2015北京重点中学高二(上)期中数学

1 / 112015北京重点中学高二（上）期中数学一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上）1．（4分）下列说法正确的是（）A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α和平面β有不同在一条直线上的三个交点2．（4分）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（）

A．16π B．16 C．D．3．（4分）圆C1：x2+y2+2x=0与圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4=0的位置关系是（）A．相交 B．外切 C．内切 D．相离4．（4分）已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l⊥α，m?α，则l⊥m B．若l⊥m，m?α，则l⊥αC．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 5．（4分）过点P（﹣，﹣1）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．（0，] B．（0，] C．[0，] D．[0，]

6．（4分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）A．+=1 B．+y2=1 C．+=1 D．+=1 7．（4分）设A、B、C、D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是（）A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线2 / 11

C．若AB=AC，DB=DC，则AD=BC D．若AB=AC，DB=DC，则AD⊥BC 8．（4分）如图，定点A和B都在平面α内，定点P?α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC．那么，动点C在平面α内的轨迹是（）

A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．（4分）毛泽东在《送瘟神》中写到：“坐地日行八万里”．又知火星的体积大约是地球的，则火星的大圆周长约为万里．10．（4分）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）．

11．（4分）已知椭圆+=1（m＞0）的一个焦点是（0，1），则m= ；若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的三角形PF1F2的面积为，则点P的坐标是．12．（4分）直线l1：y=x+a和l2：y=x+b将单位圆C：x2+y2=1分成长度相等的四段弧，则a2+b2= ．13．（4分）某几何体的三视图如图所示，则它表面积是．3 / 11

14．（4分）已知是圆为圆心）上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为．三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15．（12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥PB；（Ⅱ）求证：PB∥平面AEC；（Ⅲ）若PA=4，求点E到平面ABCD的距离．

16．（10分）已知圆C：x2+y2﹣2x+4y﹣4=0，直线l与圆C相交于A，B两点．（Ⅰ）若直线l过点M（4，0），且|AB|=2，求直线l的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为l，且以弦AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程．17．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为4的正方形，平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）若点D是线段BC的中点，请问在线段AB1是否存在点E，使得DE∥面AA1C1C？若存在，请说明点E的位置，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）（本小问只理科学生做）求二面角C﹣A1B1﹣C1的大小．

18．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F（﹣，0），且右顶点为D（2，0）．设点A的坐标是（1，）．（1）求该椭圆的标准方程；（2）过原点O的直线交椭圆于点B、C，求△ABC面积的最大值．4 / 115 / 11

数学试题答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把答案填在答题卡中相应的位置上）1．【解答】A．不共线的三点确定一个平面，故A不正确，B．四边形有时是指空间四边形，故B不正确，C．梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确，D．两个平面如果相交一定有一条交线，所有的两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C．

2．【解答】根据几何体的三视图，得；该几何体是底面直径为4，高为4的圆锥，它的体积为V=?π?4=．故选：C．

3．【解答】圆C1：x2+y2+2x=0 即（x+1）2+y2=1，的圆心C1（﹣1，0），半径等于1．圆C2：x2+y2﹣4x+8y+4=0化为（x﹣2）2+（y+4）2=16 的圆心C2（2，﹣4），半径等于4．两圆的圆心距等于=5，而 5=1+4，故两圆相外切，故选B．

4．【解答】对于A，若l⊥α，m?α，则根据直线与平面垂直的性质定理知：l⊥m，故A正确；对于B，若l⊥m，m?α，则根据直线与平面垂直的判定定理知：l⊥α不正确，故B不正确；对于C，∵l∥α，m?α，∴由直线与平面平行的性质定理知：l与m平行或异面，故C不正确；对于D，若l∥α，m∥α，则l与m平行，异面或相交，故D不正确．故选：A．

5．【解答】由题意可得点P（﹣，﹣1）在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为 y+1=k（x+），即 kx﹣y+k﹣1=0．

根据直线和圆有交点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，

即 3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是[0，]，故选：D．6 / 11

6．【解答】∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为，

∴，c=1，∴b==，

∴椭圆C的方程为+=1．故选：A．

7．【解答】A显然正确；B也正确，因为若AD与BC共面，则必有AC与BD共面与条件矛盾C不正确，如图所示：D正确，用平面几何与立体几何的知识都可证明．故选C．

8．【解答】∵PB⊥α∴PB⊥AC 又∵PC⊥AC ∴AC⊥面PBC ∴BC⊥AC ∴动点C在平面α内的轨迹是以AB为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点故选B

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应的位置上）9．【解答】由生活常识知道，一日地球自转一周，所以读懂“坐地日行八万里”的含义相当重要，这句话指的是地球大圆（或赤道）周长大约为8万里，7 / 11

又由题意可知地球体积是火星体积的8倍，从而地球的周长是火星的周长的2倍，所以火星的周长为4万里．故答案为：4．

10．【解答】先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．

11．【解答】由已知条件知：3﹣m=1；∴m=2；如图，设P（x，y），则：；

∴x=，带入方程得y=0；∴P（）．8 / 11

故答案为：2，．12．【解答】由题意可得，圆心（0，0）到两条直线的距离相等，且每段弧长都是圆周的，∴==cos45°＝，∴a2+b2=2，故答案为：2．

13．【解答】由题意，几何体为底面边长为2，高为3的长方体，切去一个角得到，切面的面积为2×=4，表面积为：2×2+2×4×2+4=20+4，故答案为：20+4．

14．【解答】依题意可知|BP|+|PF|=2，|PB|=|PA| ∴|AP|+|PF|=2 根据椭圆的定义可知，点P的轨迹为以A，F为焦点的椭圆，a=1，c=，则有b=故点P的轨迹方程为故答案为

三、解答题（本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．请把答案填在答题卡中相应的位置上）15.【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC在平面ABCD内，∴AC⊥PA，又AC⊥AB，PA∩AB=A，∴AC⊥平面PAB．（2分）又PB在平面PAB内，∴AC⊥PB；（Ⅱ）证明：连结BD，与AC相交于O，连结EO，∵ABCD是平行四边形，∴O是BD的中点，又E为PD中点，∴PB∥EO，又PB在平面AEC外，EO在AEC平面内，∴PB∥平面AEC；（Ⅲ）解：取AD中点F，连接EF．因为点E是PD的中点，所以EF∥PA．9 / 11

又因为PA⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD．所以线段EF的长度就是点E到平面ABCD的距离．又因为PA=4，所以EF=2．所以点E到平面ABCD的距离为2．

16．【解答】（Ⅰ）由题设知直线l的斜率存在，设其方程为y=k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k=0．圆C：即（x﹣1）2+（y+2）2=9，圆心C（1，﹣2），半径为3．由|AB|=2，知圆心到直线l的距离为=2，

于是=2，整理得5k2﹣12k=0，解得，k=0或k=．所以直线l的方程为y=0 或12x﹣5y﹣48=0．（Ⅱ）由直线l的斜率为l，设直线l的方程为y=x+b．

由得 2x2+2（b+1）x+b2+4b﹣4=0．令△=4（b+1）2﹣8（b2+4b﹣4）＞0，解得﹣3﹣3＜b＜﹣3+3．设A（x1，y1）、B（x2，y2），则 x1+x2=﹣（b+1），x1?x2=．

因为以AB为直径的圆过原点，所以⊥．所以=x1?x2+y1?y2=2x1?x2+b（x1+x2）+b2=0，化简可得 b2+3b﹣4=0，解得b=1或b=﹣4，故直线l的方程为y=x+1或y=x﹣4．17．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）因为四边形AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C=AC，