数值分析习题集及答案

数值分析习题集及答案

篇一：数值分析习题与答案

第一章绪论

习题一

1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式()有

已知

x*的相对误

差

，故

即

2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。

解：直接根据定义和式()()则得

有5位有效数字，其误差

限

有2

位有效数字，

有5

位有效数字，

3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）

，相对误差

限

满

足

，

而

解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）

（2）

4.近似数x*=,是 3位有数数字。

5.计算

四个选项：

取

，利用：

式计算误差最小。

第二、三章插值与函数逼近

习题二、三 1.

给定

的数值表

用线性插值与二次插值计算的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（）。线性插值时，用及两点，用Newton插值

误

差

限

，

因

，故

二次插值时，用，，三点，作二次Newton 插值

误

差

限，故

2. 在-4≤x≤4

上给出

的等距节点函数表，若用二次

，函数表的步长h

插值法求

的近似值，要使误差不超过应取多少? 解：用误差估计式（），

令因得

3. 若

，求

和.

解：由均差与导数关系

于是4. 若

的值，这里p≤n+1.

解

：

可知当

而当P＝n＋1时

于是得

有

互异，求

，由均差对称

性

5.

求证.

解：解：只要按差分定义直接展开得

6.

已知的函数表

求出三次Newton均差插值多项式，计算f()的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式()当n=3时得Newton均差插值多项式

N3(x)=+()+()() 由此可得

f() N3()= 由余项表达式()可得

由于

7. 给定f(x)=cosx的函数表

篇二：数值分析试题1参考答案参考答案1 一、1．2 2．xn?1?xn?3．1, 0 4．7,

f(xn)

(n?0,1,?) ?f(xn)

25 7

?(k?1)15(k)

??x2

?x11336. ? ,

1(k?1)

?x2??x1(k?1)12

20?

?200

3??10?2?4二、(1) L?

?0?1

3?

?00?1??

(2)

1?0?

120??

?,U??01

?00?

5??

?400

0?2

3

10

?0??0?? 3??4?1??

l65?

a65?(l61u15?l62u25?l63u35?l64u45);

u55

u56?a55?(l51u16?l52u26?l53u356?l54u46)

三、先造差分表如下：

（1）选x1?,x2?,x3?,x4?为节点，构造三次向前Newton插值多项式

?2y1?3y1

N(x?th)?y1??y1?t(t?1)?t(t?1)(t?2) 31 2!3!

将x1和h代入上式，则有

N3(?)?25?2t?1/2*t(t?1)?5/6*t(t?1)(?2)

由??解得t?,所以

f()?N()?

(2) 选x3?,x4?,x5?为节点，构造二次向前Newton插值式

N2(x3?th)?y3??y3t?t(t?1)

2!

将x3和h代入上式，则有

N2(?)?20?t?t(t?1) 由+=解得t=,所以 f()?N2()?

（3）由

f(?)3

ht(t?1)(t?2)3!

(,0?t?2)R2(x0?th)?

f(?)3600

有R（2(xi?)?(t?1)(t?2)?**maxt(t?1)(t?2)

0?t?23!3!

??

可知f(x)有两位整数，故能保证有两位有效数字。四、

?0?x??1,?1?x??x2,f(x)在M2中的最佳平方逼近元为

P?x??a0?0?x??a1?1?x?则a0和a1满足如下正规方程组

0，?00，?1a0?0，f，，af??

011??1??1??1

设

?22/3??1?即

?2/32/5??1/2?解得a1?15/16,a0?3/16所求最佳平方逼近元为P(x)?3/16?15/16*x2

五、 (1)

因Q对称正定，则对任意向量x,二次型xTQx?0,故f(x)?xQx?0,且当仅当x?0时f(x)?0.

T

设c为任意实数，则

(2) f(cx)?

(cx)TQ(cx)?c2xTQx

?cxTQx?cf(x)

下边证明三角等式f(x?y)?f(x)?f(y)成立.

f(x?y)?(x?y)TQ(x?y)?xTQx?yTQy?xTQy?yTQx?xTQx?yTQy?2xTQy 因Q对称正定，则Q一定有因子分解形式。

Q?BTB

从而xTQy?(BxT)(By),于是有

(3)

xTQy?(Bx)T(By)?(Bx)T(Bx)(By)T(By)代入上面的f(x?y)则有

f(x?y)?xTQx?yTQy?2xTBTBxyTBTBy?xTQx?yTQy?2xTQxyTQy?xTQx?yTQ y?f(x)?f(y)

所以三角不等式立，f(x)?xTQx是x的一种范数

六、

设?为B的任一特征值，u?0为相应的特征向量，则Bu??u,从而