分式方程无解和增根
分式方程无解和增根
分式方程无解：指的是分式方程中的未知量不存在实数解或复数解，即无法使得分式方程成立。
增根：指的是当分式方程中的变量满足某一特定条件时，该分式方程具有更多的实数解或复数解，此时称该分式方程具有增根。
(完整)认清“增根”和“无解”
(完整)认清“增根”和“无解” 第 1 页 共 1 页 认清“增根”和“无解” 分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程11(1)(2) x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3 解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2。 令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-． 因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =． 所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解． 例2 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=． 当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-． 当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =． ①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =． 所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．
分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念。分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解． 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ．
解分式方程及增根,无解的典型问题含答案
分式方程 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原 方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程214111 x x x +-=-- （1） 增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2） 增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程产生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1. 化为整式方程求根，但是不能是增根。 2.根据题意列不等式组。
分式方程的增根与无解
如何正确理解分式方程的增根与无解 在分式方程教学中，我们要知道分式方程的增根与无解的意义是有区别的，分式方程有增根，一定是化简后整式方程的解（或根），分式方程无解不一定是化简后整式方程的解（或根），因而分式方程不一定有增根。 分式方程的增根是指在把分式方程是指把分式方程转化为整式方程时，即在去分母的过程中，因为分母含有未知数的字母，无形中可能使分式两边同时乘以一个为0的数，这样就导致未知数字母的取值范围扩大，使得方程的解可能是整式方程的解，但不一定是原分式方程的解.如果整式方程的解使原分式方程的分母为0，那么为个解（或根）就是分式方程的增根.；如果整式方程的解使原分式方程的分母不为0，那么为个解（或根）就是分式方程的根.所以说，分式方程的增根一定是去分母化简后整式方程的根，且使原分式方程中的分母等于0. 分式方程无解有两种情况：一种是增根使分式方程无解，与上面理由相同；另一种是化简后整式方程无解而导致分式方程无解.我们知道一元一次方程标准形式中0=+b ax ，当0≠a 时，一元一次方程有解（或根）；当0=a ，0≠b 时，左边＝b ，右边＝0，有左边≠右边，从而一元一次方程无解，导致原分式方程无解。 综上所述，可简记为：“分式方程有增根?分母＝0”；“分式方程无解??????00未知数的系数＝ 整式方程无解分母＝分式方程无解”. 例1、 若关于x 的方程x m x x -=--113产生增根，求常数m 的值. 解：去分母，方程两边同乘以)1(-x 得 m x -=-3 分式方程有增根 ∴ 01=-x 解得：1=x 把1=x 代入m x -=-3 有m -=-31 ∴ 2=m 小结：解分式方程有增根一般通过三个步骤，求出字母系数的值：一是先把分式方程化为整式方程；二是求出分母为0时x 的值；三是把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值.
解分式方程及增根,无解的典型问题含答案
分式方程 1.解分式方程的思路是： （1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2）解这个整式方程。 （3）把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4）写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” x +1 4 例1:解方程------- 一二- 1 X -1 X-1 （1）增根是使最简公分母值为零的未知数的值。 （2）增根是整式方程的根但不是原分式方程的，所以解分式方程一定要验根。 例2：解关于X的方程上畀3有增根，则常数a的值。 x-2 x -4 x +2 解:化整式方程的（a -1）x = -10由题意知增根x = 2,或x二-2是整式方程的根， 代入得2a - 2二-10,解得a = -4 ,把x二-2代入得-2a+2=-10，解得a = 6 所以a = 4或a = 6时，原方程产生增根。 方法总结：1?化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x的方程一2頁匚无解，则常数a的值。 X—2 x -4 x+2 解：化整式方程的（a -1）x - -10 当a -1 =0时，整式方程无解。解得 a =1原分式方程无解。 当a -1 =0时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根x = 2,或x = -2代入整式方程解得 a = -4或a = 6。 综上所述：当a = 1或a - -4或a =6时原分式方程无解。方法总结：1?化为整式方程。 2?把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 2x + a 例4：若分式方程竺上二―1的解是正数，求a的取值范围。 x—2 思考：1?若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2 .若此方程无解a的值是多少？2-a 2 解：解方程的x 且x=2，由题意得不等式组: 3 3 2-a 3 解得a ■ ■2且 a = -4
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：例1 xx．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且 x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 xx． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．例3（2007xxxx）若方程=无解，则m=——————． 解：原方程可化为=－． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m．
例谈分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解 分式方程是数学中的一种重要的方程形式，它的解法与一般的方程有所不同。在分式方程的解法中，我们常常会遇到增根和无解的情况。本文将以例谈分式方程的增根与无解为题，详细介绍这两种情况的解法。 一、增根的情况 当我们解分式方程时，有时会发现方程的解集中出现了新的解，这种情况就称为增根。增根的出现是由于我们在解方程时所做的化简步骤引入了新的限制条件，从而使得原方程的解集扩大。 例如，考虑以下分式方程： $\frac{2x+1}{x-3}=\frac{3x-2}{x+2}$ 我们可以通过交叉相乘的方法将其化简为： $(2x+1)(x+2)=(3x-2)(x-3)$ 展开后得到： $2x^2+5x+2=3x^2-7x+6$ 移项化简后得到： $x^2-12x+4=0$
解这个方程得到： $x=6\pm\sqrt{32}$ 因此，原方程的解集为： $\{x|x\neq-2,x\neq3,x=6\pm\sqrt{32}\}$ 我们可以发现，原方程的解集中出现了两个新的解$6+\sqrt{32}$和$6-\sqrt{32}$，这就是增根的情况。 二、无解的情况 与增根相反，有时我们解分式方程时会发现方程无解，这种情况就称为无解。无解的出现是由于我们在解方程时所做的化简步骤破坏了原方程的等价性，从而使得原方程无解。 例如，考虑以下分式方程： $\frac{x+1}{x-2}=\frac{x-3}{x+4}$ 我们可以通过交叉相乘的方法将其化简为： $(x+1)(x+4)=(x-3)(x-2)$ 展开后得到： $x^2+5x+4=x^2-x-6$
移项化简后得到： $6x+10=0$ 解这个方程得到： $x=-\frac{5}{3}$ 因此，原方程的解集为： $\{x|x\neq-4,x\neq2,x=-\frac{5}{3}\}$ 我们可以发现，原方程的解集中只有一个解$-\frac{5}{3}$，这就是无解的情况。 总结： 在解分式方程时，我们需要注意增根和无解的情况。增根的出现是由于我们在化简方程时引入了新的限制条件，而无解的出现则是由于我们在化简方程时破坏了原方程的等价性。因此，在解分式方程时，我们需要仔细分析每一步的化简过程，以确保不会出现增根或无解的情况。
解分式方程及增根_无解的典型问题含答案
分式方程 【2 】 1. 解分式方程的思绪是： （1） 在方程的双方都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程. （2） 解这个整式方程. （3） 把整式方程的根带入最简公分母,看成果是不是为零,使最简公分母为零的根是原方 程的增根,必须舍去. （4） 写出原方程的根. “一化二解三磨练四总结” 例1：解方程 214111 x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242ax x x x +=--+有增根,则常数a 的值. 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根,把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10,解得6a = 所以4a =-或6a =时,原方程产生增根. 办法总结：1.化为整式方程. 2.把增根代入整式方程求出字母的值. 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解,则常数a 的值. 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时,整式方程无解.解得1a =原分式方程无解. 当10a -≠时,整式方程有解.当它的解为增根时原分式方程无解. 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =. 综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解. 办法总结：1.化为整式方程. 2.把整式方程分为两种情形评论辩论,整式方程无解和整式方程的解为增根. 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数,求a 的取值规模.
解：解方程的23a x -=且2x ≠,由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思虑：1.若此方程解为非正数呢？答案是若干？ 2．若此方程无解a 的值是若干？ 方程总结：1.化为整式方程求根,但是不能是增根. 2.依据题意列不等式组. 当堂检测 1. 解方程 11322x x x -=---答案：2x =是增根原方程无解. 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根,则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法准确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时,方程的解为正数 C.当5m <-时,方程的解为负数 D.无法肯定 4.若分式方程 1 x a a x +=-无解,则a 的值为-----------答案：1或-1 5.若分式方程=11 m x x +-有增根,则m 的值为-------------答案：-1 6.分式方程121 m x x =-+有增根,则增根为------------答案：2或-1 7.关于x 的方程1122 k x x +=--有增根,则k 的值为-----------答案：1 8.若分式方程x a a a +=无解,则a 的值是----------答案：0 9.若分式方程201m x m x ++=-无解,则m 的取值是------答案：-1或1-2 10.若关于x 的方程(1)5321 m x m x +-=-+无解,则m 的值为-------答案：6,10 11.若关于x 的方程311x m x x --=-无解,求m 的值为-------答案： 12.解方程21162-x 2312x x x -=---答案67 x =- 13．解方程2240x-11x -=-
分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．
(完整版)分式方程的增根与无解
分式方程的增根与无解 甲：增根是什么？ 乙:增根是解分式方程时，把分式方程转化为整式方程这一变形中，由于去分母扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值.比如 例1、解方程：。① 为了去分母，方程两边乘以，得② 由②解得。 甲：原方程的解是. 乙：可是当时，原方程两边的值相等吗？ 甲：这我可没注意，检验一下不就知道了。哟!当时，原方程有的项的分母为0，没有意义，是不是方程变形过程中搞错啦? 乙:求解过程完全正确,没有任何的差错。 甲:那为什么会出现这种情况呢？ 乙：因为原来方程①中未知数x的取值范围是且，而去分母化为整式方程②后,未知数x的取值范围扩大为全体实数。这样，从方程②解出的未知数的值就有可能不是方程①的解。甲:如此说来，从方程①变形为方程②，这种变形并不能保证两个方程的解相同，那么,如何知道从整式方程②解出的未知数的值是或不是原方程①的解呢？
乙:很简单,两个字：检验。可以把方程②解出的未知数的值一一代入去分母时方程两边所乘的那个公分母,看是否使公分母等于0，如果公分母为0,则说明这个值是增根，否则就是原方程的解。 甲：那么，这个题中就是增根了，可原方程的解又是什么呢？ 乙：原方程无解。 甲：啊？！为什么会无解呢？ 乙：无解时，方程本身就是个矛盾等式，不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等,如上题中,不论x取何值,都不能使方程①两边的值相等,因此原方程无解，又如对于方程，不论x取何值也不能使它成立，因此,这个方程也无解. 甲：是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的分式方程就一定有增根呢？ 乙：不是！有增根的分式方程不一定无解,无解的分式方程也不一定有增根,你看： 例2、解方程, 去分母后化为，解得或，此时，是增根，但原方程并不是无解，而是有一个解，而方程,去分母后化为，原方程虽然无解，但原方程也没有增根。 乙：增根不是原分式方程的解，但它是去分母后所得的整式方程的解，利用这种关系可以解决分式方程的有关问题，你看：
解分式方程及增根_无解的典型问题含答案
分式方程之巴公井开创作 1. 解分式方程的思路是： （1） 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。 （2） 解这个整式方程。 （3） 把整式方程的根带入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。 （4） 写出原方程的根。 “一化二解三检验四总结” 例1：解方程 214111x x x +-=-- 例2：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+有增根，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=-由题意知增根2,x =或2x =-是整式方程的根，把2,x =代入得2210a -=-,解得4a =-,把2x =-代入得-2a+2=-10，解得6a = 所以4a =-或6a =时，原方程发生增根。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把增根代入整式方程求出字母的值。 例3：解关于x 的方程223242 ax x x x +=--+无解，则常数a 的值。 解：化整式方程的(1)10a x -=- 当10a -=时，整式方程无解。解得1a =原分式方程无解。 当10a -≠时，整式方程有解。当它的解为增根时原分式方程无解。 把增根2,x =或2x =-代入整式方程解得4a =-或6a =。
综上所述：当1a =或4a =-或6a =时原分式方程无解。 方法总结：1.化为整式方程。 2.把整式方程分为两种情况讨论，整式方程无解和整式方程的解为增根。 例4：若分式方程212 x a x +=--的解是正数，求a 的取值范围。 解：解方程的23a x -=且2x ≠，由题意得不等式组：2-a 032-a 23 >≠解得2a <且4a ≠- 思考：1.若此方程解为非正数呢？答案是多少？ 2．若此方程无解a 的值是多少？ 方程总结：1.化为整式方程求根，但是不克不及是增根。 2.根据题意列不等式组。 当堂检测 1. 解方程 11322x x x -=---答案：2x =是增根原方程无解。 2. 关于x 的方程12144a x x x -+=--有增根，则a =-------答案：7 3. 解关于x 的方程15m x =-下列说法正确的是（C ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数 C.当5m <-时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 1 x a a x +=-无解，则a 的值为-----------答案：1或-1 5.若分式方程=11m x x +-有增根，则m 的值为-------------答案：-1
专题12 分式方程的无解与增根（含答案）
专题12 分式方程的无解与增根 知识解读 1.分式方程增根的定义 方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根. 2.分式方程无解有两种可能 （1）将分式方程通过“去分母”变成整式方程后，整式方程是“0x =1”的形式，即整式方程无解； （2）整式方程求得的解，使得原分式方程的分母等于0，即求得的根为增根。 3.验根的方法 （1）代人原方程检验，看方程左、右两边的值是否相等，如果相等，则未知数的值是原方程的解，否则就是原方程的增根； （2）代人最简公分母检验，看最简公分母的值是否为零，若值为零，则未知数的值是原方程的增根，否则就是原方程的根. 前一种方法虽然计算量大，但是能检查解分式方程中有无计算错误，后一种虽然简单，但不能检查解方程的过程有无计算错误，所以在使用后一种检验方法时，应以解方程的过程没有错误为前提。 培优学案 典例示范 一、分式方程增根的讨论 例1若方程 233 x m x x -= --有增根，则m 的值为 （ ） A. -3 B .3 C .0 D .以上都不对 【提示】如果这个方程有增根，则这个增根为x =3，x =3虽然不是233 x m x x -= --的解，但却是这个方程去分母之后得到的整式方程的解。 【技巧点评】 方程有增根，一定存在使公分母等于0的未知数的值.解这类题的一般步骤：①把分式方程化成整式； 方程；②令公分母为0，求出x 的值；③把x 的值代入整式方程，求出字母系数的值。
跟踪训练 1.当m 为何值时，解方程2 25++111 m x x x =--会产生增根？ 二、分式方程的无解 例2若关于x 的分式方程 3 11x a x x --=-无解，则a = . 【提示】分式方程无解，需要就分式方程有增根和整式方程无解两种情况讨论。 【技巧点评】 已知分式方程的无解，可先考虑去分母，将它化成整式方程，然后讨论是整式方程无解，还是分式方程的根为增根。 跟踪训练 2.当k 时，分式方程，0111 x k x x x x +-=--+无解. 三、分式方程解的讨论 例3 已知关于x 的方程 232 x m x +=-的解是正数，则m 的取值范围为 。 【提示】分式方程的解为正数，要去掉根是增根的情况，可考虑将m 看作已知数，求出x 的值，然后讨论x 的值是不是负数. 【技巧点评】 本题将分式方程与一元一次不等式结合在一起，在求m 的取值时，容易忽略方程无解的情况，应注意. 跟踪训练
分式方程中增根及无解问题
分式方程有增根、无解等问题 【真题演练】 1．（2021秋•德江县期末）关于x的方程有增根，则m的值是（） A．0B．2或3C．2D．3 2．（2021秋•开福区校级期末）若关于x的分式方程有增根，则m的值是（）A．m＝2或m＝6B．m＝2C．m＝6D．m＝2或m＝﹣6 3．（2021秋•庄浪县期末）若关于x的方程＝2有增根，则m的取值是（）A．0B．2C．﹣2D．1 4．（2021秋•黔西南州期末）若关于x的方程+2＝有增根，则m的值是（）A．﹣2B．2C．1D．﹣1 5．（2022春•原阳县月考）分式方程+2＝有增根，则m＝． 6．（2022春•靖江市校级月考）已知关于x的分式方程有增根，则m＝． 7．（2021秋•新田县期末）解关于x的分式方程＝时不会产生增根，则m的取值范围是．
8．（2021秋•平江县期末）若关于x 的分式方程有增根，则m 的值是 ． 【真题演练】 9．（2022春•江都区校级月考）若关于x 的分式方程无解，则实数a 的值为（ ） A ．7 B ．3 C ．3或7 D ．±7 10．（2022春•西峡县校级月考）若关于x 的分式方程无解，则m 的值为（ ） A ．﹣6 B ．﹣10 C ．0或﹣6 D ．﹣6或﹣10 11．（2021春•南召县期中）若关于的x 方程无解，则a 的值为（ ） A ． 或 B ．0或3 C ． 或3 D ．0或 12．（2021秋•晋安区期末）若关于x 的分式方程＝ 无解，则k 的值为（ ） A ．1或4或﹣6 B ．1或﹣4或6 C ．﹣4或6 D ．4或﹣6 13．（2021秋•两江新区期末）若关于x 的方程＝1无解，则a ＝（ ） A ．3 B ．0或8 C ．﹣2或3 D ．3或8