中考数学复习 第四讲 因式分解含详细参考答案
第四讲 因式分解
【基础知识回顾】
一、因式分解的定义：
1、把一个 式化为几个整式 的形式，叫做把一个多项式因式分解。
2、因式分解与整式乘法是 运算，即：多项式 整式的积 【名师提醒：判断一个运算是否是因式分解或判断因式分解是否正确，关键看等号右边是否为 的形式。】
二、因式分解常用方法：
1、提公因式法：
公因式：一个多项式各项都有的因式叫做这个多项式各项的公因式。
提公因式法分解因式可表示为：ma+mb+mc= 。
【名师提醒：1、公因式的选择可以是单项式，也可以是 ，都遵循一个原则：取系数的 ，相同字母的 。2、提公因式时，若有一项被全部提出，则括号内该项为 ，不能漏掉。3、提公因式过程中仍然要注意符号问题，特别是一个多项式首项为负时，一般应先提取负号，注意括号内各项都要 。】
2、运用公式法：
将乘法公式反过来对某些具有特殊形式的多项式进行因式分解，这种方法叫做公式法。①平方差公式：a 2-b 2= ,
②完全平方公式：a 2±2ab+b 2= 。
【名师提醒：1、运用公式法进行因式分解要特别掌握两个公式的形式特点，
找准里面的a 与b 。如：x 2-x+14符合完全平方公式形式，而x 2- x+12
就不符合该公式的形式。】
三、因式分解的一般步骤
1、 一提：如果多项式的各项有公因式，那么要先 。
2、 二用：如果各项没有公因式，那么可以尝试运用 法来分解。
3、 三查：分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止。
【名师提醒：分解因式不彻底是因式分解常见错误之一，中考中的因式分解题目一般为两步，做题时要特别注意，另外分解因式的结果是否正确可以用整式乘法来检验】
【重点考点例析】
考点一：因式分解的概念
例1 （2013?株洲）多项式x 2+mx+5因式分解得（x+5）（x+n ），则m= ，n= ． 思路分析：将（x+5）（x+n ）展开，得到，使得x 2+（n+5）x+5n 与x 2+mx+5的系数对应相等即可．
解：∵（x+5）（x+n ）=x 2+（n+5）x+5n ，∴x 2+mx+5=x 2+（n+5）x+5n
∴555n m n +=??=?，∴16n m =??=?
， 故答案为6，1．
点评：本题考查了因式分解的意义，使得系数对应相等即可．
对应训练
1．（2013?河北）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
（ ） （ ）
A．a（x-y）=ax-ay B．x2+2x+1=x（x+2）+1
C．（x+1）（x+3）=x2+4x+3 D．x3-x=x（x+1）（x-1）
1．D
考点二：因式分解
例2 （2013?无锡）分解因式：2x2-4x= ．
思路分析：首先找出多项式的公因式2x，然后提取公因式法因式分解即可．
解：2x2-4x=2x（x-2）．
故答案为：2x（x-2）．
点评：此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．
例3 （2013?南昌）下列因式分解正确的是（）
A．x2-xy+x=x（x-y）B．a3-2a2b+ab2=a（a-b）2
C．x2-2x+4=（x-1）2+3 D．ax2-9=a（x+3）（x-3）
思路分析：利用提公因式法分解因式和完全平方公式分解因式进行分解即可得到答案．解：A、x2-xy+x=x（x-y+1），故此选项错误；
B、a3-2a2b+ab2=a（a-b）2，故此选项正确；
C、x2-2x+4=（x-1）2+3，不是因式分解，故此选项错误；
D、ax2-9，无法因式分解，故此选项错误．
故选：B．
点评：此题主要考查了公式法和提公因式法分解因式，关键是注意口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶．
例4 （2013?湖州）因式分解：mx2-my2．
思路分析：先提取公因式m，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
解：mx2-my2，
=m（x2-y2），
=m（x+y）（x-y）．
点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
对应训练
2．（2013?温州）因式分解：m2-5m= ．
2．m（m-5）
3．（2013?西宁）下列分解因式正确的是（）
A．3x2-6x=x（3x-6）B．-a2+b2=（b+a）（b-a）
C．4x2-y2=（4x+y）（4x-y）D．4x2-2xy+y2=（2x-y）2
3．B
4．（2013?北京）分解因式：ab2-4ab+4a= ．
4．a（b-2）2
考点三：因式分解的应用
例5 （2013?宝应县一模）已知a+b=2，则a2-b2+4b的值为．
思路分析：把所给式子整理为含（a+b）的式子的形式，再代入求值即可．
解：∵a+b=2，
∴a2-b2+4b=（a+b）（a-b）+4b=2（a-b）+4b=2a+2b=2（a+b）=2×2=4．
故答案为：4．
点评：本题考查了利用平方差公式分解因式，利用平方差公式和提公因式法整理出a+b 的形式是求解本题的关键，同时还隐含了整体代入的数学思想．
对应训练 5．（2013?鹰潭模拟）已知ab=2，a-b=3，则a 3b-2a 2b 2+ab 3= ．
5．18
【聚焦山东中考】
7．2
(31)3x --
8．（2013?菏泽）分解因式：3a 2-12ab+12b 2= ．
8．3（a-2b ）2
【备考真题过关】
一、选择题
1．（2013?张家界）下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A ．x 2+x+1
B ．x 2+2x-1
C ．x 2-1
D ．x 2-6x+9
1．D
2．（2013?佛山）分解因式a 3-a 的结果是（ ）
A ．a （a 2-1）
B ．a （a-1）2
C ．a （a+1）（a-1）
D ．（a 2+a ）（a-1）
2．C
3．（2013?恩施州）把x 2y-2y 2x+y 3分解因式正确的是（ ）
A ．y （x 2-2xy+y 2）
B ．x 2y-y 2（2x-y ）
C ．y （x-y ）2
D ．y （x+y ）2
3．C
二、填空题
4．（2013?自贡）多项式ax 2-a 与多项式x 2-2x+1的公因式是 ．
4．x-1
5．（2013?太原）分解因式：a 2-2a= ．
5．a （a-2）
6．（2013?广州）分解因式：x 2+xy= ．
6．x （x+y ）
7．（2013?盐城）因式分解：a 2-9= ．
7．（a+3）（a-3）
8．（2013?厦门）x2-4x+4=（）2．
8．x-2
9．（2013?绍兴）分解因式：x2-y2= ．
9．（x+y）（x-y）
10．（2013?邵阳）因式分解：x2-9y2= ．
11．（x+3y）（x-3y）
12．（2013?南充）分解因式：x2-4（x-1）= ．
12．（x-2）2
13．（2013?遵义）分解因式：x3-x= ．
13．x（x+1）（x-1）
14．（2013?舟山）因式分解：ab2-a= ．
14．a（b+1）（b-1）
15．（2013?宜宾）分解因式：am2-4an2= ．
15．a（m+2n）（m-2n）
16．（2013?绵阳）因式分解：x2y4-x4y2= ．
16．x2y2（y-x）（y+x）
17．（2013?内江）若m2-n2=6，且m-n=2，则m+n= ．
17．3
18．（2013?廊坊一模）已知x+y=6，xy=4，则x2y+xy2的值为．
18．24
19．（2013?凉山州）已知（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b= ．
19．-31
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
因式分解专项练习题(含答案)
因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 （1）3ｐ2﹣６pｑ（2)2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x３y﹣ｘｙ（2）3ａ3﹣6ａ２b+3ａb２． 3.分解因式 (１)a２（x﹣y）+16(ｙ﹣x）（2）(x２＋y2)２﹣4x２ｙ2 4.分解因式: （1)2x2﹣x （2）16x2﹣1 (3）6xｙ2﹣９x2y﹣y3(4)4+12(x﹣y）+9（x﹣ｙ)2 ５．因式分解： （１)2am2﹣8ａ（２)4ｘ3＋4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣1２x3（2)（x2+y2）2﹣4ｘ２y２ ７．因式分解：（1)ｘ２y﹣2xｙ２+y3 （2)（x＋2y)2﹣y2 8.对下列代数式分解因式： （1)n2(ｍ﹣２)﹣n（2﹣m）（２)（x﹣1)(x﹣3）+1 9．分解因式：ａ2﹣4a＋4﹣b2 10．分解因式：ａ2﹣b２﹣2a＋1 11．把下列各式分解因式： (1）x４﹣７x2+1（2)x４＋x2+2ａx＋1﹣a2
(3)（1＋ｙ）2﹣2x２(１﹣y2)+x4(１﹣y）2(４）x4＋2x３+3x2+2x+1 12.把下列各式分解因式： （１)4x３﹣３1x+15；(2）2a２b2＋2ａ2c２+２b2ｃ2﹣a4﹣ｂ４﹣c4; （３)ｘ5+x+1; （４）x３+5x2+3ｘ﹣９;(5)2a4﹣a３﹣6a2﹣a+２. 因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 (1）3p2﹣6pq;（２）2ｘ2＋8x＋8 分析：（１)提取公因式3p整理即可； (2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答:解：(1)3p２﹣6pq=3p(p﹣2ｑ)， (2）2x2+8ｘ+8,=2(x2+4x+4），＝２(x＋2）2. 2．将下列各式分解因式 （１）x3y﹣xy （2)3a3﹣6a2b+3ab2. 分析:(1)首先提取公因式ｘy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3ａ,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 解答:解:(１)原式=xy(x2﹣１）=xy(x＋1)（x﹣1）; (２）原式=3a(a2﹣２ａｂ+b2)=3a（a﹣b)2. 3．分解因式 （1）a2(x﹣y)＋１6(y﹣x)；（2)（ｘ2+ｙ2)2﹣４x2y2．
因式分解基础测试题含答案
因式分解基础测试题含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9 B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1 C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b) D ．x 2＋1＝x 1()x x + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 错误； B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误； C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确； D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=-
(完整版)因式分解测试题(含答案)
八年级上册因式分解测试题（满分：120分，时间：60分钟） 题号一、填 空题 二、计 算题 三、简 答题 四、选 择题 总 分 得分 一、填空题 （每空2分，共24分） 1、已知 xy>0，且x2－2xy－3y2＝0，则＝． 2、分解因式= ，。 3、分解因式：a3－a＝． 4、阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。 例如：（1）， （2）。 试用上述方法分解因式。 5、分解因式=_______________． 6、计算；分解因式：= ； 7、计算；分解因式：= ； 8、分解因式： = ． 9、分解因式：16x2﹣4y2= ． 10、因式分解：2m2n﹣8mn+8n= ． 11、设有n个数x1，x2，…x n，其中每个数都可能取0，1，－2这三个数中的一个，且满足下列等式：x1＋x2＋…＋x n ＝0，x12＋x22＋…＋x n2＝12，则x13＋x23＋…＋x n3的值是． 二、计算题 （12、13、14题各3分，15题5分，共14分） 12、因式分解 13、因式分解 14、分解因式： 15、因式分解 评卷人得分 评卷人得分
三、简答题16题10分，17、18、19、20题各15分，共70分） 16、先因式分解在求值 17、在学习因式分解时，我们学习了“提公因式法”和“公式法”，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： －－ －－ －－ ② －－ －－ －－ ① ＝ ＝ ＝； ＝． 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中,运用了（选填一项:“分类、转化、数形结合、方程”）的思想方法, 使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束,请在横线上继续完成因式分解过程； （3）请用上述方法因式分解． 18、阅读下列材料解决问题： 将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系． ∵用间接法表示大长方形 的面积为:x2+px+qx+pq， 用直接法表示面积为: （x+p）（x+q） ∴x2+px+qx+pq=（x+p） （x+q） ∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+(p+q )x+pq=（x+p）（x+q） （1）运用公式将下列多项式分解因式： ①x2＋6x+8 ②y2+7y-18 （2）如果二次三项式“a2+□ab+□b2”中的“□”只能填入有理数2、3、4(两个“□”内数字可以相同)，并且填 入后的二次三项式能进行因式分解，请你写出所有的二次三项式及因式分解的结果． 19、若x＋y＝3，且(x＋2)（y＋2）＝12． (1)求xy的值； (2)求x2＋3xy＋y2的值． 20、我们对多项式进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有： 评卷人得分
中考试题分类因式分解(含答案)
一、选择题 1.(2008安徽)下列多项式中，能用公式法分解因式的是（） A．B．C．D． 答案：C 2. (2008宁夏)下列分解因式正确的是（） A．B． C．D． 答案：C 3. （08绵阳市）若关于x的多项式x2－px－6含有因式x－3，则实数p的值为（）． A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案：A 4. (2008 台湾)有两个多项式M=2x2＋3x＋1，N=4x2－4x－3，则下列哪一个为M与N的 公因式( ) C (A) x＋1 (B) x－1 (C) 2x＋1 (D) 2x－1 答案：C 5. （08赤峰）把分解因式得：，则的值为（） A．2 B．3 C．D． 答案：A 二.填空题 1.（2008年四川省宜宾市）因式分解：3y2-27= . 答案： 2.（2008年浙江省衢州市）分解因式： 答案： 3.(08浙江温州)分解因式：． 答案：
4．(08山东日照)分解因式:=____________． 答案： 6、(2008浙江义乌)因式分解：．. 答案： 7（2008浙江金华）、如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式的值是cm。 答案：－32； 8.(2008浙江宁波) 分解因式． 答案： 9.（2008山东威海）分解因式＝． 答案： 10.（2008年山东省滨州市）分解因式：(2a+b)2-8ab=_______________. 答案： 11.（2008年山东省临沂市）分解因式：＝___________. 答案：a（3＋a）（3－a） 12.（2008年山东省潍坊市）分解因式x3+6x2-27x=________________. 答案：. x(x-3)(x+9) 13.(2008年辽宁省十二市)分解因式：． 答案： 14.(2008年浙江省绍兴市)分解因式 答案： 15.(2008年沈阳市)分解因式：． 答案： 16.（2008年四川巴中市）把多项式分解因式，结果为．
因式分解含答案
因式分解 一、导入： 有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
(完整版)因式分解练习题(计算)[含答案]
因式分解练习题（计算）一、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； 27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 31．x2－y2－x－y； 32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b； 33．m4＋m2＋1； 34．a2－b2＋2ac＋c2； 35．a3－ab2＋a－b； 36．625b4－(a－b)4； 37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2； 38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35； 39．m2－a2＋4ab－4b2； 40．5m－5n－m2＋2mn－n2． 二、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
2018版中考数学：因式分解(含答案)
§1、3因式分解 A组 一、选择题 1.(2015·四川宜宾,5,3分)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式,结果正确得就是 () A.3x(x2－4x＋4) B.3x(x－4)2 C.3x(x＋2)(x－2) D.3x(x－2)2 解析先提公因式3x再用公式法分解:3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x －2)2,故D正确. 答案 D 2.(2015·山东临沂,5,3分)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1得公因式就是() A.x－1 B.x＋1 C.x2－1 D.(x－1)2 解析mx2－m＝m(x－1)(x＋1),x2－2x＋1＝(x－1)2,多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1得公因式就是(x－1).答案 A 3.(2015·华师一附中自主招生,7,3分)已知a,b,c分别就是△ABC得三边长,且满足 2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2,则△ABC就是 () A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2, ∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0,∴(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0,∴2a2－c2＝0,2b2－c2＝0,∴c＝2a,c＝2b,∴a＝b,且a2＋b2＝c2、∴△ABC为等腰直角三角形. 答案 B 二、填空题 4.(2015·浙江温州,11,5分)分解因式:a2－2a＋1＝________.
解析利用完全平方公式进行分解. 答案(a－1)2 5.(2015·浙江杭州,12,4分)分解因式:m3n－4mn＝________. 解析m3n－4mn＝mn(m2－4)＝mn(m＋2)(m－2). 答案mn(m＋2)(m－2) 6.(2015·山东济宁,12,3分)分解因式:12x2－3y2＝________. 解析12x2－3y2＝3(2x＋y)(2x－y). 答案3(2x＋y)(2x－y) 7.(2015·湖北孝感,12,3分)分解因式:(a－b)2－4b2＝________、 解析(a－b)2－4b2＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b). 答案(a＋b)(a－3b) 8.(2015·四川泸州,13,3分)分解因式:2m2－2＝________. 解析2m2－2＝2(m2－1)＝2(m＋1)(m－1). 答案2(m＋1)(m－1) 三、解答题 9.(2015·江苏宿豫区,19,6分)因式分解:(1)x4－81; (2)6a(1－b)2－2(b－1)2、 解(1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9) ＝(x2＋9)(x＋3)(x－3); (2)6a(1－b)2－2(b－1)2＝2(1－b)2(3a－1). B组 一、选择题 1.(2014·湖南岳阳,7,3分)下列因式分解正确得就是 () A.x2－y2＝(x－y)2 B.a2＋a＋1＝(a＋1)2 C.xy－x＝x(y－1) D.2x＋y＝2(x＋y) 解析A中,由平方差公式可得x2－y2＝(x＋y)(x－y),故A错误;B中,左边不符合完全平方公式,不能分解;C中,由提公因式法可知C正确;D中,左边两项没有
因式分解单元测试题(含答案)共两套
第一章 因式分解单元测试题 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1、下列运算中，正确的是( ) A 、x 2·x 3=x 6 B 、(a b)3=a 3b 3 C 、3a +2a =5a 2 D 、（x3）2= x 5 2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 3、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、4 12 + -x x B 、2 41x + C 、2 2b ab a ++ D 、122 -+x x 4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、22)(b a -+ B 、mn m 2052- C 、22y x -- D 、92 +-x 5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、–3 B 、3 C 、0 D 、1 6、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题：（每小题3分，共18分） 7、 在实数范围内分解因式=-62 a 。 8、当x ___________时，()0 4-x 等于1； 9、() 2008 2009 2 1.53??-?= ??? ___________。 10、若3x = 21，3y =3 2，则3x － y 等于 。 11、若2 2 916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。 12、绕地球运动的是7.9×103米/秒，则卫星绕地球运行8×105秒走过的路程是 。 三、因式分解：（每小题5分，共20分） 13、)(3)(2x y b y x a --- 14、y xy y x 3522 +-- 15、2x 2y －8xy ＋8y 16、a 2(x －y)－4b 2(x －y)
因式分解习题(含答案)(李老师)
因式分解习题(含答案)(李老师)
因式分解 【基础能力训练】 一、因式分解 1．下列变形属于分解因式的是（） A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m （a+b+c）=ma+mb+mc C．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m －n）（b+a）=（b+a）（m－n） 2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（）A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+4 3．分解因式mx+my+mz=（） A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m （x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除 A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009 5．下列分解因式正确的是（）
A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2 C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b） 6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（） A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2 C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－6 7．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______． 8．计算：21× 3.14+62× 3.14+17× 3.14=_________． 二、提公因式法 9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（） A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b2 10．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（）
A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m） C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1） 11．（－2）2001+（－2）2002等于（） A．－22001B．－22002C．22001 D．－2 12．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（） A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式： （1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1 其中可以直接用提公因式法分解因式的有（） A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）
因式分解(含答案)
因式分解 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321 =-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()() ()() ()()() 解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+- =-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()() ()() ()[()] ()()() 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有 原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212() ()()() ()() ()() 解二：将常数-4拆成--13，则有 原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412() ()()()() ()() ()() 3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：()()x x x 2241021100--++ =+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100 272310051456100 22 设y x x =-25，则 原式无论取何值都有的值一定是非负数=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440 4102110022 222 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B ∴=+--=+++--=+=+=++++原式()() ()()()A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333 322333 22 3333332 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考点拨： 例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2 证明： a b c ab bc 222166100--++=
因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题） 例题示范 例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+- 【思路分析】 考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底． 【过程书写】 222(1)(21) (1)(1)(1) y x x y y x -++=+-+=解：原式 巩固练习 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．232393x y z x z y =? B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++ C ．22()a b ab ab a b +=+ D ．211x x x x ??+=+ ??? 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（ ） A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．(3)x x y - D ．23()x x y - 3. 因式分解： （1）22363a b ab ab +-； （2）()()y x y y x ---； 解：原式= 解：原式= （3）2441a a -+； （4）256x x -+； 解：原式= 解：原式= （5）2168()()x y x y --+-； （6）41x -； 解：原式= 解：原式=
（7）222(1)4a a +-； （8）25210ab bc a ac --+； 解：原式= 解：原式= （9）223(2)3m x y mn --； （10）2ab ac bc b -+-； 解：原式= 解：原式= （11）2222a b a b -++； （12）2(2)(4)4x x x +++-； 解：原式= 解：原式= （13）321a a a +--； （14）2244a a b -+-； 解：原式= 解：原式= （15）222221a ab b a b ++--+； 解：原式=
因式分解含答案.doc
因式分解 序号 公式记忆特征 1 x 2 +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) 2 +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法） (1) 常数项两数积 (2) 一次项系数两数和 (3) 二次项系数为1 2 a 2- b 2-b 2 = (a-b)(a+b) （平方差公式） 2 2 a +2ab+b = (a+b) 2 3 a 2-2ab+ b 2 -2ab+b 2 = (a-b) 2 （完全平方公式） 4 a 2+ b 2+ c 2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c) 2+b 2+c 2 +2ab+2ac+2bc = (a+b+c) （完全平方公式扩展） 2 (1) 三数平方和 (2) 两两积的 2 倍 a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 = (a+b) 3 +3a 2b+3ab 2+b 3 = (a+b) 3 5 a 3-3a 3 -3a 2b-3ab 2+b 3 = (a-b) 3 对照完全平方公式相互加强记忆 （完全立方公式） (1) 近似完全平方公式 6 a 3+ b 3 = (a+b)(a 3+b 3 = (a+b)(a a 3-b 3-b 3 = (a-b)(a 2-ab+b 2) 2+ab+b 2) (2) 缺项之完全立方公式 (a+b)[(a+b) 2-3ab]=(a+b) 3 -3ab(a+b) (a-b)[(a+b) 2+3ab]=(a-b) 3+3ab(a+b) 7 a 3+b 3+c 3-3abc = (a+b+c)(a 3+b 3+c 3 -3abc = (a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc)对照公式 4 相互加强记忆 (1) 短差长和； 8 a n - b n -b n = (a-b)(a n-1 +a n-2b+a n-3 b 2+? +ab n-2 +b n-1 ) n= 整数 （平方差公式扩展） (2) a 指数逐项递减 1； (3) b 指数逐项递增 1； (4)长式每项指数和恒等于 n-1 。 (1) 短式变加长式加减相间； 9 a n -b n -b n = (a+b)(a n-1 -a （立方差公式扩展） n-2b+a n-3 b 2- ? +ab n-2 -b n -1 ) n= 偶数 (2) a 指数逐项递减 1； (3) b 指数逐项递增 1； (4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。 10 a n +b n = (a+b)(a n +b n = (a+b)(a n-1 -a （立方和公式扩展） n-2b+a n-3 b 2- ? +ab n-2 -b n -1 ) n= 奇数 对比公式 9 的异同
因式分解测试题(含答案)
题号 一、填 空题 二、计 算题 三、简 答题 四、选 择题 总 分 得分 一、填空题 （每空2分，共24分） 1、已知xy>0，且x2－2xy－3y2＝0，则＝． 2、分解因式= ，。 3、分解因式：a3－a＝． 4、阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。 例如：（1）， （2）。 试用上述方法分解因式。 5、分解因式=_______________． 6、计算；分解因式：= ； 7、计算；分解因式：= ； 8、分解因式：= ． 9、分解因式：16x2﹣4y2=． 10、因式分解：2m2n﹣8mn+8n=． 11、设有n个数x1，x2，…x n，其中每个数都可能取0，1，－2这三个数中的一个，且满足下列等式：x1＋x2＋…＋x n ＝0，x12＋x22＋…＋x n2＝12，则x13＋x23＋…＋x n3的值是． 二、计算题 （12、13、14题各3分，15题5分，共14分） 12、因式分解 13、因式分解 14、分解因式： 15、因式分解 三、简答题16题10分，17、18、19、20题各15分，共70分） 评卷人得分 评卷人得分 评卷人得分
16、先因式分解在求值 17、在学习因式分解时，我们学习了“提公因式法”和“公式法”，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢这时，我们可以采用下面的办法： －－ －－ －－ ② －－ －－ －－ ① ＝ ＝ ＝； ＝． 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中,运用了（选填一项:“分类、转化、数形结合、方程”）的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束,请在横线上继续完成因式分解过程； （3）请用上述方法因式分解．18、阅读下列材料解决问题： 将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系． ∵用间接法表示大长方形 的面积为:x2+px+qx+pq，用 直接法表示面积为:（x+p） （x+q） ∴x2+px+qx+pq=（x+p） （x+q） ∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+(p+q )x+pq=（x+p）（x+q） （1）运用公式将下列多项式分解因式： ①x2＋6x+8 ②y2+7y-18 （2）如果二次三项式“a2+□ab+□b2”中的“□”只能填入有理数2、3、4(两个“□”内数字可以相同)，并且填入后的二次三项式能进行因式分解，请你写出所有的二次三项式及因式分解的结果． 19、若x＋y＝3，且(x＋2)（y＋2）＝12． (1)求xy的值；(2)求x2＋3xy＋y2的值． 20、我们对多项式进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有： 所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：，解得或者.所以 .当然这也说明多项式含有因式：和.
因式分解(含答案)-
因式分解 一、选择题 1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ） A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9; B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3) C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z 2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+ C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ; D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 ) 3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+- B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+ C ．22)1(4448-=--a a a D ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+- 4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1) B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=- C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x ) D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+- 5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ） A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++- B ．)13)(12(61652++=++ m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+?++ D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(2 22-+--=----x x x x x x x x 二、填空题 1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。 2．若：922-+ax x 被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________。
因式分解经典题(含答案)
因式分解经典题 分组分解练习 1. =--+4222ab b a (a-b+2)(a-b-2) . 2.=+--1222x y x (x-1+y)(x-1-y) 3．4a 2-b 2 +2a-b=(2a-b)(2a+b+1) 4．1-a 2+2ab-b 2= (1+a-b)(1-a+b) 5．1-a 2-b 2-2ab=(1+a+b)(1-a-b) 6．x 2+2xy+y 2-1= (x+y-1)(x+y+1) 7．x 2-2xy+y 2-1=(x-y-1)(x-y+1) 8．x 2-2xy+y 2-z 2= (x-y-z)(x-y+z) 9. bc c b a 2222+-- =(a+b-c)(a-b+c) 10. 9222-+-y xy x = (x-y+3)(x-y-3) 11. 2296y x x -+- =(x-3+y)(x-3-y) 12．x 2 - 4y 2 + x + 2y = (x+2y)(x-2y+1) 13. =-+-y x y x 3322(x-y)(x+y+3) 14. =-+-bc ac ab a 2(a+c)(a-b) 15．ax-a+bx-b=(a+b)(x-1) 16．a 2-b 2-a+b= (a-b)(a+b-1) 二．十字相乘法:
1.x 2+2x-15=(x+5)(x-3) 2.x 2-6x+8=(x-2)(x-4) 3.2x 2-7x-15=(x-5)(x+3) 4.2x 2-5x-3=(x-3)(2x+1) 5.5x 2-21x+18=(5x-6)(x-3) 6. 6x 2-13x+6=(2x-3)(3x-2) 7.x 4-3x 2-4=(x 2+1)(x+2)(x-2) 8. 3x 4+6x 2-9= (x 2-3)（3x 2+3） 9. x 2-2xy-35y 2=（x-7）(x+5) 10. a 2-5ab-24b 2= (a+3)(a-8) 11.5x 2+4xy-28y 2=(5x+14y)(x-2y) 三．综合训练 1. 2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)23499100- ---- 2. 997 2– 9 = 101/1x2x3x …x100 =994000 3. 20062005222...221------20072 = 1 4. 若22(4)25x a x +++是完全平方式，求a 的值。 a=1或-9
【知识重点】七年级下因式分解及答案练习题B
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于 （）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是 （）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24
C．12 D．±12 6．把多项式an+4－an+1分解得 （）A．an(a4－a) B．an-1(a3－1) C．an+1(a－1)(a2－a＋1) D．an+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为 （）A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为 （）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得 （）A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得 （）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)