分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此．
分式方程有增根，指的是解分式方程时，去分母后整式方程的根，使分式方程分母为零的根不是原分式方程的根。而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下：
例1 、解方程2
344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2．
经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解．
例2、 解方程22321++-=+-x
x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．
整理得0x ＝8．
因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根．
例3、若方程
32x x --=2m x
-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．
解这个方程，得x=3－m ．
因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，
所以2=3－m ，解得m=1．
故当m=1时，原方程无解．
【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例．
例4、当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ②
若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．
把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．
【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值．
若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
当a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下： 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）
整理得（a －1）x ＝－10 ②
若原方程无解，则有两种情形：
（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。
（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．
综上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6时，原分式方程无解．
结论：弄清分式方程的增根与无解的区别和联系,能帮助我们提高解分式方程的正确性,对判断方程解的情况有一定的指导意义．
经典试题精选
1、解方程
11322x x x -=--- 2、关于x 的方程12144a x x x
-+=--有增根，则a =_______ 3、解关于x 的方程15
m x =-下列说法正确的是（ ） A.方程的解为5x m =+ B.当5m >-时，方程的解为正数
C.当5m <-时，方程的解为负数
D.无法确定
4、若分式方程1
x a a x +=-无解，则a 的值为_______ 5、 若分式方程=11
m x x +-有增根，则m 的值为_________； 6、分式方程121
m x x =-+有增根，则增根为_________； 7、关于x 的方程1122k x x +=--有增根，则k 的值为________
8、 若分式方程
x a a a
+=无解，则a 的值是_______ 9、 若分式方程201
m x m x ++=-无解,则m 的取值是__________； 10. 、若关于x 的方程(1)5321
m x m x +-=-+无解，则m 的值为__________； 10、 若关于x 的方程311x m x x --=-无解，求m 的值为_______； 11、 关于x 的方程2
1326
x m x x -=--有增根，则m 的值_________； 12、解方程（1）21162-x 2312x x x -=--- (2) 2240x-11
x -=- (3) 2212525
x x x -=-+ (4) 222213339x x x x --=-+- 13、当a 为何值时，关于x 的分式方程
311x a x x
--=-无解。
(完整版)分式方程的增根与无解的区别及联系
分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解．
【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m ，解得m=1． 故当m=1时，原方程无解． 【说明】因为同学们目前所学的是能化为一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一个根，所以如果这个根是原方程的增根，那么原方程无解．但是同学们并不能因此认为有增根的分式方程一定无解，随着以后所学知识的加深，同学们便会明白其中的道理，此处不再举例． 例4当a 为何值时，关于x 的方程223242 ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2） 整理得（a －1）x ＝－10 ② 若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根． 把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6． 【说明】做此类题首先将分式方程转化为整式方程，然后找出使公分母为零的未知数的值即为增根，最后将增根代入转化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值． 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：
(完整)认清“增根”和“无解”
(完整)认清“增根”和“无解” 第 1 页 共 1 页 认清“增根”和“无解” 分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时,去掉了原分式方程中分母不为0的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围,这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为0，分式方程无意义．因此,这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见,增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解． 分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根． 可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的,它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形,分式方程无解应从两个方面考虑． 一、利用分式方程有增根确定字母的值 解题妙招：解决此类问题的一般步骤是:①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为0的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值． 例1 若分式方程11(1)(2) x m x x x -=--+有增根，则m 的值为（ ） A.0或3 B 。1 C.1或2- D.3 解析：方程两边乘（x —1）（x+2)，得x(x+2）-（x-1）（x+2）=m. 解得x=m-2。 令(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-． 因为分式方程有增根,将1x =，2x =-分别代入x=m —2，得3m =或0m =． 所以3m =或0m =时，原分式方程有增根．故选A ． 二、利用分式方程无解求字母的值 解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑,以防出现漏解． 例2 若关于x 的分式方程311x a x x --=-无解，则a 的值为 ． 解析：方程两边乘x （x —1），得x(x —a ）-3（x —1)=x(x —1）。化简,得(2)3a x +=． 当整式方程无解时，则20a +=，解得2a =-． 当分式方程有增根时，则最简公分母(1)0x x -=，解得0x =或1x =． ①当0x =时，a 无解；②当1x =时，1a =． 所以当1a =或a=2-时，原分式方程无解．故填1或2-．
分式方程无解和增根的区别
分式方程无解和增根的区别 分式方程无解和增跟的区别有哪些呢?想来大部分同学都忘记了。下面是由小编小编为大家整理的“分式方程无解和增根的区别”，仅供参考，欢迎大家阅读。 无解指在规定范围和条件内，没有任何数可以满足方程。 增根是指可以通过方程求出，但是不满足条件只能舍去的解。常见于分式方程。 分式方程是方程中的一种，是指分母里含有未知数的有理方程，或者等号左右两边至少有一项含有未知数，该部分知识属于初等数学知识. ①去分母 方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。不要忘了改变符号。 (最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂) ②移项 移项，若有括号应先去括号，注意变号，合并同类项，把系数化为1 求出未知数的值; ③验根(解) 求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根。 验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根。否则这个根就是原分式方程的根。若解出的根都是增根，则原方程无解。 如果分式本身约分了，也要代入进去检验。 在列分式方程解应用题时，不仅要检验所得解的是否满足方程式，还要检验是否符合题意。 一般的，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解. (1)注意去分母时，不要漏乘整式项。 (2)増根是分式方程去分母后化成的整式方程的根，但不是原分式方程的根。 (3)増根使最简公分母等于0。 (4)分式方程中，如果x为分母，则x应不等于0。
八年级数学 分式方程的增根与无解知识点讲解及典例解析
分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2 344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根． 所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x ≠2且x ≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x ＝2，恰好使公分母为零，所以x ＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程22321++-=+-x x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整理得0x ＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ． 解这个方程，得x=3－m ． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，
浅谈分式方程的增根与无解
【八年级】浅谈分式方程的增根与无解 在学习分式方程时，增根与无解是避不开的话题，也是绝大部分同学弄不清楚的地方。今天，给大家带来 2 类典型的问题。一、解分式方程时，增根是如何产生的？增根到底有多少个？二、增根与无解到底有怎样的区别与联系。 1.有关增根的问题 1.1增根是如何产生的 先看一个有意思的问题：x-1=0 显然，我们都知道原方程的解为 x=1，但是如果我们没有直接移项，而是在方程的两边同时乘以 x，则原方程可化为 x(x-1)=0，可解得 x=0 或x=1. 我们当然知道第一种方法是正确的，但是为什么我在等号两边同时乘了一个 x，就会变成两个解呢？这是因为两边同时乘的这个 x，我们没有确保它是不等于 0 的。换言之，第二种解法的 x=0 就是这个一元一次方程的增根。因为我在方程 x-1=0 两边同时乘以 x 后，得到的方程 x(x-1)=0 与原方程不是同解方程。 而我们解分式方程时，总是将分式方程化成整式方程进行求解。由于这个过程扩大了原来末知数的取值范围，使得所化成的整式方程与原分式方程不是同解方程，带来了可能使所化成的整式方程成立，而使原分式方程分母为零的末知数的值，也即增根。
1.2增根到底有多少个 再看一个有意思的问题，也是以前很多老师争论不休的问题。
故原方程无解，因此原方程的增根有 0 个。
这个问题为什么会产生歧义呢？这个方程的增根到底有几个？解法一、二、三到底哪个是正确的？ 首先，需要明确一点：解所有不含参数的分式方程，按照所有项移到方程左边，进而通分，这样的方式解得的分式方程永远都不会有增根，即解法三这样的。因为这种解法，一直在进行等价转化，即都是同解方程。 那既然这种解法不会产生增根，为什么教材不提倡这种做法呢？笔者觉得原因有两个。一、通过通分化简求值的方法相比于去分母化成整式方程更加麻烦，虽然不需要验根，但是对于复杂一些的分式方程，通分的计算量不小。二、更重要的一点，通分的方法无法处理含参数的分式方程。为了适用性更广，还是采用去分母的方法更为合适。 再看解法一和解法二，解法一是等号两边同时乘以最简公分母，而解法二相当于依据比例的基本性质，即它的本质是分式两边同时乘以分母的公倍数，不是乘以最简公分母。再往细了说，解法一两边同时乘以 (x-2)(x-1)，也就是扩大了 x 的范围为原先 x 不能取 1 和 2，化为整式方程后，就可以取了。而解法二相当于两边同时乘以 (x-2)(x-2)(x-1)，从解法一可以看到，两边同时乘以 (x-2)(x-1) 后，整式方程 x=2 是无法取到的，但是两边同时乘以 (x-2)(x-2)(x-1) 以后，整式方程的解当中就包含了x=2，也就是额外增加了增根出现的风险。
分式方程的增根与无解的区别及联系
分式圆程的删根与无解的辨别之阳早格格创做 分式圆程的删根与无解是分式圆程中罕睹的二个观念，共教们正在教习分式圆程后，时常会对于那二个观念殽杂没有浑，认为分式圆程无解战分式圆程有删根是共一回事，究竟上并没有是如许． 分式圆程有删根，指的是解分式圆程时，正在把分式圆程转移为整式圆程的变形历程中，圆程的二边皆乘了一个大概使分母为整的整式，进而夸大了已知数的与值范畴而爆收的已知数的值；而分式圆程无解则是指没有管已知数与何值，皆没有克没有及使圆程二边的值相等．它包罗二种情形：（一）本圆程化来分母后的整式圆程无解； （二）本圆程化来分母后的整式圆程有解，然而那个解却使本圆程的分母为0，它是本圆程的删根，进而本圆程无解．现举例证明如下： 例1 解圆程2344222+=---x x x x ．① 解：圆程二边皆乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解那个圆程，得x=2． 经考验：当x=2时，本圆程偶尔思，所以x=２是本
圆程的删根． 所以本圆程无解． 【证明】隐然，圆程①中已知数x 的与值范畴是x ≠2且x ≠-2．而正在来分母化为圆程②后，此时已知数x 的与值范畴夸大为部分真数．所以当供得的x 值恰佳使最简公分母为整时，x 的值便是删根．本题中圆程②的解是x ＝2，恰佳使公分母为整，所以x ＝2是本圆程的删根，本圆程无解． 例2 解圆程22321++-=+-x x x x ． 解：来分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）． 整治得0x ＝8． 果为此圆程无解，所以本分式圆程无解． 【证明】此圆程化为整式圆程后，自己便无解，天然本分式圆程肯定便无解了．由此可睹，分式圆程无解纷歧定便是爆收删根． 例3（2007湖北荆门）若圆程32x x --=2m x -无解，则m=——————． 解：本圆程可化为32x x --=－2m x -．
分式方程的增根与无解
例谈分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解； （二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ．① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．② 解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m． 解这个方程，得x=3－m． 因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2， 所以2=3－m，解得m=1．
分式方程的增根与无解的区别及联系
学习必备欢迎下载 分式方程的增根与无解的区别 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后， 常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实 上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程 中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产 生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相 等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 2 4 x3 例1解方程2．① x 2x4x 2 解：方程两边都乘以（x+2 ）（ x-2 ），得2（ x+2 ） -4x=3 （ x-2 ）．② 解这个方程，得x=2 ． 经检验：当x=2 时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．
所以原方程无解．
学习必备欢迎下载 【说明】显然，方程①中未知数x 的取值范围是x≠2 且 x≠-2 ．而在去分母化为方 程②后，此时未知数x 的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x 值恰好使最简公分 母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝ 2 ，恰好使公分母为零，所以x ＝ 2 是原方程的增根，原方程无解． x 1 3 x 例2解方程2． x 2 2 x 解：去分母后化为x － 1＝ 3－ x＋ 2（ 2＋ x）． 整理得0x ＝ 8 ． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由 此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例 3（ 2007湖北荆门）x3=m． 若方程无解，则 m= —————— x22x
分式方程的增根与无解
分式完结版 学生:______________ 一、分式方程的增根与无解 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．现举例说明如下： 1、 解方程 2344222+=---x x x x 2、 解方程22321++-=+-x x x x 3、若方程 32x x --=2m x -无解，则m=——————． 4、当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+会产生增根？ 5、（若将此题“会产生增根”改为“无解”）即：当a 为何值时，关于x 的方程 223242 ax x x x +=--+无解？ 二、分式方程应用题
1、列方程解应用题的步骤： ①；②；③；④；⑤；⑥。 2、某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？ 分析：①设解： ②列表： ③等量关系：；检验：答： 3、知识能力拓展 (1) 甲种原料和乙种原料的单价比是2：3，将价值2000元的甲种原料与价值1000元的乙种原料混合后，单价为9元，求甲的单价。 (2) 两个建筑队共同参与一项建路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ (3) 某次列车平均提速v km/h.用相同的时间，列车提速前行驶s km，提速后比提速前多行驶50 km，提速前列车的平均速度是多少？ (4) 一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300支以上，（不包括300支），可以按批发价付款，购买300支以下，（包括300支）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1支，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60支，那么可以按批发价付款，同样需要120元，①这个八年级的学生总数在什么范围内？ ②若按批发价购买6支与按零售价购买5支的付款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
分式方程的增根与无解
谈分式方程的增根与无解 (锦培优林老师) 分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念，同学们在学习分式方程后，常常会对这两个概念混淆不清，认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事，事实上并非如此． 分式方程有增根，指的是解分式方程时，在把分式方程转化为整式方程的变形过程中，方程的两边都乘了一个可能使分母为零的整式，从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值；而分式方程无解则是指不论未知数取何值，都不能使方程两边的值相等．它包含两种情形：（一）原方程化去分母后的整式方程无解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0，它是原方程的增根，从而原方程无解．（通过上面总结：无解可以分为两种情况：1、方程本身无解2、有增根） 现举例说明如下： 例1 解方程2344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②
解这个方程，得x=2． 经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．所以原方程无解． 【说明】显然，方程①中未知数x的取值范围是x≠2且x≠-2．而在去分母化为方程②后，此时未知数x的取值范围扩大为全体实数．所以当求得的x值恰好使最简公分母为零时，x 的值就是增根．本题中方程②的解是x＝2，恰好使公分母为零，所以x＝2是原方程的增根，原方程无解． 例2 解方程 2 2 3 2 1 + + - = + - x x x x ． 解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）． 整理得0x＝8． 因为此方程无解，所以原分式方程无解． 【说明】此方程化为整式方程后，本身就无解，当然原分式方程肯定就无解了．由此可见，分式方程无解不一定就是产生增根． 例3（2007湖北荆门）若方程 3 2 x x - -=2 m x -无解，则m= ——————． 解：原方程可化为 3 2 x x - -=－2 m x-． 方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．
【doc】怎样区别分式方程的增根与无解
怎样区别分式方程的增根与无解 责旧.蝙辑:王二喜 刘 顿 学习了解分式方程以后,不少同学把增根与无解混为一谈.为了 掌握这两个概念,现举例说明这两个概念的区别和联系. 一 .岔 将分式方程变形为整式方程时,方程两边同乘以一个含有未知 数的整式,并约去分母,可能产生不适合原分式方程的解或根,这种 根称为增根. 如,若方程—+3=有增根,则这个增根一定是=2. 一 二_徭绣罗 解分式方程的关键是去分母将分式方程转化为整式方程.对原分 式方程的解来说,各分式的分母不能为零,而对去分母后得到的整式 方程来说,没有这个限制.因此,解分式方程时,必须检验. 2O09.3 的增根与无解 怎样区剔分式方程 课程_IiI赍源 _ … i庭裔锄辑 分式方程无解有两种情形:一种是将原分式方程两边都乘以最 简公分母,去分母并整理得到的整式方程为ax=b,若a=O,而b≠0,则
此整式方程无解,即原分式方程无解;另一种是化分式方程为整式方程,整式方程的解是原分式方程的增根,此时分式方程无鳃. ,ll 如,若关于的方程一1=0无解,试求n的值. 将原方程去分母转化为(o一1)x+2=O,即(n一1)一2. 当n一1=0时,~Ja=l,此时整式方程无解. 所以当n=1时,原方程无解. 对于方程(.～1)x+2=O,当=1时,原方程无解. 所以当(n一1)×1+2=0时,即o=一1,原方程无解. 所以a为1或一1. 在解本题时,考虑问题要全面,不要只考虑原分式方程有增根的 情形,而忽略了整式方程无解,则原分式方程无解的情况. 一分薅方癌警车麟按哮暴 分式方程有增根,则增根是原分式方程变形后所得整式方程的 根,但不是原分式方程的根,即这个根使最简公分母为0. 如,解分式方程=3一刍,可得x=2,把=2代人(2一),得2一 x=O,即=2使分式方程的分母2一为0.所以x=2不是原方程的解,x=2 是原方程的增根,此方程无解. 在本题中,分式方程有增根,方程无解. 请思考下面两道题: 1.若关于的方程:m无解,求m的值. 2.m为何值时,关于的方程+x2- 4=会产生增根.目I 2OO9.3