数学分析2期末试题

数学分析（2）期末试题

课程名称 数学分析（Ⅱ） 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

1、 下列级数中条件收敛的是（ ）．

A ．1(1)n

n ∞

=-∑ B ． n n ∞

= C ．

2

1(1)n

n n

∞

=-∑ D ． 1

1(1)n

n n ∞

=+∑

2、 若f 是(,)-∞+∞内以2π为周期的按段光滑的函数, 则f 的傅里叶（Fourier ）级数在

它的间断点x 处 （ ）．

A ．收敛于()f x

B ．收敛于1

((0)(0))2

f x f x -++

C ． 发散

D ．可能收敛也可能发散

3、函数)(x f 在],[b a 上可积的必要条件是（ ）．

A ．有界

B ．连续

C ．单调

D ．存在原函

数

4、设()f x 的一个原函数为ln x ，则()f x '=（ ）

A ． 1x

B ．ln x x

C ． 21

x

- D ． x e

5、已知反常积分2

0 (0)1dx

k kx +∞>+⎰收敛于1，则k =（ ）

A ． 2

π

B ．22π

C ． 2

D ． 24π

6、231ln (ln )(ln )(1)(ln )n n x x x x --+-+-+L L 收敛，则（ ）

A ． x e <

B ．x e >

C ． x 为任意实数

D ． 1e x e -<<

二、填空题（每小题3分，3×6＝18分）

1、已知幂级数1n n n a x ∞

=∑在2x =处条件收敛，则它的收敛半径为 ．

2、若数项级数1

n n u ∞=∑的第n 个部分和21

n n

S n =

+，则其通项n u = ，和S = ． 3、曲线1

y x

=

与直线1x =，2x =及x 轴所围成的曲边梯形面积为 ． 4、已知由定积分的换元积分法可得，1

()()b

x

x

a

e f e dx f x dx =⎰⎰，则a = ，b = ．

5、数集(1) 1, 2 , 3, 1n

n n n ⎧⎫

-=⎨⎬+⎩⎭

L 的聚点为 ． 6、函数2

()x f x e =的麦克劳林（Maclaurin ）展开式为 ．

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三、计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1、 (1)dx

x x +⎰． 2、2ln x x dx ⎰．

3、 0

(0)dx a >⎰

． 4、 2 0

cos lim

sin x

x t dt x

→⎰．

5、dx ⎰．

四、解答题（第1小题6分，第2、3 小题各8分，共22分）

1、讨论函数项级数2

1

sin n nx

n ∞

=∑

在区间(,)-∞+∞上的一致收敛性． 2、求幂级数1n

n x n

∞

=∑的收敛域以及收敛区间内的和函数．

3、设()f x x =, 将f 在(,)ππ-上展为傅里叶（Fourier ）级数．

五、证明题（每小题6分，6×2＝12分）

1、已知级数1

n n a ∞

=∑与1

n n c ∞

=∑都收敛，且

, 1, 2, 3 n n n a b c n ≤≤=L ，

证明：级数1

n n b ∞

=∑也收敛．

2、证明：

22 0

sin cos n

n x dx x dx π

π

=⎰⎰．

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试题参考答案与评分标准

课程名称 数学分析(Ⅱ) 适 用 时 间 试卷类别 1 适用专业、年级、班 应用、信息专业

一、 单项选择题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ B ⒉ B ⒊ A ⒋ C ⒌ D ⒍ D

二、 填空题（每小题3分，3×6＝18分）

⒈ 2 ⒉ 2

, =2(1)

n u S n n =

+ ⒊ ln 2

⒋ 1, a b e == ⒌ 1± ⒍ 201, (,)!

n

n x x n ∞

=∈-∞+∞∑

三、 计算题（每小题6分，6×5＝30分）

1. 解

111

(1)1x x x x

=-++Q

1

(1)dx x x ∴+⎰ （3分）

11()1dx x x

=-+⎰

ln ln 1.x x C =-++ （3分）

2. 解 由分部积分公式得

23

1ln ln 3x xdx xdx

=

⎰⎰ 3311

ln ln 33x x x d x =-⎰ （3分） 33111ln 33x x x dx x =-⋅⎰ 3211

ln 33x x x dx =-⎰ 3311

ln 39

x x x C =-+ （3分） 3. 解 令sin , [0, ]2

x a t t π

=∈ 由定积分的换元积分公式，得

⎰

2

220

cos a

tdt π

=⎰

（3分）

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