最新泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用

莲塘一中李树森

高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题.

如果函数()f x 在定义域I 上有定义,且有1n +阶导数存在,0,x x I ∈,则

()200000001()()()()()()()...()1!2!!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R n +'''=+-+-++-+, 其中(1)110()()(1)!

n n n f R x x n ξ+++=-+,其中ξ介于x 和0x 间.上式即为函数()f x 在0x 点处的泰勒展开式.[1] 令()ln(1)f x x =+,00x =,有23

11ln(1)...(1)23n n n x x x x x R n

-++=-+++-+. 上式可以进行放缩,比较ln(1)x +和x 、2

x x -的大小, 可以得到不等式：2

ln(1)2

x x x x -≤+≤,(0)x ≥. （*）下面证明该不等式.

证明：设2()ln(1)2x h x x x =--+,2

1()10,(0)11

x h x x x x x -'=--=≤≥++,则()h x 在[0,)+∞单调递减,()(0)0h x h ∴≤=,即有2

ln(1)2

x x x -≤+,当0x =时取等号. 设()ln(1)f x x x =+-,1()10,(0)11

x f x x x x -'=-=≤≥++,则()f x 在[0,)+∞单调递减, ()(0)0f x f ∴≤=,即有ln(1)x x +≤,当0x =时取等号.

综上所述,有不等式：2

ln(1)2

x x x x -≤+≤,(0)x ≥,当0x =时取等号. 如图所示：

例题展示

考题1 （2015年福建卷理科20题）

已知函数()ln(1),(),()f x x g x kx k R =+=∈

（1）证明：当0x >时,()f x x <；

（2）证明：当1k <时,存在00x >,使得对任意的0(0,)x x ∈,恒有()()f x g x >；

（3）确定k 的所有可能取值,使得存在0t >,对任意的(0,)x t ∈,恒有2

()()f x g x x -<.

解析：（1）在对（*）式的证明过程中已经体现.

（2）设()ln(1)h x x kx =+-,1()1()11

k k x k h x k x x ---

'=-=++. 当0k ≤时,()0h x '>,则()h x 在(0,)+∞单调递增,则有()(0)0h x h >=,

即()()f x g x >,此时0x 可以取任意正实数.

当01k <<时,令()0h x '=,解得有

11x k =-,101,10k k

<<∴-> 取011x k

=-,则有对任意的0(0,)x x ∈,有()()f x g x >. 分析：第（2）问的结论可以从图2中解释.

（3）2ln(1)x kx x +-<可化为

22ln(1)kx x x kx x -<+<+,此不等式要求在某个区

间(0,)t 成立即可, 而不等式2

ln(1)2

x x x x -<+<在0x >时恒成立. 因此可以得到2

222x kx x x kx x x ?-≤-???+≥?

,其中0x >,

化简,得121

x k k x ?≤+???≥-+?,即有11k k ≤??≥?,因此有1k =. 考题2 （2015年山东卷理科21题）

设函数2()ln(1)()f x x a x x =++-,其中a R ∈.

（1）讨论函数()f x 的极值点的个数,并说明理由；

（2）若0,()0x f x ?>≥成立,求a 的取值范围.

第（1）问利用导数求函数的极值,需要对a 进行讨论,这里不再赘述.

（2）由()0f x ≥,得2()ln(1)a x x x -≥-+,

利用不等式ln(1)x x +<,有2

()ln(1)a x x x x -≥-+>-,

对上式进行适当放缩,即利用2()a x x x ->-求a 的取值范围. 当(0,1)x ∈时,211x a x x x -<

=---,由于1()1

h x x =--在(0,1)上单调递增,有(0)1a h ≤=；当1x =时,有01a ?>-,此时a R ∈；

当(1,)x ∈+∞时,211x a x x x ->=---,1()1h x x =--在(1,)+∞上单调递增,有1lim 01

x a x →+∞≥-=-. 综上所述,0x ?>,要使()0f x ≥恒成立,a 的取值范围.是[0,1] 考题1的第（3）问,考题2的第（2）问都是恒成立问题,求参数的取值范围.本文这两问的做法,都是先对不等式适当放缩后进行求解,这在平时求解参数范围时是不常见的.之所以这两个题能够利用上述想法进行求解,是因为泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数()f x 近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想.该多项式函数与函数()f x 之间的误差是非常小的.本文出现的不等式（*）式中的x 与

x x -分别是泰勒展开式的第一项和前两项.这两个函数与函数()ln 1y x =+之间的相差是比较多的，但是在原点附近的较小区间内这两个函数与函数()ln 1y x =+误差是很小的.

因此本文是利用了这一点，对

常用泰勒公式

简介在数学上, 一个定义在开区间(a-r, a+r)上的无穷可微的实变函数或复变函数f的泰勒级数是如下的幂级数这里，n!表示n的阶乘而f(n)(a) 表示函数f在点a处的n阶导数。如果泰勒级数对于区间(a-r, a+r)中的所有x都收敛并且级数的和等于f(x)，那么我们就称函数f(x)为解析的。当且仅当一个函数可以表示成为幂级数的形式时，它才是解析的。为了检查级数是否收敛于f(x)，我们通常采用泰勒定理估计级数的余项。上面给出的幂级数展开式中的系数正好是泰勒级数中的系数。如果a = 0, 那么这个级数也可以被称为麦克劳伦级数。泰勒级数的重要性体现在以下三个方面：首先，幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。第二，一个解析函数可被延伸为一个定义在复平面上的一个开片上的解析函数，并使得复分析这种手法可行。第三，泰勒级数可以用来近似计算函数的值。对于一些无穷可微函数f(x) 虽然它们的展开式收敛，但是并不等于f(x)。例如，分段函数f(x) = exp(?1/x2) 当x≠ 0 且f(0) = 0 ，则当x = 0所有的导数都为零，所以这个f(x)的泰勒级数为零，且其收敛半径为无穷大，虽然这个函数f仅在x = 0 处为零。而这个问题在复变函数内并不成立，因为当z沿虚轴趋于零时 exp(?1/z2) 并不趋于零。一些函数无法被展开为泰勒级数因为那里存在一些奇点。但是如果变量x是负指数幂的话，我们仍然可以将其展开为一个级数。例如，f(x) = exp(?1/x2) 就可以被展开为一个洛朗级数。 Parker-Sockacki theorem是最近发现的一种用泰勒级数来求解微分方程的定理。这个定理是对Picard iterati on一个推广。 [编辑]

《泰勒公式及其应用》的开题报告.doc

《泰勒公式及其应用》的开题报告《泰勒公式的验证及其应用》的关键词：泰勒公式的验证数学开题报告范文中国开题报告 1．本课题的目的及研究意义目的：泰勒公式集中体现了微积分、逼近法的精髓，在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。泰勒公式是非常重要的数学工具，现对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。研究意义：在初等函数中，多项式是最简单的函数，因为多项式函数的的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数以一种“逼近”的思想，用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。对泰勒公式的研究就是为了解决上述问题的。 2．本课题的研究现状数学计算中泰勒公式有广泛的应用，需要选取点将原式进行泰勒展开，如何选取使得泰勒展开后，计算的结果在误差允许的范围内，并且使计算尽量简单、明了。泰勒公式是一元微积分的一个重要内容，不仅在理论上有重要的地位，而且在近似计算、极限计算、函数性质的研究方面也有重要的应用。对于泰勒公式在高等代数中的应用，还在研究中。 3．本课题的研究内容对泰勒公式的证明方法进行介绍，并归纳整理了其在求极

限与导数、判定级数与广义积分的敛散性、不等式的证明、定积分的证明等方面的应用。本课题将从以下几个方面展开研究：一、介绍泰勒公式及其证明方法二、利用泰勒公式求极限、证明不等式、判断级数的敛散性、证明根的唯一存在性、判断函数的极值、求初等函数的幂级数展开式、进行近似计算、求高阶导数在某些点的数值、求行列式的值。三、结论。 4．本课题的实行方案、进度及预期效果实行方案： 1.对泰勒公式的证明方法进行归纳； 2.灵活运用公式来解决极限、级数敛散性等问题； 3.研究实际数学问题中有关泰勒公式应用题目，寻求解决问题的途径。实行进度：研究时间为第8 学期，研究周期为9周。 1．前期准备阶段：收集有关信息进行分析、归类，筛选有价值的信息，确定研究主题；制定课题计划，学习理论。 2．研究阶段：2010年12月— 2011 年4 月 3．第一阶段：初期（2010年12月1日- 2011年3月15 日）第二阶段：中期（2011年3月16 日- 2011年4月15日）第三阶段：结题（2011年4月16日- 2011年4月30日）

泰勒公式及泰勒级数的应用

摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录目录 1 引言 (3) 2预备知识 (4) 2.1泰勒公式 (4) 2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4) 2.3常见函数的展开式 (6) 3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7) 3.1用泰勒公式进行近似计算 (7) 3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7) 3.3求函数的极值和不等式的证明 (8) 3.4判断或证明级数的敛散性 (9) 3.5用泰勒公式求行列式的值 (9) 3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10) 3.7用泰勒级数解微分方程 (11) 4结论 (14) 参考文献 (15) 致谢 (14)

1引言泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用数学学院数学与应用数学专业 2009级杨立指导教师吴春摘要:泰勒公式以一种逼近的思想成为数学分析中的一个重要知识，在分析和研究数学问题中有着重要的作用。本文研究了利用泰勒公式证明微分中值定理，求函数的极限，进行近似计算，求函数的高阶导数和偏导数等方面的应用，恰当的运用泰勒公式能够给我们的解题带来极大的方便。关键词：泰勒公式；微分中值定理；极限；高阶导数；偏导数 Abstract:Taylor formula is an important knowledge of mathematics analysis in an approximation of the thought, and it plays an important role in the analysis and study of mathematical problems. This paper studies the application of the Taylor formula in proving differential mean value theorem, the limit of function, approximate calculation, the application of high order derivative for function and partial derivative, and using Taylor formula appropriate can bring great convenience to our problem. Keywords:Taylor formula; approximate calculation; limit; higher derivative; partial derivative 引言泰勒公式最早是以泰勒级数的形式出现在泰勒1715年出版的著作《增量及其逆》中，但在该书中却没有给出具体的证明，直到19世纪由柯西给出了现在的形式及其严格的证明。泰勒公式是一种逼近的思想，集中体现了逼近法的精髓，可以将有理分式函数﹑无理函数和初等超越函数等复杂函数用简单的多项式函

泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用河北正定中学（050800）温绍雄高中数学中函数导数部分占据了重要的位置,高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现.如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通,本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函数()f x 在定义域I 上有定义,且有1n +阶导数存在,0,x x I ∈,则 ()200000001()()()()()()()...()1!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R n +'''=+-+-++-+, 其中(1)110()()(1)! n n n f R x x n ξ+++=-+,其中ξ介于x 和0x 间.上式即为函数()f x 在0x 点处的泰勒展开式.[1] 令()ln(1)f x x =+,00x =,有23 11ln(1)...(1)23n n n x x x x x R n -++=-+++-+. 上式可以进行放缩,比较ln(1)x +和x 、2 2 x x -的大小, 可以得到不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥. （*）下面证明该不等式. 证明：设2()l n (1)2x h x x x =--+,2 1()10,(0)11 x h x x x x x -'=--=≤≥++,则()h x 在[0,)+∞单调递减,()(0)0h x h ∴≤=,即有2 ln(1)2 x x x -≤+,当0x =时取等号. 设()ln(1)f x x x =+-,1()10,(0)11 x f x x x x -'=-=≤≥++,则()f x 在[0,)+∞单调递减, ()(0)0f x f ∴≤=,即有ln(1)x x +≤,当0x =时取等号. 综上所述,有不等式：2 ln(1)2 x x x x -≤+≤,(0)x ≥,当0x =时取等号. 如图所示：

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

其中，。 4 32)(; 3 2)(; 2 )(; )();1ln(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-====+= -1 -0.50 0.51 1.52 -3-2 -1 1 2 3 Figure 4 y=ln(x) and its Taylor expansion equation X Y

泰勒公式的应用

泰勒公式及其应用

摘要文章简要介绍了泰勒公式的证明及其推导过程，详细讨论了泰勒公式在最优化理论领域的应用，分别讨论了泰勒公式在理论证明和算法设计上面的应用，并用简单的算例加以说明。关键词：泰勒公式，最优化理论，应用

一、泰勒公式 1.1 一元泰勒公式若函数)(x f 在含有x 的开区间),(b a 内有直到1+n 阶的导数，则当函数在此区间内时，可展开为一个关于)(0x x -的多项式和一个余项的和： 1 0)1(00)(200000)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-''+-'+=n n n n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 其中=)(x R n 10)1()()!1() (++-+n n x x n f ξ ξ在x 和0x 之间的一个数，该余项)(x R n 为拉格朗日余项。 1.1.1 泰勒公式的推导过程我们知道α+-'+=))(()()(000x x x f x f x f ，其在近似计算中往往不够精确，于是我们需要一个能够精确计算的而且能估计出误差的多项式： n n x x a x x a x x a a x p )()()()(0202010-++-+-+= 来近似表达函数)(x f ；设多项式)(x p 满足)()()()(),()(0)(0)(0000x f x p x f x p x f x p n n ='='= 因此可以得出n a a a 10,.显然，00)(a x p =，所以)(00x f a =；10)(a x p ='，所以 )(01x f a '=；20!2)(a x p =''，所以 !2)(02x f a ''= n n a n x p !)(0) (=，所以有! )(0)(n x f a n n = 所以，n n x x n x f x x x f x x x f x f x p )(! )()(!2)())(()()(00)(2 00000-++-''+ -'+= 1.1.2 泰勒公式余项的证明我们利用柯西中值定理来推出泰勒公式的余项（拉格朗日余项）：设)()()(x p x f x R n -= 于是有0)()()(000=-=x p x f x R n 所以有0)()()()(0) (000===''='=x R x R x R x R n n n n n 根据柯西中值定理可得： n n n n n n n x n R x x x R x R x x x R ))(1()(0)()()()()(011)1(00)1(0-+'=---=-++ξξ 1ξ是在x 和0x 之间的一个数；对上式再次使用柯西中值定理，可得：

(完整版)泰勒公式及其应用(数学考研)

第2章预备知识前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式究竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．给定一个函数)(x f 在点0x 处可微，则有： )()()()(000x x x f x f x x f ?+?'+=?+ο 这样当1<

泰勒公式及其应用

泰勒公式及其应用 [摘要] 文章简要介绍了泰勒公式及其几个常见函数的展开式,针对泰勒公式的应用讨论了九个问题，即应用泰勒公式求极限，证明不等式，判断级数的敛散性，证明根的唯一存在性,判断函数的极值,求初等函数的幂级数展开式,进行近似计算,求高阶导数在某些点的数值,求行列式的值. [关键词] 泰勒公式；极限；不等式；敛散性；根的唯一存在性；极值;展开式;近似计算;行列式. １引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容,它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数,这种化繁为简的功能,使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献,从中搜集了大量的习题,通过认真演算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用,所以,本文会以大量的例题进行讲解说明. ２预备知识定义2.1]1[ 若函数f 在0x 存在n 阶导数,则有 '''200000()() ()()()()1!2! f x f x f x f x x x x x =+-+-+ ()000() ()(())! n n n f x x x o x x n +-+- （1）这里))((0n x x o -为佩亚诺型余项,称(1)f 在点0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（1）式变成)(! )0(!2)0(!1)0()0()()(2'''n n n x o x n f x f x f f x f +++++= ,称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.

定义2.2]2[ 若函数 f 在0x 某邻域内为存在直至 1+n 阶的连续导数,则 ''()' 2 0000000()()()()()()()...()()2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-++-+ , （2）这里 ()n R x 为拉格朗日余项(1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=++,其中ξ在x 与0x 之间,称（2）为f 在0x 的泰勒公式. 当0x =0时,（2）式变成''()' 2(0)(0)()(0)(0)...()2!! n n n f f f x f f x x x R x n =+++++ 称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式. 常见函数的展开式： 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ . )()! 12()1(!5!3sin 221 253++++-+-+-=n n n x o n x x x x x . 24622cos 1(1)()2!4!6!(2)! n n n x x x x x o x n =-+-++-+ . )(1 )1(32)1ln(11 32++++-+-+-=+n n n x o n x x x x x . )(111 2n n x o x x x x +++++=- +-+ +=+2 ! 2)1(1)1(x m m mx x m . 定理 2.1]3[(介值定理) 设函数 f 在闭区间 ],[b a 上连续,且 )()(b f a f ≠,若0μ为介于 )(a f 与)(b f 之间的任何实数,则至少存在一点0x ),(b a ∈,使得

泰勒公式及其应用典型例题

泰勒公式及其应用常用近似公式，将复杂函数用简单的一次多项式函数近似地表示，这是一个进步。当然这种近似表示式还较粗糙（尤其当较大时），从下图可看出。上述近似表达式至少可在下述两个方面进行改进： 1、提高近似程度，其可能的途径是提高多项式的次数。 2、任何一种近似，应告诉它的误差，否则，使用者“心中不安”。将上述两个想法作进一步地数学化：对复杂函数，想找多项式来近似表示它。自然地，我们希望尽可能多地反映出函数所具有的性态——如：在某点处的值与导数值；我们还关心的形式如何确定；近似所产生的误差。【问题一】设在含的开区间内具有直到阶的导数，能否找出一个关于的次多项式

近似? 【问题二】若问题一的解存在，其误差的表达式是什么? 一、【求解问题一】问题一的求解就是确定多项式的系数。 …………… 上述工整且有规律的求系数过程，不难归纳出：

于是，所求的多项式为： (2) 二、【解决问题二】泰勒(Tayler)中值定理若函数在含有的某个开区间内具有直到阶导数，则当时，可以表示成这里是与之间的某个值。先用倒推分析法探索证明泰勒中值定理的思路：

这表明：只要对函数及在与之间反复使用次柯西中值定理就有可能完成该定理的证明工作。【证明】以与为端点的区间或记为，。函数在上具有直至阶的导数，且函数在上有直至阶的非零导数，且于是，对函数及在上反复使用次柯西中值定理，有

三、几个概念 1、此式称为函数按的幂次展开到阶的泰勒公式；或者称之为函数在点处的阶泰勒展开式。当时，泰勒公式变为这正是拉格朗日中值定理的形式。因此，我们也称泰勒公式中的余项。为拉格朗日余项。 2、对固定的，若有

函数泰勒展开式的应用【文献综述】

毕业论文文献综述数学与应用数学函数泰勒展开式的应用 1、本课题研究的意义多项式是最简单的函数。因为多项式函数的运算只有加、减、乘三种运算。如果能将有理分式函数，特别是无理函数和初等超越函数用多项式函数近似代替，而误差又能满足要求，显然，这对函数性态的研究和函数值的近似计算都有重要意义。通过对数学分析的学习，我感觉到泰勒公式是高等数学中的重要内容，在各个领域有着广泛的应用，例如在函数值估测及近似计算，用多项式逼近函数，求函数的极限和定积分不等式、等式的证明，求函数在某点的高阶导数值等方面。除此以外，泰勒公式及泰勒级数的应用，往往能峰回路转，使问题变得简单易解。 2、目前国内的研究现状本人以 1999—2010 十一年为时间范围，以“泰勒公式”“泰勒公式的应用”、为关键词，在中国知网以及万方数据等数据库中共搜索到 30 余篇文章，发现国内外对泰勒公式及其研究进展主要分配在:1、带不同型余项泰勒公式的证明；2、泰勒公式的应用举例。 3、本课题的研究方向和重点泰勒公式是高等数学中的一个重要的内容, 但一般高数教材中仅介绍了如何用泰勒公式展开函数, 而对泰勒公式的应用方法并未进行深入讨论在高等数学教材中, 一般只讲泰勒公式, 对其在解题中的应用介绍很少。但泰勒公式在解决一些问题中确实有十分重要的作用。一、带不同型余项泰勒公式的证明，即：1.带皮亚诺余项的泰勒公式；2.带拉格朗日余项的泰勒公式；3.带积分型余项的泰勒公式的证明。二、泰勒公式的应用举例。本次论文将涉及到泰勒公式在以下七个方面的应用： 1、泰勒公式在极限计算中的应用；在函数极限运算中, 不定式极限的计算始终为我们所注意, 因为这是比较困难的一类问题。计算不定式极限我们常常使用洛必达法则或者洛必达法则与等价无穷小结合使用。但对于有些未定式极限问题若采用泰勒公式求解, 会更简单明了。我将在论文中就例题进行探讨。 2、泰勒公式在判定级数及广义积分敛散性中的应用；泰勒公式是微分学中值定理推广。然而它在判断级数和广义积分的敛散性中的应用则很少提及, 事实上, 它在这方面的应用起着不可替代的作用, 我将通过应用泰勒公式对无穷小量或无穷大量的阶进行估计, 寻找简便有效的判定级数及广义积分的敛散性的方法。 3、泰勒公式在行列式中的应用；函数的泰勒公式在数值计算及数学

常见泰勒公式展开式

泰勒公式泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来近似表达这个函数。泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒，他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式。泰勒公式是为了研究复杂函数性质时经常使用的近似方法之一，也是函数微分学的一项重要应用内容历史发展泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，它将一些复杂的函数逼近近似地表示为简单的多项式函数，泰勒公式这种化繁为简的功能，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具。 18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一的数学家泰勒( Brook T aylor)，其主要著作是1715年出版的《正的和反的增量方法》，书中陈述了他于1712年7月给他老师梅钦信中提出的著名定理——泰勒定理。1717年,泰勒用泰勒定理求解了数值方程。泰勒公式是从格雷戈里——牛顿差值公式发展而来，它是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够光滑,在已知函数某一点各阶导数的前提下,泰勒公式可以利用这些导数值作为系数构建一个多项式来近似该函数在这一点的邻域中的值。1772年，拉格朗日强调了泰勒公式的重要性，称其为微分学基本定理，但是泰勒定理的证明中并没有考虑级数的收敛性，这个工作直到19世纪20年代，才由柯西完成。泰勒定理开创了有限差分理论，使任何单变量函数都

可以展开成幂级数，因此，人们称泰勒为有限差分理论的奠基者。泰勒公式是数学分析中重要的内容，也是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有独特的优势。利用泰勒公式可以将非线性问题化为线性问题，且具有很高的精确度，因此其在微积分的各个方面都有重要的应用。泰勒公式可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面。

泰勒公式与导数的应用

巩固练习 ★1.按)1(-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f 。知识点：泰勒公式。思路：直接展开法。求)(x f 按)(0x x -的幂展开的n 阶泰勒公式，则依次求)(x f 直到1+n 阶的导数在0x x =处的值，然后带代入公式即可。解：3 ()46f x x x '=+，(1)10f '=；2 ()126f x x ''=+，f (1)18''=； ()24f x x '''=，(1)24f '''=；24)()4(=x f ；24)1()4(=f ；0)()5(=x f ；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4 (1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!f f f f f x f x x x x ''''''=+-+-+-+-432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+=x x x x 。 ★★2.求函数 x x f =)(按)4(-x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点：泰勒公式。思路：同1。解：()f x '= ， 1(4)4f '=；321()4f x x -''=-，1 (4)32 f ''=-； 523()8f x x -'''=，3(4)256 f '''=；27 41615)(--=x x f )(；将以上结果代入泰勒公式，得 (4)23 4(4)(4)(4)()()(4)(4)(4)(4)(4)1!2!3!4!f f f f ξf x f x x x x ''''''=+-+-+-+- 42 7 32)4(1285)4(512 1 )4(641)4(412-- -+---+=x ξ x x x ，（ξ介于x 与4之间）。 ★★★3.把 2 2 11)(x x x x x f +-++= 在0=x 点展开到含4x 项，并求)0() 3(f 。知识点：麦克劳林公式。

泰勒展开式在高考题中的应用

泰勒展开式在高考题中的应用莲塘一中李树森高中数学中函数导数部分占据了重要的位置 , 高考试题中函数导数题往往也是以难题、压轴题形式出现 . 如何应对函数导数难题？高等数学中有一些知识、方法与中学数学相通 , 本文针对一类函数导数问题借助高等数学中的泰勒展开式解决该类初等数学问题. 如果函数 f ( x) 在定义域 I 上有定义 , 且有 n 1阶导数存在 , x, x 0 I , 则 f (x) f ( x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 ) f ( x 0 ) ( x x 0 )2 ... f (n ) ( x 0 ) ( x x 0 )n R n 1 , 1! 2! n! 其中 R 1 f ( n 1) ( ) ( x x )n 1 , 其中介于 x 和 x 0 间 . 上式即为函数 f ( x) 在 x 0 点处的泰勒展开式 .[1] n ( n 1)! 0 令 f (x) ln( x 1) , x 0 0 , 有 ln( x 1) x x 2 x 3 ... ( 1)n 1 x n R n 1 . x 2 2 3 n 上式可以进行放缩 , 比较 ln( x 1) 和 x 、 x 的大小 , 2 可以得到不等式： x x 2 ln( x 1) x , ( x 0) . （ *） 2 下面证明该不等式 . 证明：设 h( x) x x 2 ln( x 1), h ( x) 1 x 1 x 2 ) 单调递 2 x 1 x 0,( x 0) , 则 h( x) 在 [0, x 2 1 减 , h( x) h(0) ln( x 1) , 当 x 0 时取等号 . 0 , 即有 x 2 1 x 设 f (x) ln( x 1) x , f ( x) 1 0,( x 0) , 则 f (x) 在 [0, ) 单调递减 , x 1 x 1 f ( x) f (0) 0 , 即有 ln( x 1) x , 当 x 0 时取等号 . 综上所述 , 有不等式： x x 2 1) x , ( x 0) , 当 x 0 时取等号 . ln( x 2 如图所示：例题展示

一些常用函数及其泰勒(Taylor)展开式的图像

图 1 )exp(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 4!3!21)(; ! 3!21)(; ! 21)(; 1)(;)exp(4 32443 23322211x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y e x y x ++++==+++==++==+==== -3 -2-1 0123 -50 5 10 15 20 25 Figure 1 y=exp(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 2 )sin(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 7!5!3)(; !5!3)(; ! 3)(; )();sin(7 53775 35533311x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y -+-==+-==-===== -4 -3-2-1 01234 -8-6-4-202468Figure 2 y=sin(x) and its Taylor expansion equation X Y

图 3 )cos(x y =及其 Taylor 展开式其中，。 ! 8!6!4!21)(; !6!4!21)(; ! 4!21)(; !21)(); cos(8 642886 42664 2442 22x x x x x P y x x x x P y x x x P y x x P y x y +-+-==-+-==+-==-=== -4 -3-2-1 01234 -8-6 -4 -2 2 4 Figure 3 y=cos(x) and its Taylor expansion equation X Y

泰勒公式及其应用

泰勒公式的应用内容摘要：泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，不仅在理论上占有重要的地位，在近似计算、极限计算、函数凹凸性判断、敛散性的判断、等式与不等式的证明、中值问题以及行列式的计算等方面有重要的应用。本文着重对极限计算、敛散性的判断、中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面进行论述。关键词：泰勒公式皮亚诺余项级数拉格朗日余项未定式

目录内容摘要 0 关键词 0 1.引言 (2) 2.泰勒公式 (2) 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式 (2) 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式 (2) 2.3带有积分型余项的泰勒公式 (2) 2.4带有柯西型余项的泰勒公式 (3) 3.泰勒公式的应用 (3) 3.1利用泰勒公式求未定式的极限 (3) 3.2利用泰勒公式判断敛散性 (6) 3.3 利用泰勒公式证明中值问题 (11) 3.4 利用泰勒公式证明不等式和等式 (13) 4. 结束语 (19) 参考文献 (20)

1.引言泰勒公式是数学分析中一个非常重要的内容，微分学理论中最一般的情形是泰勒公式, 它建立了函数的增量,自变量增量与一阶及高阶导数的关系，将一些复杂的函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆。我们可以使用泰勒公式, 来很好的解决某些问题, 如求某些极限, 确定无穷小的阶, 证明等式和不等式，判断收敛性，判断函数的凹凸性以及解决中值问题等。本文着重论述泰勒公式在极限，敛散性判断，中值问题以及等式与不等式的证明这四个方面的具体应用方法。 2.泰勒公式 2.1具有拉格朗日余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n+1阶导数，则对该邻域内异于0x 的任意点x,在0x 和x 之间至少?一个ξ使得：当0x =0时，上式称为麦克劳林公式。 2.2带有皮亚诺型余项的泰勒公式如果函数()x f 在点0x 的某邻域内具有n 阶导数,则对此邻域内的点x 有: 2.3带有积分型余项的泰勒公式

常用十个泰勒展开公式

常用bai泰勒展开公式如下： 1、due^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……zhi+x^n/n!+…… 2、daoln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

9、cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞

常用十个泰勒展开公式

常用十个泰勒展开公式常用泰勒展开公式如下： 1、e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… 2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1) 3、sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞

1)!+…… (-∞

浅谈泰勒公式及其应用

论文提要泰勒公式是数学分析中的重要组成部分，它的理论方法已成为研究函数极限和估计误差等方面的不可或缺的工具集中体现了微积分“逼近法”的精髓，它是微积分中值定理的推广，亦是应用高阶导数研究函数性态的重要工具，它的用途很广泛，本文论述了泰勒公式的一些基本内容，并着重介绍了它在数学分析中的一些应用。即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值。

浅谈泰勒公式及其应用摘要：本文介绍了泰勒公式及几个常见函数的展开式，针对泰勒公式的应用讨论了八个问题.即应用泰勒公式求极限，利用泰勒公式证明中值公式，判断函数敛散性，证明不等式，判断函数的极值，求幂级数展开式，进行近似计算，求高阶导数在某些点的数值. 关键词：泰勒公式泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题的有力杠杆.作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演算，其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结.由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例题进行讲解说明. 1 预备知识定义 1.1 若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有()()()n n f x T x T x ==+ ()0n o x x +,即 ()()()()()()()()()().! !20002 00000n n n x x o x x n x f x x x f x x x f x f x f -+-+?+-''+ -'+=为⑴式. ⑴式称为函数f 在点0x 处的泰勒公式，()()()x T x f x R n n -=称为泰勒公式的余项，形如()n x x o 0-的余项称为佩亚诺型余项.所以⑴式又称为带有佩亚诺余项的泰勒公式. 当00=x 时，得到泰勒公式： ()()()()()()() n n x o n f x f x f f x f ++?+''+'+=! 0!20002. 它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公式. 定义1.2 若函数f 在[]b a ,上存在直至n 阶的连续导函数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的x ，[]b a x ,0∈,至少存在一点()b a ,∈ξ,使得