四边形的证明与计算
热点 四边形的证明与计算
（时间：100分钟 总分：100分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ）
A ．对角线互相平分的四边形是菱形；
B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形
C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形；
D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.
2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ）
A ．
12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ）
A ．任意三角形
B ．任意四边形
C ．正五边形
D ．正四边形
5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．75°
6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③
7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（ ）
A ．1 B ．2 C ．10 D ．5 （1） (2) (3) (4) 8．如图2，两张宽度相等的纸条交叉重叠，重合部分是（ ） A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 9．如图3，ABCD 中，P 是对角线BD 上的任意一点，过点P 作EF ∥BC ，HG ∥AB ，?则下列说法不正确的是（ ） A ．S AEPG =S PHCF B ．图中有3对全等三角形 ≠S GHCD C．图中共有9个平行四边形D．S 10．如图4，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，?E为垂足，连结DF，则∠CDF等于（） A．80° B．70° C．65° D．60° 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．如图5，ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于E，且AD=a，AB=b，用含a、b的代数式表示EC，则EC=________． (5) (6) (7) (8) 12．如图6，平行四边形ABCD中，E是BC中点，且AE=9，BD=12，AD=10，则该平行四边形的面积是_________． 13．已知菱形的周长为20cm，两对角线之和为14cm，则菱形的面积为_____cm2． 14．以边长为2cm的正方形的对角线为边的正方形的面积为________c m2． 15．一个多边形的每个外角都是36°，则这个多边形的边数是________． 16．矩形ABCD中，M是BC的中点，且MA⊥MD，若矩形的周长为48cm，则矩形ABCD的面积为_______c m2． 17．如图7，若将四根木条钉成矩形木框，再变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的度数为_______． 18．如图8，菱形ABCD的对角线长分别为2和5，P是对角线AC上任一点（点P不与点A、C重合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于F，则阴影部分的面积是_______．三、解答题（本大题共46分，19～23题每题6分，24题、25题每题8分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，?垂足分别为E、F．求证：（1）△BDE≌CDF．（2）△ABC是直角三角形时，四边形AEDF是正方形． 20．如图，ABCD中，E、F为对角线AC上两点，且AE=CF，问：四边形EBFD是平行四边形吗？为什么？ 21．如图，圆A、圆B、圆C、圆D、圆E、圆F相互外离，它们的半径都是1，顺次连结这六个圆心，得到六边形ABCDEF． 求：（1）∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．（2）求图中阴影部分的面积之和． 22．如图，ABCD中，O是对角线AC的中点，EF⊥AC交CD于E，交AB于F，问四边形AFCE是菱形吗？请说明理由． 23．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°， 积． 24．如图，正方形ABCD和正方形A′OB′C′是全等图形，则当正方形A?′OB′C′绕正方形ABCD的中心O顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF的面积如何变化． （2）若正方形ABCD的面积是4，求四边形OECF的面积． 25．如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，BC=26cm，动点P?从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB以3cm/s的速度向点B运动．P、Q同时出发，当其中一点到达顶点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为ts，?问t 为何值时． （1）四边形PQCD是平行四边形．（2）当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形． 答案: 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．C 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 二、填空题 11．a-b 12．72 13．24 14．8 15．10 16．128 17．30°18．52 三、解答题 19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C ?=?? ⊥⊥?∠=∠=???∠=∠? 是的中点? △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF ? ??????=? 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形． 20．解：四边形EBFD 是平行四边形．在ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形． 21．解：（1）由多边形内角和定理知： ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（6-2）×180°=720°． （2）S 阴影= 720360 πr 2 =2π． 22．解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴AE=CE ． ∴四边形AFCE 是菱形． 23．解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE= 1 2 BE=6． 过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD 24．解：（1）四边形OECF 的面积不变． 因为在旋转过程中，始终有△ODF≌△OCE，故S四边形OECF=S△OEC+S△OFC=S△OCD． （2）由（1）知S四边形OECF=S△OCD=1 4 ×4=1． 25．解：（1）∵PD∥CQ，∴当PD=CQ时，四边形PQCD是平行四边形．而PD=24-t，CQ=3t， ∴24-t=3t，解得t=6． 当t=6时，四边形PQCD是平行四边形． （2）过点D作DE⊥BC，则CE=BC-AD=2cm． 当CQ-PD=4时，四边形PQCD是等腰梯形． 即3t-（24-t）=4．∴t=7． https://www.360docs.net/doc/0719229479.html, https://www.360docs.net/doc/0719229479.html, https://www.360docs.net/doc/0719229479.html, 1. 已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC 。求证：AF ∥BG 。 2. 如图所示，平行四边形ABCD 内有一点E ，满足ED ⊥AD 于D ，∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°。请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明。 A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是AB 边的中点。 （1）求∠EDB 的度数；（2）求DE 的长。 4. 已知：如图，等边△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP ＝PE ； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF 。 （1）求证：△ABE ≌△FDA ； （2）当AE ⊥AF 时，求∠EBG 的度数。 6. 如图所示，在△ABC 中，AC ＝4cm ，把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍？ A C' 7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED 。求证：AE 平分∠BAD 。 8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC 。 （1）求证：△ADC ≌△ECD ； （2）若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF 。 （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形； （2）在△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形； （3）对于任意△ABC ，四边形ADEF 是否总存在？ 卓越个性化教案 GFJW0901 学生姓名 彭 年级 初二 授课时间 教师姓名 刘 课时 2 课 题 四边形证明题专题 教学目标 熟悉四边形的性质和判定，了解线段和角度证明的方法。 重 点 掌握各种特殊四边形的性质和判定。熟悉线段和角度数量关系的证明方法 难 点 运用平行、三角形全等、特殊三角形性质、四边形性质进行证明。 【 课堂练习】： 1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。 2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60?，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。 3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。 4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。 5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ，AC 平分∠A ，又∠B=60?，梯形的周长是20cm, 求：AB 的长。 6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、 _ F _ B _ D _ C _ G _ A _ B _ D _ C _ E _ F _ D _ A _ B _ C _ E _ F _A _ B _ D _ C _ D _ C 7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ，使S ABC ?=S EBF ?，求证：DF ∥AC 。 8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ， 求证：AH 与正方形的边长相等。 9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。 10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。 11、在正方形ABCD 的对角线BD 上，取BE=AB ， 若过E 作BD 的垂线EF 交CD 于F ， 求证：CF=ED 。 12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于 _ E _ A _B _ F _ D _ C _ C _ D _ A _B G _ E _ F _ H _ E _ D _ B _ C _ A _ G _ F _ C _ D _ A _ B _ E _ F _ E _ A _ j _ H _ G _ K _ B _ C _A _ F _ E 平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． # 4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形． 8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点， H G F E D C B A H G F E D C B A 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A ． B ． C ． D ．8 A B C D E F 四边形的证明和计算 教学目标：1、使学生牢固掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯 形的定义、性质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系， 并能应用这些知识去分析和解决问题。 2、通过复习提高学生逻辑推理论证的能力，发展学生数学思维 的技能，进一步激励学生自我提高的动机。关注中考中不断出 现的以特殊四边形为背景设计与三角形、相似形、圆、方程、 函数等相结合的综合题 3、如何挖掘隐含条件，合理添加辅助线，转化矛盾解决问题。 教学重点：平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性质定理、 判定定理的综合应用和综合思维、分析思维以及逻辑表达能力的 培养。 教学难点：要善于多角度寻求解决问题的途经，筛选简捷的解法、积累解决 问题的策略． 教学过程： 学生整理有关平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的定义、性 质定理和判定定理，掌握它们之间的内在联系，初步形成这些知识的网络结 构。为下面的复习做好准备。 一、 几何证明题： 例1：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝DC ，过点D 作DE ⊥BC ，垂 足为E ，并延长DE 至F ，使EF ＝DE ．联结BF 、CD 、AC ． （1）求证：四边形ABFC 是平行四边形； （2）如果DE 2＝BE ·CE ，求证四边形ABFC 是矩形． (3)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 图形改为： 的添加方法． 展示2011年中考23题，体现四边形在中考中的重要作用，学生独立完 成，教师巡视指导，学生交流方法，师生共同归纳考点，教师给予方法点析 (2)只添加一个条件，使四边形EDFA 是正方形．请你至少写出两种不同 的添加方法．(不另外添加辅助线，无需证明) 本题较为简单，意在顾及绝大多数学生，减 少对几何的畏惧心理，口答完成，提高积极 性，复习判定方法 巩固训练： 1. 如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、 BC 分别交于E 、F ， 求证：四边形AFCE 是菱形 分析: 由于四边形AFCE 的对角线互相垂直，那么只需证明对角线互相平 分即可，故只需证OE=OF ，而这可由证明△AOE ≌△COF 得到。 证：（略） 说明：解决此题的关键是要准确理解题意，EF 是线段AC 的垂直平分线。另 一种方法证完后还可问学生，还有其他方法吗？注重一题多解，激活学生的 思维。 学生独立完成,学生板书 分层提高题：2. 已知：如图，在菱形ABCD 中，点E 在对角线AC 上，点F 在BC 的延长线上，EF =EB ，EF 与CD 相交于点G ． （1） 证：GD CG GF EG ?=?； 例2.如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分 别为E 、F ． (1)求证：DE=DF ． 1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形． 19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ， H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A B D E F 第一讲：矩形、菱形训练学习（1）—2014年中考数学四边形专题 一、矩形的学习 例题1（2013浙江省绍兴，15，5分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，将△ABE沿AE 折叠，使点B落在AC上的点B`处，又将△CEF沿EF折叠， 使点C落在直线EB`与AD的交点C`处.则BC∶AB的值为. 例题2.（2013安徽，14，5分）如图，P是矩形ABCD内的任意一点，连接PA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4，给出如下结论： ①S1+S2=S3+S4②S2+S4= S1+ S3 ③若S3=2 S1，则S4=2 S2④若S1= S2，则P点在矩形的对角线上 其中正确的结论的序号是_________________（把所有正确结论的序号都填在横线上）. 相应练习一 1.（2013年吉林省，第22题、7分．）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB,BD为邻边作平行四边形ABDE，连接AD，EC． （1）求证：△ADC △ECD； （2）若BD=CD,求证四边形ADCE是矩形． 2.(2013贵州六盘水，22，12分)如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F . （1）求证：△ABE ≌△FCE . （2）连接AC 、BF ，若∠AEC =2∠ABC ，求证：四边形ABFC 为矩形. 3.（2013湖南湘潭，19，6分）如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图，已知m BC 2=, m CD 4.5=,?=∠30DCF ,请你计算车位所占的宽度EF 约为多少米？ 二、菱 形 的 学 习 例题3（2013深圳市 20 ，8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E ，交BC 于点F ，连接AF 、CE ， （1）求证：四边形AFCE 为菱形； （2）设,,,AE a ED b DC c ===请写出一个a 、b 、c 三者之间的数量关系式 'A 四边形（特殊四边形）的相关计算和证明题 1.（2019?青岛）如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E，F分别为OB，OD的中点，延长AE至G，使EG=AE，连接CG. (1)求证：△ABE≌△CDF； (2)当AB与AC满足什么数量关系时，四边形EGCF是矩形?请说明理由。 2.（2019?聊城）在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP 上的两点，连接DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF. 求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE=BF+EF. 3.（2019?泰安）如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF=90°，FG⊥AD，垂足为点C. (1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明； (2)若点H为CF的中点，GH与DH垂直吗?若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由。 4.（2019?潍坊）如图,正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上,连接DG,过点A作AH∥DG，交BG于点H.连接HF，AF，其中AF交EC于点M. (1)求证：△AHF为等腰直角三角形。 (2)若AB=3，EC=5，求EM的长。 5.（2019?滨州）如图,矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG. (1)求证：四边形CEFG是菱形； (2)若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积。 6.（2019?安徽）如图,点E在?ABCD内部,AF∥BE,DF∥CE. (1)求证：△BCE≌△ADF； (2)设?ABCD的面积为S,四边形AEDF的面积为T,求S 的值。 T 7.（2019?重庆）在?ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E. (1)如图1,若∠D=30°,AB=√6，求△ABE的面积； (2)如图2，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，且AB=AF.求证：ED-AG=FC. 8.（2019?泰州）如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C.D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A.B不重合). (1)求证：△AEP≌△CEP； (2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由； (3)求△AEF的周长。 1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E 6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E 特殊的四边形有关的计算与证明： 学习目标： 1．掌握矩形，菱形，正方形的判定及性质； 2．综合运用菱形，矩形知识解决实际问题能力； 热身训练 1. . 如图，四边形ABCD是菱形. 对角线AC=8 ㎝，D B=6 ㎝，D H⊥AB与H. 求D H的 长. D C A O H B A 模拟练习2．（2017 海淀一模）如图，在□ABCD中，过 D 点A作AE ⊥BC F 于点E ，AF ⊥DC 于点F ，AE AF ． （1）求证：四边形ABCD是菱形；B C E （2）若EAF 60°，CF 2，求AF 的长． 3．如图，在已知平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，与BC相交于点 E，EF//AB，与AD相交于点 F. 求证: 四边形ABEF是菱形. 拓展提高： 4.（西城2017 一模）如图，在□ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC，过点 A 作AE∥BD，交 CD 的延长线于点E，过点 E 作EF⊥BC，交BC 延长线于点 F. （1）求证：四边形ABCD 是菱形； E （2）若∠ABC=45°，BC= 2，求E F 的长. A D B F C 1. 如图，已知AD平分∠BAC，DE// AC ，DF// AB ，试说明EF与AD互相垂直平分 A E F B C D 2. 已知：在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点 E 是AD 的中点；过点 A 作AF∥BC 交 A F BE 的延长线于F，连接CF． E （1）求证：四边形ADC F 是平行四边形； D C （2）填空： B ①如果AB =AC，四边形ADCF 是形； ②如果∠BAC =90°，四边形ADCF 是形；． 3．如图所示，在矩形ABCD 中，AB=4cm ，BC=8cm 、点P 从点 D 出发向点 A 运动， 同时点Q 从点B 出发向点 C 运动，点P、Q 的速度都是1cm/s． （1）在运动过程中，四边形AQCP 可能是菱形吗？ 如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP 是菱形？ （2）分别求出菱形AQCP 的周长、面积． 热点 四边形的证明与计算 （时间：100分钟 总分：100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的） 1．下列命题正确的是（ ） A ．对角线互相平分的四边形是菱形； B ．对角线互相平分且相等的四边形是菱形 C ．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形； D ．对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. 2．平行四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 四个角的度数比可能是（ ） A ．1：2：3：4 B ．2：3：2：3 C ．2：2：3：3 D ．1：2：2：3 3．如果菱形的边长是a ，一个内角是60°，那么菱形较短的对角线长等于（ ） A ． 12a B a C ．a D 4．用形状、大小完全相同的图形不能进行密铺的是（ ） A ．任意三角形 B ．任意四边形 C ．正五边形 D ．正四边形 5．已知一个等腰梯形的下底与上底之差等于一腰长，?则这个等腰梯形中的较小的角的度数为（ ） A ．30° B ．60° C ．45° D ．75° 6．已知四边形ABCD 中，在①AB ∥CD ；②AD=BC ；③AB=CD ；④∠A=∠C 四个条件中，不能推出四边形ABCD 是平行四边形的条件是（ ）． A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②③ 7．如图1，ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC=12，BD=10，则AB 的长m?取值范围是（ ） A ．1 四边形证明习题 1.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长． 2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形. 3. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ； （2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． A F D B E O A D B E F O C 5.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积． 6. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作 图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形； (2) 若?=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥． 7. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥ 8. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△； （2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积． A B C D D C F B E A 特殊四边形证明题（正方形） 1．如图，四边形ABCD 是正方形, 点G 是BC 上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ⊥AG 于点F . 求证：DE －BF = EF ． 2．如图 ，ABCD 是正方形．G 是 BC 上的一点，DE ⊥AG 于 E ，BF ⊥AG 于 F ． （1）求证：ABF DAE △≌△； (2）求证：DE EF FB =+． 3．如图，在正方形ABCD 中，CE DF ⊥．若10cm CE =，求DF 的长． 4．正方形ABCD 中，MN ⊥GH ，求证：MN=HG 。 5．在正方形ABCD 的边CD 上任取一点E ，延长BC 到F ，使CF=CE ， 求证：BE ⊥DF 6．在正方形ABCD 的CD 边上取一点G ，在CG 上向原正方形外作正方形GCEF ， 求证：DE ⊥BG ，DE=BG 。 F C B E A _ D _ C _ B _ A _ M _ N _ G _ H A D E F C G B _ C _ D _ A _ B _ F _ E _ F _ G _ C _ D _ A _ B _ E _ H 7．已知如图，四边形ABCD 是正方形，F 、E 分别为BC 、CD 上的点，且EF=BF+DE ，AM ⊥EF ，垂足为M ，求证：(1)AM=AB ；(2)连AF ，连AE ，求∠FAE ． 8．正方形ABCD 中，∠EAF=45?.求证：BE+DF=EF 。 9．若分别以三角形ABC 的边AB 、AC 为边，在三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：BG=EC ，BG ⊥EC 。 10．若以三角形ABC 的边AB 、AC 为边 向三角形外作正方形ABDE 、ACFG ， 求证：S AEG ?=S ABC ?。 11．若以三角形ABC 的边AB 、BC 为边向 三角形外作正方形ABDE 、BCFG ，N 为AC 中点，求证：DG=2BN ，BM ⊥DG 。 12．正方形ABCD 的边AD 上有一点E ，满足BE=ED+DC ，如果M 是AD 的中点， 求证：∠EBC=2∠ABM ， M E F B C A D _ H _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ E _ D _ A _ B _ C _ F _ G _ D _ E _ B _ A _ C _ N _ M _ C _ D _ A _B _ E _ F _ C _ D _ A _ B _ E _ M 特殊四边形的证明与计算 一. 一组对边平行+一组对角相等=平行四边形 1. 四边形ABCD 中，AB//CD,D B ∠=∠,BC=6,AB=3,求四边形ABCD 的周长。 二. 平行四边形的性质与判定的贡献 2.如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点F ，E 为四边形ABCD 外一点，且∠ADE=∠BAD ，AE∠AC (1)求证：四边形ABDE 是平行四边形； (2)如果DA 平分∠BDE ，AB=5，AD=6，求AC 的长。 3.已知：如图,D,E,F 分别是∠ABC 各边上的点,且DE∠AC,DF∠AB.延长FD 至点G ，使DG=FD ，连接AG. 求证：ED 和AG 互相平分。 三.菱形四边相等为全等提供了可能 4.如图1，菱形ABCD中，点E.F分别为AB、AD的中点，连接CE、CF. (1)求证：CE=CF； (2)如图2，若H为AB上一点，连接CH，使∠CHB=2∠ECB，求证：CH=AH+AB. 四. 含60?的菱形与等边三角形结合在一起 5.(1)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，点E 在AD 上，点F 在AB 的延长线上，且?=∠120EOF ，求证：AB BF AE 21=+. (2)如图，菱形ABCD 中，? =∠60C ，O 为BD 的中点，E ，F 分别在DA ，AB 的延长线上，?=∠120EOF ，试探究AE ，BF ，AB 之间的数量关系. 五. 从对称的角度考虑菱形问题。 6. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E. F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 。 特殊平行四边形之证明题 题型一：菱形的证明 1、如图，在三角形ABC 中，AB ＞AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，△ADE 沿线段DE 翻折，使点A 落在边BC 上，记为A '．若四边形ADA E '是菱形，则下列说法正确的是( ) A. DE 是△ABC 的中位线 B. AA '是BC 边上的中线 C. AA '是BC 边上的高 D. AA '是△ABC 的角平分线 2．已知：如图，在ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △． （1）求证：BE DG =； （2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论． 3、将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ． （1）求证：△ABE ≌△AD ′F ； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论． A B C D E A ' A D G C B F E A B C D E F D ′ 4.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC 于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ． （1）求证：AD ＝CE ； （2）填空：四边形ADCE 的形状是 ． 5.两个完全相同的矩形纸片ABCD 、BFDE 如图7放置，AB BF =，求证：四边形BNDM 为菱形． 6.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE . （1）求证：△ABE ≌△ ACE （2）当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由. 7.如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把ACD △沿CA 方向平移得到A C D '''△． （1）证明A AD CC B '''△≌△； （2）若30ACB ∠=°，试问当点C '在线段AC 上的什么位置时，四边形ABC D ''是菱 形，并请说明理由． C D E M A B F N D A E N M O C B A D A ' C ' （第19题） D ' 二、解答题重难点突破三角形、四边形的证明与计算题型四 有等腰三角形，通常作底边上的高、中线或顶角的平分线类型一 针对演练C，A交AC于点E，得△ABC，AB,BC=2,∠ABC=120°将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0<α<120°)中，1. 在△ABCAB=11111. F两点于D、分别交AC、BC 图②图① 第1题图DA的形状，并说明理由；）如图②，当α=30°时，试判断四边形BC（(1)证明：EA=FC;211. ED的长（3）在（2）的情况下，求 2的正方22的正方形ABCD与边长为连云港）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动，将边长为2. （2015形AEFG按图①位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上. （1）小明发现DG⊥BE,请你帮他说明理由； （2）如图②，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你 帮他求出此时BE的长. 图①图②第2题图 3. 如图①，在△ABC中，D是AB边的中点，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，AE,BF相交于点M，连接DE,DF. 1 图①图②图③ 第3题图 （1）DE,DF的数量关系； （2）如图②，在△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC的内部，且∠MBC=∠MAC.过点M作ME⊥BC于点E，MF⊥AC于点F，连接DE,DF.求证：DE=DF； （3）如图③，若将上面（2）中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其他条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论. 【答案】 针对演练 1.（1）证明：∵AB=BC, ∴∠A＝∠C, ∵△ABC绕点B顺时针旋转角α得△ABC, 11∴∠ABE=∠CBF,∠C＝∠C ,AB=BC=AB=BC, 1111∴∠A＝∠C, 1在△ABE和△CBF中，12 C??A??1?BC?AB，?1?BFC?ABE???1(ASA), BF∴△ABE≌△C1, BF∴BE=, BF=BC-∴AB-BE1. FC即EA=1是菱形，理由如下：：四边形BCDA(2)解1，，∠ABC=120°旋转角α＝30°，+30°＝150°=∠ABC+α=120°∴∠ABC1, BC，AB=∵∠ABC=120°11＝30°=，(180°-120°)∴∠A＝∠C2＝180°，ABC+∠C=150°+30°∴∠11, =150°+30°=180°∠ABC+∠A1, AD∥BCAB∥CD, ∴11 BCDA是平行四边形，∴四边形1, AB=BC又∵1. 几何证明提高题 1、如图,在△ABC 中,BD 、CE 分别是AC 、AB 上的高。G 、F 分别是BC 、DE 的中点,试证明FG ⊥DE 。 2、如图，在四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，E 是CD 上一点，BE 交AC 于F ，连接DF ． （1）若AB ∥CD ，试证明四边形ABCD 是菱形； （2）在（2）的条件下，试确定E 点的位置，使得∠EFD=∠BCD ，并说明理由． 3、已知：如图平行四边形ABCD ，DE ⊥AC ，AM ⊥BD ，BN ⊥AC ，CF ⊥BD 求证：MN ∥EF 4、已知：如图菱形ABCD ，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于F ，若AE=AB ，∠DAE=2∠BAE 求证：BE=AF A B E 5、已知：如图正方形ABCD ，P 、Q 分别是BC 、DC 上的点，若∠1=∠2 求证：PB+QD=PA 6、已知：如图正方形ABCD ，AC 、BD 交于点O ，E 、F 分别是BC 、OD 的中点 求证：AF ⊥EF 7、已知：如图，，AB=BC ，D 、E 分别是AB 、BC 上一点，DM AE ⊥交AC 于M ， BN AE ⊥交AC 于N ，若BD BE =求证：MN NC =。 8、已知：如图，//AB CD ，AE ED =，BF FC =，//EM AF 交DC 于M ， 求证：FM AE =。 21C A P F O A D 10、已知：如图，⊿ABC 中，E 、F 分别是AB 、BC 中点，M 、N 是AC 上两点，EM 、FN 交于D ，若AM=MN=NC ，求证：四边形ABCD 是平行四边形。 11、已知：如图，12∠=∠，3AB AC =，BE AD ⊥，求证：AD DE =。 12、已知：如图，//AB CD ，090D ∠=，BE EC DC ==，求证：3AEC BAE ∠=∠。 13、已知：如图，AD BC ⊥，2B C ∠=∠，BE EC =，求证：1 2 DE AB = 。 特殊四边形的证明与计算 1．如图，△ABC 是等边三角形，点E 在线段AC 上，连接BE ，以BE 为边作等边三角形BEF ，将线段CE 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段CD ，连接AF 、AD 、ED . (1)求证：△BCE ≌△ACD ； (2)求证：四边形ADEF 是平行四边形． 第1题图 证明：(1)∵△ABC 是等边三角形， ∴BC ＝AC ，∠BCE ＝60°， 由题意得CE ＝CD ，∠ECD ＝60°. 在△BCE 和△ACD 中， ?????BC ＝AC ∠BCE ＝∠ACD ＝60° CE ＝CD ， ∴△BCE ≌△ACD (SAS)； (2)∵△BCE ≌△ACD ， ∴AD ＝BE ，∠DAE ＝∠CBE ， ∵△BEF 是等边三角形， ∴BE＝EF＝BF，∠EBF＝60°， ∴AD＝EF， ∵△ABC与△BEF均是等边三角形， ∴∠BCE＝∠BEF＝60°， ∵∠BCE＋∠CBE＝∠BEF＋∠AEF， ∴∠CBE＝∠AEF， ∴∠DAE＝∠AEF，∴AD∥EF， ∴四边形ADEF是平行四边形． 2．如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，点E在△ABC内，AE 平分∠BAC，CE⊥AE，点F在边AB上，EF∥BC. (1)求证：四边形BDEF是平行四边形； (2)线段BF、AB、AC之间具有怎样的数量关系？证明你所得到的结论． 第2题图 (1)证明：如解图，延长CE交AB于点G， 第2题解图 ∵AE ⊥CE ， ∴∠AEG ＝∠AEC ＝90°， ∵AE 平分∠BAC ， ∴∠GAE ＝∠CAE ， 在△AGE 和△ACE 中， ?????∠GAE ＝∠CAE AE ＝AE ∠AEG ＝∠AEC ， ∴△AGE ≌△ACE (ASA)， ∴GE ＝EC . ∵点D 是边BC 的中点， ∴BD ＝CD ，DE 为△CGB 的中位线， ∴DE ∥BF . 又∵EF ∥BC ， ∴四边形BDEF 是平行四边形； (2)解：BF ＝12(AB －AC )． 理由如下： 由(1)可知，△AGE ≌△ACE ，四边形BDEF 是平行四边形， ∴AG ＝AC ，BF ＝DE ＝12BG ， ∴BF ＝12BG ＝12(AB －AG )＝12(AB －AC )．八年级 四边形经典证明题
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