数学、经济学及其联系

为何要研究经济学

当你在决定是否购买某本书之前,你是否曾今考虑过:你能从这本书中得到什么收益?这种收益是否能补偿你为此付出的成本?(这种成本不仅包括你所花费的货币,而且包括你读这本书所要花费的时间)这其实就是我们日常生活中的一个经济问题。显然，无论是从微观世界到宏观现象，还是从历史演变到如今的社会发展，经济问题无处不在。所以，我们要研究经济学。

何谓经济学

社会上有一种普遍的观点：“经济学就是研究钱的”是这样吗？答案显然是错误的。我先我们承认，经济学的确与货币密切相关，但经济学研究的范畴远不止于对货币的探讨。接下来我们要更深层次的了解经济学。

稀缺—选择—分配，是经济学的三大关键词。即生产什么?如何生产？为谁生产？是资源配置的三个方面。

显然人的资源有限但需求无限，资源是稀缺的，引出了经济学最基本的问题：“生产什么”。即在资源给定情况下，用于哪种产品的生产。由于这种稀缺性，人们就面临选择，不同的选择造就了不同的结果，即“如何生产”，选择什么样的生产技术的问题。生产好的产品要进入市场，又该如何与社会成员进行分配。这就得考虑收入分配问题，即“为谁生产”。所以用一句话概括说，经济学研究的就是资源配置的问题。

经济学历史的三次综合

色诺芬在他所编著的《经济论》、《雅典的收入》中最早提出了“经济”这个概念。他认为经济就是家庭管理，这被称为“色诺芬传统”。柏拉图《理想国》中提出了“财产”观念，他反对一切形式的私有财产。亚里士多德的经济思想在于把家庭管理纳入政治学的范围。但这并不表明经济学是一门学科，是经济学家威廉.配第正式将政治经济学作为为一门独立的学科。而亚当斯密建立了一个完整的体系。这是经济学的第一次综合。即将政治与经济综合在了一起。

在18世纪50年代~19

世纪70年代形成了古典经济学，然而在后期古典经济学分裂。随之而来的是边际革命，改革的结果是将数学引入到经济学中。这就是经济学的第二次综合，把数学与经济学相综合。

在20世纪70年代，新自由主义运动迅速发展壮大，经济学也不断上升和发展。天文学被逐渐纳入经济学的范畴，这就是经济学的第三次综合。

用最简单的语言经济学的发展史可以用下面流程图来描述。

经济学的发展史

在亚里士多德时代的观点，政治学、伦理学、政治经济学三位一体，著名的阿马蒂亚?森在在他的著作《伦理学与经济学》曾说道“在很长一段时间内，经济学科曾经认为是伦理学的一个分支”。一直到1776年英国人亚当斯密发表著作《国富论》（全名是国民财富的性质和原因的研究），经济学才正式成为一门独立的社会科学，亚当斯密也应此被称为“经济学之父”，以下是将经济发展史做一简洁回顾，以及不同时期重要的经济学家的思想贡献。

1. 古典学派——受重农学派“自由放任”思想影响。

古典学派大约起自1776年至1848年，亚当斯密是该学派的创始人。古典学派主张自由放任、反对政府干涉，他们认为充份就业是社会常态，失业是短暂社会现象以及人类皆有“利己心”，经济体系自动会达成均衡。

古典学派作为经济学的最初始学派除了创始人以外还有许多的代表人物，譬如马尔萨斯、赛伊、李嘉图和约翰密尔，他们的经济学思想既有相似性和传承性又有各自的不同于特色。

a)亚当斯密：

1) 出版“国富论”，为经济学奠定基础，使经济学成为一门独立的科学，后人尊称为“经济学之父”；

2) 提出“价格机能”，即“一只看不见的手”在人类“利己心”的催使下可解决人类基本的经济问题；

3) 提出“绝对利益法则”，主张国际间的分工与专业，强调自由贸易。

b) 马尔萨斯：

1798年《人口论》，提出悲观的经济学论调，即粮食以等差级数增加，出生率以等比级数增加，所以人类终会有粮食不足的惨象，可喜的是其预测与现况差距颇大。

c) 赛伊：

1803年《经济学泛论》，提出“赛伊法则”─供给创造需求，认为充分就业是常态。与现今“消费者导向”的时代亦背道而驰。

d) 李嘉图

1817年《政治经济学与赋税原理》

，提出边际报酬递减法则、差额地价说、比较利益法

则及生存费用说。

e) 约翰密尔

1848年出版《政治经济学原理》。

2. 反古典学派：

一个学派的衰落意味着另一个学派的开始。反古典学派大约起1848年至1890年。反古典学派崇尚自由放任政策，主张政府干涉。此学派主要分为下列三个支派

a) 历史学派：以李斯特为代表，主张：

1) 保护贸易政策，提出保护幼稚工业理论；

2) 以归纳法研究经济；

3) 提出经济发展五阶段说。

b) 边际效用学派：

以奥国的孟格尔、法国的华拉斯、及奥国的庞巴卫克为主要代表人物，主张提出边际效用价值分析法，解决“钻石与水”价值的矛盾。

c) 社会主义学派：代表人物是德国的马克斯，其重要主张

1) 反对资本主义社会造成的贫富不均，主张废除私有财产制度；

2) 倡导唯物史观，提倡阶级斗争；

3) 提出剩余价值学说。

3. 新古典学派(又称为剑桥学派)：

新古典学派大约是从1890年到1936年，被后人尊称为“个体经济学之父”的马歇尔是该学派的创始人。马歇尔的重要主张及著作如下：

a) 首先以“经济学”名称取代以往的“政治经济学”；

b) 着重客观的实证研究；

c) 着重个体经济的研究，应用部份均衡分析法；

d) 以生产成本与边际效用为基础，建立折衷的“二元价值论”；

e) 将时间因素分为极短期、短期、长期及极长期；

f) 提出消费者剩余、需要弹性、现金余额说及准租等重要概念。

除了马歇尔外，此学派还有一位重要代表人物皮古，皮古曾今在1920年提出“福利经济学”，因此也后人尊称为“福利经济学之父”。

4. 新经济学派

新经济学派大约从1936年到1970年，凯因斯作为该学派的代表人物的重要主张如下：

a)1936年出版《就业、利息与货币的一般理论》，后世尊称为“总体经济学之父”；

b) 主张政府应增加公共支出，刺激有效需求，解决失业问题；

c) 否定赛伊法则─供给创造需求；否定古典经济学派的充份就业，认为失业才是常态;

d) 提出流动性偏好说，乘数原理和节俭的矛盾概念。

除了凯因斯之外，萨穆逊也是这一时期重要的经济学学者，他提出复合乘数解释景气循环变动的“乘数─加速原理”。

5. 现代经济学派─因停滞性通货膨胀兴起此学说

现代经济学派大约起始于1970年一直发展到现在，该学派在发展的过程中逐渐分成下货币学派、供给面学派和理性预期学派这三种支派：

a) 货币学派：

1) 提出货币法则，以“法则取代权衡”；

2) 政府的经济政策短期有效，长期则无效；

3) 自由经济，政府不过分干涉。

b) 供给面学派：

以美国经济学拉弗尔为代表，他主张以减税的方式，提供经济诱因，刺激私人投资，促进经济成长，政府的税收不减反增。这一经济学在后期被称为“里根经济学”。

c) 理性预期学派：

以美国经济学者卢卡斯为代表，他主要认为政府的经济政策在民众理性预期下皆无效。

经济学是一门学科，一种方法论，更是一套思维架构。它提供给我们一种分析问题、看待问题的角度和思路，一套分析问题、看待问题的工具和方法。学习经济学可以帮助我们进一步改善自己的思考方式，逐渐形成自己独特的思维方式和逻辑体系。这也是我们团队研究该项目的一个初衷。希望能让更多的人了解经济学，认识经济学，像经济家那样思考。 从18世纪亚当斯密提出“看不见的手”这一概念，到19世纪瓦尔拉斯提出“供需均衡”这一观点，历史上始终不能解决一般经济均衡这一问题。这是因为证明一般经济均衡定理所需要的布劳维不动点定理是1911年才给出的。事实上，被阿罗和德布洛于1954年证明的特殊形式的一般经济均衡存在定理与布劳维不动点定理是等价的。这从历史发展的角度诠释了数学与经济学的联系。也告诉了我们不动点定理在经济学中的重要作用和地位。为此接下来我们将大致介绍一些不动点定理相关的概念、内容和证明。

相关的基本概念

定义[]11.1.1设X 是任意给定的完备的距离空间,如果有映射,:X X T →存在常数

,10,<<θθ使得),(),,(),(X y x y x Ty Tx ∈?≤θρρ则称T 是一个压缩映射.

定义[]12.1.1对任给的度量空间),(ρX 及映射,:X X T →.如果存在X x ∈*使得,*

*x Tx =则称*x 为映射T 的不动点.

定义[]23.1.1（Cauchy 列）给定),(ρX ,,}{X x n ?若对任取的,0>ε有自然数,N 使得对,,N j i >?都成立,),(ερ

定义[]24.1.1（完备度量空间）给定),(ρX ,若X 中任意一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.

Banach 不动点的内容

定理[]11.2.1（Bananch 不动点原理）设X 是完备的距离空间,T 是由X 到X 的自身的映射,并且对于任意的X y x ∈,,不等式),(),(y x Ty Tx θρρ≤成立,其中θ是满足不等式10≤≤θ的常数.那么T 在X 中存在唯一的不动点,即存在唯一的X x ∈,使得x x T =. 证明：分两部分来证明该定理

先证明不动点的存在性

在X 任取一定点0x ,并令

.

,,,,11201 n n Tx x Tx x Tx x ===+ 我们证明{}n x 是X 中的一个基本点列.事实上

);

,(),(),(),(00101021Tx x x x Tx Tx x x θρθρρρ=≤=);,(),(),(),(002212132Tx x x x Tx Tx x x ρθθρρρ=≤=

一般地,可以证明

),(),(001Tx x x x n n n ρθρ≤+)3,2,1( =n

于是

1121(,)(,)(,)(,)

n n p n n n n n p n p x x x x x x x x ρρρρ+++++-+≤+++

),()(0011Tx x p n n n ρθθθ-++++≤ ).,(1),(1)1(0000Tx x Tx x n

p n ρθθρθθθ-≤--=

根据假定,10≤≤θ,故

),(0∞→→n n θ于是{}n x 是基本点列.由于X 完备,故{}n x 收敛于X 中某一点.x 且由不等式(3)可知,T 是连续映射.

在n n Tx x =+1中令∞→n ,得到,x T x =因此x 是T 的不动点.

再证明不动点的唯一性. 另有,X y ∈使,y T y =则

),,(),(),(y x y T x T y x θρρρ≤=

由于10≤≤θ,故0),(=y x ρ,即y x =,唯一性成立证毕

定理[]32.2.1（压缩映射原理）任给数列

{}n x ,若有常数,10:<

证只需证明{}n x 是Cauchy 列,从而说明{}n x 收敛

为此,对任意的N p n ∈,

考虑

01111x x r x x x x p n n k k p n n k k k n p n -?≤-≤

-∑∑++=++=-+ = 0110101→-?-≤--?-+r r x x r r r x x n

p n n

所以{}n x 是Cauchy 列,从而{}n x 收敛.

经济学与数学是相互关联的，所以在大致了解经济学基础上，我们来了解数学。

何谓数学 其实，数学并不是枯燥定义的累积，也不是繁琐公式的堆砌。数学有自己的灵魂，用普罗克鲁斯的话来说：“它赋予它所发现的真理以生命；它唤起心神，澄清智慧；它给我们的内心思想增添光辉；它涤尽我们有生以来的蒙昧与无知”。数学是一门创造性的艺术，是另一种角度诠释的哲学，更是一座历史悠久、文化博大精深的辉煌殿堂。

用专业的语言来描述：数学是起源于我国古代的算术与古希腊的几何的一门学科，主要是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的。现如今主要分为初等数学和高等数学。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。研究数学的主要方法是透过抽象化和逻辑推理，以及计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中等。数学无论是在古代还是当今社会都有着广泛的应用和价值。

数学的起源与发展

数学，起源于人类早期的生产活动。是中国古代六艺之一，也被古希腊学者视为哲学之起点。

数学的发展是一种抽象化的持续发展，在东西方的发展也不尽相同。几何学是欧洲文明的产物，而算学，是中国古代科学中一门重要的学科。

数学的发展史大致分为四个阶段： 第一时期：数学形成时期，这一时期人类建立了最基本的数学概念。从数数开始逐渐建立了自然数的概念和简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式。

第二时期：这个时期主要以初等数学为主，这构成了中学数学的主要内容。随着数学的逐渐发展，初等数学主要分为算数、几何、代数、三角这几个分支。

第三时期：产生于17世纪的变量数学时期。变量数学大体上经历了两个决定性的重大步骤：第一步是解析几何的产生；第二步是微积分。变量数学是数学的一个基础学科内容以极限、微分学、积分学及其应用为主。

第四时期：数学发展的现代阶段的开端——现代数学。大约从19世纪上半年开始。现代数学以代数、几何、分析中的深刻变化为特征。

在数学发展的道路上涌现出一批又一批闻名古今中外的数学家。譬如欧洲的几何学的奠基人——欧几里得，享有“数学王子”美称的高斯，微积分的创始人牛顿和莱布尼茨以及解析几何的创始人笛卡尔等，在古代的中国有著写《九章算术》、《海岛算经》的刘徽，发现著名的圆周率计算的祖冲之，发现杨辉三角的贾宪和编写《数书九章》的秦九韶等。他们兢兢业业为数学洒下了无数的汗水和泪水，他们无怨无悔为数学奉献了无数个日日夜夜，甚至有一部分人将自己毕生的时间和精力都投入到数学事业当中。他们用自己单薄的身躯就这样一点一滴，一步一步，建立起数学这座有着悠久历史和博大精深文化的辉煌殿堂。

经济学与数学的联系

首先要明确经济学与数学各自都是一门独立的学科，但二者相辅相成，密切相连。数学不仅涉及到经济学的发展，对此还起到了巨大的贡献作用,另外数学对经济学研究本身所用到的方法、知识内容、思想等都有着密不可分的联系。

同时也要明确经济学不是数学，可以这么说，在经济学中数学作为一种工具被用来考虑或研究经济行为和经济现象。数学作为一种工具和方法，不是要代替经济学或凌驾经济学之上，而是要在经济学发展和研究的过程中真正发挥其应有作用。其次，每一门学科的发展都要从自身的历史背景和视角出发去研究、去分析，并且考虑其在现实状况下的发展和应用。任何数学方法在经济学中的运用都离不开一定的假设条件作为前提，所以说数学不是不是无条件地适用于经济学中的任何场所和领域。再次，数学是分析和研究经济学的一种工具，而不是惟一的工具。如果经济学过分对地依赖数学，可能会导致经济研究的经济研究单一化，这不利于经济学的发展。

从历史的角度来说数学的发展较早，所以相对经济学已形成网状知识体系。而经济学作为一门独立学科发展较晚，有许多理论还没有完善。但在数学与经济学各自的发展过程中，可以看出它们是相互促进，共同发展的。一方面，经济学往往是把现实情境中的问题在一定的假设成立后转化为数学问题，然后建立合适的数学模型，从而运用某些数学和经济学的思想、知识和方法，解决实际问题。所以数学作为经济学的一种重要的研究和分析方法，在经济学研究和发展中起着重要作用。另一方面实际社会中复杂多变的经济现象也不断地向数学提出新的问题和挑战，这无疑是推动了数学这门科学的发展。由于研究经济现象要提出很多假设作为前提，不可能那么轻易地就找到一种数学模型与现实经济完全一致，所以说正是这种不一致性成为数学发展的源泉。由于这两个方面，使得数学与经济学在前进中相互促进、共同发展。

大学数学中的经济问题

在无论是不是数学系的学生，在大学数学中我们都要接触到一些数学知识、方法和思想。下面我们将列举几个很常见的数学知识在经济学中的运用。

在经济学发展的过程中,资源的有效配置和资源的合理利用始终是研究的主题,或者说经济学就是研究人类社会如何有效配置和合理利用稀缺的经济资源从而最大限度满足人类欲望的一门学科。而且数量关系无处不在，像投入量、产出量、成本、价格、利润、本金、利率等等。这不可避免地会涉及到效率和最优化问题,而关于效率和最优化问题的研究不仅有定性分析,更重要的应有定量分析。数学作为定量分析的重要工具,以其严密性、客观性正好适应了这一要求,并且不断推动经济学走向精密化、准确化。所以数学与经济学是紧密相连的，而大学数学中很多的知识都能用到经济学中。

比如数学分析中的导数，导数可用来研究经济学中的边际成本，边际利润，或者弹性函数，最值分析。

C为边际成本函数，经济学的解释为近似等若成本函数为C(x),则成本函数的导数'(x)

R，则收入函于当产量为x 时，若再增加一个单位产量所需增加的成本。若收入函数为(x)

R称为边际收入，记成MR(x)，边际收入表示在x的水平上再多生数对产量x的变化率'(x)

L称为边际利润，记产一个单位产品所增加的收入。若利润函数L(x)对产量x的变化率'(x)

成ML(x)。边际利润表示在x的水平上再多生产一个单位产品所增加的利润。

弹性在经济上又可理解为边际函数与平均函数之比。对于y=f(x),它的弹性函数为()y x e x y y

'=?。函数弹性的实际意义就是当自变量在x 的水平上增加一个百分点时，因变量y 大约增加的百分点。经济学中常见的弹性函数为需求的价格弹性，经济学的解释是表示某商品当价格变化一定的百分比以后引起需求量的反映程度。若需求的价格弹性为-1时，称为单位弹性，此时商品需求量的变动与价格变动按相同百分比进行；当需求的价格弹性小于-1时，称为高弹性，商品需求量变动的百分比高于价格变动的百分比，说明需求量对价格的变动较敏感；当需求的价格弹性大于-1时，称为低弹性，说明商品需求量变动的百分比低于价格变动的百分比，即价格变动对需求影响不大。

在经济活动中，经常有收益最大、成本最低、效益最好等要求，实际上都是经济函数中的极值或最值问题，而涉及到的便是导数问题，由目标函数的导数得到极值点，便可算出经济学中的最值问题。

在翻阅经济学案例时，也能从中看出微分方程也可运用到经济学中。通过研究经济变量之间的联系及其内在规律而建立的某一经济函数及其导数所满足的关系式,便是建立了微分方程。而我们可通过求解微分方程分析出变量之间的联系，得到未来的一段时间变量的变化情况。我们可用微分方程建立商品的市场价格与需求量之间的函数关系、预测可再生资源的产量,预测商品的销售量、分析关于国民收入等问题。

对国民收入来说，通常分为消费和储蓄两部分，储蓄用于投资，可以增加生产，生产增加后消费、储蓄增加，又可以反过来促进生产。

即是说产出转化储蓄，储蓄化为投资，投资增加产出，任一时刻产出都与前一时刻产出状态有关，因此是一个动态问题。

记国民收入为Y(t), 消费为C(t), 储蓄为I(t), k 为边际资本产出比，s 为边际储蓄倾向，1－s 为边际消费倾向

假设：1. 产出增长率与资本投入成正比；

2. 储蓄全部用于投资；

3. 消费、储蓄比例不变；

4. 产出增长速度与储蓄成正比。

则可建立模型：

基本方程：Y=C+I

I=sY

C=(1-s)Y 根据假设dY I dt K

=,代入前式得微分方程 0

(0)Y dY s Y dt k Y ?=???=? 方程的解为：0Y s t k

Y =

这是一个持续增长的生产函数，要求增加的产出全部被需求吸收

作为近几年来异军突起的行业—保险业，其中涉及到了很多的概率论知识，在保险中概率论得到了最强势的发挥。保险学正是利用了大数定律和中心极限定律等概率论知识才得以建立和发展。譬如最普通的人寿保险，保险公司欲对10000人进行20年的人寿承保，若在

20年内死亡每位每人收取a元保费，若在20年内死亡每人可领取b元补偿。那么保险公司可先搜集大量样本，用大数法则测算出20年中每百人死亡平均概率P，再通过100Pb<=10000a 求出使公司基本盈利相对应的保费a。除了保险，还有彩票都需要用到概率论，虽然有幸运儿得到巨额奖金，但是彩票中心最后一定是获得丰厚的利润的，彩票的售价和得奖金额都是需要事先通过计算出得奖的概率，再求得益的期望来计算出来的，都是以彩票中心的利益为主。

而且得到奖的概率是非常低的，比如说：双色球头奖为投注号码由6个红色球号码和1个蓝色球号码组成。

红色球号码从1-33中选择6个；蓝色球号码从1-16中选择1个。

头奖可能性情况：(33×32×31×30×29×28)/(1×2×3×4×5×6)×16=1107568×16=17721088，由此可计算出双色球的中奖概率为1/17721088=0.0000056%。概率是如此的低，所以那些想要一夜巨富的人可能终其一生都不能得到。

而在数学模型中，很多背景都是在经济领域中进行的，比如数学模型中最常见到的最优化问题，经济学中资本家追求用最少利益得到最大利润，这就避无可避的要在很多方案中寻求最优解决方案。而其中涉及到的变量随着另一些变量的变化而变化，导致了问题的复杂，而用数学模型可以简化问题，将复杂的变量关系

转化成熟悉的函数关系，也可利用已有的数学模型或数学定理推导新的结果，摈除一切琐碎干扰，更深入的得到仅凭直觉无法或不易得出的结论，发现现象之间更深层次的本质联系。运用数学模型讨论经济问题，可以不走或少走弯路，将讨论集中由于前提假设、论证过程及模型原理问题上来，从而避免了许多无谓的争执，也使得在深层次上发现似乎不相关的结构之间的关联变成可能。于是可在数学建模中可用线性规划，拉格朗日乘子法运用软件，图像来得到最优化结果。将经济学的复杂问题解决清楚。

我们还可通过数学建模的手段对对未来一定时期内经济发展的趋势和状况进行描述、分析，并做出估计和推断。目的在于通过对客观经济现象历史规律的探讨和现状的研究，求得对未来经济活动的了解，以减少不确定性因素对社会经济活动的影响，合理的使用人力、物力、财力，获得最大经济效益。预测方法主要有三种：时间序列的趋势预测；回归预测；投入产出预测。其中线性回归分析法是经济预测的常用数学方法，即利用统计数据确定变量之间的线性关系，并参考这种函数关系来预测未来经济发展趋势。线性回归是数学建模中非常重要的手段，

对经济学中的预测非常有用的，为商人做出正确的决策起着非常重要的作用。

而且在经济学界和数学界都赫赫有名的数学和经济学大师——约翰纳什，通过数学模型把日常生活中生动的经济问题分析并深化研究，总结出了著名的纳什均衡，这个著名的经济论断成为经济学界坚实的理论基石，为以后研究更多领域的博弈问题提供了理论基础。除了上述最优价格模型，经济学中的金融工程中的期货期权理论，弹性理论，最优化和影子价格都是在数学模型的应用下才能得到更简洁的答案。数学模型使经济学从定性研究向定量研究转化，是解决经济学中复杂问题的有力工具。

数学分析中的导数和泰勒级数也在经济学中有着很重要的应用，比如说：利息的计算，连续复利问题，贷款还款问题。

假设x银行提供每年支付四次，复利为年利率8%的帐户余额，则t年后的余额为多少？

而一年支付四次，复利8%表示每年要加四次(每三个月一次)利息，每次要加上当前余额的8%／4＝2%，因此，如果同样存入100元，则在年末，已计入四次复利，该帐户将拥有

4

100(1.02)元，所以余额B为：

100(1.02) ，

一年后： B＝4

二年后： B ＝42100(1.02)

? ， t 年后： B ＝4100(1.02)t ? .

则如果年率为r 的利息一年支付n 次，那么当初始存款为P 元时，t 年后余额At 为

(1)nt t r A P n

=+ ，当n 趋于无穷时，则复利计息变成连续的了(即连续复利)。 1997年3月，1996年诺贝尔经济学奖获得者James Mirrcless 在波兰给数学家作了一次学术报告。主持人以幽默的方式介绍他时说：“诺贝尔奖没有数学家的份，不过，数学家已找到了摘取诺贝尔桂冠的途径——那就是把自己变成经济学家！”这都说明了数学与经济学是息息相关的，在经济学的很多领域中，都是要用到数学知识的 ，而且我们也可以在数学课堂上添加经济学背景，让我们数学课堂更有深度与内涵，还可以加强学科之间的联系。马克思在150多年前就提出：“一门科学只有在成功地应用数学时，才算达到了真正完善的地步”。这也说明数学是非常重要的，我们作为数学人既有压力也有动力，但我们必须要将压力转化为动力，努力为学好数学而奋斗！

参考文献

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