现代测试技术习题解答 第二章 信号的描述与分析 - 副本
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第二章 信号的描述与分析
补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2
x ψ和概率密度函数
p (x )。 解答： (1)0
00
11lim ()d sin()d 0T
T x T μx t t x ωt φt T
T →∞==
+=⎰
⎰
，式中02π
T ω
=
—正弦信号周期
(2)
2
222
2
2
0000
1
1
1cos 2()
lim
()d sin ()d d 22
T
T T x
T x x ωt φψx t t x ωt φt t T
T T →∞-+==
+=
=
⎰
⎰
⎰
(3)在一个周期内
012ΔΔ2Δx T t t t =+=
000
2Δ[()Δ]lim
x x T T T t
P x x t x x T T T →∞<≤+===
Δ0Δ000
[()Δ]2Δ2d ()lim
lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====
正弦信号
x
2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。
2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。
2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。
补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω
图，并与表1-1对比。
解答：在一个周期的表达式为
00 (0)2
() (0)
2
T A t x t T A t ⎧
--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩
积分区间取（-T/2，T/2）
0000000
220
2
00
2
111()d =
d +
d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )L T T jn t
jn t
jn t T T n c x t e
t Ae
t Ae t
T T T A
j
n n n ωωωππ
-----=
-±±±⎰
⎰
⎰
所以复指数函数形式的傅里叶级数为
001
()(1cos )jn t
jn t n n n A
x t c e
j
n e n
∞
∞
=-∞
=-∞=
=--∑
∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±L 。
(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0
nI
nR A c n n n c ⎧
=--⎪±±±⎨
⎪=⎩L ππ
21,3,,(1cos )00,2,4,6, n A
n A c n n n n ⎧=±±±⎪
==-=⎨⎪=±±±⎩
L L
πππ
1,3,5,2arctan 1,3,5,2
00,2,4,6,nI n nR π
n c π
φn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪=±±±⎪⎪⎩
L L L
没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。
图1-4 周期方波信号波形图
2-5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 解：
(2)220
2
2
(2)
()()(2)
2(2)
a j f t
j f t
at j f t
e A A a j
f X f x t e
dt Ae e
dt A
a j f a j f a f -+∞
∞
---∞-∞
-====
=-+++⎰⎰πππππππ 2
2
()(2)
k X f a f π=
+
Im ()2()arctan
arctan
Re ()X f f f X f a
==-πϕ
2-6 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。
0cos ()0
ωt t T x t t T
⎧<⎪=⎨
≥⎪⎩
解：0()()cos(2)x t w t f t =π w (t )为矩形脉冲信号
()2sinc(2)
W f T Tf =π
()
002201cos(2)2
j f t
j f t f t e e πππ-=
+ 所以002211()()()22
j f t j f t x t w t e w t e -=+ππ
单边指数衰减信号频
f
|X (f
A /
φ(f )
f
π/-π/2
|c n | φn
π/2 -π/2 ω
ω
ω0
ω0 3ω0
5ω0
3ω0 5ω0
2A/π
2A/3π 2A/5π 幅频图
相频图
周期方波复指数函数形式频谱图
2A/5π 2A/3π 2A/π -ω0
-3ω0
-5ω0
-ω0 -3ω0
-5ω0 图1-26 被截断的余弦
t
t
T
-T
T -T x (
t ) w (
t )
1
0 1
-