2020高考数学立体几何专题

2020高考数学立体几何专题
一、单选题
1．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11 l MA MC MD =++之间满足函数关系() l f x =，则此函数图象大致是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．已知异面直线a 、b 成60°角，其公垂线段为EF ，||2EF =，长为4的线段AB 的两端点分别在直线a 、b 上运动，则AB 中点的轨迹为（ ）
A ．椭圆
B ．双曲线
C ．圆
D ．以上都不是
3．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 是侧面11CDD C 上的动点，且1//B F 面1A BE ，则F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是( )
A ．a
B ．
2a C D 4．已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为2d ，我们把到直线a 与到平面α的距离都相等
的点构成的集合定义为集合A ，那么集合A 中同属于某个平面的点构成的图形不可能是（ ）
A ．椭圆
B ．两条平行直线
C ．一条直线
D ．抛物线
5．在正方体1111ABCD A B C D -的侧面11ABB A 内有一动点P 到直线11A B 与直线BC 的距离相等，则动点P 所在的曲线的形状为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．给定正三棱锥P ABC -，点M 为底面正ABC ∆内(含边界)一点，且M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为( )
A ．椭圆的一部分
B ．一条线段
C ．双曲线的一部分
D ．抛物线的一部分
7．设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）
A ．椭圆的一部分
B ．抛物线的一部分
C ．一条线段
D ．一段圆弧
8．如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，动点M 从B 1点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到B 1的运动过程中，点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，运动的路程x 与l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ），则此函数图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11ADD A 及边界上运动，并且保持1BP AC ⊥，则动点P 的轨迹是（ ）
A ．线段1A D
B ．线段1AD
C ．A
D 的中点与11A D 的中点连成的线段 D ．1AA 的中点与1DD 的中点连成的线段
10．美学四大构件是:史诗、音乐、造型、建筑等，绘画和数学素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步，某同学在画
“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体)的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面所在平面与底面成60°角，则该椭圆的离心率为()
A ．12
B ．2
C
D ．13
11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 是底面ABCD 上的动点,1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于（ ）
A ．12
B ．4π
C ．44π
- D ．72
12．长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是对角线AC 1上一点，Q 是底面ABCD 上一点，若AB =√2，
BC =AA 1=1，则PB +1PQ 的最小值为（ ）
A ．32
B ．√3+12
C ．√3
D ．2
13．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是（ ）
A ．9
8 B C D
14．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，定点M 在棱AB 上(不在端点,A B 上)，点
P 是平面ABCD 内的动点，
且点P 到直线11A D 的距离与点P 到点M 的距离的平方差为2a ，则点P 的轨迹所在的曲线为
A ．圆
B ．椭圆
C ．双曲线
D ．抛物线
15．给定正三棱锥P ﹣ABC ，M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，且M 到三个
侧面PAB 、PBC 、PAC 的距离依次成等差数列，则点M 的轨迹为（ ）
A ．双曲线的一部分
B ．圆的一部分
C ．一条线段
D ．抛物线的一部分
16．如图，AB 是平面α的斜线段，A 为斜足，点C 满足sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，且在平面α内运动，则（ ）
A ．当1λ=时，点C 的轨迹是抛物线
B ．当1λ=时，点
C 的轨迹是一条直线
C ．当2λ=时，点C 的轨迹是椭圆
D ．当2λ=时，点C 的轨迹是双曲线抛物线
17．如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）
A ．圆的一部分
B ．椭圆的一部分
C ．一条直线
D ．两条直线
18．已知点P 是单位正方体1111ABCD A B C D -的对角面11BB D D 上的一动点，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体的侧面相交于M 、N 两点，则BMN ∆的面积的最大值为（ ）
A B ．12 C D
19．历史上，许多人研究过圆锥的截口曲线．如图，在圆锥中，母线与旋转轴夹角为30o ，现有一截面与圆锥的一条母线垂直，与旋转轴的交点O 到圆锥顶点M 的距离为1，对于所得截口曲线给出如下命题：
①曲线形状为椭圆；
②点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点；
③该曲线上任意两点间的最长距离为
32
（ ）
A ．①②④
B ．①②③④
C ．①②③
D ．①④
20．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻转为1A DE V ．若M 为线段1A C 的中点，则在ADE V 翻转过程中，有下列命题：
①BM 是定值；
②点M 在圆上运动；
③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；
④若1A ∉平面BEDC ，则MB P 平面1A DE ．
其中正确的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
21．已知正方体1111ABCD -A B C D ，空间一动点P 满足11A P AB ⊥，且11APB ADB ∠=∠，则点P 的轨迹为
A ．直线
B ．圆
C ．椭圆
D ．抛物线
22．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 在棱AB 上，且1AM 3
=，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线11A D 的距离的平方与点P 到点M 的距离的平方的差为1，在以AB 、AD 为坐标轴的平面直角坐标系中，动点P 的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线
23．已知正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，E 为AD 的中点，P 为正方形1
111D C B A
内的一个动点（含边界），且PE ≤111PA PB PC ++u u u r u u u r u u u u r 的最小值为（ ）
A 1
B 3
C
D 1
24．在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 没有公共点，则三角形1PBB 面积的最小值为（ ）
A B ．1 C D ．12
二、填空题
25．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是棱11D C 的中点，点F 在正方体内部或正方体的表面上，且//EF 平面11A BC ，则动点F 的轨迹所形成的区域面积是______.
26．如图，在圆柱的轴截面ABCD 中，4AB =，2BC =，1O ，2O 分别为圆柱上下底面的中心，M 为12O O 的中点，动点P 在圆柱下底面内（包括圆周）.若AM MP ⊥，则点P 形成的轨迹的长度为______.
27．点M 为棱长是
1111ABCD A B C D -的内切球O 的球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为________
28．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，
1AA =Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值为 _______.
29．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 中点，动点P 在底面
ABCD 内（不包括边界），使四面体1A BMP 体积为23
，则1C P 的最小值是___________．
30．如图，在棱长为 1 的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1//B P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是____．
31．如图，在边长为2正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足11B P D E ⊥，则点1B 和满足条件的所有点P 构成的图形的面积是_______.
32．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知底面ABCD 为正方形，P 为11A D 的中点，1AD =，
1AA ，点Q 为正方形ABCD 所在平面内的一个动点，且满足QC =，则线段BQ 的长度的最大值是________.
33．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的表
面上运动， 且(0PA r r =<<，记点P 的轨迹的长度为()f r ，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
______. 34．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 是上底面A 1B 1C 1D 1内一动点，若三棱锥P −ABC 的外接球表面积恰为41π4，则此时点P 构成的图形面积为________.
35．在棱长为1的透明密闭的正方形容器1111ABCD A B C D -中，装有容器总体积一半的水（不计容器壁的厚度），将该正方体容器绕1BD 旋转，并始终保持1BD 所在直线与水平平面平行，则在旋转过程中容器中水的水面面积的最大值为__________．
36．在正方体1111ABCD A B C D -中边长AB 为2，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，Q 为正方形ABCD 内一点，M ，N 分别为AB ，BC 上靠近A
和C的三等分点，若线段
D Q与OP相交且互相平分，则点Q的轨迹与线段MN形成的封
1
闭图形的面积为____．
37．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E为棱CC1的中点，点M在正方形BCC1B1内运动，且直线AM∥平面A1DE，则动点M的轨迹长度为______．
38．正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面上的射影是底面中心）S-ABCD的底面边长为4，高为4，点E、F、G分别为SD，CD，BC的中点，动点P在正四棱锥的表面上运动，并且总保持PG∥平面AEF，则动点P的轨迹的周长为______．
参考答案
1．C 【解析】 【分析】
先由题意，得到点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ，根据题意确定当动点M 运动到点N 时，
111 =++<==N A B C l NA NC ND l l l ，同理得到动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，
也符合上式，根据变化情况，结合选项，即可得出结果. 【详解】
由题意可知：点M 在1B AC ∆的边上沿逆时针方向运动，
设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，取线段1B A 的中点为N ， 则当动点M 运动到点N 时，
111 22
=++=<+===N A B C l NA NC ND l l l ， 同理，当动点M 运动到线段AC 或1CB 的中点时，
计算得111 22
=++=<===A B C l MA MC MD l l l . 符合C 选项的图像特征. 故选：C
【点睛】
本题主要考查空间几何体中的轨迹问题，熟记空间几何体的结构特征即可，属于常考题型. 2．A
【解析】
【分析】
AB EF的中点,O P所在的平面，建立合适坐标系，先根据条件画出合适的示意图，确定,
根据余弦定理求出,
OM ON之间的关系，然后利用P的坐标形式表示出,
OM ON之间的关系，由此得到对应的轨迹形状.
【详解】
如图所示：
设EF的中点为O，过O作EF的垂面α，则AB的中点P必在平面α内，设,A B在平面内的射影点为,M N，
因为2AP BP ==，1AM BN ==
，所以MN =
以MON ∠的角平分线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示：
设OM m =，ON n =，由余弦定理可知：2220122cos60MN m n mn ==+-，所以
2212m n mn +-=，
又因为30MOx NOx ∠=∠=︒，设(),P x y
，所以)()2122x m n y m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，所以22m x y n x y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-⎪⎩
， 将上述结果代入等式2
2
12m n mn +-=中化简可得：2219
x y +=，故轨迹是椭圆.
故选：A. 【点睛】
本题考查立体几何中的轨迹问题，难度较难.处理立体几何中的轨迹问题的方法：首先根据空间中的点线面位置关系确定出线段的长度，然后将问题统一到一个平面中并在该平面中建立合适的平面直角坐标系，借用坐标表示线段间的长度关系，进而化简可得轨迹方程即可判断轨迹形状. 3．
D
【分析】
设H ，I 分别为1CC 、11C D 边上的中点，由面面平行的性质可得F 落在线段HI 上，再求HI
的长度即可. 【详解】
解：设G ，H ，I 分别为CD 、1CC 、11C D 边上的中点， 则ABEG 四点共面， 且平面1//A BGE 平面1B HI ， 又1//B F Q 面1A BE ，
F ∴落在线段HI 上，
Q 正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，
112HI CD ∴==，
即F 在侧面11CDD C 上的轨迹的长度是2
． 故选：D ．
【点睛】
本题考查了面面平行的性质及动点的轨迹问题，属中档题. 4．A
【分析】
把问题放在正方体ABCD -EFGH 中去，建立空间直角坐标系，找出关于,,x y z 的方程，通过方程判断可能的图形． 【详解】
如图在棱长为2d 正方体ABCD -EFGH 中，将面ABCD 当作平面α，将直线EH 当作直线a ，其距离为正方体的棱长2d ，如图，建立空间直角坐标系，
设点M (,,)x y z ，则点M 到平面α的距离为z ，
(2,0,2),(0,0,2E d d H d ），
(2,0,0),(,,2HE d HM x y z d ∴==-u u u r u u u u r
），
|cos ,|HE HM
HE HM HE HM ⋅∴<>==u u u r u u u u r
u u u r u u u u r u u u r u u u u r
则sin ,HE HM <>==
u u u r u u u u r
点M到直线a的距离为：
sin,
MH HE HM
⋅<>==
u u u u r u u u r u u u u r
z
∴=，
整理得：22
440
y d dz
+-=
当z d=时，20
y=，即0
y=，一条直线，C有可能；
当z d>时，24()
y d z d
=-
，即y=B有可能；
当z不取常数，为一个变量时，22
440
y d dz
+-=是一个抛物线的方程，D有可能；
方程22
440
y d dz
+-=任何时候都不可能是椭圆的方程，故A不可能．
故选：A．
【点睛】
本题考查利用空间直角坐标解决空间图形的轨迹问题，是一道难题．
5．B
【解析】
【分析】
由BC⊥平面
11
ABB A可知P到直线BC的距离即为P到点B的距离，从而可得其轨迹为抛物线的一部分且过点A，依次判断各个选项即可.
【详解】
BC⊥
Q平面11
ABB A，PB⊂平面11
ABB A PB BC
∴⊥
P ∴到直线BC 的距离为PB ，即P 点到点B 的距离
P ∴点轨迹是以B 为焦点，11A B 所在直线为准线的抛物线的一部分
又P 在平面11ABB A 上，1AB AA = P ∴点轨迹过点A
,A C 中轨迹不是抛物线，则,A C 错误；D 中轨迹不过A ，则D 错误.
故选：B 【点睛】
本题考查立体几何中点的轨迹的求解，关键是能够通过线面垂直关系确定动点轨迹为抛物线的一部分. 6．B 【解析】 【分析】
根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为
,,d a d d a -+,根据等体积法可求得d 为常数。

作平面//α平面PBC ,且平面α与平面
PBC 的距离为d ,则平面α与平面ABC 的交线即为点M 的轨迹.
【详解】
根据M 到三个侧面PAB ,,PBC PCA 的距离依次成等差数列可设距离分别为
,,d a d d a -+
正三棱锥各个侧面面积为S,体积为V
则()()111333V S d a Sd S d a =-+++ 化简可得
V Sd =,即V d S
=为常数 作平面//α平面PBC ,且平面α与平面PBC 的距离为d ,则平面α与底面ABC 的交线即为点M 的轨迹 可知M 为一条线段
【点睛】
本题考查了空间几何体中的轨迹问题,三棱锥等体积法的应用,对空间想象能力要求较高,属于中档题. 7．C 【解析】 【分析】 根据公式'
cos S S
θ=得到11MDP CPM S S ∆∆=，计算得到P 到直线11C M 的距离为定值，得到答案. 【详解】
设P 在平面ABCD 的投影为1P ，平面1D PM 与平面ABCD 所成的锐二面角为α 则11cos MDP D PM
S S α∆∆=
M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ，平面1D PM 与面11BCC B 所成的锐二面角为β
则11cos CPM D PM
S S β∆∆=
故
1111MDP CPM D PM
D PM
S S S S ∆∆∆∆=
即11MDP CPM S S ∆∆=
得到
1111
25,22
C M h h ⨯⨯=⨯⨯= 即P 到直线11C M 的距离为定值，故P 在与11C M 平行的直线上 又点P 在面11BCC B 上，故轨迹为一条线段. 故答案选C 【点睛】
本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过'
cos S S
θ=可以简化运算，是解题的关键. 8．C
【分析】
先找到点M 的路线，把其路线分成六小段，分析从P 到1B 过程函数的单调性得解. 【详解】
由于点M 与平面A 1DC 1的距离保持不变，所以点M 在平面1B AC 上， 运动的路线为11B A C B →→→, 设点P 为B 1C 的中点，
l=MA 1+MC 1+MD 中，MA 1+MD 是定值， PC 1是定值，
MC 1
当M 从C 到1B ,运动到1PB 段时，运动的路程x 慢慢变大时， PM 变大，MC 1变大， 所以函数是增函数，所以C 正确；
（类似讨论由1B 到A ，由A 到C 的过程，l=MA 1+MC 1+MD 之间满足函数关系l=f （x ）． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查立体几何轨迹问题，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 9．A
【分析】
先由111,AC A B AC BD ⊥⊥ 得1AC ⊥平面1A DB , 再判断动点P 的轨迹即可得解. 【详解】
解：连接1A D ，由111,AC A B AC BD ⊥⊥ 得1AC ⊥平面1A DB , 即点P 在线段1A D 上运动时，总有1BP AC ⊥， 即动点P 的轨迹是线段1A D ， 故选A .
【点睛】
本题考查了线面垂直及线线垂直的判定，属基础题. 10．C 【解析】 【分析】
根据几何关系，得到椭圆的半长轴和半短轴与圆柱底面圆的半径之间的关系，然后算出c ，
从而得到离心率.
【详解】
设圆柱底面圆的半径为R，
∵与底面成60°角的平面截圆柱，
∴椭圆的半长轴长是2R，半短轴长是R，
∴c=
∴c
e
==
a
故选C
【点睛】
本题考查二面角转化为平面角求线段之间的关系，求椭圆的离心率，属于简单题. 11．A
【解析】
【分析】
P是底面ABCD上的动点，因此只要在底面上讨论即可，以,
AB AD为,x y轴建立平面直P x y，根据已知列出,x y满足的关系．
角坐标系，设(,)
【详解】
如图，以,AB AD 为,x y 轴在平面ABCD 内建立平面直角坐标系，设(,)P x y ，由1PA PC ≥
≥30x y +-≥，设直线:30l x y +-=与正方形ABCD 的边交于点,M N ，则P 点在CMN ∆内部（含边界），
易知(1,2)M ，(2,1)N ，∴1CM CN ==，111122
CMN S ∆=
⨯⨯=． 故选A ．
【点睛】
本题考查空间两点间的距离问题，解题关键是在底面ABCD 上建立平面直角坐标系，把空间问题转化为平面问题去解决．
12．A
【解析】
【分析】
将ΔAB 1C 1绕边AC 1旋转到AMC 1的位置，使得平面AMC 1和平面ACC 1在同一平面内，则M 到平面ABCD 的距离即为PB 1+PQ 的最小值，利用勾股定理解出即可。

【详解】
将ΔAB 1C 1绕边AC 1旋转到AMC 1的位置，使得平面AMC 1和平面ACC 1在同一平面内， 过点M 作MQ ⊥平面ABCD ，交AC 1于点P ，垂足为点Q ，则MQ 为PB 1+PQ 的最小值。

∵AB =√2，BC =AA 1=1，∴AC 1=√2+1+1=2，AM =AB 1=√3，
∵sin ∠CAC 1=CC 1AC 1=12，∴∠CAC 1=30∘，∴∠MAQ =2∠CAC 1=60∘， ∴MQ =AM ⋅sin ∠MAQ =√3×√32=32，故选：A 。

【点睛】
本题考查空间距离的计算，将两折线段长度和的计算转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，考查空间想象能力，属于中等题。

13．C
【解析】
【分析】
分别取棱1CC 、BC 、AB 、1AA 、11A D 的中点M 、N 、G 、Q 、P ，证明平面//EMNGQP
平面11A BC ，从而动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ，再求面积得解.
【详解】
如图，分别取棱1CC 、BC 、AB 、1AA 、11A D 的中点M 、N 、G 、Q 、P ， 则11////PE AC GN ，1////EM A B GQ ，1////PQ BC MN ，
∴平面//EMNGQP 平面11A BC ，
Q 点F 在正方体内部或正方体的表面上，若//EF 平面11A BC ，
∴动点F 的轨迹所形成的区域是平面EMNGQP ，
Q 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，
PE EM MN NG GQ PQ ∴=====，PN =
E ∴到PN 的距离d =， ∴动点
F 的轨迹所形成的区域面积：
2222PNME
S S +==⨯=梯形 故选：C ．
【点睛】
本题考查动点F 的轨迹所形成的区域面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置
关系等基础知识，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、 数形结合思想，是中档题．
14．D
【解析】
【分析】
作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，连接EF ，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用勾股定理和两点间距离公式构造222PE PM a -=，整理可得结果.
【详解】
作PF AD ⊥，11PE A D ⊥，垂足分别为,F E
以A 为原点建立如下图所示的空间直角坐标系：
设()0,,0M t ，(),,0P x y
由正方体特点可知，PF ⊥平面11ADD A
222PE y a ∴=+，()2
22PM x y t =+- ()2
222222PE PM y a x y t a ∴-=+---=，整理得：222x ty t =-
P ∴的轨迹是抛物线
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查立体几何中点的轨迹问题，关键是能够通过建立空间直角坐标系，求出动点满足的方程，从而求得轨迹.
15．C
【解析】
【分析】
先设点M 到三个侧面PAB 、PBC 、PCA 的距离为d ﹣a ，d ，d +a ，正三棱锥P ﹣ABC 中各个侧面的面积为S ，体积为V ，用等体积法可得d 为常数，作平面α∥面PBC 且它们的面面距离为d ，则α与面ABC 的交线即为点M 的轨迹．
【详解】
设点M 到三个侧面PAB 、PBC 、PCA 的距离为d ﹣a ，d ，d +a
正三棱锥P ﹣ABC 中各侧面的面积为S ，体积为V ，
则13S （d ﹣a ）+13S d +13S （d +a ）＝V ，即Sd ＝V ，
所以d 为常数．
作平面α使α∥面PBC 且它们的距离为d ，则α与面ABC 的交线即为点M 的轨迹． 又M 点为底面正三角形ABC 内（含边界）一点，
所以M 的轨迹为一条线段．
故选：C ．
【点睛】
本小题主要考查等差数列、体积法的应用、轨迹方程等基础知识，考查空间想象能力思想、化归与转化思想．熟记正四面体的结构特征与体积公式是关键，属于基础题．
16．B
【解析】
【分析】
当1λ=时，BC AC =，故C 的轨迹为线段AB 的中垂面与α的交线，当2λ=时，2BC AC =，在平面α内建立坐标系，设(,)C x y ，求出C 的轨迹方程得出结论．
【详解】
在ABC ∆中，∵sin sin (0)CAB CBA λλ∠=∠>，由正弦定理可得：
BC AC
λ=， 当1λ=时，BC AC =，过AB 的中点作线段AB 的垂面β，
则点C 在α与β的交线上，即点C 的轨迹是一条直线，
当2λ=时，2BC AC =，
设B 在平面α内的射影为D ，连接BD ，CD ，设BD h =，2AD a =，则BC = 在平面α内，以AD 所在直线为x 轴，以AD 的中点为y 轴建立平面直角坐标系，
设(,)C x y ，则CA =CD =CB =
=2
222516393a h x a y ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭. ∴C 的轨迹是圆．
故选：B ．
【点睛】
本题考查轨迹方程的求解与判断，分类讨论思想，属于中档题．
17．A
【解析】
【分析】
以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，写出点A ，B 的坐标，根据条件得出Rt APD Rt CPB ∆∆∽，设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式及相似，即可得到轨迹方程，从而判断其轨迹．
【详解】
解：以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，设点(),P x y ，()30A -,，()3,0B ，AD AB ⊥Q ，BC AB ⊥，
则AD α⊥，BC α⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，Rt APD Rt CPB ∴∆∆:，
51102
AP AD BP BC ∴==== ，即()()2222343x y x y ⎡⎤-+=++⎣⎦，整理得：()
22
516x y ++=，故点P 的轨迹是圆的一部分，故选A .
本题以立体几何为载体考查轨迹问题，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，同时考查了运算能力，转化能力，属于难题．
18．A
【解析】
【分析】
根据题意和正方体的特征，分析点P动的过程中，x随着y变化情况作出轨迹图象，数形结合能求出结果．
【详解】
解：由题意知，MN⊥平面BB1D1D，其轨迹经过B，D1和侧棱AA1，CC1的中点E，F，
如图，设正方体中心为O1,当P点在线段BO1上运动时，MN随BP的增大而线性增大，所以△BMN的面积表达式应是开口向上的二次函数图像递增的一部分; 当P点在线段D1O1上运动时, MN随D1P的增大而线性减小，所以△BMN的面积表达式应是开口向下的二次函数图像递减的一部分.所以当MN与EF重合时，△BMN的面积取最大值，
此时，BM＝BN，
MN，
S△BMN．
故选：A．
本题考查了函数图象的变化，根据几何体的特征和条件进行分析两个变量的变化情况，再用图象表示出来，考查了作图和读图能力、运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．A
【解析】
【分析】
画出轴截面的图像.根据选项可判断出①正确.解直角三角形计算出AO 的长以及长轴AB 的长，由此可判断出②正确，排除D 选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C 选项.由此得出正确结论.
【详解】
根据选项可知①正确，即曲线形状为椭圆. 画出轴截面的图像如下图所示，由于
30,,1AMO BMO MA AB MO ∠=∠=⊥=o ，所以1122
AO MO ==,30OMB OBM ∠=∠=o ，即1BO MO ==，所以12
AO BO =，而曲线上任意两点最长距离为AB ，故点O 为该曲线上任意两点最长距离的三等分点，由此可判断出②正确，排除D 选项.由于曲线是连续不断的，故任意两点间没有最短距离，故③错误，排除B,C 选项.综上所述，本小题选A.
【点睛】
本小题主要考查圆锥的截面问题，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
20．C
【解析】
【分析】
取CD 中点N ，连接MN ，BN ，由余弦定理可得
2222MB MN NB MN NB cos MNB =+-⋅⋅∠，所以MB 是定值，可得①正确；M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，可得②正确；由射影定理可判断③；由平面MBN P 平面1A DE ，可判断④．
【详解】
取CD 中点N ，连接NM ，BN ，
由1A DE MNB ∠=∠，112
MN A D ==定值，NB DE ==定值， 由余弦定理可得2222MB MN NB MN NB cos MNB =+-⋅⋅∠，
所以MB 是定值，故①正确；
∵B 是定点，∴M 是在以B 为圆心，MB 为半径的圆上，故②正确，
∵A 1C 在平面ABCD 中的射影为AC ，AC 与DE 不垂直，
∴不存在某个位置,使DE ⊥A 1C ，故③不正确.
由1MN DA P ，BN DE P ，∴平面MBN P 平面1A DE ，∴MB P 平面1A DE ，故④正确． 故选：C ．
【点睛】
本题考查线线、线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查转化思想和推理能力.
21．B
【解析】
【分析】
通过11A P AB ⊥得到点P 在平面11A BCD 上；再利用11ADB APB ∠=∠且PO 为1AB 的中垂线，可解得PO 为定值，由此可得P 在球面上；通过平面与球面相交得到轨迹为圆.
【详解】
由11A P AB ⊥及1AB ⊥平面11A BCD 可知：点P 在平面11A BCD 上
设正方体棱长为1，则1AD =
，1AB =
，1B D =
又AD ⊥平面11ABB A ，可知1AD AB ⊥
11cos 3
AD ADB B D ∴∠==
即1cos 3
APB ∠= 取连接1A B 交1AB 于点O ，则O 为1AB 中点，连接PO
1AB ⊥Q 平面11A BCD ，PO ⊂平面11A BCD 1AB PO ∴⊥
又O 为1AB 中点，所以PO 为1AB 中垂线
1AP PB ∴=，令AP x =
22222x x x +-=
2x ⇒=
222112PO x B O ∴=-=-=由此可得：P 点在以O 为球心，PO 长为半径的球面上
∴P 点轨迹即为平面11A BCD 与球面的交线上
可知轨迹为圆.
本题正确选项：B
【点睛】
本题考查空间中动点的轨迹问题，关键在于能够确定动点分别满足球面的特点且在平面11A BCD 上，由此可确定轨迹为平面截球面所形成的的交线，进而得到轨迹为圆的结论.
22．B
【解析】
【分析】
结合正方体的图像，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，过点Q 作11QR D A ⊥，求出点P 到直线11A D 的距离，以及P 到点M 的距离，即可得出结果.
【详解】
如图所示：正方体1111ABCD A B C D -中，作PQ AD ⊥，Q 为垂足，则PQ ⊥面11ADD A ，过点Q 作11QR D A ⊥，
则11D A ⊥面PQR ，PR 即为点P 到直线11A D 的距离，
由题意可得222PR PQ RQ 1-==． 又已知22PR PM 1-=，PM PQ ∴=，即P 到点M 的距离等于P 到AD 的距离，根据抛物线的定义可得，点P 的轨迹是抛物线，
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查立体几何中的轨迹问题，熟记圆锥曲线的定义即可，属于常考题型.
23．B
【解析】
【分析】
设11A D 的中点为F ，则P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内），
，结合圆的几何性质得到结果.
【详解】
设11A D 的中点为F ，连接EF 、PF ，则在EFP ∆中，EF FP ⊥，222EP EF FP =+，∴21FP ≤.
∴P 是以F 为圆心，以1为半径的圆面（位于正方形1111A B C D 内）. 以1A 为原点建系如图所示，则()10,0A ，
()12,0B ，()()12,2,F 0,1C ，设P 的坐标为(),x y ，则
()()()111,,2,,2,2PA x y PB x y PC x y =--=--=--u u u v u u u v u u u u v ,
()111 43,23y PA PB PC x u u u v u u u v u u u u v ++=--
.
111PA PB PC ++==u u u v u u u v u u u u v 设Q 点的坐标为42,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则()111331PA PB PC PQ QF ++=≥-u u u v u u u v u
u u u v
3=.
故选：B
【点睛】
本题考查平面向量模长的最值问题，考查空间问题平面化的思想，考查利用代数方法处理平面问题的策略，属于中档题.
24．C
【解析】
【分析】
由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P 所在线段，得解．
【详解】
补全截面EFG 为截面EFGHQR 如图，
其中H 、Q 、R 分别为1111C D A D 、、1A A 的中点，易证平面ACD 1∥平面EFGHQR ，
∵直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，
∴D 1P ∥面ACD 1，∴D 1P ⊂面ACD 1，
∴P ∈AC ，∴过P 作AC 的垂线，垂足为K ，则=,此时BP 最短， △PBB 1的面积最小，
∴三角形1PBB 面积的最小值为
112⨯=， 故选：C ．
【点睛】
本题考查了截面问题，涉及线面平行，面面平行的定义的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题．
25．【解析】
【分析】
分别取1111,,,,CC BC AB AA A D 的中点,,,,G H M N K ,并连同E 点顺次连接,六边形 EGHMNK 就是所求的动点F 的轨迹,求出面积即可.
【详解】
如下图所示：分别取1111,,,,CC BC AB AA A D 的中点,,,,G H M N K ,并连同E 点顺次连接，因为EG 是三角形11CC D 的中位线,所以1111////,//EG CD CD A B EG A B ∴
1A B ⊂Q 平面11A BC ,EG ⊄平面111//E A G B C A B ∴,同理,,,,GH HM MN NK KE 都平行平面11A BC ,所以EGHMNK 就是所求的动点F 的轨迹,该正六边形的边长为
=所以正六边形的面积为：16sin 602︒⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
故答案为：
【点睛】
本题考查了直线与平面平行的判定定理的应用,考查了数学运算能力、空间想象能力.
26【解析】
【分析】
由题意，以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立空间直角坐标系，设(,,0)P x y ，用向量的方法，确定点P 形成的轨迹是底面的一条弦，根据圆的弦长公式，即可求出结果.
【详解】
以2O 为坐标原点，以2O B 方向为y 轴，以底面内垂直于2O B 的直线为x 轴，以21O O 方向为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为4AB =，2BC =，所以(0,2,0)A -，(0,0,1)M ，设(,,0)P x y ，
所以(0,2,1)=u u u u r AM ，(,,1)=-u u u r MP x y ，
又AM MP ⊥，所以210⋅=-=AM MP y u u u r u u u r ，所以12
y =， 即点P 形成的轨迹是，底面上与x 轴平行，且过2O B 靠近点2O 的四等分点的线段（也是底。