导数在研究函数中的应用
导数在研究函数中的应用
摘 要
导数是研究函数性质的一个重要工具，我们可以利用导数来求函数的单调性，极值点，最值点，另外可以利用导数找函数的零点和构造简单的函数。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的。通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解。下面，我们运用导数研究函数的性质，通过对函数的单调性与导数的关系的研究、如何利用导数来求函数的极值与函数的最大值和最小值的一般方法、导数与函数的零点以及利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题，我们可以从中体会导数在研究函数中的应用。通过对导数在研究函数中的应用的学习，为我们学习和研究函数奠定了良好的基础。
关键字：单调性；极值；最值；零点；参数取值问题
目 录
一、导数的相关概念 4
二、导数的性质 5
关于复合函数的求导 5
三、函数的极值、最值与导数 9
四、利用导数研究函数零点、证明不等式 11
利用导数证明不等式的方法 11
利用导数研究函数零点的方法 12
五、利用导数研究任意性、存在性以及参数的取值问题 14
六、小结 16
七、参考文献 16
八、致谢 16
导数在研究函数中的应用
引言
函数的学习是高中数学的一个难点，因为函数本身就是一个很抽象的概念，所以在学习和研究函数时学生会遇到很多困难，但是函数又是高考必考的知识，我们通过对导数的学习，发现可以利用导数来研究函数的一些简单性质，例如可以通过求导来判断函数的单调性，从单调性出发进一步可以研究函数的极值和最值点，为研究函数的图像性质提供了十分便利的工具，同时，对于复杂的函数我们可以利用导数来研究函数的零点，函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的简单性质十分重要,下面我们通过对导数来研究函数的性质,体会导数在研究函数单调性,极值,最值以及变化情况中的作用.
一、导数的相关概念
首先从变化率出发引出导数的概念，我们把在某个定点的瞬时变化率称为在那一定点时的导数，从而我们可以得到导数的定义：
一般地，函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是
=
我们称它为函数y= f(x)在x=xo处的导数(derivative), 记作f’(xo)或y’ ,( y’ 表示函数y关于自变量x在xo处的导数)即
f’(xo)= = 。
从导数的这一定义出发，我们知道导数f’(xo)表示
函数f(x)在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数f(x)在x=xo附近的变化情况，接着可以明确导数的几何意义：
曲线y= f(x)在点(xo,f(xo)
)处切线的斜率。
二、导数的性质
通过对导数相关定义和几何意义出发研究导数的性质。
1、函数图像的切线与导数
我们说导数表示的是在某一点时候的图像的瞬时变化率，而在某个定点的瞬时变化率的几何意义其实是在这点时函数图像的切线，所以我们可以通过导数的相关知识来求函数在定点时的切线方程。
先介绍几个常用函数的导数：
原函数 导函数
=x(x为常数)
=0
= ( )
=
=sinx
=cosx
=cosx
=-sinx
= (a>1,a )
=
=
=
= (a>1,a )
=
=
=
= (x>0)
=
= (x )
=-
关于复合函数的求导：
一般地，对于两个函数y=f（u）和u=g(x),如果通过变量U，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f（u）和u=g(x)的复合函数，记作y=f(g(x)).
复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f（u）和u=g(x)的导数间的关系为
’= ’ ’
即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积。
判断一个函数是否为一个复合函数的时候首先观察其是否为一个简单函数，再看自变量，复合函数的自变量不再是x，而是一个简单地函数，例如 ，(x-1)等，在对复合函数求导时，我们常用的方法是：先对外层函数求导，将内层函数看成一个整体，再对内层的函数求导，最后用外层函数的导函数与内层函数的导函数相乘，最后的结果就是复合函数的导函数。
例题：求复合函数y= 的导函数。
解：函数y= 可以看作函数y= 和u=2x+3的复合函数，根据复合函数的求导法则有
’=[ ]’= ’ ’
= ）’ 2x+3)’
=4u
=8 +12
掌握了对简单函数和复合函数求导的一般方法后，我们可以利用导数处理函数图像的切线问题：
导数f’(x)的几何意义在函数图象上可表示为曲线y= f(x)在某点p(xo.y(xo) )处切线的斜率f’(xo)，在具体应用中，已知曲线y= f(x)和曲线上的点p(xo.y(xo) )，则可求出由线在p点处的切线斜率为y’=f’(xo),从而得到切线方程为
y- =f’( )(x- )
例1：曲线y=x(3 )在点（1，1）处的切线方程为：y=4x-3
解析：第一步，首先求函数y=x(3 )的导函数y’
y’=3 ,接下来把 =1代入y’,有f’ )= y’( =1)=4,从而可知在 =1处切线方程的斜率为4，最后将斜率f’ )和点（1，1）代入切线方程y- =f’( )(x- )
中得到y-1=4(x-1)即y=4x-3为所求的切线方程
例2：已知函数 = ，求曲线 在点（0，1）处的切线方程。
解：因为 = ，所以有
将 带入 有
所以所求切线方程为：
小结：我们在利用导数的相关知识求函数图像的切线问题时用到了在某一定点时的斜率即为在那点时的瞬时变化率这个知识点，在这个过程中主要用到了导数的几何意义，归纳出了求简单曲线
方程的切线方程的方法。
二、函数的单调性与导数
判断函数f(x)的单调性时，常常借助f’(x)的符号来判断
一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系:
在某个区间(a，b)内，如果f’(x)>0，那么函数y=f(x)在这个区间内単调递増;如果f’(x)<0，那么函数y= f(X)在这个区间内单调递減.
（我们在求函数的单调区间时应该先确定函数的定义域，然后再通过求函数的导数来判断其函数的单调性）
例1：判断函数f(x)= +3x的单调性，并求出其单调区间。
解析：判断函数的单调性我们可以求出函数的导函数，再结合函数的定义域来判断函数的单调性，并得出其单调区间。
解：对原函数f(x)= +3x求导得f’(x)=3 +3
又函数的定义域为所有实数
可知在定义域内f’(x)=3 +3恒大于0
所以原函数在其定义域内是增函数，单调区间是R
小结：对于这类判断简单函数的单调性的题型，直接求导判断比用函数单调性的定义判断更加快捷和简便，所以在研究函数的单调性时我们常常采用求导的方法进行判断。
例2：已知函数f(x)= +a(1-x),讨论函数的单调性。
解析： 的定义域是（0， ），a(1-x) 的定义域是R，所以原函数的定义域是（0， ），观察可知原函数中有一个待定系数a，所以我们要考虑a的取值会不会影响函数的单调性。
解：f(x)的定义域是（0， ），对原函数求导可得
f’(x)= -a
分两种情况讨论：
1、当a>0时，若f’(x)〉0，即 -a〉0，解得x< ;
若f’(x)<0, 即 -a<0，解得x> ;
综上，当a〉0时，若x (0, ),则原函数单调递增；
若x ( ),则原函数单调递减。
2、当a<0时，f’(x)= -a恒大于0，
所以，当a<0时，原函数在定义域（0， ）内单调递增。
小结：在解决这类题型时如果题目中存在有待定系数a的情况，要分类讨论待定系数的取值，即分成a>0和a<0这两种情况，再结合原函数的定义域求出单调区间。
例3：已知函数f(x)= +a +(2a+1)x，讨论函数的单调性。
解析：通过对原函数进行求导，发现所得的导函数形式复杂，不能直观的看出导函数的取值，所以需要进行适当的变形才能对其进行分析。
解：f(x)的定义域是（0， ），对原函数求导可得
f’(x)= +2ax+2a+1
=
= (只用讨论分子的取值)
由计算可知分子 有两个不相等的实数根 = , =-1
分两种情况讨论：
1、当a>0时，二次函数图像开口朝上，
若f’(x)〉0，则x
即当x 时，原函数单调递增。
2、当a>0时，二次函数图像开口朝下，
若f’(x)〉0，则x （0， ）；
若f’(x)<0，则x （ ， ）.
综上
，当x ）时，原函数单调递增；
当x ， ）时，原函数单调递减。
小结：当所求的导函数含有分数和整数的形式，不便于观察，那么可以先将其通分，再通过适当变形后再对导函数进行分析。
三、函数的极值、最值与导数
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质。
一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是：
解方程f’(x)=0。当f’(x)=0时：
（1）如果在 附近的左侧f’(x)〉0，右侧f’(x)<0，那么f( )是极大值；
（2）如果在 附近的左侧f’(x)<0，右侧f’(x)>0，那么f( )是极小值。
（注意：导数值为0的点不一定是函数的极值点。）
例1：求函数f(x)= -4x+4的极值
解：因为f(x)= -4x+4，所以f’(x)= -4=（x-2）(x+2)
令f’(x)=0，解得X=2或x=-2
判断f’(x)=0的根的两侧的f’(x)的符号
当f’(x)>0时,即x>2,或x<-2时；
当f’(x)<0时，即-2
f(-2)= ；
当x=2时，f(x)有极小值，并且极值为
f(2)= 。
小结：导数值为0的点不一定是函数的极值点，所以在求出导数值为0的点时要观察f’(x)=0的根的两侧的f’(x)的符号并以此来判断函数的极值点。
例2: 已知函数f(x)= (a )。
（1）当a=2时，求曲线y= f(x)在点A（1，f(1)）处的切线方程；
（2）求函数f(x)的极值。
解析：函数f(x)的定义域为（0,+ ）, f’(x)=1- .
（1）当a=2时，f(x)= , f’(x)=1- .
所以有f(1)=1，f’(1)=-1,
即曲线在点A（1，f(1)）处的切线方程为y-1=-(x-1)，即x+y-2=0.
（2）因为f’(x)=1- = ,x>0,
分两种情况讨论：
1、当a 0时，f’(x)>0，函数f(x)在定义域（0,+ ）内为单调递增函数，没有极值点；
2、当a>0时，由f’(x)=0，可解得x=a.
当x ，f’(x)<0；
当x 时，f’(x)<0。
所以函数f(x)在x=a处取得极小值，极小值为f(a)= ，没有极大值。
综上所述，当a 0时，函数没有极值点；当a>0时，函数f(x)在x=a处取得极小值，极小值为f(a)= ，无极大值。
接下来我们看利用导数求函数最值的一般解题方法
一般地，求函数y=f(x)在 上的最大值和最小值的步骤如下：
（1）求函数y=f(x)在（a,b）内的极值；
（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值。
求最值时需先求出函数的极值点，再根据题目所给的区间来找函数的最值点。
例：已知函数 。
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求函数 在区间 上的最大值和最小值。
解：（1）因为
所以
即 ，又 =1
所以所求切线方程为
（2）
法一： ，当 时
当 时， ；
当 时， 。
所以 是函数的一个极大值点，
又当 时，所以在区间 内，当 时取得最小值，
综
上，最大值为 ，最小值为 。
法二：因为 ；在区间 内单调递减
所以在 处取得最大值为 ；在 处取得最小值为 。
四、利用导数研究函数零点、证明不等式
导数作为一种研究数学知识的工具，在求函数的单调性、最值、切线方程等方面发挥着独特的作用，巧妙地构造函数，通过研究函数的单调性能解决一些不等式的证明和函数零点问题。
利用导数证明不等式的方法：
（1）作差，构造函数 ；
（2）利用导数求函数 的单调区间；
（3）判断定义域内 与0的大小关系，证明不等式。
利用导数研究函数零点的方法：
方法一：（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）根据函数f(x)的性质作出其图像；
（3）判断函数的零点的个数。
方法二：（1）求函数f(x)的单调区间和极值；
（2）分类讨论，判断零点的个数。
例1：求函数f(x)=a（a ）和g(x)=- +3 的交点的个数。
解：求两个函数交点的个数可以转化为求求函数F（x）= f(x)- g(x)= -3 +a的零点的个数。
F’（x）=3 -6x=3x(x-2)
令 F’（x）=0，可得x=0或者x=2
由x在这两点附近的变化情况可知在x=0处取得极大值点，在x=2取得极小值点
所以 = F（0）=a， = F（2）= a-4
综上：当a<0或a>4时，F（x）有一个零点，此时f(x)和g(x)有一个交点；
当a=0或a-4=0,即a=0或a=4时，F（x）有两个零点，此时f(x)和g(x)有两个交点；
当a>0且a-4<0，即0
（1）先确定函数的定义域，再对函数进行求导；
（2）在函数定义域内得到函数的各个单调区间，再求出每个单调区间至多有一个零点。
（3）在每个单调区间内判断函数在端点处的符号，若异号，则函数f(x)在该区间内只有一个零点，若同号，则函数f(x)在该区间内无零点；若f(x)在某端点处的值为0，则该端点为f(x)的一个零点。
例2：已知函数f(x)= - 。
（1）设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论函数f(x)的单调性；
（2）当m 时，证明f(x)>0.
解析：（1）f’(x)= - .
由X=0是f(x)的极值点得f’(0)=0,
所以m=1.
于是f(x) = - ,定义域为（-1， ），f’(x)= - 。
函数f’(x)= - 在（-1， ）上单调递增，且f’(x)=0,
因此当x （-1，0）时，f’(x)<0；
当x （0， ）时，f’(x)>0.
所以f(x)在（-1，0）上单调递减，在（0， ）上单调递增。
（2）当m ，x （-m， ）时， ,故只需证明当m=2时，f(x)>0.
当m=2时, 函数f’(x)= - 在（2， ）上单调递增。
又f’(-1)<0,f’(0)>0,故f’(x)=0在（2， ）上有唯一一个实根 ,且 （-1，0）。
当x 时，f’(x)<0；
当x 时，f’(x)>0.
从而当x= 时，f(x)取得最小值。
由f’( )=0得 = ， =- ，故f(x) f( )= + = >0.
综上，当m 时，f(x)>0。
例3：设函数
（1）