专题复习-“隐形圆”问题
- < a < 0 ≤ a ≤ 2 + ． 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 （4）若对任意α∈R ，直线 l ：xcos α＋ysin α＝2sin(α＋ )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2
3 2 ． (-
“隐形圆”问题
江苏省通州高级中学
一、问题概述
江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没
有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），
从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．
二、求解策略
如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．
策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆
例 1（1）如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取
值范围是
．
6
5
略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知
圆相交求解．
（2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上
存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范
围为 ．
解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共
点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ? 1 ≤ a 2
+ (a - 4)2
≤ 9 ? 2 -
2 2
2 2
（3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆
1
C : (x - ）
+ ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 P A + PB 的取值范围是 ． [7,13]
2
1 1 的圆上，且
2 2
P A + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值．
π
6
＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是
1 , 5
)
2 2
略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是
以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
化简得 x - ? + y - ? = 2 ，
所以点 M 的轨迹是以 ， ? 为圆心，
圆，所以 AM 的取值范围是 ? ， ? 6 - 2 6 + 2 ?
以 BC 的取值范围是 ? 6 - 2 ， 6 + 2 ? ．
? ?
注：直线 l ：(x -x 0)cos α＋(y - y 0)sin α＝R 为圆 M ： (x - x )2 + (x - y )2 = R 2 的切线系．
例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 x 2 + y 2 = 4 上两点，
点 A(1，1) ，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ．
解：法一（标解）：设 BC 的中点为 M (x, y )，
因为 OB 2 = OM 2 + BM 2 = OM 2 + AM 2 ，
y
所以 4 = x 2 + y 2 + (x - 1)2 + ( y - 1)2 ，
B
M
C
? 1 ?2 ? 1 ?2 ? 2 ? ?
2 ?
3 A
? 1 1 ? 3 2 ?2 2 ?
2
为半径的
O
x
，所 ? 2 2 ?
例 2
? ?
法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC ＝AN ， 由矩形的几何性质（矩形所在
平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方 和相等），有 O B 2 + OC 2 = OA 2 + ON 2 ，所以 ON ＝ 6 ，
故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 ?? 6 -
2 ， 6 + 2 ? ．
变式 1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x 2 + y 2 = 16 ，点
P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且PM ? PN = 0 ，若 P Q = PM + PN ，则 PQ 的
最小值为
． 3 3 - 5
y
变式 2
已知圆 C ： x 2 + y 2 = 9 ，圆 C ： x 2 + y 2 = 4 ，定点
A
1
2
P(1, 0) ，动点 A, B 分别在圆 C 和圆 C 上，满足 ∠APB = 90 ， 1
2
则线段 AB 的取值范围
． [2 3 - 1, 2 3 + 1]
B
O
P
x
变式 3 已知向量 a 、b 、c 满足 a = 3, b = 2, c = 1,(a - c ) ? (b - c ) = 0 ，则 a - b 范围
为
． [2 3 - 1, 2 3 + 1]
l l - 根据 AP ? BP + 2λ = 0 ，有 (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ? .由题意
策略二 动点 P 对两定点 A 、B 张角是 900 （ k
P A
? k PB
= -1 ，或 P A ? PB = 0）确定隐形圆
例 3 （1）（2014 年北京卷）已知圆 C ： (x - 3)2 + ( y - 4)2 = 1 和两点 A(-m , 0) ， B(m , 0) ，
若圆上存在点 P ，使得 ∠APB = 90 ，则 m 的取值范围是
． [4,6]
略解：由已知以 AB 为直径的圆与圆 C 有公共点．
（2）（海安 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P ( 1，0) ，
Q(2 ，1) ，直线 l ：ax + by + c = 0 其中实数 a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上
的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是
． [ 2, 3 2]
解：由题意，圆心 C(1，－2)在直线 ax ＋by ＋c ＝0 上，可得 a －2b ＋c ＝0，即 c ＝2b －a ． 直线 l ：(2a －b )x ＋(2b －c)y ＋(2c －a)＝0，即 a(2x ＋y －3)＋b (4－x)＝0，
?2x + y - 3 = 0,
由 ? ? 4 - x = 0
，可得 x ＝4，y ＝－5，即直线过定点 M (4，－5)，
由题意，H 在以 PM 为直径的圆上，圆心为 A(5，2)，方程为(x －5)2＋(y －2)2＝50，
∵|CA|＝4 2 ，∴CH 最小为 5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为 4 2 ＋5 2 ＝9 2 ， ∴线段 CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ] ．
（3）（通州区 2017 届高三下开学初检测）设m ∈ R ，直线 l ： x + my = 0 与直线
1
l ： mx - y - 2m - 4 = 0 交于点 P(x , y ) ，则 x 2 + y 2 + 2x
的取值范围
2
是
． [12 - 4 10,12 + 4 10 ]
略解：1 过定点 O(0，0)，2 过定点 A(2，-4)， 则 P 在以 OA 为直径的圆上（除去一点）， 变式 （2017 年南京二模）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 1：kx －y ＋2＝0 与
直线 l 2： x ＋ky －2＝0 相交于点 P ，则当实数 k 变化时，点 P 到直线 x －y －4＝0 的距
离的最大值为 ． 3 2
策略三 两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A ? PB = λ 确定隐形圆
例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A(2, 3) ，点 B (6, 3) ，点 P 在直线 3x - 4 y + 3 = 0 上，
若满足等式 AP ? BP + 2λ = 0 的点 P 有两个，则实数 λ 的取值范围是
解：设 P （x ，y ），则 AP = (x - 2, y - 3) ， BP = (x - 6, y + 3) ，
? 13 ?
?
2 ?
．
圆： (x - 4)2 + y 2 = 13 - 2λ λ < ? 圆与直线 3x - 4 y + 3 = 0 相交，
且点 C 总不在以点 B 为圆心， 为半径的圆内，则负数 λ 的最大值是
. - 设 A(- ,0) ， B( , 0) ， C(x, y) ，则由 a 2 + b 2 + 2c 2 = 8 ， 得 (x - )2 + y 2 + (x + ) + y 2 + 2c 2 = 8，即 x 2 + y 2 = 4 - c 2 ，
所以点 C 在此圆上，S ≤ r = 4 - c 2 = (4 - c 2 ) c 2 ≤
策略五 两定点 A 、B ，动点 P 满足
= λ(λ > 0, λ ≠ 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）
? ?
13 ? 2 ?
圆心到直线的距离 d = 3 ? 4 - 4 ? 0 + 3
32 + 42
= 3 < 13 - 2λ ，所以 λ < 2 .
（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA ? C B = λ （ λ 为常数），
1
3
2
4
略解：动点 C 满足方程 x 2 + y 2 = λ + 1 .
策略四
两定点 A 、B ，动点 P 满足 P A 2 + PB 2 是定值确定隐形圆
例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1，点 A(0，2)，若
圆 C 上存在点 M ，满足 MA 2＋MO 2＝10，则实数 a 的取值范围是 ．[0，3]
略解：M 满足的方程为 x 2 + ( y -1)2 = 4 ，转化为两圆有公共点
（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ?ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为 a, b , c ，若
a 2 +
b 2 + 2
c 2 = 8 ，则 ?ABC 面积的最大值为
．
2 5 5
解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.
c c 2 2
c c 5
2 2 4
c c 5 1 5 5 2 5
2 2 4 5 4 4 5
P A PB
例 6（1）
略解：点 P 满足圆的方程为 x 2 + y 2 = 4 ，转化到直线与圆相交.
（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，
O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点 P 在直线 x + 3 y - b = 0 上，过点 P 作圆 O ，O 1 的两条切线，
． － ,4 ?
l
(
)
2
) = 9 ，
( )(
整理得， x - 9
+ y - 9 3
所以点 P(x ，y) 的轨迹是以点 (
，
9 3)
为圆心， 3 为半径的圆．
图乙
x
2
(
)
因为圆心 9 ，9 3 到领海边界线 l ： x = 3.8 的距离为 1.55，大于圆半径 3 ，
切点分别为 A ，B ，若满足 PB = 2P A 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围
? 20 ? ?
3
?
例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 （一条南北方向的直线）3.8 海里的
A 处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的
B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追
击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方 向以最大航速航行．
（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截
成功；（参考数据： sin17 °≈
3 ， 33 ≈ 5.7446 ）
6
（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．
北
l
领海 公海
B
30°
A
解：（1）略
(例 7)
（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．
则 B (
2 ，2 3)
，设缉私艇在 P(x ，y) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私
船相遇，则 P A = 3 ，即
PB
x 2 + y 2
( x - 2)2
+ y - 2 3
= 3．
y
l
领海 公海
2
2
4
4
4
4 4
B
60
A
4 4
2
所以缉私艇能在领海内截住走私
船． 策略六 由圆周角的性质确定隐形
圆
例 8 （1）已知 a, b , c 分别为 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边， a = 2 ，
(a +b )(sinA -sinB)=(c -b )sinC 则 ?ABC 面积的最大值为 ． 3
略解：cos∠A＝，∠A＝60°，设?ABC的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为，则O到BC的距离为3，则边BC上的高h的最大值为+=3，则面积的最大值
（O
为．[-
3
123
23
323
333
为3．
（2）2017年常州一模）在△ABC中，∠C＝45o，△是ABC的外心，若OC=mOA+nOB(m，n∈R)，则m＋n的取值范围是．[-2,1)
略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C在以O为圆心，半径OA的圆上（在优弧AB上）．三、同步练习
1．已知直线l:x-2y+m=0上存在点M满足与两点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率之积为-1，则实数m的取值范围是．[-25,25]
2．(2016年泰州一模)已知实数a，b，c满足a2+b2=c2，c≠0，则b
a-2c
的取值范围
3
,]
33
3．已知θ,t∈R，则(cosθ-t-2)2+(sinθ-t+2)2的取值范围是．[22-1,22+1] 4．已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m>0)．若圆C上存在点P，使得P A?PB=1，则m的取值范围是．[15,35]
7．（2016年无锡一模）已知圆C:(x-2)2+y2=4，线段EF在直线l:y=x+1上运动，点P 为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A、B，使得P A?PB≤0，则线段EF长度的最大值是．14
8．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C是圆x2＋y2＝1上的
动点(与点A,B不重合)，连接BC并延长至D，使得|CD|
＝|BC|，则线段 PD 的取值范围
． ( , 2)
5
．1
． [0, ]
) 3
2 3
9．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A( - t ，0)(t > 0) ， B(t ，0) ，点 C 满足 AC ? BC = 8 ，
且点 C 到直线 l ： 3x - 4y + 24 = 0 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是
10．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系xOy 中，已知点O(0, 0) ， A(0, 3) 如果
圆 C : ( x - a)2 + ( y - 2a + 4)2 = 1 上总存在点 M 使得 MA = 2MO ，则圆心 C 的横坐标 a 的
取值范围是
12
5
11．已知向量 a 、b 、c 满足 a = 2 ， b = a ? b = 3 ，若 (c - 2a )(2 b -3c =0 ，则 b - c 的最大
值是
．1 + 2
12．设点 A, B 是圆 x 2 + y 2 = 4 上的两点，点C(1, 0)，如果∠ACB = 90 ，则线段 AB 长度的取
值范围为
． [ 7 - 1, 7 + 1]
13．在 ?ABC 中，BC ＝ 2，AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、
D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为
14．
（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 x Oy 中，圆 C : (x - 1)2 + y 2 = 2 ， 1
． 3
圆 C : (x - m )2 + (y + m )2 = m 2 ，若圆 C
1
2
上存在点 P 满足：过点 P 向圆 C 作两条切线
1
P A 、PB ，切点为 A 、B ， ?ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是
．
解：设 P(x ，y) ，设 P A ，PB 的夹角为 2θ ．
1 2
P A
△ABP 的面积 S = P A 2 sin 2θ = P A 2 ? ? = 1．
2 PC PC
1
1
由 2P A
= PC 2 = P A 2 + 2 ，解得 P A = 2 ， 1
所以 PC = 2 ，所以点 P 在圆 (x - 1) 2 + y 2 = 4 上．
1
所以 m - 2 ≤ (m -1)2 + (-m )2 ≤ m + 2 ，解得 1≤ m ≤ 3 + 2 3 ．
2020届江苏高考数学专题复习隐形圆问题
隐形圆问题 第一讲 “形”现“圆”形 问题 如图所示，在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝BC ＝2，点P 为等腰直角三角形ABC 所在平面内一点，且满足PA ⊥PB ，则PC 的取值范围是__________ ．1?? 分析 本题因为点P 满足PA ⊥PB 即∠APB ＝90°，根据直径所对的圆周角是直角，可知点P 在以AB 为直径的圆上运动，点P 的运动轨迹是一个圆， 要求PC 的取值范围，利用PC 与圆心O 三点共线时取得最值，即可解决．可以发现，这里隐藏着一个圆，像这样的问题，我们称为“隐形圆”问题，本题利用初中的平面几何的知识即可解决． 变式1 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的方程为y ＝kx ，直线l 2的方程为x +ky -2k =0，若l 1与l 2的交点为P ，定点(20)C ，，则PC 的取值范围是__________ ．1?? 分析 可以发现直线l 1与l 2是互相垂直的，直线l 1经过原点O （B ），直线l 2经过定点(02)A ，，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含A 点），于是本题就转换为上述问题，其平面几何背景即为上述问题． 变式2（2017年南京二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2： x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离 A B C P 变式1
的最大值为__________ ．分析 直线l 1过定点(02)A ，，直线l 2过定点(20)B ，，AB ＝，P 的轨迹是以AB 为直径的圆（不含原点），其圆心为C (1，1) ，到直线的距离为P 到直线x －y －4＝0的距 离的最大值为+ ＝ 圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解． 这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来． 圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现． 策略一 由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________．6 05 a -<< 【解】到原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相 交，从而有13，解得6 05 a -<<． （2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________ ．22a + ≤ 例1（1）
【公开课教案】“隐形圆”的探析
“圆”形毕露（二） 考纲要求： 江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级考点,近几年在各地模考和高考中出现频率较高,在题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中的,要通过分析、转化,发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解,我们称这类问题为“隐形圆”问题． 考点解读： 在平面上给定相异两点B A ,,设点P 在同一平面上且满足λ=?(或22PB PA +是定值),则点P 的轨迹是个圆. 小题热身 (1)平面内到原点距离为1的点的轨迹方程为 . (2)从圆1:22=+y x O 外一点P 向圆引两条切线,切点分别是A 、B ,使得∠APB ＝60°,则点P 的轨迹方程为 . (3)已知两点)0,2(),0,2(B A ,若存在点P ,使得∠APB =90°,则点P 的轨迹方程为 . (4)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得 20AP BP λ+=,则点P 的轨迹方程为 . (5)已知两点),0,2(),0,2(B A -若存在点P ,使得1022=+PB PA ,则点P 的轨迹方程为 . 题型一 利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆
例 1(1)如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1,则实数a 的取值范围是 ．05 6<-m m B m A ,若圆上存在点P , 使得∠APB =90°,则m 的取值范围是 ． 题型三 两定点B A ,,动点P 满足λ=?PB PA 确定隐形圆 例 3 (2017南通密卷3)已知点)3,2(A ,点)3,6(B 点P 在直线 3430x y -+=上, 若满足等式 20AP BP λ+=的点P 有两个,则实数λ的取值范围是 ． 题型四 两定点B A ,,动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆
2020年九年级数学中考专题复习：隐形圆求最值问题(含答案)
隐形圆问题 一、确定动点轨迹是圆 【例题 1】如图，已知圆 C 的半径为 3，圆外一定点 O 满足OC=5，点 P 为圆C 上一动点， 经过点 O 的直线 l 上有两点 A ，且 OA=OB ，∠APB=90°，l 不过点 C ，则 AB 的最小值为 【举一反三】 1、如图，在边长为 2的菱形 ABCD 中，∠ A=60°， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上的一动 点，将△ AMN 沿 MN 所在直线翻折得到△ A'MN,连接 A'C ，则 A'C 长度的最小值是 3、如图，已知等边 △ABC 的边长为 8，点 P 是 AB 边上的一个动点 （与点 A 、B 不重合 ）.直线 l 是经过点 P 的一条直线， 把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点 B'.当PB=6时，在直 线 l 变化过程中，则 △ ACB '面积的最大值是 . 4、如图，矩形 ABCD 中，AB ＝4，BC=8，P 、Q 分別是直线 BC 、AB 上的两个动点， AE ＝2， △AEQ 沿 EQ 翻折形成△ FEQ ，连接 PF 、PD ，则 PF+PD 的最小值是 2、如图，在 Rt △ABC 中， ∠C=90°，AC ＝6， 为边 BC 上的动点，将 △ CEF 沿直线 EF 翻折， 小值是 BC=8，点 F 在边 AC 上，并且 CF ＝ 2，点 E 点 C 落在点 P 处，则点 P 到 边 AB 距离的最 第 2
二、定边对直角 知识回顾 :直径所对的圆周角是直角 构造思路 :一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧 图形释义 : 【例题 1】已知正方形 ABCD 边长为 2，E 、F 分别是 BC 、CD 上的动点，且满足 BE ＝ CF ， 连接 AE 、 BF ，交点为 P 点，则 PC 的最小值为 【举一反三】 1、如图， E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE ＝DF ，连接 CF 交 BD 于 点 G ，连接 BE 交 AG 于点 H ，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是 2、如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB=6，BC ＝4，P 是△ABC 内部的一个动点， 且满足 ∠PAB ＝∠ PBC ，则线段 CP 长的最小值是 若 AB 是一条定线段，且 ∠APB-90 °， 则 P 点轨迹是以 AB 为直径的圆
隐形圆问题
隐形圆问题 （1）如图1，在三角形ABC中，AB=6三角形ABC的面积为8，若点D是AB边上一点，请画出当CD取得最小是点D的位置，并求出此时CD的最小值 问题探究 （2）如图2在矩形ABCD中AB =6,若在AD上存在一点E，连接BE,使得∠ABE30°，点M,N分别是AB,BE上的动点，连接AN,MN求AN+MN的最小值 问题解决 （3）有一条人工湖它的平面图形如图3的四边形ABCD，其中AB∥CD,AB=50米BC=40米∠C=60°为了美化风景现计划在湖中的F处建造一座假山，设计意图为：在湖岸BC的方向上任意选取一点E，连接AE，过点B作BF⊥AC于点F,且要求F到湖岸CD的距离最短，请你帮助工人师傅设计图纸，确定出假山F的位置，并求出假山F到湖岸CD的最短距离。 问题提出 （1）如图。已知△ABC,请画出△ABC关于直线AC对称的三角形。 问题探究 （2）如图在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2.是否在边BC,CD上分别存在点G,H,使得四边形EFGH的周长最小：若不存在，请说明理由。 问题解决 （3）如图有一矩形板材ABCD,AB=3米,AD=6米,，现想从此板材中裁处一个面积尽可能大的四 边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=√5米，∠EHG=45°。经研究，只有当点E,F,G分别在 边AD,AB,BC上，且AF＜BF,并且满足点H在矩形ABCD的内部或边上时，才有可能裁处符合要求的部件。试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积，若不能，请说明理由。
隐形圆与旋转的结合 问题探究 （1）如图在正方形ABCD 中，AB=6,点E,F 分别是AB,BC 上的点，将△ADE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCG,FG=4，则四边形DEBF 的面积为______. （2）如图已知线段AB=2√3,以AB 为边作△ABC, ∠C=120°。求△ABC 面积的最大值； 问题解决 （3）王师傅有一块足够大的板材，现要从这块板材中裁处如图所示的四边形ABCD 零件，已知AD=CD,BD=30√2cm,AD ⊥CD, ∠ABC=60°，裁取时要求尽可能的节约，即裁处的四边形ABCD 零件面积最小，是否能裁处这样的四边形ABCD ？，若能求出四边形ABCD 的最小面积，若不能，请说明理由。 如图，△ABC 为等边三角形，AB =2，若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB =∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为_________． 如图，Rt △ABC 中，AB ⊥BC ，AB =6，BC =4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠PAB =∠PBC ，则线段CP 长的最小值是_________． A B C P P A B C
专题复习-“隐形圆”问题
- < a < 0 ≤ a ≤ 2 + ． 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 （4）若对任意α∈R ，直线 l ：xcos α＋ysin α＝2sin(α＋ )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2 3 2 ． (- “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略． 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x －2a)2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 ． 6 5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解． （2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上 存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ． 解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ? 1 ≤ a 2 + (a - 4)2 ≤ 9 ? 2 - 2 2 2 2 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB = 3 ， P 是圆 1 C : (x - ） + ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 P A + PB 的取值范围是 ． [7,13] 2 1 1 的圆上，且 2 2 P A + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值． π 6 ＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 1 , 5 ) 2 2 略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
最新中考数学专题训练 隐形圆问题大全
中考数学复习隐形圆问题大全 一定点+定长 1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。 2.应用： （1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。 简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。 （2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.
简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。 （3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为. 简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。
二定线+定角 1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。 2.应用： （1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长. 简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。 （2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.
中考隐形圆问题
2019中考数学复习隐形圆问题大全 一定点+定长 1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆。 2.应用： （1）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1，AB∥CD，求BD的长。 简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1，易求BD=15。 （2）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是.
简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。 （3）ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为. 简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径，即AF+FO=32。
二定线+定角 1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。 2.应用： （1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4，点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长. 简析：AB为定线，∠APB为定角（90°），P点路径为以AB为弦（直径）的弧，如下图，易得DP为2或8。 （2）如图，∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题(瓜豆原理与隐形圆问题专题练习)(无答案)
中考数学复习突破与提升专题练习最值问题 （瓜豆原理与隐形圆问题专题练习） 1.如图，点P （3,4），圆P 半径为2，A （ 2.8,0），B （5.6,0），点M 是圆P 上的动点，点C 是MB 的中点，则AC 的最小值是_______． 2. 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC =BC =P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点，当半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长为________． 3. 如图，正方形ABCD 中，AB O 是BC 边的中点，点E 是正方形内一动点，OE =2，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ，连接AE 、CF ．求线段OF 长的最小值． 4. △ABC 中，AB =4，AC =2，以BC 为边在△ABC 外作正方形BCDE ，BD 、CE 交于 O A B C D E F
点O ，则线段AO 的最大值为_____________． 5. 如图，在等边△ABC 中，AB =10，BD =4，BE =2，点P 从点E 出发沿EA 方向运动，连结PD ，以PD 为边，在PD 的右侧按如图所示的方式作等边△DPF ，当点P 从点E 运动到点A 时，点F 运动的路径长是________． 6. 如图，已知点A 是第一象限内横坐标为的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y =-x 于点N ，若点P 是线段ON 上的一个动点，∠APB =30°，BA ⊥PA ，则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动．求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动的路径长是________． 7. 如图，在平面直角坐标系中，A （-3,0），点B 是y 轴正半轴上一动点，点C 、D 在x 正半轴上，以AB 为边在AB 的下方作等边△ABP ，点B A B C D E O A
专题复习_“隐形圆”问题
1 2 “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略． 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 ． - 6 < a < 0 5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解． （2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上 存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ． 解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ? 1≤ a 2 + (a - 4)2 ≤9 ? 2 - a ≤ 2 + ． 2 2 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB P 是圆 C : (x - 3）2 + ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 PA + PB 的取值范围是 ．[7,13] 1 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = 2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2 的圆上，且 PA + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值． （4）若对任意α∈R ，直线 l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ π )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y －)2 6 ＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 ． (- 1 , 5 ) 2 2 略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y α＝4，M 到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
隐形圆解决最值及面积问题 - 含答案
定弦定角最值问题 【定弦定角题型的识别】 有一个定弦，一个主动点，一个从动点，定弦所对的张角固定不变。 【题目类型】 图形中一般求一个从动点到一个定点线段长度最值问题，一般涉及定弦定角最值问题【解题原理】 同弧所对的圆周角相等，定弦的同侧两个圆周角相等，则四点共圆，因此动点的轨迹是圆。（线段同侧的两点对线段的张角相等，则这两点以及线段的两个端点共圆。） 【一般解题步骤】 ①让主动点动一下，观察从动点的运动轨迹，发现从动点的运动轨迹是一段弧。 ②寻找不变的张角（这个时候一般是找出张角的补角，这个补角一般为45°、60°或者一个确定的三角函数的对角等） ③找张角所对的定弦，根据三点确定隐形圆。 ④确定圆心位置，计算隐形圆半径。 ⑤求出隐形圆圆心至所求线段定点的距离。 ⑥计算最值：在此基础上，根据点到圆的距离求最值（最大值或最小值）。 典型例题讲解 1.如图，△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，弧AE＝CP，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．2 41 4 解：∵∠CDP＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135°（定弦定角最值） 如图，当AD过O′时，AD有最小值 ∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴△BO′C为等腰直角三角形 ∴∠ACO′＝45°＋45°＝90°∴AO′＝5 又O′B＝O′C＝4 ∴AD＝5－4＝1 2.如图，AC＝3，BC＝5，且∠BAC＝90°，D为AC上一动点，以AD为直径作圆，连接BD交
圆于E点，连CE，则CE的最小值为（） 16 A．2 13+C．5 D． 13-B．2 9 解：连接AE ∵AD为⊙O的直径∴∠AEB＝∠AED＝90°∴E点在以AB为直径的圆上运动 当CE过圆心O′时，CE有最小值为2 13- 3.如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝2 4，∠ACB＝45°，AM∥BC，点P在射线AM上运动，连BP交△APC的外接圆于D，则AD的最小值为（） A．1 B．2 C．2D．3 4- 2 解：连接CD ∴∠PAC＝∠PDC＝∠ACB＝45°∴∠BDC＝135° 如图，当AD过圆心O′时，AD有最小值 ∵∠BDC＝135°∴∠BO′C＝90°∴O′B＝O′C＝4 又∵∠ACO′＝90° ∴AO′＝5 ∴AD的最小值为5－4＝1 4.如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为3 2，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB 于点C，则△ABC的面积的最大值是（） A．3 12+D．3 4 6+ 6 3 12+B．3 3 6+C．3
专题复习_“隐形圆”问题
1 2 “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略． 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 ． 6 a 0 5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解． （2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上 存 在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ． 解： 由题意得 O P 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 1 OM 2 1 1≤ a 2 (a 4)2 ≤9 2 2 ≤ a ≤ 2 2 ． 2 2 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 y 2 1 上的动点， A B = 3 ， P 是圆 C : (x 3）2 ( y 4)2 1 上的动点，则 PA PB 的取值范围是 ．[7,13] 1 略解：取 A B 的中点 M ，则 C 1M = 2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2 的圆上，且 PA PB 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值． （4）若对任意 R ，直线 l ：x cos ＋y sin ＝2sin(＋ )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2 6 ＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 ． ( 1 , 5 ) 2 2 略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos ＋(y - 3 )sin ＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
微专题22“隐形圆”问题(教学案)
微专题22 “隐形圆”问题 1. 能用探究轨迹的思想挖掘题目中的隐形圆问题． 2. 能通过圆的几何意义等思想方法解决与圆有关的范围(最值)问题． 3. 深刻体会“等价转化”、“数形结合”等数学思想方法，能用代数方法处理几何问题． 考题导航 1. 如果圆(x －2a)＋(y －a －3)＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是________． 2. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为________________________________________________________________________． 1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0，点A ，B 在圆C 上，且AB ＝23，则|| OA →＋OB →的最大值是________． P 使得∠APB ＝90°，则正数m 的取值范围是________． 2. 已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP → ＋2λ＝0的点P 有两个，则实数λ的取值范围是________．
1. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(－1，0)，Q(2，1)，直线l：ax＋by＋c＝0，其中实数a，b，c成等差数列，若点P在直线l上的射影为H，则线段QH的取值范围是________． 1. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)＋(y－a＋2)＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是________. 1. 如图，在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1，2)． (1) 若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程； (2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，说明理由．
解析几何中的“隐形圆”问题
微点深化 解析几何中的“隐形圆”问题 高考中圆的方程是C 级知识点，其重要性不言而喻.但在一些题目中，条件没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题. 【例1】 (1)(2018·南通、泰州调研)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－4，0)，B (0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________. (2)已知实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＝c 2，c ≠0，那么b a －2c 的取值范围为________. 解析 (1)法一(几何法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4), 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，所以PC 方程为x 1x ＋y 1y ＝4，PD ：x 2x ＋y 2y ＝4，将P (a ， a ＋4)分别代入PC ，PD 方程，???ax 1＋（a ＋4）y 1＝4，ax 2＋（a ＋4）y 2＝4， 则直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，所以直线CD 过定点N (－1，1)，又因为OM ⊥CD ，所以点M 在以ON 为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON 为直径的圆的方程为? ????x ＋122＋? ????y －122＝12，所以AM 的最大值为? ????－4＋122＋? ?? ??122＋22＝3 2. 法二(参数法) 因为直线AB 的方程为y ＝x ＋4，所以可设P (a ，a ＋4)，同法一可知直线CD 的方程为ax ＋(a ＋4)y ＝4，即a (x ＋y )＝4－4y ，得a ＝4－4y x ＋y .又因为O ，P ，M 三点共线，所以ay －(a ＋4)x ＝0，得a ＝4x y －x .因为a ＝4－4y x ＋y ＝4x y －x ，所以点M 的轨迹方程为? ????x ＋122＋? ?? ??y －122 ＝12(除去原点)，所以AM 的最大值为? ????－4＋122＋? ????122＋22＝3 2.
专题1 隐形圆问题
专题1隐形圆问题 有关平面解析几何专题，无论是椭圆还是抛物线，我们已经归纳总结了多种秒杀方法，并在秒1和秒2中已经对其进行破解。随着高考改革的深入，传统的椭圆和抛物线的题目难度开始下降，平面解析几何的考察形式也开始变得多种多样，直线与圆的地位大幅度提升，甚至有“代替”圆锥曲线解答题的意思，带有文化背景的题目也层出不穷，“蒙日圆”“阿波罗尼斯圆”等“隐形圆”问题也开始出现在各地市的模拟题中，无论是平面向量小题还是平面解析几何大题，“隐形圆”的出现，都会给大家制造不少麻烦。本专题我们来解密高考中的“隐形圆”问题。 第一讲极化恒等式中的圆 1、向量乘积型：λ =?PB PA 定理：平面内，若B A ,为定点，且λ=?PB PA ,则P 的轨迹是以M 为圆心241AB + λ为半径的圆证明：由λ=?可知，即λ=- 2241AB PM 所以λ+=241AB PM ，P 的轨迹是以M 为圆心24 1AB +λ为半径的圆.【例1】（2017江苏）在平面直角坐标系xOy 中，)0,12(-A ，)6,0(B ，点P 在圆O ：5022=+y x 上，若20≤?PB PA ，则P 的横坐标范围是.
【例2】（2017·丹阳期中）已知)3,2(A ,)3,6(-B ,P 在0343=+-y x 上，若满足02=+?λ的P 有2个，则λ的取值范围是 。 解 2.向量加和型λ=+PB PA 定理：若B A ,为定点，P 满足λ=+,则P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心， 2 212AB -λ为半径的圆。)021(2>-AB λ证明：λ=??????+=+2222)21(2AB PM PB PA ，所以2 212AB PM -=λ，即P 的轨迹是以AB 中点M 为圆心，2 212AB -λ为半径的圆【例3】（2018江苏二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2)1(22=++y x C ：，点)0,2(A ，若C 上存在点M 满足1022≤+MO MA ,求M 纵坐标的取值范围。 解法一：设(,)M x y ，(2,0)A ，(0,0)O ， 22222(2)(0)44MA x y x x y ∴=-+-=-++，222MO x y =+，又2210MA MO +≤， 22224410x x y x y ∴-++++≤，整理得2223x x y -+≤，即22(1)4x y -+≤.
“隐形圆”
与圆有关问题
第一讲“形”现“圆”形 问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________． A P B C 圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解． 这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来． 圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现． 策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________． （2）（2016年南京二模）已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1．若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a的取值范围为_________．
（3）（2017年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆2 2 2:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +u u u r u u u r 的取值范围是_________． （4）若对任意α∈R ，直线l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ 6 π )＋4与圆C ：(x －m )2＋(y )2＝1均无公共点，则实数m 的取值范围是_________． （5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆()2 21:12C x y -+=， 圆()()2 2 22:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，ABP ?的面积为1，则正数m 的取值范围是_________．
“隐形圆”问题
核心：如何发现隐形圆（或圆的方程） 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取值范围是 ． （2）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范围为 ． （3）已知 A 、B 是圆 C 1 : x 2+ y 2=1上的动点， AB P 是圆C 2 : ( x - 3）2+ ( y - 4)2=1上的动点，则 PA PB +的取值范围是 ． 例 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆22 4x y +=上两点，点 A(1，1) ，且 AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为 ． 变式 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O :22 16x y +=，点P (1, 2) ，M 、N 为圆 O 上两个不同的点，且 0PM PN =，若 P Q P M P N =+， 则 PQ 的最小值为 ． 变式2 已知向量,,a b c 满足3,2,1a b c ===，若()()0a c b c -?-=则a b -的取值范围是 ． 策略二 动点P 对两定点A 、B 张角是 90°（1PA PB k k =-，或 0PA PB =）确定隐形圆 例 3 （1）已知圆 C ：()()22 341x y -+-=和两点A (-m , 0)，B (m , 0)， 若圆上存在点 P ，使得∠APB = 90°，则m 的取值范围是 ． （2）设 m ∈R ，直线 l 1： 0x my +=与直线2:240l mx y m ---=交于点P(x , y )，则 220002x y x ++的取值范围是 ．
隐形圆模型的最值问题-含答案
隐形圆模型的最值问题 【母题示例】 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E是CD上一动点，沿AE折叠矩形，使得点D落在矩形ABCD内的点D′处，连接CD′，则CD′的最小值为________． 【命题形式】常在几何图形中，结合折叠、旋转问题计算最值，一般会出现直角、定点和定长等特征信息． 【母题剖析】 先判断点D′在以A为圆心，AD为半径的圆上，再根据勾股定理确定CD′的最小值即可． 【母题解读】 隐形圆模型的最值问题是一种特殊的最值问题，其中以基本图形(三角形、矩形等)为背景，结合图形变换(折叠、旋转)来计算图形中某条线段的最值．常见的模型有：直角模型；定角模型；折叠旋转模型等．解题的关键是先确定动点轨迹所在圆的圆心，再连接定点与圆心，从而实现问题的解决. 模型一直角模型 【模型解读】直角模型是在问题中出现“直角”“垂直”“90°”等关键词，利用“90°的圆周角所对的弦是直径”从而确定动点所在轨迹，以及动点的圆心，再确定定点和圆的位置关系，最后利用勾股定理等方法求线段的最值．
【基本图形】 基本 图形 BM⊥BN，点C是∠MBN内一点，且AC⊥BC，则点C在说明 以AB为直径的圆上 【核心突破】 1.如图，正方形ABCD的边长为6，点E、F分别从点D和点C出发，沿射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于点H，连接DH，则线段DH长度的最小值为( ) A．35－3 B．25－3 C．33－3 D．3 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－3，0)，点B的坐标为(3，0)，点P是平面内一点，且AP⊥BP，点M的坐标为(3，4)，连接MP，则MP的最小值为________． 模型二定角模型 【模型解读】定角模型是直角模型的一种变形形式，其依据是已知定角，则根据“同弧所对的圆周角相等”得到动点的轨迹为圆弧，再画出对应图形进行计
专题复习“隐形圆”问题
学习必备 欢迎下载 1 2 “隐形圆”问题 江苏省通州高级中学 一、问题概述 江苏省高考考试说明中圆的方程是 C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没 有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程）， 从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题． 二、求解策略 如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略． 策略一 利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆 例 1（1）如果圆(x －2a )2＋(y －a －3)2＝4 上总存在两个点到原点的距离为 1，则实数 a 的取 值范围是 ． - 6 < a < 0 5 略解：到原点的距离为 1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知 圆相交求解． （2）（2016 年南京二模）已知圆 O ：x 2＋y 2＝1，圆 M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆 M 上 存在点 P ，过点 P 作圆 O 的两条切线，切点为 A ，B ，使得∠APB ＝60°，则 a 的取值范 围为 ． 解： 由题意得 OP = 2 ，所以 P 在以 O 为圆心 2 为半径的圆上，即此圆与圆 M 有公共 点，因此有 2 - 1 < OM < 2 + 1 ? 1≤ a 2 + (a - 4)2 ≤9 ? 2 - a ≤ 2 + 2 2 （3）（2017 年苏北四市一模）已知 A 、B 是圆 C : x 2 + y 2 = 1 上的动点， AB P 是圆 C : (x - 3）2 + ( y - 4)2 = 1 上的动点，则 PA + PB 的取值范围是 ．[7,13] 1 略解：取 AB 的中点 M ，则 C 1M = 2 1 ，所以 M 在以 C 1 圆心，半径为 2 的圆上，且 PA + PB = 2PM ，转化为两圆上动点的距离的最值． （4）若对任意α∈R ，直线 l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋ π )＋4 与圆 C ：(x －m )2＋(y － 3 m )2 6 ＝1 均无公共点，则实数 m 的取值范围是 ． (- 1 , 5 ) 2 2 略解：直线 l 的方程为：(x -1)cos α＋(y - 3 )sin α＝4，M (1, 3 )到 l 距离为 4，所以 l 是 以 M 为圆心半径为 4 的定圆的切线系，转化为圆 M 与圆 C 内含．
中考数学复习隐形圆问题大全(后有专题练习无答案)
2019 中考数学复习隐形圆问题大全 一定点 +定长 1.依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的 圆。 2.应用： （1）如图，四边形 ABCD中， AB=AC=AD=2， BC=1， AB∥ CD，求 BD的长。 简析：因AB=AC=AD=2，知 B、C、D 在以 A 为圆 2 为半径的圆上，由AB∥ CD 得DE=BC=1，易求 BD= 15 。 （ 2）如图，在矩形边上的动点，将△ ABCD中， AB=4， AD=6， E 是 EBF 沿 EF 所在直线折叠得到△ AB 边的中点， EB′ F，连接 F 是线段 B′ D，则 BC B′ D 的最小值是.
简析： E 为定点， EB′为定长， B′点路径为以 E 为圆心 EB′为半径的圆，作穿心线 DE 得最小值为 2 10 。 （ 3）ABC中， AB=4，AC=2，以BC为边 在ABC外作正方 形 BCDE， BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为. 简析：先确定 A、B 点的位置，因 AC=2，所以 C 点在以 A 为圆心， 2 为半径的圆上；因点 O 是点 C 以点 B 为中心顺时针旋转 45 度并 1：√ 2 缩小而得， 所以把圆 A 旋转 45 度再 1： 2 缩小即得 O点路径。如下图，转化为求定点 A 到定圆 F 的最长路径，即 AF+FO=3 2 。
二定线 +定角 1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆 周角的弧。 2.应用： （1）矩形 ABCD中， AB=10， AD=4，点 P 是 CD 上的动点，当∠ APB=90°时求 DP的长 . 简析： AB 为定线，∠的弧，如下图，易得APB 为定角（ 90°）， DP为 2 或 8。 P 点路径为以AB 为弦（直径） （ 2）如图，∠XOY = 45 °，等边三角形ABC的两个顶 点 A、 B 分别在OX、OY上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.