二次函数与相似三角形问题(含答案)

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综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D，求四边形AEDB的面积； （3） △AOB与△DBE是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。

练习2、已知抛物线2yaxbxc经过53(33)02PE，，，及原点(00)O，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线

上，任取一点Q，过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得OPC△与PQB△相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形

OPCPQBOQPOQA，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？ 精品文档

。 2欢迎下载 练习3 、如图所示，已知抛物线21yx与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求A、B、C三点的坐标． （2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

练习4、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴交于AB，两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)，．

（1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．．得抛物线的解析式为223yxx）

（2）若直线:(0)lykxk与线段BC交于点D（不与点BC，重合），则是否存在这样的直线l，使得以BOD，，为顶点的三角形与BAC△相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)ABC，，，， （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO与ACO的大小（不必证明），并写出此时点P的横坐标px的取值范围．

C B A x

P y

y C l x B A 1x 精品文档

。 3欢迎下载 练习5、如图，已知抛物线y＝34x2＋bx＋c与坐标轴交于A、B、C三点， A点的坐标为（－1，0），过点C的直线y＝34tx－3与x轴交于点Q，点P是线段BC上的一个动点，过P作PH⊥OB于点H．若PB＝5t，且0＜t＜1． （1）填空：点C的坐标是_ _，b＝_ _，c＝_ _； （2）求线段QH的长（用含t的式子表示）； （3）依点P的变化，是否存在t的值，使以P、H、Q为顶点的三角形与△COQ相似？若存在，求出所有t的值；若不存在，说明理由．

ABxy

OQH

P

C

练习6、如图，抛物线经过(40)(10)(02)ABC，，，，，三点． （1）求出抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点，过P作PMx轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与OAC△相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得DCA△的面积最大，求出点D的坐标． 精品文档

。 4欢迎下载 练习7、已知，如图1，过点01E，作平行于x轴的直线l，抛物线214yx上的两点AB、的横坐标分

别为1和4，直线AB交y轴于点F，过点AB、分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CFDF、．

（1）求点ABF、、的坐标； （2）求证：CFDF；

（3）点P是抛物线214yx对称轴右侧图象上的一动点，过点P作PQPO⊥交x轴于点Q，是否存在点P使得OPQ△与CDF△相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

练习8、当x＝2时，抛物线y＝ax2＋bx＋c取得最小值－1，并且抛物线与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A、B． （1）求该抛物线的关系式； （2）若点M（x，y1），N（x＋1，y2）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小； （3）D是线段AC的中点，E为线段AC上一动点（A、C两端点除外），过点E作y轴的平行线EF与抛物线交于点F．问：是否存在△DEF与△AOC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，则说明理由．

A B C D O

x

y E F 3 精品文档 。 5欢迎下载 练习11、如图，一次函数y=－2x的图象与二次函数y=－x2+3x图象的对称轴交于点B. （1）写出点B的坐标 ； （2）已知点P是二次函数y=－x2+3x图象在y轴右侧．．部分上的一个动点，将直线y=－2x沿y轴向上平移，分别交x轴、y轴于C、D两点. 若以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，则点P的坐标为 .

练习12、如图，抛物线21yaxbx与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积； (3)在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

O B

C D 精品文档

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练习13、已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点． （1）求这个函数关系式； （2）如图所示，设二次．．函数y=ax2+x+1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线

段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求P点的坐标； （3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由．

练习14、如图,设抛物线C1:512xay, C2:512xay,C1与C2的交点为A, B,点A的坐标是)4,2(,点B的横坐标是－2. （1）求a的值及点B的坐标；

A x

y O B 精品文档 。 7欢迎下载 （2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的直线为l,且l与x轴交于点N. ① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为(1, 2)，求点N的横坐标； ② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.

练习15、如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=1,点P在线段AB上运动，设AP=x，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。 （1）当x=0时，折痕EF的长为 ；当点E与点A重合时，折痕EF的长为 ； （2）请写出使四边形EPFD为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令2yEF，当点E在AD、点F在BC上时，写出y与x的函数关系式。当y取最大值时，判断EAPV与PBFV是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由。

练习16、如图，已知 (4,0)A，(0,4)B，现以A点为位似中心，相似比为9:4，将OB向右侧放大，B点的对应点为C． (1) 求C点坐标及直线BC的解析式; 精品文档 。 8欢迎下载 (2) 一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;

(3) 现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P．

参考答案 例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为1)2x(ay2 ∵抛物线过原点， 精品文档 。 9欢迎下载 ∴1)20(a02

∴41a. 抛物线的解析式为1)2x(41y2,即xx41y2 ⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平行四边形时,CD∥＝OB, 由1)2x(4102得4x,0x21, ∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6

将x＝6代入1)2x(41y2,得y＝－3, ∴D(6,－3); 根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3), 当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1) ⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1)

∴直线OP的解析式为x21y

由xx41x212, 得6x,0x21 .∴P(6,－3) 过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3,

∴PB＝13≠4. ∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

练习1、解：（1）由已知可得：

EA'OAB

P

y

x图2

COAB

D

y

x图1