(完整版)分式方程的增根与无解详解

分式方程的增根与无解讲解

例1 解方程2

344222+=---x x x x ． ① 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解．

例2 解方程22321++-=+-x

x x x ． 解：去分母后化为x －1＝3－x ＋2（2＋x ）．

整理得0x ＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

例3（2007湖北荆门）若方程

32x x --=2m x

-无解，则m=——————． 解：原方程可化为32x x --=－2m x -． 方程两边都乘以x －2，得x －3=－m ．

解这个方程，得x=3－m ．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，

所以2=3－m ，解得m=1．

故当m=1时，原方程无解．

例4当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+①会产生增根？ 解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）

整理得（a －1）x ＝－10 ②

若原分式方程有增根，则x ＝2或－2是方程②的根．

把x ＝2或－2代入方程②中，解得，a ＝－4或6．

若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：

当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+①无解？ 此时还要考虑转化后的整式方程（a －1）x ＝－10本身无解的情况，解法如下：

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x ＋2）＋ax ＝3（x －2）

整理得（a －1）x ＝－10 ②

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a －1＝0（即a ＝1）时，方程②为0x ＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x ＝2或－2，把x ＝2或－2代入方程②中，求出a ＝－4或6．

综上所述，a ＝1或a ＝一４或a ＝6时，原分式方程无解．

例5：（2005扬州中考题）

若方程)1)(1(6-+x x -1

-x m =1有增根，则它的增根是（ ） A 、0 B 、1 C 、-1 D 、1或-1

分析：使方程的最简公分母 (x+1)(x-1)=0则x=-1或x=1,但不能忽略增根除满足最简公分母为零,还必须是所化整式方程的根。

原方程易化成整式方程：

6-m(x+1)=x 2-1

整理得：

m(x+1)=7-x 2

当x= -1时,此时m 无解；

当x=1时,解得m=3。

由此可得答案为B 。

例6：关于x 的方程3-x x -2=3

-x m 有一个正数解，求m 的取值范围。 分析：把m 看成常数求解，由方程的解是正数，确定m 的取值范围，但不能忽略产生增根时m 的值。 原方程易化为整式方程：

x-2 (x-3)=m

整理得：

x=6-m

∵原方程有解，故6-m 不是增根。

∴6-m ≠3 即m ≠3

∵x ＞0

∴m ＜6

由此可得答案为m 的取值范围是m ＜6且m ≠3。

一、分式方程有增根，求参数值

例7 a 为何值时，关于x 的方程3

42-+-x a x x =0有增根？ 解：原方程两边同乘以（x-3）去分母整理，得

x 2-4x+a=0（※）

因为分式方程有增根，增根为x=3，把x=3代入（※）得，9-12+a=0 a=3

所以a=3时，3

42-+-x a x x =0有增根。 例8 m 为何值时，关于x 的方程11-x +2-x m =23222+-+x x m 有增根。

解：原方程两边同乘以（x-1）（x-2）去分母整理，得

（1+m ）x=3m+4（※）

因为分式方程有增根，据性质（2）知：增根为x=1或x=2。把x=1代入（※），解得m=-23；把x=2代

入（※）得m=-2

所以m=-23或-2时，原分式方程有增根

点评：分式方程有增根，不一定分式方程无解（无实根），如方程1+x k +1=)2)(1(2-+x x 有增根，可求得k=-32，但分式方程这时有一实根x=38。

二、分式方程是无实数解，求参数值

例9 若关于x 的方程52--x x =5-x m +2无实数，求m 的值。

解：去分母，得x-2=m+2x-10，x=-m+8

因为原方程无解，所以x=-m+8为原方程的增根。

又由于原方程的增根为x=5，所以-m+8=5

所以m=3

例10．若解分式方程2111x x m x x x x

+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. -

-12或 B. -12或 C. 12或 D. 1

2或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x x ==-01或，化简

原方程为：21122

x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。 例11. m 为何值时，关于x 的方程

22432x m x x x -+-=+2会产生增根？ 解：方程两边都乘以x 24-，得2

436x m x x ++=-

整理，得()m x -=-110

当时，如果方程产生增根，那么，即或（）若，则（）若，则（）综上所述，当或时，原方程产生增根

m x m x x x x m m x m m m ≠=---===-=--=∴=-=---=-∴==-1101

4022

12101

2422101

263462 说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

例12、 解方程：121043323489242387161945

x x x x x x x x --+--=--+-- 分析：方程中的每个分式都相当于一个假分数，因此，可化为一个整数与一个简单的分数式之和。

解：由原方程得：31434289328741

45

--++-=--++-x x x x

即2892862810287x x x x ---=---

于是，所

以解得：经检验：是原方程的根。

189861810878986810871

1()()()()

()()()()x x x x x x x x x x --=----=--==

例13、若解分式方程2111x x m x x x x

+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. -

-12或 B. -12或 C. 12或 D. 1

2或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：x x ==-01或，化简

原方程为：21122

x m x -+=+()()，把x x ==-01或代入解得m =-12或，故选择D 。 练习题

1 解方程

2

344222+=---x x x x ．

2 解方程

22321++-=+-x x x x ．

3（2007湖北荆门）若方程

32x x --=2m x

-无解，则m=——————．

4当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+会产生增根？

5当a 为何值时，关于x 的方程223242

ax x x x +=--+无解？