第六章-万有引力与航天总结

第六章 万有引力与航天总结

一. 开普勒行星运动定律：

①开普勒第一定律（轨道定律） 所有行星绕太阳运动的轨道都是 椭圆 ，太阳处在椭圆的一个焦点上。

②开普勒第二定律（面积定律） 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过 面积相等 。

③开普勒第三定律（周期定律） 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的 公转周期平方 的比值都相等。

行星轨道按圆处理时的规律

由于大多数行星的轨道十分接近圆，所以在中学阶段的研究中可按圆处理。根据开普勒行星运动定律，行星轨道按圆处理时遵循如下规律：

①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。

|

② 对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的角速度（或线速度）不变，即行星做匀速圆周运动。

③ 所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。 二. 万有引力定律

1.自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与

它们之间距离r 的二次方成反比，即F=2

2

1r m m G

2.对万有引力定律的进一步说明

① 万有引力是宇宙间的一种基本的相互作用力，万有引力定律是一个非常重要的定律，它适用于宇宙中的一切物体。万有引力定律的发现，对物理学和天文学的发展具有深远的影响。 ② 万有引力公式只适用于两质点间的引力的计算，因为对一般物体而言，“两个物体之间的距离”到底是指物体哪两部分的距离，无法确定。实际物体当它们之间的距离远大于它们本身的尺度时，可视为质点。对质量均匀分布的球体，也可以用此公式计算它们之间的引力，其中的距离即两球心之间的距离。但是，对于一般物体间的万有引力，切不可用它们质心间的距离代入上式计算。

③ 求一个质点受到多个质点的万有引力时，可先用万有引力公式求出各个质点的引力，再求它们的矢量和。

[

④ 万有引力公式中G 的是比例系数，叫做引力常量，通常取G =×10-11N ·m 2/kg 2。是英国 科学家 卡文迪许 测出的

总结：两个基本思路

1．万有引力提供向心力：ma r T

m r m r v m r M G ====222

224m πω 2.忽略地球自转的影响：

mg R

GM =2

m

（2g R GM =，黄金代换式）

一、测量中心天体的质量和密度

、

测质量：

1．已知表面重力加速度g ，和地球半径R 。（mg R GM =2m

，则G gR M 2=

）一般用于地球 2．已知环绕天体周期T 和轨道半径r 。(r T m r Mm G 2224π= ，则2

3

24GT r M π=) 3．已知环绕天体的线速度v 和轨道半径r 。（r v m r

Mm G 22=，则G r

v M 2=）

4．已知环绕天体的角速度ω和轨道半径r （r m r

Mm G 2

2ω=，则G r M 32ω=）

5．已知环绕天体的线速度v 和周期T （T

r

v π2=,r v m r M G 22m =，联立得G T M π2v 3=）

测密度：（以2为例说明）

已知环绕天体的质量m 、周期T 、轨道半径r 。中心天体的半径R ，求中心天体的密度ρ

）

解：由万有引力充当向心力

r T m r Mm G 2224π= 则2

324GT

r M π=——① 又33

4

R V M πρρ⋅=

=——②

联立两式得：3

23

3R

GT r πρ= 当R=r 时，有2

3GT

π

ρ=

注：R 中心天体半径，r 轨道半径，球体体积公式33

4R V π= 二、星球表面重力加速度、轨道重力加速度问题 1．在星球表面: 2

R GM

mg =

（g 为表面重力加速度，R 为星球半径） |

2．离地面高h: 2

)

(h R GM

g m +=

'（g '为h 高处的重力加速度） 联立得g'与g 的关系： 2

2

)('h R gR g +=

三、卫星绕行的向心加速度、速度、角速度、周期与半径的关系

1．ma r M G

=2m ，则2

a r M

G

=（卫星离地心越远，向心加速度越小） 2．r v m r

Mm G 2

2=，则r

GM

v =

（卫星离地心越远，它运行的速度越小） 3．r m r

Mm G

2

2

ω=，则3r GM =ω（卫星离的心越远，它运行的角速度越小） 4．r T

m r Mm G 22

24π=，则GM

T 3

2r 4π=

（卫星离的心越远，它运行的周期越大） 四、三个宇宙速度

|

① 第一宇宙速度：是卫星在地面附近环绕地球运行的速度，是卫星的最大的轨道速度。设

地球半径为R ，地球质量为M ，根据

R v

m

R Mm G

2

2

=或

R

v m

mg 2

=，可得

s /9km .7≈v 。第一宇宙速度是最小 发射 速度，也是最大 环绕 速度

② 第二宇宙速度：是使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，其大小为11.2km/s 。 ③ 第三宇宙速度：是使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，其大小为16.7km/s 。 五、同步卫星

①周期：相对于地面静止的、跟地球自转同步的人造卫星叫做地球同步卫星，它的主要用途是通讯，又称通讯卫星。因此，同步卫星的运转周期等于地球的自转周期，即T=24h 。

②离地高度：设同步卫星的离地高度为h ，由)(2)(2

2

h R T m h R Mm G +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=+π， 可得 R GMT

h -=3

22

4π

≈ ×106m ③运行速度：同步卫星绕地球做匀速圆周运动的运行速度≈+=

T

h R v

)

(2π 3.1km/s 。

{

④同步卫星的轨道平面与 重合 六、双星问题： 在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。他们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿着半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L ，质量分别为M 1,M 2,不计其他星球对他们的影响，双星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，所以线速度与两子星的轨道半径成正比。由万有引力定律和牛顿第二定律得： M 1：

2212111112

1

M M v G M M r L r ω==