职高数学一轮复习立体几何

立体几何

第1讲空间几何体的三视图和直观图

1．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图如图K13－1－1，则该几何体的俯视图为( )

图K13－1－1

2．(2010年广东惠州调研)用若干个体积为1的正方体搭成一个几何体，其正视图、侧视图都是如图K13－1－2所示的图形，则这个几何体的最大体积与最小体积的差是( )

图K13－1－2

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

3．如图K13－1－3的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长为( )

图K13－1－3

A ．6 cm

B ．8 cm

C ．(2＋4 2) cm

D ．(2＋2 3) cm

4．(2010年广东惠州调研)如图K13－1－4，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为( )

图K13－1－4

A.3

π B ．2π C ．3π D ．4π 5．如图K13－1－5，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为BD 1的中点，则△P AC 在该

正方体各个面上的射影可能是()

A．①④B．②③C．②④D．①②

图K13－1－5图K13－1－6

6．如图K13－1－6，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是()

A．2 B. 3 C. 5 D.7

7．(2010年福建)若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图K13－1－7，则其侧面积等于()

A. 3 B．2 C．2 3 D．6

图K13－1－7 图K13－1－8

8．如图K13－1－8，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为____________．

9．如图K13－1－9，图(1)是正方体木块，把它截去一块，可能得到的几何体有(2)，(3)，(4)，(5)的木块．

图K13－1－9

(1)我们知道，正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图(2)，(3)，(4)，(5)的木块的顶点数、棱数、面数填入下表：

图号顶点数棱数面数

(1)812 6

(2)

(3)

(4)

(5)

(2)观察你填出的表格，归纳出上述各种木块的顶点数V、棱数E、面数F之间的关系；

(3)看图(6)中正方体的切法，请验证你所得的数量关系是否正确？

10．(2010年广东揭阳调研)如图K13－1－10(1)为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC＝2.

(1)如图K13－1－10(2)所示的方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正(主)视图和侧(左)视图；

(2)求四棱锥B－CEPD的体积；

(3)求证：BE∥平面PDA.

(1) (2)

图K13－1－10

第2讲空间几何体的表面积和体积

1．正三棱锥的底面边长为6，高为3，则这个三棱锥的全面积为( )

A ．9 3

B ．18 3

C ．9(3＋6) D.9 3

2．(2011年湖南)设图K13－2－1是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )

图K13－2－1

A.92π＋12

B.9

π＋18 C ．9π＋42 D ．36π＋18 3．(2011年辽宁)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2 3，它的三视图中的俯视图如图K13－2－2所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是( )

图K13－2－2

A ．4

B ．2 3

C ．2 D. 3

4．如图K13－2－3是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是( )

图K13－2－3

A.4 33π

B.12π

C.33π

D.36

5．圆锥母线长为1，侧面展开图的圆心角为240°，则圆锥的体积为( ) A.2 2π81 B.8π81 C.4 5π81 D.10π81

6．(2011年福建)三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝3，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P －ABC 的体积等于__________．

7．(2011年天津)一个几何体的三视图如图K13－2－4所示(单位：m)，则该几何体的体积为________ m 3.

图K13－2－4

8．如图K13－2－5，已知球O 面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝3，则球O 点体积等于________________________________________________．

图K13－2－5

9．如图K13－2－6，△ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四

边形，DC ⊥平面ABC ，AB ＝2，已知AE 与平面ABC 所成的角为θ，且tan θ＝3

(1)证明：平面ACD ⊥平面ADE ；

(2)记AC ＝x ，V (x )表示三棱锥A －CBE 的体积，求V (x )的表达式．

图K13－2－6

10．(2010年广东广州调研)如图K13－2－7，正方形ABCD所在平面与三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE＝3，AB＝6.

(1)求证：AB⊥平面ADE；

(2)求凸多面体ABCDE的体积．

图K13－2－7

第3讲点、直线、平面之间的位置关系

1．(2010年山东)在空间中，下列命题正确的是( )

A ．平行直线的平行投影重合

B ．平行于同一直线的两个平面平行

C ．垂直于同一平面的两个平面平行

D ．垂直于同一平面的两条直线平行 2．已知m ，n 为异面直线，m ?平面α，n ?平面β，α∩β＝l ，则l ( ) A ．与m ，n 都相交 B ．与m ，n 中至少一条相交 C ．与m ，n 都不相交 D ．至多与m ，n 中的一条相交 3．设A ，B ，C ，D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( ) A ．若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面

B ．若A

C 与B

D 异面直线，则AD 与BC 是异面直线 C ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ＝BC D ．若AB ＝AC ，DB ＝DC ，则AD ⊥BC

4．(2011年浙江)若直线l 不平行于平面α，且l ?α，则( ) A ．α内存在直线与l 异面 B ．α内存在与l 平行的直线 C ．α内存在唯一的直线与l 平行 D ．α内的直线与l 都相交

5．AB ，CD 是夹在两平行平面α，β之间的异面线段，A ，C 在平面α内，B ，D 在平面β，若M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则有( )

A ．MN ＝12()AC ＋BD

B ．MN >1

2()AC ＋BD

C ．MN <12()AC ＋B

D D ．MN ≤1

()AC ＋BD

6．如图K13－3－1，ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，O 是B 1D 1的中点，直线A 1C 交平面AB 1D 1于点M ，则下列结论错误的是( )

图K13－3－1

A ．A ，M ，O 三点共线

B ．A ，M ，O ，A 1四点共面

C ．A ，O ，C ，M 四点共面

D ．B ，B 1，O ，M 四点共面

7．如图K13－3－2是正方体的平面展开图，在这个正方体中，

图K13－3－2

①BM 与ED 平行；

②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60°角；

④DM与BN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

8．(2011年全国)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成角的余弦值为__________．

9．如图K13－3－3，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；

(2)CE，D1F，DA三线共点．

图K13－3－3

10．如图K13－3－4是一个正方体的表面展开图的示意图，MN和PQ是两条面的对角线，请在正方体中将MN和PQ画出来，并就这个正方体解答下列问题．

(1)求MN和PQ所成角的大小；

(2)求四面体M－NPQ的体积与正方体的体积之比．

图K13－3－4

第4讲直线、平面平行的判定与性质

1．已知直线l，m，n及平面α，下列命题中的假命题是()

A．若l∥m，m∥n，则l∥n B．若l⊥α，n∥α，则l⊥n

C．若l⊥m，m∥n，则l⊥n D．若l∥α，n∥α，则l∥n

2．(2010年广东惠州调研)已知m、n是两条直线，α、β是两个平面，给出下列命题：①若n⊥α，n⊥β，则α∥β；②若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；

③若n、m为异面直线，n?α，n∥β，m?β，m∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是()

A．3个B．2个C．1个D．0个

3．已知平面α外不共线的三点A，B，C到α的距离都相等，则正确的结论是() A．平面ABC必平行于α

B．平面ABC必与α相交

C．平面ABC必不垂直于α

D．存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内

4．如图K13－4－1，已知l是过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是()

图K13－4－1

A．D1B1∥l B．BD∥平面AD1B1

C．l∥平面A1D1B1D．l⊥B1C1

5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是() A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

C．若m∥α，m∥β，则α∥β

D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n

6．设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：

①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；

②若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；

③设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；

④直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．

上面命题中，真命题的序号________(写出所有真命题的序号)．

7．(2010年湖北)用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题，正确的有()

①若a∥b，b∥c，则a∥c；

②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；

④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.

A．①②B．②③C．①④D．③④

8．如图K13－4－2的甲，在透明塑料制成的长方体ABCD－A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面四边形EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值．

其中正确说法的序号是________．

图K13－4－2

9．如图K13－4－3，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN∥平面P AD；

(2)若MN＝BC＝4，P A＝4 3，求异面直线P A与MN所成的角的大小．

图K13－4－3

10．(2011年山东)如图K13－4－4，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.

(1)证明：AA1⊥BD；

(2)证明：CC1∥平面A1BD.

图K13－4－4

第5讲直线、平面垂直的判定与性质

1．对于直线m，n和平面α，β，α⊥β的一个充分条件是()

A．m⊥n，m∥α，n∥β

B．m⊥n，α∩β＝m，n?α

C．m∥n，n⊥β，m?α

D．m∥n，n⊥α，m⊥β

2．如图K13－5－1，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是()

图K13－5－1

A．BD∥平面CB1D1

B．AC1⊥BD

C．AC1⊥平面CB1D1

D．异面直线AD与CB1角为60°

3．设直线m与平面α相交但不垂直，则下列说法中正确的是()

A．在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直

B．过直线m有且只有一个平面与平面α垂直

C．与直线m垂直的直线不可能与平面α平行

D．与直线m平行的平面不可能与平面α垂直

4．设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是()

A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β

B．当b?α时，若b⊥β，则α⊥β

C．当b?α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b

D．当b?α，且c?α时，若c∥α，则b∥c

5．在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是()

A．30°B．45°C．60°D．90°

6．m，n是空间两条不同直线，α，β是两个不同平面，下面有四个命题：

①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；

②m⊥n，α∥β，m∥α?n∥β；

③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；

④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.

其中真命题的编号是________(写出所有真命题的编号)．

7．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线，给出以下四个论断：

①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.

以其中3个为条件，余下1个为结论，写出你认为正确的一个命题____________________．

8．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A到平面B1C的距离为________，A到平面BB1D1D的距离为________，AA1到平面BB1D1D的距离为________．

9．(2011年广东肇庆测试)图K13－5－2为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD ⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC，

(1)求证：BE∥平面PDA；

(2)若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB.

图K13－5－2

10．如图K13－5－3，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；

(2)当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

图K13－5－3

职高数学立体几何数学测试题

高三第一次月考数学卷（时间120分钟，满分120分）一、选择题（本大题有15个小题，每小题3分，共45分） 1.下列说法正确的是( ) A.平面和平面只有一个公共点 B.两两相交的三条直线共面 C.不共面的四点中,任何三点不共线 D.有三个公共点的两平面必重合 2.在空间,下列命题中正确的是( ) A.对边相等的四边形一定是平面图形 B.四边相等的四边形一定是平面图形 C.有一组对边平行的四边形一定是平面图形 D.有一组对角相等的四边形一定是平面图形 3.过空间一点作三条直线,则这三条直线确定的平面个数是( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或3个 4.下列命题中,结论正确的个数是( ) (1)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等; (2)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成锐角或直角相等; (3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补; (4)如果两条直线同平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 5.下列关于异面直线的叙述错误的个数是( ) (1)不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线; (2)既不平行也不相交的两条直线是异面直线; (3)连结平面内一点与平面外一点的直线和这个平面内不经过该点的任意直线是异面直线; (4)分别和两条异面直线同时相交的两条直线一定是异面直线. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 6.设a、b、c为空间三条直线, a∥b, a、c异面,则b与c的位置关系是( ） A.异面 B.相交 C.不相交 D.相交或异面

高考数学一轮复习立体几何知识点

2019年高考数学一轮复习立体几何知识点数学上，立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称，查字典数学网小编整理了2019年高考数学一轮复习立体几何知识点，希望对考生复习有帮助。 1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题。能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系：平行、相交、异面的概念；会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系：平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质，判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是 ⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直，确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线. 4.平面与平面

(1)位置关系：平行、相交，(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理，可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题点到面的距离问题 (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法： ①定义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。②垂线、斜线、射影法，一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解一个直角三角形。这个工作可让学生分组负责收集整理，登在小黑板上，每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面，引导学生关注社会，热爱生活，所以内容要尽量广泛一些，可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去，除假期外，一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了

届高三文科数学立体几何专题训练

2015届高三数学（文）立体几何训练题 1、如图3，AB 是⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点． ⑴求证：平面PAC ⊥平面PBC ； ⑵若PA=AB=2，∠ABC=30°，求三棱锥P -ABC 的体积． 2、如图，已知P A ?⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，AB =2，C 是⊙O 上一点，且AC =BC =P A ，E 是PC 的中点，F 是PB 的中点. （1）求证：EF 3、如图，四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1?底面ABCD ，且41=A A . 梯形ABCD 的面积为6，且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . （1）证明：EC D A 111A ABB 4、如图，已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AA 1＝AB ＝2a ，D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中点．（1）求证：DE ∥平面ABC ；（2）求证：AE ⊥BD ；（3）求三棱锥D —A 1BA 的体积． 5.如图，矩形ABCD 中，3AB =，4=BC ．E ，F 分别在线段BC 和AD 上，EF ∥AB ，将矩形ABEF 沿EF 折起．记折起后的矩形为MNEF ，且平面⊥MNEF 平面ECDF ．（Ⅰ）求证：NC ∥平面MFD ； P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F

F E A （Ⅱ）若3EC =，求证：FC ND ⊥；（Ⅲ）求四面体CDFN 体积的最大值． 6、如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ，AP=AC, 点D ，E 分别在棱,PB PC 上，且BC （Ⅰ）求证：D E ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若PC ⊥AD ，且三棱锥P ABC -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。 7、如图：C 、D 是以AB 为直径的圆上两点，==AD AB 232，BC AC =，F 是AB 上一点，且AB AF 3 1 =，将圆沿直径AB 折起，使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上，已知2=CE . （1）求证：⊥AD 平面BCE ；（2）求证：//AD 平面CEF ；（3）求三棱锥CFD A -的体积． 8、如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =，现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点．（1）求证：DC ⊥平面ABC ；

(完整版)职高数学各章节知识点汇总

第一章集合一、集合的概念 1、集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性。 2、元素与集合的关系：A a A a ?∈, 二、集合之间的关系注：1、子集:一个集合中有n 个元素，则这个集合的子集个数为n 2，真子集个数为12-n 。 2、空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。三、集合之间的运算 1、交集：{}B x A x x B A ∈∈=且|I 2、并集：{} B x A x x B A ∈∈=或|Y 3、补集：{}A x U x x A C U ?∈=,|且四、充要条件： q p ?，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。 q p ?，p 是q 的充要条件，q 是p 的充要条件。第二章不等式一、不等式的基本性质： 1、加法法则： 2、乘法法则： 3、传递性： 4、移项：二、一元二次不等式的解法

注：当0<-<>?>>a x a a a x a x a x a a x )0(||)0(||或第三章函数一、函数的概念： 1、函数的两要素：定义域、对应法则。函数定义域的条件：（1）分式中的0≠分母；（2）偶次方根的被开方数0≥；（3）对数的真数0>，底数10≠>且；（4）零指数幂的底数0≠。 2、函数的性质：（1）单调性：一设二求三判定设：21,x x 是给定区间（）上的任意两上不等的实数函数为减函数函数为增函数00) ()(121 2??-=?-=?x y x y x f x f y x x x （2）奇偶性：判断方法：先判断函数的定义域是否关于原点对称，再看)(x f 与)(x f -的关系： )()(x f x f =-偶函数；)()(x f x f -=-奇函数；)()(x f x f ±≠-非奇非偶图象特征：偶函数图象关于y 轴对称，奇函数图象关于原点对称。二、一次函数 1、 )0(≠+=k b kx y