圆的方程与专题复习(直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题)

圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题）

知识梳理

浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平

圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。

一、有关圆的基础知识要点归纳

1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径.

2． 圆的标准方程

① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()022

2

>=-+-r r b y a x ，

其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为

2

2

2

r y

x =+；

② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。

3． 圆的一般方程

①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得，

02

2

=++++F Ey Dx y x (

)

042

2>-+F E

D ；

② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项

③ 二元二次方程02

2=+++++F Ey Dx Cy

Bxy Ax 表示圆的必要条件是

0≠=C A 且0=B ；

二元二次方程02

2=+++++F Ey Dx Cy

Bxy Ax 表示圆的充要条件是0

≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D 4． 圆的参数方程

圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程.

① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθ

θ(sin cos ??

?==r y r x 为参数）；

② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ

(sin cos ?

??+=+=r b y r a x 为参数）；

5． 确定圆方程的条件

圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出r b a ,,的方程组，求出r b a ,,的值，也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出F E D ,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。

6． 点与圆的位置关系

设圆()()2

2

2

:r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有：

(1)r d >?点M 在圆外； (2)r d = ?点M 在圆上； (3)r d < ?点M 在圆内．

7． 直线与圆的位置关系

设圆()()22

2

:r b y a x C =-+-，直线l 的方程为0=++C By Ax （B A ,不全为0），

圆心()b a ,，判别式为△，则有：

(1) 几何特征（数形结合）：由圆心到直线的距离d 与半径r 的大小来判断 ① r d < ?直线与圆相交； ② r d = ?直线与圆相切； ③ r d >?直线与圆相离；

(2) 代数特征：由直线方程与圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0?有两组不同的实数解? 直线与圆相交； ② △=0?有两组相同的实数解? 直线与圆相切； ③ △＜0?无实数解? 直线与圆相离.

(3) 直线与圆相交的弦长问题

①直线与圆相切时，要考虑过切点与切线垂直的半径；

②求弦长时，要用半径、弦心距、半弦长构成的直角三角形，即设弦长为l ，弦心距为d ，半径为r ，则有222

2r d l =+??

?

??.

③弦长公式：设直线交圆于()()2211,,,y x B y x A ，则B A AB

x x k AB -?+=2

1

或B A y y k

AB -?+

=

2

1

1.

(4) 圆的切线方程：

①已知圆2

2

2

1:r y x O =+；()()22

2

2:r b y a x O =-+-；

0:2

2

3=++++F Ey Dx y x O ，则以()00,y x M 为切点的圆1O 切线方程为：

2

00r y y x x =+；圆2O 切线方程为：()()()()2

00r b y b y a x a x =--+--；圆3O 切线方

程为：()

()

02

20000=+++

++

+F y y E x x D yy xx .

②若()00,y x M 在圆1O 外，到圆1O 有两条切线，则切点弦方程：2

00r y y x x =+.

9．圆与圆的位置关系

设圆()()22

2

1:r b y a x C =-+-，()()2

2

2

2:R n y m x C =-+-且设两圆圆心距

为d .

(1) 几何特征（数形结合）：由圆心距与半径r 、R 的大小来判断 ① r R d +=?两圆外切；

② r R d -= ?两圆内切且两圆的连心线过切点；

③ r R d +>?两圆外离； ④ r R d -

(2) 代数特征：由两圆方程联立方程组，研究其解的个数来判断位置关系 ① △＞0?有两组不同的实数解? 两圆相交； ② △=0?有两组相同的实数解? 两圆相切； ③ △＜0?无实数解? 两圆相离. 10．圆系方程

① 设两相交圆0:111221=++++F y E x D y x C

0:2222

2

1=++++F y E x D y x C

则

+

++++1112

23:F y E x D y x C 0)(1112

2

=++++F y E x D y x ()1-≠λ表示过

两圆交点的圆(不包括2C )；

当1-=λ时()()0212121=-+-+-F F y E E x D D 表示两圆的公共弦所在的直线方程.

②()022=+++++++c by ax F Ey Dx y x λ表示过圆022=++++F Ey Dx y x 与直线0=++c by ax 交点的圆.

③ ()()22

2

k b y a x =-+-k (为变数）表示以()b a ,为圆心的同心圆系。 二、有关圆问题的注意事项

1．在用待定系数法求圆方程时，一定要注意分析已知条件中圆的特点及规律，并能运用数形结合的思想，即利用平面知识充分挖掘其几何特征，联立待定系数的方程组，使问题简单化。

2．在讨论直线与圆，圆与圆的位置问题时，一般不用0,0,0?，而用圆心

到直线距离d 与半径r ，和圆心距与半径的大小关系，分别确定相交，相切，相离的位置关系。

3．求圆的切线方程一般有三种方法：设切点公式法；设切线斜率用判别式法；设切线斜率用圆心到切线距离等于圆的半径法