

cos ln sin ln 0

7ln sgn arcsin

ln sgn arcsin 1

sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2

11

11,11,,,0

)()(:5332

2

22

2

22

2

22

2

c dx dy dx dy x

y

cy u

d u

u dx x x y u dx x

y

dy x y ydx dy y x x c dy y

y y

y

dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c x x x

y

c x x u dx

x x du x

dx

du dx

du

x u dx dy ux y u x y y dx dy x

c x arctgu dx

x du u u u dx du x u dx

du x

u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e

e x y u

u x

y x u u x y

x

y

y x x

x

+===+=+-===-?-=--+-=-=+-===-=+?=+?=?=--=+===-+=+-=++

=++-++=++===+-==-++-+--

两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得

两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：

解：令：。两边积分得：变量分离，得：则令解：

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0

110000

)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

c

x y x arctg c

x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx

dy

c dx dy dx

dy t

t y x e e e e e x y

x

y

y

x +=++==++=+==+=+===+-)(,1

11

1

1,.

112

22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，

12．2)

(1y x dx dy += 解 }

c

x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1

11122

2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则

令

变量分离，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y

X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'

22,31,313

1

,31;012,0121

212.

132

-+-=

=--=+=-==

-==+-=--+---=

.

7)5(721

772

17)7(,71,1,52

5,

14)5(22

c x y x c

x t dx dt t t t

dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=

+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则

解：令

15．1

8)14()1(22+++++=xy y x dx dy

原方程的解。

，是

，两边积分得分离变量，

，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx

dy

+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38

3232(9

414

9

4141412

)14(1818161222222

16．2

252

622y

x xy x y dx dy +-= !

解：，则原方程化为，，令u y x

xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32

322332322232]2)[(32(2)(

126326322

2

2

2+-=+-=x

u x u x

xu x u dx du ，这是齐次方程，令

c

x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d

z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735372

233222)2()3(023)2()3,)2()31

12062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。或）方程的解。即是（或，得当，，，，所以，则 17. y

y y x x xy x dx dy -+++=

3232332 解：原方程化为1

231

32;;;;;)123()132(2

2

22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1

231

32;;;;;;;;;;;;,2

2

-+++===u v u v dv du v x u y 则

方程组，，，）；令，的解为（111101230

132+=-=-??

?=-+=++u Y v Z u v u v

则有???

???

?

++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令)2.( (232223322)

，，，，，所以，，则有

t

t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== |

当

是原方程的解

或的解。得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当

c x y x y dz z dt t

t t 522222

2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得

另外

c x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或

c y x x y dx x du u u u u

x u u u u x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx dy

y x +==--=

+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==+=-+=

=+===4

ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.

x ,c 2故原方程的解为原也包含在此通解中。0y ,c 2

即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx

dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)

(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du y 1得：y dx

du dx dy x 所以,dx dy dx du x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).2()1(.1)(18.2

222

222

2

2

2

2

222

4

2

2

3

3

222

22222x y x

y x y x y

x u u u

u y

x

19. 已知f(x)

?≠=x

x f x dt x f 0

)(,0,1)(的一般表达式试求函数.

解：设f(x)=y, 则原方程化为?=x

y dt x f 0

1

)( 两边求导得'1

2y y

y -= c

x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==

-21

;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入

把c

x y +±

=21?

=

x

y

dt x f 0

1

)( $

x

y c c x c c x c x dt c

t x

21,02)2(;;;;;;;;;;2210

±

==+±=-+±+±=+±?

所以得

20.求具有性质 x(t+s)=

)

()(1)

()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=

)0(1)0()0(x x x -+=)

0()0(1)

0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')

()(1[))

(1)((lim )()(lim

22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=?-?+?=?-?+) ))(1)(0(')

(2t x x dt

t dx +=

dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以

x(t)=tg[x’(0)t]

习题

！

求下列方程的解 1．

dx

dy

=x y sin + 解： y=e ?

dx

(?

x sin e ?-dx

c dx +)

=e x

[-21e x

-(x x cos sin +)+c] =c e x

-2

1 (x x cos sin +)是原方程的解。

2．

dt

dx +3x=e t

2 解：原方程可化为：

dt

dx =-3x+e t

2 所以：x=e ?

-dt

3 (

?

e t 2 e -?-dt 3c dt +)

?

=e

t

3- (

51e t

5+c) =c e t 3-+5

1e t

2 是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +2

1t 2sin

解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2

1

?e dt dt ?3c + )

=e

t

sin -(?

+c dt te t t

sin cos sin )

= e

t

sin -(c e te

t t

+-sin sin sin )

=1sin sin -+-t ce t

是原方程的解。

4．

dx dy n x x e y n

x

=- ， n 为常数. :

解：原方程可化为：

dx dy n x x e y n

x

+=

)(c dx e

x e e

y dx

x n

n

x dx

x n

+??=?-

)(c e x x

n

+= 是原方程的解.

5．

dx dy +1212--y x

x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212

+-y x x

?

=-dx

x

x e

y 2

12(c dx e

dx

x x +?

-2

21)

)

2

1

(ln 2+=x e

)(1

ln 2?+-

-c dx e

x

x

》

=)1(12

x

ce x + 是原方程的解.

6． dx dy 2

3

4xy x x += 解：dx dy 2

3

4xy x x +=

=23y

x +x y

令

x

y

u = 则 ux y = dx dy =u dx du x +

因此：dx

du

x

=

2

u x

21u

dx du = dx du u =2

~

c x u +=3

3

1

c x x u +=-33

（*）

将

x

y

u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解. 33

3

2

()2

1()2

27.(1)12(1)1

2

(),()(1)1(1)(())

1(1)dx

P x dx

x P x dx dy y x dx x dy y x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++??

==+?

?++??

P(x)dx

2

3

2

解：方程的通解为： y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+23

2

2

1

(1)()

2

11

,()(())

dy y x c dy y dx x y dx x y dy y y

Q y y y

e y

Q y dy c -+++==+=??==?

?+??2

243P(y)dy P(y)dy

P(y)dy

1)dx+c)

=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为： x=e e 23

3

1

*)

2

2

y dy c y

y cy

y ++? =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()19.

,1

),()(())01a dx P x dx a

x P x dx P x dx a a dy ay x a dx x x

a x P x Q x x x e e x e e Q x dx c a a -+=++==

??==??+==?为常数解：（方程的通解为： y=1x+1 =x (dx+c) x x 当 时，方程的通解为 y=x+ln/x/+c 当 时，方程01a a a

≠a 的通解为

y=cx+xln/x/-1 当 ，时，方程的通解为

x 1

y=cx +- 1-

33

31()()()310.11(),()1(())

(*)dx P x dx x P x dx P x dx

dy

x

y x dx dy y x dx x P x Q x x x e e x

e e Q x dx c x x dx c c

x

c

x

--+==-+=-=??==??++++

??33解：方程的通解为： y=1 =x

x =4x 方程的通解为：　y=4 ()

()

()

2

2

3333

23

3232332311.

2()2()()2,()2(())

((2)p x xdx

x

p x p x x dy

xy x y dx xy x y dx

xy x y dx

xy x dx

y z

dz

xz x dx

P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-?

?

==?

?+-??2

3-2

x dy

解：两边除以y dy dy 令方程的通解为： z= =e 2

2

2)1

1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

2221

211

1()()222ln 1

12.(ln 2)424

ln 2ln 2ln 22ln 2ln (),()(())

ln 1(())(P x dx

P x dx dx dx x x c x y x ydx xdy x dy x y y dx x x y dy x y y dx x x dy x y dx x x y z dz x z dx x x

x P x Q x x x

z e e Q x dx c x z e e dx c x x -------=++

=-

=-=-==-==-

?

?=+??=-+=??解： 两边除以 令方程的通解为：222ln ())

ln 1424

ln 1

:()1,424

x dx c x x c x x c x y x -+=++++=?方程的通解为且y=0也是解。

13

】

222(2)2122xydy y x dx dy y x y dx xy x y

=--==-

这是n=-1时的伯努利方程。 两边同除以

1

y

， 212

dy y y dx x =- 令2

y z =

2dz dy y dx dx

= 22211dz y z

dx x x

=-=- P(x)=

2

x

Q(x)=-1 由一阶线性方程的求解公式

^

2

2

()dx dx x

x z e e dx c -??=-+?

=2

x x c +

22y x x c =+

14 23y dy e x dx x

+= 两边同乘以y

e 22

()3y y

y

dy e xe e dx x += 令y

e z =

y

dz dy

e dx dx

= 22

2233dz z xz z z dx x x x

+==+ 这是n=2时的伯努利方程。 两边同除以2

z

22

131dz z dx xz x =+ 令1

T z

= 。

21dT dz dx z dx =- 2

31dT T dx x x

-=+

P （x ）=3x - Q(x)=21

x

-

由一阶线性方程的求解公式

3321()dx dx x x T e e dx c x

--??=+?

=3

2

1()2

x x c --+ =1

312x cx ---

+ 131

()12z x cx ---+=

131

()12

y e x cx ---+=

[

231

2y y x e ce x -+=

2

312

y x x e c -+= 15

33

1dy dx xy x y =+

33dx

yx y x dy

=+ 这是n=3时的伯努利方程。 两边同除以3

x

33

21dx y

y x dy x

=+ 令2

x

z -=

32dz dx x dy dy

-=- }

3222dz y

y dy x

=--=322yz y -- P(y)=-2y Q(y)=32y -

由一阶线性方程的求解公式 223(2)ydy

ydy

z e y e dy c ---?

?=-+?

=2

2

3(2)y y e

y e dy c --+?

=2

21y y ce --++

2

22(1)1y x y ce --++= 222

22(1)y y y x e y ce e --++= 2

2222(1)y e x x y cx -+=

（

16 y=x

e +

()x

y t dt ?

()x dy

e y x dx =+ x dy

y e dx

=+ P(x)=1 Q(x)=x

e 由一阶线性方程的求解公式

11()dx dx

x y e e e dx c -??=+?

=()x

x x

e e e dx c -+?

：

=()x

e x c +

()()x

x x x e x c e e x c dx +=++?

c=1 y=()x

e x c +

17 设函数?(t)于-∞

?(0)存在且满足关系式?(t+s)=?(t)?(s)

试求此函数。

令t=s=0 得?(0+0)=?(0)?(0) 即?(0)=2

(0)? 故(0)0?=或(0)1?= （1） 当(0)0?=时 ()(0)()(0)t t t ????=+= 即()0t ?=

*

(t ?∈-∞,+∞)

(2) 当(0)1?=时 '

()()

()lim

t t t t t t

????→+?-=

?=

()()()

lim

t t t t t

????→?-?

=

0()(()1)

lim

t t t t

???→?-?=

(0)(0)

()lim

t t t t

????→?+-?

='

(0)()t ??

于是

'(0)()d t dt

?

??= 变量分离得'(0)d dt ???= 积分 '(0)t ce ??= 由于(0)1?=，即t=0时1?= 1=0

ce ?c=1 故'

(0)()t t e ??=

20.试证：

《

（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（）之解；

（2）若()y y x =是（）的非零解，而()y y x =是（）的解，则方程（）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.

（3）方程（）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（）的解. 证明：

()()dy

P x y Q x dx =+ （） ()dy

P x y dx

= （）

（1）

设1y ，2y 是（）的任意两个解 则

1

1()()dy P x y Q x dx

=+ （1）

2

2()()dy P x y Q x dx

=+ （2） ,

（1）-（2）得

()

1212()()d y y P x y y dx

-=- 即12y y y =-是满足方程（）

所以，命题成立。 （2）

由题意得：

()

()dy x P x y dx

= （3） ()

()()()d y x P x y x Q x dx

=+ （4） 1）先证y cy y =+是（）的一个解。

.

于是 ()()34c ?+ 得

()()()cdy d y

cP x y P x y Q x dx dx

+=++ ()

()()()d cy y P x cy y Q x dx

+=++ 故y cy y =+是（）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式 设1y 是的一个解 则

1

1()()dy P x y Q x dx

=+ （4’） 于是 （4’）-（4）得

.

11()

()()d y y P x y y dx

-=-

从而 ()1P x dx

y y ce cy ?

-==

即 1y y cy =+ 所以，命题成立。