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因式分解
序号 公式记忆特征 1 x 2
+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) 2
+(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法） (1) 常数项两数积 (2) 一次项系数两数和 (3) 二次项系数为1
2
a 2-
b 2-b
2 = (a-b)(a+b) （平方差公式）
2 2 a +2ab+b = (a+b)
2
3
a 2-2ab+
b 2
-2ab+b 2 = (a-b) 2
（完全平方公式） 4
a 2+
b 2+
c 2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)
2+b 2+c 2
+2ab+2ac+2bc = (a+b+c)
（完全平方公式扩展）
2
(1) 三数平方和 (2) 两两积的 2 倍
a 3+3a 2b+3a
b 2+b 3 = (a+b) 3
+3a 2b+3ab 2+b 3 = (a+b)
3
5
a 3-3a 3
-3a
2b-3ab 2+b 3 = (a-b) 3
对照完全平方公式相互加强记忆
（完全立方公式）
(1) 近似完全平方公式
6
a 3+
b 3 = (a+b)(a 3+b 3
= (a+b)(a a 3-b 3-b
3 = (a-b)(a
2-ab+b 2) 2+ab+b 2) (2) 缺项之完全立方公式
(a+b)[(a+b)
2-3ab]=(a+b) 3
-3ab(a+b)
(a-b)[(a+b)
2+3ab]=(a-b) 3+3ab(a+b) 7 a 3+b 3+c 3-3abc = (a+b+c)(a 3+b 3+c 3
-3abc = (a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc)对照公式 4 相互加强记忆
(1) 短差长和；
8
a n -
b n -b
n
= (a-b)(a
n-1
+a n-2b+a n-3 b 2+? +ab n-2 +b n-1 ) n= 整数
（平方差公式扩展）
(2) a 指数逐项递减 1；
(3) b 指数逐项递增 1；
(4)长式每项指数和恒等于 n-1 。
(1) 短式变加长式加减相间；
9
a n -b
n -b
n
= (a+b)(a
n-1
-a
（立方差公式扩展）
n-2b+a n-3 b 2- ?
+ab n-2 -b n -1 ) n= 偶数 (2) a 指数逐项递减 1； (3) b 指数逐项递增 1；
(4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。
10 a n +b n = (a+b)(a n +b n
= (a+b)(a
n-1
-a
（立方和公式扩展）
n-2b+a n-3 b 2- ?
+ab n-2 -b n -1 ) n= 奇数 对比公式 9 的异同
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x 5n-1y n+4x3n-1 y n+2-2x n-1y n+4；(2)x 3-8y 3-z 3-6xyz ；
解(1) 原式=-2x n-1y n(x 4n-2x 2ny2+y4)
=-2x n-1 y n[(x 2n)2-2x 2ny2+(y 2) 2]
=-2x n-1 y n(x 2n-y 2)
2
=-2x n-1 y n(x n-y) 2(x n+y) 2．
(2) 原式=x 3+(-2y)
3+(-z) 3-3x(-2y)(-Z)
3+(-2y)
=(x-2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) ．
例2 分解因式：a
3+b3+c3-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6) ．
分析我们已经知道公式
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b
3
的正确性，现将此公式变形为
a
3-3ab(a+b) ．
3+b3=(a+b)
3+b3=(a+b)
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c 3-3abc
= ［(a+b)3+c 3］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c) ［(a+b) 2-c(a+b)+c 2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca) ．
说明公式(6) 是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公
式(6)变形为
a
3+b3+c3-3abc
3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3- 3abc≥0，即a3+b3+c
3 显然，当a+b+c=0时，则a
≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a
3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
※※变式练习
1 分解因式：x
15+x14+x13+?+x2+x+1．
分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x
15 开始，x 的次数顺次递减至0，由
此想到应用公式a n-b
n来分解．
n-b
解因为
x 16-1=(x-1)(x
15+x1 4+x13+?x2+x+1)，
16-1=(x-1)(x
所以
说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1) ，再除以(x-1) 的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例 3 分解因式：x 3-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8 拆成-1+9．
原式=x 3-9x-1+9
=(x 3-1)-9x+9
=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8) ．
解法2 将一次项-9x 拆成-x-8x ．
原式=x 3-x-8x+8
=(x 3-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8) ．
解法3 将三次项x 3 拆成9x3-8x
3．
3 拆成9x3-8x
原式=9x 3-8x
3-9x+8
3-8x
=(9x 3-9x)+(-8x 3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)
=(x-1)(x 2+x-8) ．
解法4 添加两项-x 2+x2．
．
原式=x 3-9x+8
=x 3-x
2+x2-9x+8
3-x
=x 2(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x 2+x-8) ．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
※※变式练习
1 分解因式：
(1)x 9+x6+x3-3 ；
(2)(m 2- 1)(n 2-1)+4mn；
(3)(x+1) 4+(x 2-1) 2+(x-1) 4；
(4)a 3b-ab3+a2+b2+1．
解(1) 将-3 拆成-1-1-1 ．
原式=x 9+x6+x3-1-1-1
=(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)
=(x 3-1)(x 6+x3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1)
=(x 3-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3)．
(2) 将4mn拆成2mn+2m．n
原式=(m 2-1)(n
2-1)+2mn+2mn
2-1)(n
=m 2n2-m2-n
2+1+2mn+2mn
2n2-m2-n
=(m 2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)
2
=(mn+1) 2-(m-n)
2-(m-n)
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3) 将(x 2-1) 2 拆成2(x 2-1) 2-(x 2- 1)2．
原式=(x+1) 4+2(x 2-1) 2-(x 2- 1) 2+(x-1)
4
=［(x+1) 4+2(x+1) 2(x-1) 2+(x-1) 4]-(x 2-1)
2
=［(x+1) 2+(x-1) 2] 2-(x 2-1)
2
=(2x 2+2)2- (x 2-1) 2=(3x2+1)(x 2+3)．
(4) 添加两项+ab-ab．
原式=a 3b-ab
3+a2+b2+1+ab-ab
3b-ab
=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b 2+1)
=a(a-b) ［b(a+b)+1]+(ab+b 2+1)
=[a(a-b)+1](ab+b 2+1)
=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1)．
说明(4) 是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加
+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到
拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例 4 分解因式：(x 2+x+1)(x 2+x+2)-12 ．
分析将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x 2+x 看作一
个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了．
解设x 2+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y 2+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)
=(x-1)(x+2)(x 2+x+5)．
说明本题也可将x 2+x+1看作一个整体，比如今x2+x+1=u，一样可以得到同样的结果，
有兴趣的同学不妨试一试．
例 5 分解因式：
(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 ．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2)-90 ．
令y=2x 2+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y 2+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)
=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x-1) ．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y) 的基础．
※※变式练习
1. 分解因式：
(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x2．
解设x 2+4x+8=y，则
原式=y 2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)
=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x 2+5x+8)．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二次六项式
(ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f) ，我们也可以用十字相乘法分解因式．
例如，分解因式2x 2-7xy-22y
2-5x+35y-3 ．我们将上式按x 降幂排列，并把y 当作常数，
2-7xy-22y
于是上式可变形为
2x 2-(5+7y)x-(22y
2-35y+3) ，
2-(5+7y)x-(22y
可以看作是关于x 的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为
即：-22y 2+35y-3=(2y-3)(-11y+1) ．
再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解
所以，原式=［x+(2y-3) ］［2x+(-11y+1) ］
=(x+2y-3)(2x-11y+1) ．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x 2-7xy-22y 2 ；
(x-3)(2x+1)=2x 2-5x-3 ；
(2y-3)(-11y+1)=-22y 2+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
用双十字相乘法对多项式ax 2+bxy+cy2+dx+ey+f 进行因式分解的步骤是：
(1) 用十字相乘法分解ax ，得到一个十字相乘图( 有两列) ； 2+bxy+cy2
(2) 把常数项f 分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第三列构成的十字交叉之积的
和等于原式中的ey，第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例 1 分解因式：
(1)x 2-3xy-10y 2+x+9y-2；
(2)x 2-y 2+5x+3y+4；
(3)xy+y 2+x-y-2 ；
(4)6x 2- 7xy-3y 2-xz+7yz-2z 2．
解(1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1) ．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4) ．
(3) 原式中缺x 2项，可把这一项的系数看成0 来分解．
原式=(y+1)(x+y-2) ．
(4)
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z) ．
说明(4) 中有三个字母，解法仍与前面的类似．
2．求根法
我们把形如a
n x n-1x 1x+a0(n为非负整数) 的代数式称为关于x 的一元多项式，并 n+a n-1 +?+a 用f(x) ，g(x) ，?等记号表示，如
f(x)=x 2-3x+2，g(x)=x 5+x2+6，?，
当x=a时，多项式f(x) 的值用f(a) 表示．如对上面的多项式f(x)
f(1)=1 2-3×1+2=0；
f(-2)=(-2) 2-3×(-2)+2=12 ．
若f(a)=0 ，则称a为多项式f(x) 的一个根．
定理1( 因式定理) 若a 是一元多项式f(x) 的根，即f(a)=0 成立，则多项式f(x) 有一个
因式x-a ．
根据因式定理，找出一元多项式f(x) 的一次因式的关键是求多项式f(x) 的根．对于任意多项式f(x) 要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x) 的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p 是a0 的约数，q 是a n 的约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)
的约数．
的整数根均为a
n
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x 3-4x
2+6x-4．
3-4x
分析这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4 的约数，逐个检验-4 的约数：±1，±2，±4，只有
f(2)=2 3-4×22+6×2-4=0，
即x=2 是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2 ．
解法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2) ．
原式=(x 3-2x 2)-(2x 2-4x)+(2x-4)
=x 2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x 2-2x+2) ．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2) ，
所以
原式=(x-2)(x 2-2x+2) ．
说明在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4 的约数，反之不成立，即-4 的约数不一定是多项式的根．因此，必须对-4 的约数逐个代入多项式进行验证．
※※变式练习
1. 分解因式：9x 4-3x
3+7x2-3x-2 ．
4-3x
分析因为9 的约数有±1，±3，±9；-2 的约数有±1，±
为：
所以，原式有因式9x 2-3x-2 ．
解9x 4-3x 3+7x2-3x-2
=9x 4-3x
3-2x 2+9x2-3x-2
4-3x
=x 2(9x
3-3x-2)+9x 2-3x-2
2(9x
=(9x 2-3x-2)(x 2+1)
=(3x+1)(3x-2)(x 2+1)
说明若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x 2-3x-2 ，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x) ，如果能找到一个一次因式(x-a) ，那么f(x) 就可以分解
为(x-a)g(x) ，而g(x) 是比f(x) 低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x) 进
行分解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程( 或方程组) ，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．
例 3 分解因式：x 2+3xy+2y2+4x+5y+3．
分析由于
(x 2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y) ，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n 的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．
解设
x 2+3xy+2y2+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x 2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1) ．
说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
※※变式练习
1. 分解因式：x 4-2x
3-27x 2-44x+7．
4-2x
分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7 的约数) ，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)的形式．
解设
原式=(x 2+ax+b)(x 2+cx+d)
=x 4+(a+c)x
3+(b+d+ac)x 2+(ad+bc)x+bd ，
4+(a+c)x
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7 有
所以
原式=(x 2-7x+1)(x 2+5x+7)．
说明由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7 等可以不加以考虑．本题如果b=1，
d=7 代入方程组后，无法确定a，c 的值，就必须将bd=7 的其他解代入方程组，直到求出待定系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．
四、巩固练习：
1. 分解因式：(x 2+xy+y2)-4xy(x 2+y2) ．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式=[(x+y) 2-xy] 2-4xy[(x+y) 2-2xy] ．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u 2-v) 2-4v(u 2-2v)
4-6u2v+9v
2
=u
=(u 2-3v)
2
=(x 2+2xy+y2-3xy)
2
=(x 2-xy+y 2) 2 ．
五、真题精解：
1）已知多项式ax
3+bx2+cx+d 除以x-1 时的余数是1，除以x-2 时的余数是3，那么，它除以(x-1)(x-2) 时所得的余数是什么（第12 届“希望杯”试题）
解：设原式=(x-1)(x-2)(ax+k)+(mx+n) ，当x=1 时，原式=1，即m+n=1；当x=2 时，原式=3，即2m+n=3，解此关于m、n 的方程组得m=2,n=-1 ，故原式除以(x-1)(x-2) 时的余数为x-1
2）k 为何值时，多项式x 2-2xy+ky
2+3x-5y+2 能分解成两个一次因式的积（天津市竞赛试题）
2-2xy+ky
解：原式中不含y 的项为x
2+3x+2 可分解为(x+1)(x+2) ，故可设原式=[(x+1)+ay][(x+2)+by] ，将其展开
得：
x 2+(a+b)xy+aby
2+3x+(2a+b)y+2 ，与原式对比系数得：a+b=-2, ab=k, 2a+b=-5 ，解之得a=-3,b=1,k=-3 2+(a+b)xy+aby
3）如果x
3+ax2+bx+8 有两个因式x+1 和x+2，求a+b 的值。（美国犹他州中学竞赛试题）
解法1：设原式=(x+1)(x+2)(x+k) ，展开后得：x 3+(3+k)x
2+(3k+2)x+2k ，对比原式系数得a=3+k, b=3k+2,
3+(3+k)x
8=2k，
所以a+b=4k+5=16+5=21
解法2：因当x=-1 或x=-2 时，原式=0，分别代入后得a-b+8=0, 4a-2b+8=0 ，解得a=7, b=14 ，故a+b=14
真题实练：
1．下列四个从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A. (x+1)(x-1)=x 2
B. (a-b)(m-n)=(b-a)(n-m)
C. ab-a-b+1=(a-1)(b-1)
D. m2-2m-3=m(m-2-3/m)
（第8 届“希望杯”试题）（提示：本题简单，因式分解的概念）
2．下列五个多项式中在有理数范围可以进行因式分解的有（）
①a2b2-a2-b2-1 ②x 3-9ax
3-9ax 2 +27a2x-27a
3
③x(b+c-d)-y(d-b-c)-2c+2d-2b
④3m(m-n)+6n(n-m) ⑤(x-2) 2+4x
A. ①②③
B. ②③④
C. ③④⑤
D. ①②④
（第10 届“希望杯”试题）（提示：立方差公式、提取公因式，但排除法最快）
3．设b≠c，且满足( )(a-b)+ (b-c)=a-c ，则的值（）
A. 大于零
B. 等于零
C. 小于零
D. 正负号不确定
（第12 届“希望杯”试题）（提示：按(a-b) 和(b-c) 重新整理分组合并）
4．已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
（第7 届“希望杯”试题）（提示：对-12 以十字相乘法拆分穷举）
5．y-2x+1 是4xy-4x 2-y 2-k 的一个因式，则k 的值是（）
A. 0
B. -1
C. 2
D. 4
（第14 届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
6．将多项式x 2-4y
2-4y
2-9z 2-12yz 因式分解结果是（）
A. (x+2y-3z)(x-2y-3z)
B. (x-2y-3z)(x-2y+3z)
C. (x+2y+3z)(x+2y-3z)
D. (x+2y+3z)(x-2y-3z)
（第9 届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
7．分解因式：x 2-4y
2-4y
2-9z 2-12yz= 。
（第9 届“希望杯”试题）（提示：完全平方+平方差）
8．分解因式：x 5+x-1= 。
（第9 届“希望杯”试题）（提示：添项+立方和）
9．x 3+3x2-3x+k 有一个因式是x+1，则k= 。
（第10 届“希望杯”试题）（提示：分组成每项都含x+1）
10．分解因式：xy-1-x+y= 。
（第10 届“希望杯”试题）（提示：分组提取公因式）
因式分解培优练习题及答案
因式分解专题过关 1．将下列各式分解因式 22+8x+8 2x2）（（1）3p﹣6pq 2．将下列各式分解因式 3322．﹣6a b+3ab2 （）3a ）（1x y﹣xy ．分解因式32 22222）﹣4x y）﹣）1（）a（x﹣y+16（yx）（2（x+y 4．分解因式：22（ 2 2x（1）﹣x ）16x﹣1 3 2 2 2 （）yx+9yx4+12﹣﹣6xy3（）9xyy4）（﹣）（﹣ 5．因式分解：2 223﹣2am1（）8a y+xy+4x4x）2（ ．将下列各式分解因式：6． 322222 yx﹣+y4x）（2）（1（）3x﹣12x 223 22 y﹣2xy）+y﹣2）（x+2y（7．因式分解：（1）xy 8．对下列代数式分解因式： 2（m﹣2）﹣n（2﹣m）（2）（x﹣1）（（1）nx﹣3）+1
2222﹣ba2a+1 ﹣a10﹣4a+4﹣b．分解因式：．分解因式：9 11．把下列各式分解因式： 42422 a﹣2）x+2ax+1+x （x﹣7x +1 （1） 22242432+2x+1 x+3x+2x （4（1﹣y+x））（1﹣y）1+y（3）（）2x﹣ 12．把下列各式分解因式： 32222224445+x+1；x ） b +2ac（+2bc3﹣a﹣b﹣c ；2a2 ；4x1（）﹣31x+15 （） 32432．a+2﹣6a﹣a﹣2a）5（；9﹣+3x+5xx）4（． 2﹣6pq=3p（p﹣2q1）3p），解答：解：（222．（x+2x）+4x+4），=2（2）2x+8x+8，=2（ 2．将下列各式分解因式 3322．6a （2）3ab+3ab﹣（1）x y﹣xy 分析：（1）首先提取公因式xy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3a，再利用完全平方公式进行二次分解即可． 2﹣1）=xy（x+1）（x﹣解：（1）原式=xy（x1）；解答：222．﹣b））=3a（（2）原式=3a（aa﹣2ab+b 3．分解因式 222222．）y﹣（2）（x4x+y﹣y）+16（y﹣x）；（1）a （x 22﹣16），=（x﹣y）（a+4）（a﹣4（）+16y﹣x），=（x﹣y）（a）；解答：解：（1）a （x﹣y22222222222．）（x﹣2xy+y），﹣4x=y（，=（xx+y+2xy+y））（（2）（xx+yy）﹣ 4．分解因式： 222232．）（x﹣y4+12（x﹣）6xyy﹣9x）y﹣y+9；（4（1）2x16x﹣x；（2））﹣1；（3 2﹣x=x（2x﹣1（1）2x）；解答：解：2﹣1=（4x+1）（16x4x﹣1）；（2）223222；﹣y），）=﹣yy，=﹣y（9x（﹣6xy+y（3）6xy3x﹣9xy﹣222．﹣3y+2），=（3x﹣y）﹣，=[2+3（xy）]（（4）4+12x﹣y）+9（x 5．因式分解： 2322 y+xy+4x （2）4x （1）2am ﹣8a； 22﹣4）=2a（m+2）（8a=2a（mm﹣2）；解答：解：（1）2am﹣322222．），=x4x，=x（（+4xy+y （2）4x2x+y+4x）y+xy 6．将下列各式分解因式： 322222．y（x﹣+y4x）（2）（1）3x﹣12x 32）=3x（1+2x）（1﹣2x）1（）3x﹣12x；=3x（1﹣4x 解答：解：22222222222．）y （x+y﹣﹣2xy）（x）+y）=﹣4x（y（=xx+y+yx+2xy）（）（2
因式分解专项练习题(含答案)
因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 （1）3ｐ2﹣６pｑ（2)2x2+8x+8 2．将下列各式分解因式 （1）x３y﹣ｘｙ（2）3ａ3﹣6ａ２b+3ａb２． 3.分解因式 (１)a２（x﹣y）+16(ｙ﹣x）（2）(x２＋y2)２﹣4x２ｙ2 4.分解因式: （1)2x2﹣x （2）16x2﹣1 (3）6xｙ2﹣９x2y﹣y3(4)4+12(x﹣y）+9（x﹣ｙ)2 ５．因式分解： （１)2am2﹣8ａ（２)4ｘ3＋4x2y+xy2 6．将下列各式分解因式： （1）3x﹣1２x3（2)（x2+y2）2﹣4ｘ２y２ ７．因式分解：（1)ｘ２y﹣2xｙ２+y3 （2)（x＋2y)2﹣y2 8.对下列代数式分解因式： （1)n2(ｍ﹣２)﹣n（2﹣m）（２)（x﹣1)(x﹣3）+1 9．分解因式：ａ2﹣4a＋4﹣b2 10．分解因式：ａ2﹣b２﹣2a＋1 11．把下列各式分解因式： (1）x４﹣７x2+1（2)x４＋x2+2ａx＋1﹣a2
(3)（1＋ｙ）2﹣2x２(１﹣y2)+x4(１﹣y）2(４）x4＋2x３+3x2+2x+1 12.把下列各式分解因式： （１)4x３﹣３1x+15；(2）2a２b2＋2ａ2c２+２b2ｃ2﹣a4﹣ｂ４﹣c4; （３)ｘ5+x+1; （４）x３+5x2+3ｘ﹣９;(5)2a4﹣a３﹣6a2﹣a+２. 因式分解专题过关 1.将下列各式分解因式 (1）3p2﹣6pq;（２）2ｘ2＋8x＋8 分析：（１)提取公因式3p整理即可； (2）先提取公因式2，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 解答:解：(1)3p２﹣6pq=3p(p﹣2ｑ)， (2）2x2+8ｘ+8,=2(x2+4x+4），＝２(x＋2）2. 2．将下列各式分解因式 （１）x3y﹣xy （2)3a3﹣6a2b+3ab2. 分析:(1)首先提取公因式ｘy，再利用平方差公式进行二次分解即可； （2）首先提取公因式3ａ,再利用完全平方公式进行二次分解即可. 解答:解:(１)原式=xy(x2﹣１）=xy(x＋1)（x﹣1）; (２）原式=3a(a2﹣２ａｂ+b2)=3a（a﹣b)2. 3．分解因式 （1）a2(x﹣y)＋１6(y﹣x)；（2)（ｘ2+ｙ2)2﹣４x2y2．
因式分解基础测试题含答案
因式分解基础测试题含答案 一、选择题 1．下列分解因式正确的是（ ） A ．24(4)x x x x -+=-+ B ．2()x xy x x x y ++=+ C ．2()()()x x y y y x x y -+-=- D ．244(2)(2)x x x x -+=+- 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底． 【详解】A. ()244x x x x -+=-- ，故A 选项错误； B. ()2 1x xy x x x y ++=++，故B 选项错误； C. ()()()2 x x y y y x x y -+-=- ，故C 选项正确； D. 244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误， 故选C. 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底． 2．下列各式中，由等式的左边到右边的变形是因式分解的是( ) A ．(x ＋3)(x －3)＝x 2－9 B ．x 2＋x －5＝(x －2)(x ＋3)＋1 C ．a 2b ＋ab 2＝ab(a ＋b) D ．x 2＋1＝x 1()x x + 【答案】C 【解析】 【分析】 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案． 【详解】 A 、是整式的乘法，故A 错误； B 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B 错误； C 、把一个多项式转化成了几个整式积的形式，故C 正确； D 、没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D 错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了因式分解，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式． 3．下列各式分解因式正确的是（ ） A ．22()()()(1)a b a b a b a b +-+=++- B ．236(36)x xy x x x y --=-
(完整版)因式分解测试题(含答案)
八年级上册因式分解测试题（满分：120分，时间：60分钟） 题号一、填 空题 二、计 算题 三、简 答题 四、选 择题 总 分 得分 一、填空题 （每空2分，共24分） 1、已知 xy>0，且x2－2xy－3y2＝0，则＝． 2、分解因式= ，。 3、分解因式：a3－a＝． 4、阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。 例如：（1）， （2）。 试用上述方法分解因式。 5、分解因式=_______________． 6、计算；分解因式：= ； 7、计算；分解因式：= ； 8、分解因式： = ． 9、分解因式：16x2﹣4y2= ． 10、因式分解：2m2n﹣8mn+8n= ． 11、设有n个数x1，x2，…x n，其中每个数都可能取0，1，－2这三个数中的一个，且满足下列等式：x1＋x2＋…＋x n ＝0，x12＋x22＋…＋x n2＝12，则x13＋x23＋…＋x n3的值是． 二、计算题 （12、13、14题各3分，15题5分，共14分） 12、因式分解 13、因式分解 14、分解因式： 15、因式分解 评卷人得分 评卷人得分
三、简答题16题10分，17、18、19、20题各15分，共70分） 16、先因式分解在求值 17、在学习因式分解时，我们学习了“提公因式法”和“公式法”，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢？这时，我们可以采用下面的办法： －－ －－ －－ ② －－ －－ －－ ① ＝ ＝ ＝； ＝． 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中,运用了（选填一项:“分类、转化、数形结合、方程”）的思想方法, 使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束,请在横线上继续完成因式分解过程； （3）请用上述方法因式分解． 18、阅读下列材料解决问题： 将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系． ∵用间接法表示大长方形 的面积为:x2+px+qx+pq， 用直接法表示面积为: （x+p）（x+q） ∴x2+px+qx+pq=（x+p） （x+q） ∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+(p+q )x+pq=（x+p）（x+q） （1）运用公式将下列多项式分解因式： ①x2＋6x+8 ②y2+7y-18 （2）如果二次三项式“a2+□ab+□b2”中的“□”只能填入有理数2、3、4(两个“□”内数字可以相同)，并且填 入后的二次三项式能进行因式分解，请你写出所有的二次三项式及因式分解的结果． 19、若x＋y＝3，且(x＋2)（y＋2）＝12． (1)求xy的值； (2)求x2＋3xy＋y2的值． 20、我们对多项式进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有： 评卷人得分
中考试题分类因式分解(含答案)
一、选择题 1.(2008安徽)下列多项式中，能用公式法分解因式的是（） A．B．C．D． 答案：C 2. (2008宁夏)下列分解因式正确的是（） A．B． C．D． 答案：C 3. （08绵阳市）若关于x的多项式x2－px－6含有因式x－3，则实数p的值为（）． A．－5 B．5 C．－1 D．1 答案：A 4. (2008 台湾)有两个多项式M=2x2＋3x＋1，N=4x2－4x－3，则下列哪一个为M与N的 公因式( ) C (A) x＋1 (B) x－1 (C) 2x＋1 (D) 2x－1 答案：C 5. （08赤峰）把分解因式得：，则的值为（） A．2 B．3 C．D． 答案：A 二.填空题 1.（2008年四川省宜宾市）因式分解：3y2-27= . 答案： 2.（2008年浙江省衢州市）分解因式： 答案： 3.(08浙江温州)分解因式：． 答案：
4．(08山东日照)分解因式:=____________． 答案： 6、(2008浙江义乌)因式分解：．. 答案： 7（2008浙江金华）、如果x+y=-4，x-y=8，那么代数式的值是cm。 答案：－32； 8.(2008浙江宁波) 分解因式． 答案： 9.（2008山东威海）分解因式＝． 答案： 10.（2008年山东省滨州市）分解因式：(2a+b)2-8ab=_______________. 答案： 11.（2008年山东省临沂市）分解因式：＝___________. 答案：a（3＋a）（3－a） 12.（2008年山东省潍坊市）分解因式x3+6x2-27x=________________. 答案：. x(x-3)(x+9) 13.(2008年辽宁省十二市)分解因式：． 答案： 14.(2008年浙江省绍兴市)分解因式 答案： 15.(2008年沈阳市)分解因式：． 答案： 16.（2008年四川巴中市）把多项式分解因式，结果为．
因式分解含答案
因式分解 一、导入： 有两个人相约到山上去寻找精美的石头，甲背了满满的一筐，乙的筐里只有一个他认为是最精美的石头。甲就笑乙：“你为什么只挑一个啊?”乙说：“漂亮的石头虽然多，但我只选一个最精美的就够了。”甲笑而不语，下山的路上，甲感到负担越来越重，最后不得已不断地从一筐的石头中挑一个最差的扔下，到下山的时候他的筐里结果只剩下一个石头! 启示：人生中会有许多的东西，值得留恋，有的时候你应该学会去放弃。 二、知识点回顾： 1．运用公式法 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1)a2-b2=(a+b)(a-b)； (2)a2±2ab+b2=(a±b)2； (3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充几个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； (7)a n-b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+…+ab n-2+b n-1)其中n为正整数； (8)a n-b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…+ab n-2-b n-1)，其中n为偶数； (9)a n+b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-…-ab n-2+b n-1)，其中n为奇数． 运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．三、专题讲解 例1 分解因式： (1)-2x5n-1y n+4x3n-1y n+2-2x n-1y n+4； (2)x3-8y3-z3-6xyz； 解 (1)原式=-2x n-1y n(x4n-2x2ny2+y4) =-2x n-1y n[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2] =-2x n-1y n(x2n-y2)2 =-2x n-1y n(x n-y)2(x n+y)2． (2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)． 例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc． 本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
(完整版)因式分解练习题(计算)[含答案]
因式分解练习题（计算）一、因式分解： 1．m2(p－q)－p＋q； 2．a(ab＋bc＋ac)－abc； 3．x4－2y4－2x3y＋xy3； 4．abc(a2＋b2＋c2)－a3bc＋2ab2c2； 5．a2(b－c)＋b2(c－a)＋c2(a－b)； 6．(x2－2x)2＋2x(x－2)＋1； 7．(x－y)2＋12(y－x)z＋36z2； 8．x2－4ax＋8ab－4b2； 9．(ax＋by)2＋(ay－bx)2＋2(ax＋by)(ay－bx)；10．(1－a2)(1－b2)－(a2－1)2(b2－1)2； 11．(x＋1)2－9(x－1)2； 12．4a2b2－(a2＋b2－c2)2； 13．ab2－ac2＋4ac－4a； 14．x3n＋y3n； 15．(x＋y)3＋125； 16．(3m－2n)3＋(3m＋2n)3； 17．x6(x2－y2)＋y6(y2－x2)； 18．8(x＋y)3＋1； 19．(a＋b＋c)3－a3－b3－c3； 20．x2＋4xy＋3y2； 21．x2＋18x－144；
22．x4＋2x2－8； 23．－m4＋18m2－17； 24．x5－2x3－8x； 25．x8＋19x5－216x2； 26．(x2－7x)2＋10(x2－7x)－24； 27．5＋7(a＋1)－6(a＋1)2； 28．(x2＋x)(x2＋x－1)－2； 29．x2＋y2－x2y2－4xy－1； 30．(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)－48； 31．x2－y2－x－y； 32．ax2－bx2－bx＋ax－3a＋3b； 33．m4＋m2＋1； 34．a2－b2＋2ac＋c2； 35．a3－ab2＋a－b； 36．625b4－(a－b)4； 37．x6－y6＋3x2y4－3x4y2； 38．x2＋4xy＋4y2－2x－4y－35； 39．m2－a2＋4ab－4b2； 40．5m－5n－m2＋2mn－n2． 二、证明(求值)： 1．已知a＋b=0，求a3－2b3＋a2b－2ab2的值． 2．求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数．3．证明：(ac－bd)2＋(bc＋ad)2=(a2＋b2)(c2＋d2)．
2018版中考数学：因式分解(含答案)
§1、3因式分解 A组 一、选择题 1.(2015·四川宜宾,5,3分)把代数式3x3－12x2＋12x分解因式,结果正确得就是 () A.3x(x2－4x＋4) B.3x(x－4)2 C.3x(x＋2)(x－2) D.3x(x－2)2 解析先提公因式3x再用公式法分解:3x3－12x2＋12x＝3x(x2－4x＋4)＝3x(x －2)2,故D正确. 答案 D 2.(2015·山东临沂,5,3分)多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1得公因式就是() A.x－1 B.x＋1 C.x2－1 D.(x－1)2 解析mx2－m＝m(x－1)(x＋1),x2－2x＋1＝(x－1)2,多项式mx2－m与多项式x2－2x＋1得公因式就是(x－1).答案 A 3.(2015·华师一附中自主招生,7,3分)已知a,b,c分别就是△ABC得三边长,且满足 2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2,则△ABC就是 () A.等腰三角形 B.等腰直角三角形 C.直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析∵2a4＋2b4＋c4＝2a2c2＋2b2c2, ∴4a4－4a2c2＋c4＋4b4－4b2c2＋c4＝0,∴(2a2－c2)2＋(2b2－c2)2＝0,∴2a2－c2＝0,2b2－c2＝0,∴c＝2a,c＝2b,∴a＝b,且a2＋b2＝c2、∴△ABC为等腰直角三角形. 答案 B 二、填空题 4.(2015·浙江温州,11,5分)分解因式:a2－2a＋1＝________.
解析利用完全平方公式进行分解. 答案(a－1)2 5.(2015·浙江杭州,12,4分)分解因式:m3n－4mn＝________. 解析m3n－4mn＝mn(m2－4)＝mn(m＋2)(m－2). 答案mn(m＋2)(m－2) 6.(2015·山东济宁,12,3分)分解因式:12x2－3y2＝________. 解析12x2－3y2＝3(2x＋y)(2x－y). 答案3(2x＋y)(2x－y) 7.(2015·湖北孝感,12,3分)分解因式:(a－b)2－4b2＝________、 解析(a－b)2－4b2＝(a－b＋2b)(a－b－2b)＝(a＋b)(a－3b). 答案(a＋b)(a－3b) 8.(2015·四川泸州,13,3分)分解因式:2m2－2＝________. 解析2m2－2＝2(m2－1)＝2(m＋1)(m－1). 答案2(m＋1)(m－1) 三、解答题 9.(2015·江苏宿豫区,19,6分)因式分解:(1)x4－81; (2)6a(1－b)2－2(b－1)2、 解(1)x4－81＝(x2＋9)(x2－9) ＝(x2＋9)(x＋3)(x－3); (2)6a(1－b)2－2(b－1)2＝2(1－b)2(3a－1). B组 一、选择题 1.(2014·湖南岳阳,7,3分)下列因式分解正确得就是 () A.x2－y2＝(x－y)2 B.a2＋a＋1＝(a＋1)2 C.xy－x＝x(y－1) D.2x＋y＝2(x＋y) 解析A中,由平方差公式可得x2－y2＝(x＋y)(x－y),故A错误;B中,左边不符合完全平方公式,不能分解;C中,由提公因式法可知C正确;D中,左边两项没有
因式分解单元测试题(含答案)共两套
第一章 因式分解单元测试题 一、选择题：（每小题3分，共18分） 1、下列运算中，正确的是( ) A 、x 2·x 3=x 6 B 、(a b)3=a 3b 3 C 、3a +2a =5a 2 D 、（x3）2= x 5 2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A 、29)3)(3(x x x -=+- B 、))((2233n mn m n m n m ++-=- C 、)1)(3()3)(1(+--=-+y y y y D 、z yz z y z z y yz +-=+-)2(2242 3、下列各式是完全平方式的是（ ） A 、4 12 + -x x B 、2 41x + C 、2 2b ab a ++ D 、122 -+x x 4、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ ） A 、22)(b a -+ B 、mn m 2052- C 、22y x -- D 、92 +-x 5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ） A 、–3 B 、3 C 、0 D 、1 6、一个正方形的边长增加了cm 2，面积相应增加了232cm ，则这个正方形的边长为（ ） A 、6cm B 、5cm C 、8cm D 、7cm 二、填空题：（每小题3分，共18分） 7、 在实数范围内分解因式=-62 a 。 8、当x ___________时，()0 4-x 等于1； 9、() 2008 2009 2 1.53??-?= ??? ___________。 10、若3x = 21，3y =3 2，则3x － y 等于 。 11、若2 2 916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。 12、绕地球运动的是7.9×103米/秒，则卫星绕地球运行8×105秒走过的路程是 。 三、因式分解：（每小题5分，共20分） 13、)(3)(2x y b y x a --- 14、y xy y x 3522 +-- 15、2x 2y －8xy ＋8y 16、a 2(x －y)－4b 2(x －y)
因式分解习题(含答案)(李老师)
因式分解习题(含答案)(李老师)
因式分解 【基础能力训练】 一、因式分解 1．下列变形属于分解因式的是（） A．2x2－4x+1=2x（x－2）+1 B．m （a+b+c）=ma+mb+mc C．x2－y2=（x+y）（x－y）D．（m －n）（b+a）=（b+a）（m－n） 2．计算（m+4）（m－4）的结果，正确的是（）A．m2－4 B．m2+16 C．m2－16 D．m2+4 3．分解因式mx+my+mz=（） A．m（x+y）+mz B．m（x+y+z）C．m （x+y－z）D．m3abc 4．20052－2005一定能被（）整除 A．2 008 B．2 004 C．2 006 D．2 009 5．下列分解因式正确的是（）
A．ax+xb+x=x（a+b）B．a2+ab+b2=（a+b）2 C．a2+5a－24=（a－3）（a－8）D．a（a+ab）+b（1+b）=a2b（1+b） 6．已知多项式2x2+bx+c分解因式为2（x－3）（x+1），则b，c的值是（） A．b=3，c=1 B．b=－c，c=2 C．b=－c，c=－4 D．b=－4，c=－6 7．请写出一个二次多项式，再将其分解因式，其结果为______． 8．计算：21× 3.14+62× 3.14+17× 3.14=_________． 二、提公因式法 9．多项式3a2b3c+4a5b2+6a3bc2的各项的公因式是（） A．a2b B．12a5b3c2C．12a2bc D．a2b2 10．把多项式m2（x－y）+m（y－x）分解因式等于（）
A．（x－y）（m2+n）B．（x－y）（m2－m） C．m（x－y）（m－1）D．m（x－y）（m+1） 11．（－2）2001+（－2）2002等于（） A．－22001B．－22002C．22001 D．－2 12．－ab（a－b）2+a（b－a）2－ac（a－b）2的公因式是（） A．－a（a－b）B．（a－b）2C．－a（a－b）（b－1）D．－a（a－b）2 13．观察下列各式： （1）abx－cdy （2）3x2y+6y2x （3）4a3－3a2+2a－1 （4）（x－3）2+（3x－9）（5）a2（x+y）（x－y）+12（y－x）（6）－m2n（x－y）n+mn2（x－y）n+1 其中可以直接用提公因式法分解因式的有（） A．（1）（3）（5）B．（2）（4）（5）
因式分解(含答案)
因式分解 1. 通过基本思路达到分解多项式的目的 例1. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把x x 54-，x x 32-，x -1分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解一：原式=-+--+()()x x x x x 54321 =-+--+=--+=--+++x x x x x x x x x x x x x 32232221111111()() ()() ()()() 解二：原式=()()()x x x x x 54321-+-+- =-+-+-=-++=-++-=--+++2x x x x x x x x x x x x x x x x x 4244222211111121111()()() ()() ()[()] ()()() 2. 通过变形达到分解的目的 例1. 分解因式x x 3234+- 解一：将32x 拆成222x x +，则有 原式=++-=+++-=++-=-+x x x x x x x x x x x x 322222242222212() ()()() ()() ()() 解二：将常数-4拆成--13，则有 原式=-+-=-+++-+=-++=-+x x x x x x x x x x x x 322221331113314412() ()()()() ()() ()() 3. 在证明题中的应用
例：求证：多项式()()x x x 2241021100--++的值一定是非负数 分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要变形成完全平方数。 证明：()()x x x 2241021100--++ =+---+=+---+=---++()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x 2237100 272310051456100 22 设y x x =-25，则 原式无论取何值都有的值一定是非负数=-++=-+=--≥∴--++()()()()()()y y y y y y y x x x 146100816440 4102110022 222 4. 因式分解中的转化思想 例：分解因式：()()()a b c a b b c ++-+-+2333 分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b ，b+c 与a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。 解：设a+b=A ，b+c=B ，a+2b+c=A+B ∴=+--=+++--=+=+=++++原式()() ()()()A B A B A A B AB B A B A B AB AB A B a b b c a b c 333 322333 22 3333332 说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。 中考点拨： 例1.在?ABC 中，三边a,b,c 满足a b c ab bc 222166100--++= 求证：a c b +=2 证明： a b c ab bc 222166100--++=
因式分解的四种方法(习题及答案)
因式分解的四种方法（习题） 例题示范 例1：2222(1)2(1)(1)x y x y y -+-+- 【思路分析】 考虑因式分解顺序的口诀“一提二套三分四查”，观察式子里面有公因式2(1)y -，先提取，然后再利用公式法因式分解，分解完后要查一下是否分解彻底． 【过程书写】 222(1)(21) (1)(1)(1) y x x y y x -++=+-+=解：原式 巩固练习 1. 下列从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A ．232393x y z x z y =? B ．25(2)(3)1x x x x +-=-++ C ．22()a b ab ab a b +=+ D ．211x x x x ??+=+ ??? 2. 把代数式322363x x y xy -+因式分解，结果正确的是（ ） A ．(3)(3)x x y x y +- B ．223(2)x x xy y -+ C ．(3)x x y - D ．23()x x y - 3. 因式分解： （1）22363a b ab ab +-； （2）()()y x y y x ---； 解：原式= 解：原式= （3）2441a a -+； （4）256x x -+； 解：原式= 解：原式= （5）2168()()x y x y --+-； （6）41x -； 解：原式= 解：原式=
（7）222(1)4a a +-； （8）25210ab bc a ac --+； 解：原式= 解：原式= （9）223(2)3m x y mn --； （10）2ab ac bc b -+-； 解：原式= 解：原式= （11）2222a b a b -++； （12）2(2)(4)4x x x +++-； 解：原式= 解：原式= （13）321a a a +--； （14）2244a a b -+-； 解：原式= 解：原式= （15）222221a ab b a b ++--+； 解：原式=
因式分解含答案.doc
因式分解 序号 公式记忆特征 1 x 2 +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) 2 +(a + b)x+ab = (x+a)(x+b) （十字相乘法） (1) 常数项两数积 (2) 一次项系数两数和 (3) 二次项系数为1 2 a 2- b 2-b 2 = (a-b)(a+b) （平方差公式） 2 2 a +2ab+b = (a+b) 2 3 a 2-2ab+ b 2 -2ab+b 2 = (a-b) 2 （完全平方公式） 4 a 2+ b 2+ c 2+2ab+2ac+2bc = (a+b+c) 2+b 2+c 2 +2ab+2ac+2bc = (a+b+c) （完全平方公式扩展） 2 (1) 三数平方和 (2) 两两积的 2 倍 a 3+3a 2b+3a b 2+b 3 = (a+b) 3 +3a 2b+3ab 2+b 3 = (a+b) 3 5 a 3-3a 3 -3a 2b-3ab 2+b 3 = (a-b) 3 对照完全平方公式相互加强记忆 （完全立方公式） (1) 近似完全平方公式 6 a 3+ b 3 = (a+b)(a 3+b 3 = (a+b)(a a 3-b 3-b 3 = (a-b)(a 2-ab+b 2) 2+ab+b 2) (2) 缺项之完全立方公式 (a+b)[(a+b) 2-3ab]=(a+b) 3 -3ab(a+b) (a-b)[(a+b) 2+3ab]=(a-b) 3+3ab(a+b) 7 a 3+b 3+c 3-3abc = (a+b+c)(a 3+b 3+c 3 -3abc = (a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-ac-bc)对照公式 4 相互加强记忆 (1) 短差长和； 8 a n - b n -b n = (a-b)(a n-1 +a n-2b+a n-3 b 2+? +ab n-2 +b n-1 ) n= 整数 （平方差公式扩展） (2) a 指数逐项递减 1； (3) b 指数逐项递增 1； (4)长式每项指数和恒等于 n-1 。 (1) 短式变加长式加减相间； 9 a n -b n -b n = (a+b)(a n-1 -a （立方差公式扩展） n-2b+a n-3 b 2- ? +ab n-2 -b n -1 ) n= 偶数 (2) a 指数逐项递减 1； (3) b 指数逐项递增 1； (4) 每项符号 b 指数决定偶加奇减。 10 a n +b n = (a+b)(a n +b n = (a+b)(a n-1 -a （立方和公式扩展） n-2b+a n-3 b 2- ? +ab n-2 -b n -1 ) n= 奇数 对比公式 9 的异同
因式分解测试题(含答案)
题号 一、填 空题 二、计 算题 三、简 答题 四、选 择题 总 分 得分 一、填空题 （每空2分，共24分） 1、已知xy>0，且x2－2xy－3y2＝0，则＝． 2、分解因式= ，。 3、分解因式：a3－a＝． 4、阅读下列文字与例题 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法。 例如：（1）， （2）。 试用上述方法分解因式。 5、分解因式=_______________． 6、计算；分解因式：= ； 7、计算；分解因式：= ； 8、分解因式：= ． 9、分解因式：16x2﹣4y2=． 10、因式分解：2m2n﹣8mn+8n=． 11、设有n个数x1，x2，…x n，其中每个数都可能取0，1，－2这三个数中的一个，且满足下列等式：x1＋x2＋…＋x n ＝0，x12＋x22＋…＋x n2＝12，则x13＋x23＋…＋x n3的值是． 二、计算题 （12、13、14题各3分，15题5分，共14分） 12、因式分解 13、因式分解 14、分解因式： 15、因式分解 三、简答题16题10分，17、18、19、20题各15分，共70分） 评卷人得分 评卷人得分 评卷人得分
16、先因式分解在求值 17、在学习因式分解时，我们学习了“提公因式法”和“公式法”，事实上，除了这两种方法外，还有其它方法可以用来因式分解，比如配方法．例如，如果要因式分解时，显然既无法用提公因式法，也无法用公式法，怎么办呢这时，我们可以采用下面的办法： －－ －－ －－ ② －－ －－ －－ ① ＝ ＝ ＝； ＝． 解决下列问题： （1）填空：在上述材料中,运用了（选填一项:“分类、转化、数形结合、方程”）的思想方法,使得原题变为可以继续用平方差公式因式分解，这种方法就是配方法； （2）显然所给材料中因式分解并未结束,请在横线上继续完成因式分解过程； （3）请用上述方法因式分解．18、阅读下列材料解决问题： 将下图一个正方形和三个长方形拼成一个大长方形，观察这四个图形的面积与拼成的大长方形的面积之间的关系． ∵用间接法表示大长方形 的面积为:x2+px+qx+pq，用 直接法表示面积为:（x+p） （x+q） ∴x2+px+qx+pq=（x+p） （x+q） ∴我们得到了可以进行因式分解的公式：x2+(p+q )x+pq=（x+p）（x+q） （1）运用公式将下列多项式分解因式： ①x2＋6x+8 ②y2+7y-18 （2）如果二次三项式“a2+□ab+□b2”中的“□”只能填入有理数2、3、4(两个“□”内数字可以相同)，并且填入后的二次三项式能进行因式分解，请你写出所有的二次三项式及因式分解的结果． 19、若x＋y＝3，且(x＋2)（y＋2）＝12． (1)求xy的值；(2)求x2＋3xy＋y2的值． 20、我们对多项式进行因式分解时，可以用待定系数法求解.例如，我们可以先设 ，显然这是一个恒等式.根据多项式乘法将等式右边展开有： 所以，根据等式两边对应项的系数相等，可得：，解得或者.所以 .当然这也说明多项式含有因式：和.
因式分解(含答案)-
因式分解 一、选择题 1．下列由左边到右边的变形中，其中是因式分解的是（ ） A ．(2a+3)()2a-3)=4a 2-9; B ．4m 2-9=(2m+3)(2m-3) C ．m 2-16+3m=(m+4)(m-4)+3m; D ．2x(y+z)-3(y+z)=2xy + 2xz – 3y – 3z 2．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．-7ab – 14 + 49aby = 7ab(1- 2x + 7y); B ．)3(33111x y y x y x y x n m n m n m +-=+---+ C ．6)133)((2)(2)(2+--=---b a b a a b b a ; D ．xy(x – y ) – x (y – x ) = x (x – y )(y – 1 ) 3．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．)444221)(221()(81223b ab a b a b a b a ++++++-=+- B ．)2)(2(4)(222222222xy y x xy y x y x y x -+++=-+ C ．22)1(4448-=--a a a D ．))()(()()(22b a b a y x x y b y x a -+-=-+- 4．下面各式的因式分解中，正确的是（ ） A ．ab – a + b + 1 = (a – 1)(b + 1) B ．4xy + 1 – 4)21)(21(22y x y x y x ---+=- C ．3a – 3b + 3x – bx = (a – b )(3 – x ) D ．)21)(21(41422y x y x y x xy --++=--+- 5．下列因式分解的变形中，正确的是（ ） A ．))(1()1(22a x x a x a x --=++- B ．)13)(12(61652++=++ m m m m C ．))(()(2222222b y a y b a y b a y ++=+?++ D ．)1)(4)(2)(1(8)3(2)3(2 22-+--=----x x x x x x x x 二、填空题 1．在代数式164)3(,)2(,144)1(2222++++-n n mn m x x 中是完全平方式的是__________。 2．若：922-+ax x 被2x – 3 除后余3，则商式是__________，且a = __________。
因式分解经典题(含答案)
因式分解经典题 分组分解练习 1. =--+4222ab b a (a-b+2)(a-b-2) . 2.=+--1222x y x (x-1+y)(x-1-y) 3．4a 2-b 2 +2a-b=(2a-b)(2a+b+1) 4．1-a 2+2ab-b 2= (1+a-b)(1-a+b) 5．1-a 2-b 2-2ab=(1+a+b)(1-a-b) 6．x 2+2xy+y 2-1= (x+y-1)(x+y+1) 7．x 2-2xy+y 2-1=(x-y-1)(x-y+1) 8．x 2-2xy+y 2-z 2= (x-y-z)(x-y+z) 9. bc c b a 2222+-- =(a+b-c)(a-b+c) 10. 9222-+-y xy x = (x-y+3)(x-y-3) 11. 2296y x x -+- =(x-3+y)(x-3-y) 12．x 2 - 4y 2 + x + 2y = (x+2y)(x-2y+1) 13. =-+-y x y x 3322(x-y)(x+y+3) 14. =-+-bc ac ab a 2(a+c)(a-b) 15．ax-a+bx-b=(a+b)(x-1) 16．a 2-b 2-a+b= (a-b)(a+b-1) 二．十字相乘法:
1.x 2+2x-15=(x+5)(x-3) 2.x 2-6x+8=(x-2)(x-4) 3.2x 2-7x-15=(x-5)(x+3) 4.2x 2-5x-3=(x-3)(2x+1) 5.5x 2-21x+18=(5x-6)(x-3) 6. 6x 2-13x+6=(2x-3)(3x-2) 7.x 4-3x 2-4=(x 2+1)(x+2)(x-2) 8. 3x 4+6x 2-9= (x 2-3)（3x 2+3） 9. x 2-2xy-35y 2=（x-7）(x+5) 10. a 2-5ab-24b 2= (a+3)(a-8) 11.5x 2+4xy-28y 2=(5x+14y)(x-2y) 三．综合训练 1. 2222211111(1)(1)(1)...(1)(1)23499100- ---- 2. 997 2– 9 = 101/1x2x3x …x100 =994000 3. 20062005222...221------20072 = 1 4. 若22(4)25x a x +++是完全平方式，求a 的值。 a=1或-9
【知识重点】七年级下因式分解及答案练习题B
因式分解练习题 一、填空题： 2．(a－3)(3－2a)=_______(3－a)(3－2a)； 12．若m2－3m＋2=(m＋a)(m＋b)，则a=______，b=______； 15．当m=______时，x2＋2(m－3)x＋25是完全平方式．
二、选择题： 1．下列各式的因式分解结果中，正确的是（）A．a2b＋7ab－b＝b(a2＋7a) B．3x2y－3xy－6y=3y(x－2)(x＋1) C．8xyz－6x2y2＝2xyz(4－3xy) D．－2a2＋4ab－6ac＝－2a(a＋2b－3c) 2．多项式m(n－2)－m2(2－n)分解因式等于 （）A．(n－2)(m＋m2) B．(n－2)(m－m2) C．m(n－2)(m＋1) D．m(n－2)(m－1) 3．在下列等式中，属于因式分解的是 （）A．a(x－y)＋b(m＋n)＝ax＋bm－ay＋bn B．a2－2ab＋b2＋1=(a－b)2＋1 C．－4a2＋9b2＝(－2a＋3b)(2a＋3b) D．x2－7x－8=x(x－7)－8 4．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 （）A．a2＋b2 B．－a2＋b2 C．－a2－b2 D．－(－a2)＋b2 5．若9x2＋mxy＋16y2是一个完全平方式，那么m的值是（）A．－12 B．±24
C．12 D．±12 6．把多项式an+4－an+1分解得 （）A．an(a4－a) B．an-1(a3－1) C．an+1(a－1)(a2－a＋1) D．an+1(a－1)(a2＋a＋1) 7．若a2＋a＝－1，则a4＋2a3－3a2－4a＋3的值为 （）A．8 B．7 C．10 D．12 8．已知x2＋y2＋2x－6y＋10=0，那么x，y的值分别为 （）A．x=1，y=3 B．x=1，y=－3 C．x=－1，y=3 D．x=1，y=－3 9．把(m2＋3m)4－8(m2＋3m)2＋16分解因式得 （）A．(m＋1)4(m＋2)2 B．(m－1)2(m－2)2(m2＋3m－2) C．(m＋4)2(m－1)2 D．(m＋1)2(m＋2)2(m2＋3m－2)2 10．把x2－7x－60分解因式，得 （）A．(x－10)(x＋6) B．(x＋5)(x－12) C．(x＋3)(x－20) D．(x－5)(x＋12)