导数在研究函数中的应用练习题

导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)______0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减.

2.函数的极值

(1)判断f(x0)是极值的方法

一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，

①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值.

(2)求可导函数极值的步骤

①求f′(x)；

②求方程________的根；

③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号.如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得__________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得__________.

3.函数的最值

(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.

(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则________为函数的最小值，________为函数的最大值；若函

数f(x)在[a，b]上单调递减，则________为函数的最大值，________为函数的最小值.

(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：

①求f(x)在(a，b)内的________；

②将f(x)的各极值与____________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

要点梳理

1.><

2.(1)①f′(x)>0f′(x)<0②f′(x)<0f′(x)>0(2)②f′(x)＝0③f′(x)＝0极大值极小值

3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)

(3)①极值②f(a)，f(b)

1. f(x)＝3x－x3的单调减区间为_____________________________________________.

2.函数f(x)＝e x－x在区间(－∞，0)内是单调__________(填“增函数”或“减函数”).

3.函数f(x)＝x3＋ax－2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.

4.如图是y＝f(x)导数的图象，对于下列四个判断：

①f(x)在[－2，－1]上是增函数；

②x＝－1是f(x)的极小值点；

③f(x)在[－1,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数；

④x＝3是f(x)的极小值点.

其中正确的判断是________.(填序号)

5.设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则

( ) A.a <－1

B.a >－1

C.a >－1e

D.a <－1e 一、选择题

1.函数f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是

( )

A.－2

B.0

C.2

D.4 2.已知函数f (x )的图象过点(0，－5)，它的导函数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得最大值－5时，x 的值应为

( ) A.－1 B.0 C.1 D.±1

3.函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝

f (x )x 在区间(1，＋∞)上一定

( ) A.有最小值

B.有最大值

C.是减函数

D.是增函数

二、填空题 4.若函数f (x )＝x 2＋a x ＋1

在x ＝1处取极值，则a ＝___________________________________. 5.已知f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________.

6.已知函数f (x )＝(m －2)x 2＋(m 2－4)x ＋m 是偶函数，函数g (x )＝－x 3＋2x 2＋mx ＋5在(－∞，＋∞)内单调递减，则实数m ＝________.

基础自测

1.(－∞，－1)和(1，＋∞)

2.减函数

3.[－3，＋∞)

4.②③

5.A

A组

1.C

2.B

3.D

4.3

5.－37

6.－2