常用的二次曲面方程及其图形

若准线的方程为
l m z, y z) 0 n n
f (x, y) 0 z 0
当 母 线 方 向 向 量 是 {l , m, n} 时 ， 柱 面 方 程 是
f (x
x f (t ) 若准线的方程是： : y h ( t ) ，母线的方向向量为 z g (t ) x f (t ) lu {l , m, n}时，柱面方程是： : y h ( t ) m u z g (t ) n u
x2 z2 2 1 a2 c
4）
当用平行 y=0 的平面 y= y1 （ y1 ≠±b）截得曲面为中心在 y 轴上的双曲线
x2 z2 y1 1 a2 c2 b2
2
双曲线知识回顾：
双曲线定义
(
m
MF1 MF2 2a 2a F1 F2
F1、F2
a 为定点， 为常数 )
y =0
y2 z2 2 1 b2 c
x=0 3） 这些交线都是椭圆。
再看这个曲面平行于 xoy 的平面 z= z1 ( z1 c )的交线
2
x2 y2 z1 1 a2 b2 c2
x2 a2 2 (c z c2
1 2
)
y2 b2 2 2 ( c z1 ) 2 c
1
z= z 1
x 2 y 2 x1 x 2 y 2 2 pz1
2
3)
z1 =z 时，得到：
x2 y2 z 2 p 2 p
3、 双曲抛物面（鞍型曲面）
方程为：

x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
4、 双曲面
方程为： 单叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1、 椭圆球
x 方程为： a
曲线为：
2 2
y2 z2 2 2 1 b c
-------------------（1）
1） 2）
由方程（1）可知
x2 y2 z2 1 ， 1 ， 1， b2 c2 a2
其与三个坐标平面的交线为：
x2 y2 2 1 a2 b
z=0
x2 z2 1 a2 c2
双叶双曲面
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
1） 当 z=0 时，为过原点的圆，圆点在原点上。
x2 y2 2 1 a2 b
2）
当用平行与 z=0 的平面 z= z1 截双曲面时，
x2 y2 z2 2 2 1 a2 b c
Z= z1
z1 2 x2 y2 1 a2 b2 c2
-------------椭圆
3）
当 y=0 时，在 xoz 平面上为一双曲线
常用的二次曲面方程及其图形
旋转曲面：L 是 XOZ 平面内的一个曲面
f ( x, z ) 0
其方程是：
p0
P
y0
f ( x 2 y 2 , z ) 0
得到旋转面的方程为：
柱面： 是空间的一个曲线，直线 L 沿着 平行移动 所形成的曲面，叫做柱面， 称作柱面的准线，L 称作柱面的母线。
具体步骤：
1） 列出平面曲线（母线）方程，比如
f (x0 , y0 ) 0
2） 旋转，根据旋转曲面与平面方程（母线）的关系，列 出空间旋转曲面等式 3） 当 z 0 =z，带入平面曲线方程。
M0 (x0 ,0, z0 )
M (x, y,z)
x0 z0 1 a2 c2
2 2
x 2 y 2 x0
x2 y2 z 02 1 带入平面曲线方程： 2 a c
当 z 0 =z 时，得到：
2
z x2 y2 1 a2 c2
2
2、 抛物面
方程为：
x2 y2 z （p 与 q 同号） 2 p 2q
取 p>0,q>0
1） 2）
当 z=0 时，截得为原点 O,原点叫做抛物面的顶点 当
4）
如果 a=b,那么方程变为：
x2 y2 z2 2 2 1 a2 a c x2 y2 z2 2 1 a2 c
根据旋转曲面的知识：
----------------------（2）
（2）式表示在 xoz 平面上的椭圆
x2 z2 2 1 围绕 z 轴的而行程的 a2 c
旋转曲面，它与一般椭圆球不同之处在于，其用 z= z1 平面截得的平面为一个 圆点在 z 轴上的圆。
y= y1
y x 2 p( z 1 ) 2q
2 2
5）
当 p=q 时，
x2 y2 z 表 示 xoz 平 面 上 的 抛 物 线 2 p 2 p
x 2 2 pz 围绕 z 轴而称的旋转曲面。
具体步骤：
M 1 ( x1 ,0, z1 )
M ( x, y , z )
1） 2）
x1 2 pz1
图形
标准方程
x2 y 2 1a 0，b 0 a2 b2
y2 x2 1a 0，b 0 a2 b2
F1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ c， 0
焦点坐标
a, b, c
F2 c， 0
F1 0， c
F2 0，c
c 2 a 2 b 2 c a 0，c b 0
z= z1 平面截得曲面为圆点在 z 轴上的圆。
x2 y2 z 2 p 2q
z= z 1
x2 2 pz y2 1 2 qz 1
1
3）
当 y=0 时，截得的为 xoz 平面上的抛物线
x 2 2 pz
4）
当 y=
y1 平面截得曲面为平行 xoz 平面的抛物线
x2 y2 z 2 p 2q