2018年初中数学竞赛复赛试题

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题

答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答．

2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．

一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分）

1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最

大值是（）

（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2．如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长

方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（）

（A ）17 （B ）18 （C ）

19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1

x k

kx y -+

=，当1≤x ≤2时的最大值是（）

（A ）k （B ）k k 12- （C ）k

（D ）k k 1+

4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，

其中矩形的个数是（）

（A ）10个（B ）14个（C ）15个（D ）30个

5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1

212

-+=x x y 的图象上整点的个数是（）

（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个

6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果

天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（）

（第2题）

（A ）15种（B ）23种（C ）28种（D ）33种

二、填空题（共6小题，每小题6分，满分36分）

7．三个实数按从小到大排列为1x ，2x ，3x ，把其中每两个数作和得到三个数分别是14，17，33，则2x = ．

8．如图，AB 为半⊙O 的直径，C 为半圆弧的三等分点，过B ，C 两点的半⊙O 的切线交于点P ，若AB 的长是2a ，则PA 的长是．

9．函数1422

-+=x x y 的最小值是．

10．在正方形ABCD 中，点E 是BC 上的一定点，且BE =10，EC =14，

点P 是BD 上的一动点，则PE +PC 的最小值是．

11．某商店出售A 、B 、C 三种生日贺卡，已知A 种贺卡每张0.5元，B 种贺卡每张1元，C 种贺卡每张2.5元．营业员统计3月份的经营情况如下：三种贺卡共售出150张，营业收

入合计180元．则该商店3月份售出的C 种贺卡至少有张．

12．有一个英文单词由5个字母组成，如果将26个英文字母a ，b ，c ，…，y ，z 按顺序依次对应0到25这26个整数，那么这个单词中的5个字母对应的整数按从左到右的顺序分别为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5．已知x 1+3x 2，4x 2，x 3+2x 4,，5x 4，6x 4+x 5 除以26所得的余数分别为15，6，20，9，9．则该英文单词是．

（第10题）

三、解答题（共4小题，满分54分）

某列从上海到温州的火车，包括起始和终点在内共有6个停靠站，将这6个站按火车到达的先后次序，依次记为A，B，C，D，E，F．小张乘坐这趟列车从上海出发去温州，火车驶离上海时，小张发现他乘坐的车厢里连他自己在内共19名旅客，这些旅客小张都认识，其中有些是浙江人，其他的都是上海人．一路上小张观测到下列情况：①除了终点站，在每一站，当火车到达时这节车厢里浙江人的人数与下车旅客的人数相同，且这次行程中没有新的旅客进入这节车厢；②当火车离开车站B时，车厢里有12名旅客；当火车离开车站D时，还有7名旅客在这一车厢里；在F站下车的旅客包括小张在内共5人．

（1）火车驶离上海时，小张乘坐的这节车厢里共有多少浙江人？多少上海人？

（2）在B到C、C到D、D到E的旅途中，分别有多少浙江人？多少上海人？

14．（本题满分12分）

如图，M、N、P分别为△ABC三边AB、BC、CA的中点，BP

与MN、AN分别交于E、F，

（1）求证：BF=2FP；

（2）设△ABC的面积为S，求△NEF的面积．

C M

15．（本题满分15分）

设,,,321x x x …2006,x 是整数，且满足下列条件： ①

1≤n x ≤2，n =1，2，3， (2006)

②+++321x x x …2002006=+x ；

③+++232221x x x (20062)

2006=+x ．

求 +++333231x x x (3)

2006x + 的最小值和最大值．

一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃：

①能从任意一点（a，b），跳到点（2a，b）或（a，2b）；

②对于点（a，b），如果a＞b，则能从（a，b）跳到（a－b，b）；如果a＜b，则能

从（a，b）跳到（a，b－a）．

例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．

请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．

（１）（3, 5）；（２）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答)

2018年全国初中数学联合竞赛试题(含解答) 2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其他中间档次。如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数。第一试一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 1.已知$x,y,z$满足$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，则$\frac{y+2z}{3x-y-z}$的值为（） A) 1.(B) $\frac{5}{3}$。(C) $-\frac{1}{3}$。(D) $- \frac{3}{5}$.

答】B. 解：由$\frac{2355x-y}{y+2z}=\frac{x}{z-z^2}$，得$5x-3y=3xz-3xz^2$，即$y=\frac{5}{3}x- \frac{3}{3}z+\frac{3}{3}xz^2$，所以$\frac{y+2z}{3x-y- z}=\frac{\frac{5}{3}x+\frac{1}{3}z}{\frac{4}{3}x- \frac{2}{3}z}=\frac{5}{3}$，故选（B）。注：本题也可用特殊值法来判断。 2.当$x$分别取值 $1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\cdots,\frac{1}{2005},\frac{1}{2006}, \frac{1}{2007}$时，计算$\frac{1}{2007}+\frac{x}{21+x^2}$代数式的值，将所得的结果相加，其和等于（） A) $-1$。(B) $1$。(C) $0$。(D) $2007$. 答】C.

2018年初中数学竞赛复赛试题

2006年全国初中数学竞赛（浙江赛区）复赛试题答题时注意；1．用圆珠笔或钢笔作答． 2．解答书写时不要超过装订线． 3．草稿纸不上交．一、选择题（共6小题，每小题5分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填均得零分） 1． 5个相异自然数的平均数为12，中位数为17，这5个自然数中最大一个的可能值的最大值是（）（A ）21 （B ）22 （C ）23 （D ）24 2．如图，长方形ABCD 恰好可分成7个形状大小相同的小长方形，如果小长方形的面积是3，则长方形ABCD 的周长是（）（A ）17 （B ）18 （C ） 19 （D ）317 3．设0＜k ＜1，关于x 的一次函数)1(1 x k kx y -+ =，当1≤x ≤2时的最大值是（）（A ）k （B ）k k 12- （C ）k 1 （D ）k k 1+ 4．钟面上的1~12这12个数字把圆周12等分，以其中任意4个等分点为顶点作四边形，其中矩形的个数是（）（A ）10个（B ）14个（C ）15个（D ）30个 5．平面直角坐标系中，如果把横坐标、纵坐标都是整数的点叫做整点，那么函数1 212 -+=x x y 的图象上整点的个数是（）（A ）2个（B ）4个（C ）6个（D ）8个 6．用标有1克，2克，6克，26克的法码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置法码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）的种数共有（） A D B C （第2题）

初中数学竞赛“《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题(含答案)

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题参考答案答题时注意：1．用圆珠笔或钢笔作答. 2．解答书写时不要超过装订线. 3．草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分） 1．已知实数x y ，满足 42424233y y x x -=+=，，则444 y x +的值为（）．（A ）7 （B ）（C ）（D ）5 【答】（A ）解：因为20x >，2y ≥0，由已知条件得 2 12184x +==， 2 1122 y --+==，所以 444y x +=2 2233y x ++- 2 226y x = -+=7． 2．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m ，n ，则二次函数2y x mx n =++的图象与x 轴有两个不同交点的概率是（）．（A ）512 （B ）49 （C ）1736 （D ）1 2

（第3题）【答】（C ）解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ?＝24m n -＞0，即2m ＞4n . 通过枚举知，满足条件的m n ，有17对. 故17 36 P =. 3．有两个同心圆，大圆周上有4个不同的点，小圆周上有2个不同的点，则这6个点可以确定的不同直线最少有( )．（A ）6条（B ） 8条（C ）10条（D ）12条【答】（B ）解：如图，大圆周上有4个不同的点A ，B ，C ，D ，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E ，F 中，至少有一个不是四边形ABCD 的对角线AC 与BD 的交点，则它与A ，B ，C ，D 的连线中，至少有两条不同于A ，B ，C ，D 的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条．当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线．所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4．已知AB 是半径为1的圆O 的一条弦，且1AB a =<．以AB 为一边在圆O 内作正△ABC ，点D 为圆O 上不同于点A 的一点，且DB AB a ==，DC 的延长线交圆O 于点E ，则AE 的长为（）．（A （B ）1 （C （D ）a 【答】（B ）解：如图，连接OE ，OA ，OB ．设D α∠=，则 120ECA EAC α∠=?-=∠．又因为 ()11 60180222ABO ABD α∠= ∠=?+?- 120α=?-，所以ACE △≌ABO △，于是1AE OA ==．（第4题）

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准

2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9∶00－11∶00 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．若关于x 的方程244310x mx m +--=有两个相等的实数根，则32442m m m ++-的值为（） A ．3- B ．2- C ．1- D ．1 【答案】 A 【解答】依题意，21616(31)0m m =++=△。因此，2310m m ++=。 ∴ 231m m =--，231m m +=-。 ∴ 3222442(31)44232123m m m m m m m m m ++-=--++-=+-=--=-。 2．如图，ABCD 、DEFG 都是正方形，边长分别为m 、n （m n <）。坐标原点O 为AD 的中点，A 、D 、E 在y 轴上。若二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，则 n m =（） A ．1 B 1 C ．1 D ．1 【答案】 B 【解答】依题意，点C 坐标为()2m m ，，点F 的坐标为 ()2 m n n -+ ，。由二次函数2y ax =的图像过C 、F 两点，得 2 22 ()2m am m n a n ?=??? ?+=-??，消去a ，得2220n mn m --=。 ∴ 2()210n n m m -?-= ，解得1n m =（舍负根）。 ∴ 1n m =。（第2题图）

3．如图，G 为ABC △的重心，点D 在CB 延长线上，且1 2 BD BC = ，过D 、G 的直线交AC 于点E ，则AE AC =（） A ．25 B ．35 C ．37 D ．47 【答案】 D 【解答】如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵ G 为ABC △的重心，且1 2 BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且 2 1 AG GF =，DB BF FC ==。过点F 作FM DE ∥，交AC 于点M 。则 13CM CF CE CD ==，2 1 AE AG EM GF ==。设CM k =，则3CE k =，2EM k =，4AE k =。 ∴ 7AC k =， 44 77 AE k AC k ==。另解：如图，连AG ，并延长交BC 于点F 。 ∵ G 为ABC △的重心，且1 2 BD BC =， ∴ F 为BC 中点，且2 1 AG GF =，DB BF FC ==。 ∴ 23FD DC =，2 1 AG GF =。在AFC △中，利用梅涅劳斯定理，得 1FD CE AG DC EA GF ??=。 ∴ 22131CE EA ? ?=，3 4 CE EA =。 ∴ 4 7 AE AC =。（第3题图）（第3题答题图）（第3题答题图）