椭圆极坐标方程推导
我们要推导椭圆的极坐标方程。
首先，我们需要了解极坐标与直角坐标之间的关系。
假设在极坐标系中，一个点的位置由两个参数决定：
ρ：点到原点的距离，这就是我们通常所说的半径。
θ：点与x轴之间的夹角，这就是我们通常所说的角度。
直角坐标系中的x和y可以由极坐标ρ和θ表示为：
x = ρcosθ
y = ρsinθ
现在，我们知道椭圆的一般直角坐标方程是：
(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1
其中，a和b分别是椭圆的长轴和短轴的半径。
利用上述的极坐标与直角坐标的关系，我们可以将上述方程转化为极坐标形式。
将x = ρcosθ和y = ρsinθ代入到椭圆的直角坐标方程中，我们得到：
(ρcosθ/a)^2 + (ρsinθ/b)^2 = 1
进一步简化，我们得到椭圆的极坐标方程为：
ρ^2 = (1/a^2)x^2 + (1/b^2)y^2
这就是椭圆的极坐标方程。
椭圆用极坐标系表示
椭圆用极坐标系表示 椭圆用极坐标系表示 椭圆是一种常见的二次曲线，常被用于描述许多物理现象。在笛卡尔坐标系下，椭圆的方程为： (x^2)/(a^2) + (y^2)/(b^2) = 1 其中a和b分别为椭圆的两个半轴长。今天，我们将介绍如何用极坐标系来表示椭圆。 1. 极坐标系下的椭圆方程 极坐标系下，我们用ρ和θ来代替直角坐标系下的x和y。椭圆的极坐标方程为： ρ = (a*b) / sqrt((b^2)*cos^2(θ) + (a^2)*sin^2(θ)) 这个方程看起来比较复杂，但其实它是直角坐标系下椭圆方程的简化形式。 2. 推导极坐标系下椭圆方程的过程 为什么要用这个公式来表示椭圆呢？下面，我们来简单推导一下它的来源。 首先，任意一个极坐标点可以表示为(ρ,θ)的形式。显然，这个点在直角坐标系下的坐标为：
x = ρ*cos(θ) y = ρ*sin(θ) 代入椭圆方程可以得到： (a^2)*(ρ*cos(θ))^2 + (b^2)*(ρ*sin(θ))^2 = (a*b)^2 化简可得： ρ^2 = (a*b) / sqrt((b^2)*cos^2(θ) + (a^2)*sin^2(θ)) 也就是我们前面推导出的椭圆极坐标方程。 3. 椭圆极坐标方程的性质 经过上述推导可知，椭圆的极坐标方程与其在直角坐标系下的方程有 相似之处。我们来看看它的一些性质： 首先，方程的参数a和b代表了椭圆的半轴长，即在极坐标方程中的ρ 在a和b的限制下，取遍的范围。此外，我们还可以看出，椭圆在θ = 0和θ = π/2的位置上分别与直角坐标系下的x轴和y轴相交成两个点。 其次，通过椭圆极坐标方程，我们还可以知道，在极角θ一定的情况下，点到椭圆中心的距离ρ发生了多大的变化。在椭圆上，点到中心 的距离ρ不断变化，这意味着极角θ的变化，无法影响椭圆上的点的 距离。 最后，椭圆极坐标方程也为我们提供了一个新的视角来看待椭圆。它 将椭圆的对称性和周期性直观地呈现在极坐标图中。
椭圆化为极坐标方程公式(一)
椭圆化为极坐标方程公式(一) 椭圆化为极坐标方程公式 1. 椭圆的极坐标方程 •椭圆的极坐标方程：r = a(1 - ecosθ) –其中，a为半长轴的长度，e为离心率，r为点的极坐标半径，θ为点的极坐标角度。 2. 椭圆极坐标方程的推导和理解 推导过程 •椭圆的标准方程为：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1，其中a 为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴 •将直角坐标系转换为极坐标系得到：x = rcosθ，y = rsinθ•将x和y代入椭圆的标准方程得到：(rcosθ)^2 / a^2 + (rsinθ)^2 / b^2 = 1 •化简得：r2(a2sin^2θ + b2cos2θ) - a2b2 = 0 理解椭圆的极坐标方程 •椭圆的极坐标方程为：r = a(1 - ecosθ)
•可以看出，极坐标方程中的r与θ有关，r的长度由θ的取值决定。 •当θ = 0时，即在极坐标系中x轴的方向，r = a(1 - ecos0) = a(1 - e)，此时r为椭圆的最大值，即半长轴的长度。 •当θ = π/2时，即在极坐标系中y轴的方向，r = a(1 - ecos(π/2)) = a(1 - 0) = a，此时r为椭圆的最小值，即半短轴的长度。 •在极坐标系中，椭圆的形状由半长轴的长度和离心率决定。 3. 实例解释 椭圆极坐标方程的实例1 •假设椭圆的半长轴长度a = 4，离心率e = ，求取当θ = π/3时，点的极坐标半径r的值。 •根据椭圆的极坐标方程：r = a(1 - ecosθ) •将a和e代入，计算得：r = 4(1 - (π/3)) •化简得：r = 4(1 - * 1/2) = 4(1 - ) = 4 * = •当θ = π/3时，点的极坐标半径r的值为。 椭圆极坐标方程的实例2 •假设椭圆的半长轴长度a = 5，离心率e = ，求取当θ = π/6时，点的极坐标半径r的值。
(完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总结
完整版)椭圆的参数方程和极坐标方程总 结 概述 椭圆是一种重要的几何图形，具有许多应用。在数学中，椭圆 可以通过参数方程和极坐标方程进行描述和表示。本文将详细介绍 椭圆的参数方程和极坐标方程，包括定义、推导以及应用等方面。 参数方程定义 椭圆的参数方程通常由两个参数表示，分别是水平方向的参数 t和垂直方向的参数u。以坐标点(x,y)表示的椭圆上的任意一点，其参数方程可以用如下形式表示： x = a * cos(t) y = b * sin(t) 其中，a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴的长度。 参数方程推导 为了推导出椭圆的参数方程，我们可以从椭圆的标准方程出发，即： x - h)^2 / a^2) + ((y - k)^2 / b^2) = 1
其中，(h,k)表示椭圆的中心点坐标。 我们可以通过引入参数u，将标准方程中的变量x和y表示为：x = a * cos(u) y = b * sin(u) 通过将x和y的表达式代入标准方程中，可以得到： a * cos(u) - h)^2 / a^2) + (( b * sin(u) - k)^2 / b^2) = 1 进一步整理可得： cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = 1 因为`(cos(u))^2 + (sin(u))^2 = 1`，上式化简为： cos(u))^2 / a^2 + (sin(u))^2 / b^2 = (cos(u))^2 / a^2 + ((sin(u))^2 / b^2) * (a^2 / b^2) = 1 比较原式与化简式，可得： a^2 = 1 b^2 = a^2 / b^2
椭圆方程转化为极坐标
椭圆方程转化为极坐标 椭圆是椭圆形的平面图形，它可以使用椭圆方程来描述。椭圆方程以几何学的形式定义，可以用极坐标系统表示。极坐标系是一种圆周坐标系，其中一个坐标轴（叫作极轴）是从圆心出发，另一个坐标轴（叫作离心轴）是从圆心出发，穿过椭圆的一个焦点。 椭圆方程用极坐标来表示就是椭圆的极坐标表达式，它可以用一些特定的方程来表示： 1.圆的一般式： $r=frac{a(1-e^2)}{1-ecostheta}$ 其中，a为椭圆的长轴，e为椭圆的离心率，$theta$为椭圆上任意一点从圆心起所对应的阻尼角度。 2.圆的标准方程： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ 其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴。 3.圆的极坐标方程： $r^2=frac{a^2b^2}{b^2cos^2theta+a^2sin^2theta}$ 4.圆的参数方程： $x=acost，y=bsint$ 这些方程都可以被用来描述椭圆，它们也都可以用极坐标系来表示。 求解椭圆方程的极坐标形式的关键思路是，先把椭圆方程转换为极坐标方程，然后就可以求出椭圆上任意一点到圆心的极坐标了。
假设椭圆方程为： $frac{(x-x_1)^2}{a^2}+frac{(y-y_1)^2}{b^2}=1$ 首先，把椭圆方程转换为标准形式： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ 其次，将椭圆坐标系统平移变换到原点： $(x-x_1,y-y_1)=(x,y)$ 得到： $frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ 然后，把椭圆方程转换为极坐标方程： $r^2=frac{a^2b^2}{b^2cos^2theta+a^2sin^2theta}$ 此外，可以用椭圆的参数方程求出椭圆上任意一点的极坐标： $x=acost,y=bsint$ 由此，可以求出椭圆上任意一点的极坐标，即： $r=sqrt{a^2cos^2theta + b^2sin^2theta}$ $theta=arctanfrac{y}{x}$ 总之，通过椭圆方程转换为极坐标，就可以确定椭圆上任意一点的极坐标，这样可以更容易地对椭圆进行分析。例如，可以求出椭圆的长轴、短轴、离心率等参数。另外，极坐标系的另一个优点是，可以用来求解椭圆的面积，因为椭圆的面积可以写成积分形式。 综上所述，椭圆方程可以用极坐标系表示，可以求出椭圆上任意一点的极坐标，可以求出椭圆的离心率等参数，也可以求出椭圆的面积。极坐标系是一种非常有用的坐标系，它可以用来描述几何图形，
椭球面的极坐标方程
椭球面的极坐标方程 椭球面是一种常见的三维曲面，其形状类似于椭圆，因此得名。在极坐标系中，椭球面的方程可以表示为r² = a²cos²θ + b²sin²θ，其中a和b是椭球的两个主要半径，θ是极角。下面我们来详细讨论一下这个方程的推导过程。 首先，考虑一个二维平面上的一条椭圆。该椭圆的长轴和短轴分别在x轴和y 轴上，其方程可以表示为x²/a² + y²/b² = 1。现在，我们希望将这个椭圆扩展到三维空间中。为此，我们引入一个新变量z，并考虑以下方程： x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1 其中c是椭球的第三个主要半径。这个方程描述了一个三维椭球面。为了将其转化为极坐标系，我们引入以下变量替换： x = rcosθ y = rsinθ z = z 其中r是极径，θ是极角。将这些替换代入原来的椭球方程中，我们得到：r²cos²θ/a² + r²sin²θ/b² + z²/c² = 1 为了简化这个方程，我们引入一个新的变量F，定义为F² = a²cos²θ + b²sin²θ。这样，原来的椭球方程就变成了r²/F² + z²/c² = 1。为了进一步简化这个方程，我们引入一个新的变量ρ，定义为ρ² = r²/F²。这样，原来的椭球方程就变成了ρ² + z²/c² = 1。最后，为了得到极坐标系下的椭球方程，我们引入一个新的变量ζ，定义为ζ² = z²/c²。这样，原来的椭球方程就变成了ρ² + ζ² = 1。这个方程就是椭球面的极坐标方程。 需要注意的是，这个极坐标方程只适用于那些长轴和短轴分别在x轴和y轴上的椭球。对于其他形状的椭球，需要使用不同的坐标系来表示其形状。此外，由于
椭圆的参数方程和极坐标方程
椭圆的参数方程和极坐标方程 椭圆是一种常见的几何图形，具有许多有趣的性质和应用。本文将介绍椭圆的参数方程和极坐标方程，并探讨它们在几何学和物理学中的应用。 一、参数方程 椭圆的参数方程是一种描述椭圆上每个点的坐标的方式。在参数方程中，椭圆的坐标由两个参数决定，通常用t和a表示。椭圆的参数方程可以表示为： x = a*cos(t) y = b*sin(t) 其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，t是参数的取值范围。 通过改变参数t的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的坐标。当t取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。 参数方程的优点是它可以直观地描述椭圆的形状和位置。例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。 二、极坐标方程
椭圆的极坐标方程是另一种描述椭圆的方式。在极坐标方程中，椭圆的坐标由极径r和极角θ决定。椭圆的极坐标方程可以表示为： r = a*b / sqrt((b*cos(θ))^2 + (a*sin(θ))^2) 其中，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴的长度，θ是极角的取值范围。 通过改变极角θ的取值范围，我们可以得到椭圆上的所有点的极坐标。当θ取遍区间[0, 2π]时，我们可以得到一个完整的椭圆。 极坐标方程的优点是它可以更直接地描述椭圆的形状和位置。例如，当a和b相等时，椭圆退化成一个圆。当a大于b时，椭圆变得更扁平，长轴更长；当a小于b时，椭圆变得更圆。 三、应用 椭圆具有许多重要的应用。在几何学中，椭圆是焦点与直线距离之和恒定的曲线，这个性质被广泛应用于光学、天文学等领域。例如，椭圆的反射性质被用于设计反射望远镜和卫星天线。 在物理学中，椭圆是许多物理问题的模型。例如，行星绕太阳运动的轨道近似为椭圆。椭圆的运动方程可以帮助我们研究行星的运动规律和轨道参数。
椭圆极坐标的焦半径
椭圆极坐标的焦半径 概述 椭圆是数学上常见的曲线之一，它在平面内具有两个焦点。在极坐标系中，我们来研究椭圆的焦半径，即到椭圆焦点距离的长度。 本文将介绍椭圆的基本概念、极坐标系的定义与转换、椭圆的焦点及其性质，最后推导出椭圆极坐标系下的焦半径公式，并举例进行计算。 椭圆的基本概念 椭圆是平面上一条封闭曲线，其椭圆心为O，离心率为e，主轴的长度为2a，副轴 的长度为2b。离心率e的定义如下： 椭圆上任意一点P到焦点F1、F2的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a，其中F1F2的长度为2c，有关系式c^2 = a^2 - b^2。椭圆的离心率满足0 < e < 1，当e=0时，椭圆退化为圆。 极坐标系的定义与转换 极坐标系是描述平面上一点位置的坐标系，由极径r和极角θ组成。极径r表示 点到原点O的距离，极角θ表示点与极轴之间的夹角。 我们可以用直角坐标系和极坐标系之间的转换关系来描述椭圆的极坐标方程： 其中，p是极坐标系中的常数，p = a(1-e^2)。 椭圆的焦点及其性质 椭圆有两个焦点F1、F2，其中F1位于x轴的正半轴上，F2位于x轴的负半轴上。椭圆的离心率e和焦距f的关系为e = f/a。 椭圆的焦点与焦半径有如下性质： 1.焦半径在x轴上的分量为p，即焦半径PF1或PF2的投影PF1’或PF2’到x 轴上的长度为p。 2.焦半径的极角θ满足θ = tan^(-1)(ey/x)，其中x、y为极坐标系中点的 坐标。
椭圆极坐标系下的焦半径公式推导 根据极坐标系的定义，我们已知椭圆的极坐标方程为r = p / (1 + e * cosθ)。 假设椭圆的焦半径为r0，则有： 考虑到焦半径在x轴上的分量为p，我们可以将焦半径r0表示为其x、y轴上的分量： 将e表示为f/a，焦半径的x、y分量可以表示为： 再利用之前提到的极坐标转换关系，将极坐标转换为直角坐标，可以得到焦半径的直角坐标方程： 示例计算 假设椭圆的离心率为0.6，主轴长度为6，焦半径点的极角θ为30°，我们来计 算焦半径的长度。 首先，根据离心率和主轴长度，计算焦距f： 然后，根据极坐标方程，代入p = a(1-e^2) = 6(1-0.6^2) = 5.52，计算焦半径 的长度： 因此，当离心率为0.6，主轴长度为6，焦半径点的极角θ为30°时，焦半径的 长度为4。 结论 椭圆的焦半径是椭圆曲线上各点到椭圆焦点的距离。通过极坐标系的定义和转换关系，我们得到了椭圆极坐标系下的焦半径公式。在计算时，我们可以根据椭圆的离心率、主轴长度和焦角来求得焦半径的长度。这些理论和计算方法对于解决椭圆相关的问题具有重要的指导意义。 （以上内容为2000字的建议用于参考，具体取决于所陈述的深度和详尽度的需求）
椭圆方程推导过程
橢圆方程推导过程 橢圆是平面上的一种几何形状，它的形状类似于一个稍微被拉长的圆。橢圆的方程用来描述橢圆上各个点的坐标关系。下面将推导橢圆的方程。 设橢圆的中心为原点(0,0)，长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。任意一点P(x,y)在橢圆上，根据橢圆的定义，我们可以得到以下两个条件： 1. 点P到椭圆中心的距离等于长轴的一半，即OP = a。根据两点之间的距离公式，可以得到以下关系： OP = x + y = a 2. 点P到椭圆的焦点之一的距离与到椭圆的焦点之二的距离之和等于2a，即PF + PF = 2a。椭圆的焦点到圆心的距离为c，根据焦点定理，可以得到以下关系： PF + PF = 2a 2√((x-c) + y) + 2√((x+c) + y) = 2a √((x-c) + y) + √((x+c) + y) = a 为了简化方程，我们引入新的变量e，称为椭圆的离心率，e = c/a。将焦点之间的距离表示为e和a的关系，可以得到以下关系：
√((x-c) + y) = e√(a - x) √((x+c) + y) = e√(a - x) 将上述关系代入第二个条件中，我们可以得到： e√(a - x) + e√(a - x) = a 2e√(a - x) = a √(a - x) = a/(2e) 将上述方程两边平方，可以得到： a - x = a/(4e) x/a + y/b = 1 这就是橢圆的标准方程，其中a为长轴的一半，b为短轴的一半，e 为离心率。可以看出，橢圆的方程与其长轴、短轴长度以及离心率有关。 除了标准方程，橢圆的方程还可以通过其他形式表示，例如参数方程和极坐标方程。但标准方程是最常用且最常见的表示形式。 总结起来，橢圆的方程推导过程可以通过橢圆的定义和焦点定理，引入离心率并进行数学推导得到。标准方程是最常用的表示形式，可以描述橢圆上各个点的坐标关系。
椭圆方程转化为极坐标
椭圆方程转化为极坐标 椭圆方程是偏微分方程的一种，它描述的是二维空间坐标中的椭圆曲线，在几何学中是一种重要的概念，被广泛应用于各种领域，如力学、物理学和微积分等。在计算机图形学中，我们经常用椭圆方程来描述空间曲线上的对象，并通过对曲线的细分来描述物体的几何结构。 随着科技的发展，计算机技术已经变得更加先进，计算机科学家也开发出了许多种椭圆方程的求解方法，比如：参数方程、极坐标方程等。其中，极坐标方程是许多椭圆方程求解的一种常用方式，它可以有效地将椭圆方程转换为简洁的极坐标形式。 极坐标系可以用一个射线从原点出发，根据长度、角度来描述一个点的位置。在极坐标中，长度由极轴来决定，也就是极点指向该点的射线的长度；极角则由极角定义，也就是极轴和x轴之间的角度。 在椭圆方程转换为极坐标的过程中，有一个重要的步骤就是把椭圆的参数方程转化为极坐标系的方程。参数方程的结构为： x=a*cos(t)，y=b*sin(t)，其中a,b是椭圆的长轴和短轴，t是由变量x,y计算得出的，椭圆上的任意一点可以用参数t表示。由于椭圆的长短轴与极坐标系中的极轴和极角有一定的关系，因此可以通过一定的数学变换将上述椭圆方程转换为极坐标方程，其结构为：r=f(θ)。这里，f(θ)表示极坐标系上椭圆的极坐标函数，r表示椭圆上任意 一点与极点之间的距离，而θ则代表该点对应的极角。 除了参数方程之外，还可以使用坐标变换的方法将椭圆方程转换
为极坐标方程，这种方法的结构一般为：r*cosθ=x0，r*sinθ=y0，这里，x0,y0是椭圆方程的两个参数，r表示点到极点的距离，而θ则代表椭圆上点对应的极角。 以上就是椭圆方程转换为极坐标方程的基本过程，椭圆方程转换为极坐标方程可以有效地帮助我们更好地理解空间曲线，计算椭圆的几何结构，此外，极坐标方程也可以用于椭圆曲线的可视化，十分方便实用。 总之，椭圆方程转换为极坐标方程是几何学中的一个重要问题，它的解决方法对于计算机图形学、物理学和力学方面的研究有重要的意义，它可以更好地解释空间曲线上的对象，进而更好地描述其几何结构。另外，极坐标方程也可以更好地可视化椭圆曲线，同时，使用极坐标方程可以更容易地计算出椭圆曲线上点的具体位置。
椭圆的极坐标方程 知乎
椭圆的极坐标方程知乎 在数学中，椭圆是一种特殊的曲线，可以通过其极坐标方程来描述。椭圆的极坐标方程为r=a(1-e*cosθ)，其中a表示长半轴的长度，e表示离心率，θ表示与极轴的夹角。椭圆的定义可以简单地理解为，到焦点距离之和等于常数的点的轨迹。 椭圆有许多独特的性质。首先，椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于椭圆形。其次，椭圆有两个焦点，且到焦点距离之和等于常数。这个性质被广泛运用于日常生活中，比如卫星轨道的设计、椭圆形的运动器械等。此外，椭圆还具有对称性，即椭圆关于x轴和y轴对称。 在知乎平台上，有很多与椭圆相关的问题和回答。例如，有人可能会问：“椭圆有什么实际应用？”这个问题引起了许多网友的关注。回答者们纷纷列举了椭圆的应用领域。有人提到了椭圆轨道在航天领域的应用，如人造卫星的轨道设计、空间站的轨道控制等。还有人谈到了椭圆的几何特性在建筑设计中的应用，如椭圆形建筑的设计和构造等。总之，椭圆的应用是广泛而多样的。 另一个问题可能是：“如何画出一个椭圆？”这个问题引起了很多绘图爱好者的兴趣。回答者们纷纷给出了方法和技巧。有人建议使用椭圆板或者绘图仪器来画椭圆，这样可以更准确地画出椭圆的形状。还有人提到了利用数学原理，通过确定焦点和长半轴的位置，
来画出椭圆的方法。这些回答为有兴趣绘制椭圆的人提供了很好的指导。 还有一些有趣的问题和回答与椭圆相关。例如，“椭圆和圆有什么区别？”这个问题引发了一场关于椭圆和圆的讨论。回答者们从几何形状、数学定义、性质等方面进行了比较，并给出了具体的例子来说明它们之间的区别。这个问题不仅帮助了提问者，也为其他网友提供了对椭圆和圆的深入理解。 椭圆的极坐标方程是一个有趣且广泛讨论的话题。通过知乎平台，我们可以了解到椭圆的定义、性质以及应用，并与其他网友一起探讨与椭圆相关的问题。知乎作为一个知识分享的社交平台，为我们提供了一个广阔的学习和交流空间。在这里，我们可以提问、回答问题，分享自己的见解和经验，共同学习和进步。
椭圆的极坐标方程及应用
椭圆的极坐标方程及其应用 如图，倾斜角为θ且过椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，椭圆 C 的离心率为e ，焦准距为p ，请利用椭圆的第二定义推导22,,PF QF PQ ，并证明: 22 11 PF QF + 为定值 改为：抛物线2 2(0)y px p => 呢 例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为3 2，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的 直线与C 相交于,A B 两点．若3AF FB =，求k 。 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C ： 2 2 22 1(0)x y a b a b +=>>的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o ,2AF FB =，求椭圆C 的离心率； 例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆22 132 x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ．过1F 的直线交椭圆于B D ，两点，过2F 的直线交椭圆于A C ，两点，且AC BD ⊥，垂足为P ，求四边形ABCD 的面积的最值． 练习2. （05年全国Ⅱ）P 、Q 、M 、N 四点都在椭圆12 2 2 =+y x 上，F 为椭圆在y 轴正半轴上的焦点.已知.0,,=⋅MF PF FN MF FQ PF 且线与共线与求四边形PMQN 的面积的最小值和最大值. 例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为)0,3(F ，右准线l 的方程为12=x . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点123,,P P P ，使133221FP P FP P FP P ∠=∠=∠，证明： | |1 ||1||1321FP FP FP ++为定值，并求此定值. Q y O x P 2F A y O x B F
用极坐标处理二次曲线问题
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点（焦点）的距离和一条定直线（准线）的距离的比等于常数e的点的轨迹. 以椭圆的左焦点（双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过点F作相 应准线的垂线，垂足为K,以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系. 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：eP. 1—ecos 日其中p是定点F到定直线的距离，p> 0 . 当O v e v 1时，方程表示椭圆； 当e> 1时，方程表示双曲线，若p > 0,方程只表示双曲线右支，若允 许p <0,方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若? 1+e cos 日 则O v e v 1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e>1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若乩 1-es in 廿 当O v e v 1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当e> 1时！方程表示极点在上焦点的双曲线
ep 1+es in 当O v e v 1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当e> 1时！方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 (1)二次曲线基本量之间的互求 3 10 —X 一 2 5 3 $ 二 I 10 _a 「c 二 3 3 K [25 2 15 2 I V 8 8 2 3 1I 2I -方程表示椭圆的离心率e=-,焦距一，长轴长一，短轴长I I 4 4 例1 .确定方程'=启 表示曲线的离心率、焦距、 长短轴长 解法一: 2I a 二 '8 1I c 二 I 8 c .c I 10
椭圆的极坐标方程及其应用
椭圆的极坐标方程及其应用 椭圆的极坐标方程及其应用 x2y2 如图，倾斜角为且过椭圆的右焦点F2的直线l交椭圆C于P,Q两点，椭圆 abC的离心率为e，焦准距为p，请利用椭圆的第二定义推导PF2,QF2,PQ，并证明: x2y2 的左、右焦点分别为F1，F2．过F1的直线交椭圆于B，D两点，例2. （07年全国Ⅰ）已知椭圆32 过F2的直线交椭圆于A，C两点，且，垂足为P，求四边形ABCD的面积的最值． 11 为定值 PF2QF2 y2 上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点.已知练习2. （05年全国Ⅱ）P、Q、M、N四点都在椭圆 2 与共线,与线,且求四边形PMQN的面积的最小值和最大值. 改为：抛物线y2 呢？ x2y2例1.（10年全国Ⅱ）已知椭圆的离心率为，过右焦点F且斜率为的 ab2 直线与C相交于A,B两点．若3FB，求k。
例3. （07年重庆理）如图，中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0)，右准线l的方程为（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）在椭圆上任取三个不同点 ，证明： 1,P2,P3，使 111 为定值，并求此定值 |FP||FP||FP|123 x2y2 练习1. （10年辽宁理科）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于 ab A，B两点，直线l的倾斜角为，求椭圆C的离心率； o x2y2 推广：已知椭圆a 是椭圆的右焦点,在椭圆上任取n个不同点若 n ,则 ，你能证明吗？练习3. （08年福建理科）如图，椭圆. 的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； （Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有OA2
【精品】椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
【关键字】精品 椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecos ep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112. MFNFep 三、圆锥曲线的焦点弦长 若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，
epep2ab2a2b2 c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()a ccos 2、双曲线中， epep2ab2 若M、N在双曲线同一支上，MN；1ecos1ecos()a2c2cos2 epep2ab2 若M、N在双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecos c2cos2a2 3、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P是圆锥曲线上的点， 1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex； 2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点， 当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a； 当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex； 3、若F是抛物线的焦点，PF x p. 2坐标曲线题 题型研究 题型一坐标曲线题 热点题型精讲 坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。 类型一溶解类
椭圆的极坐标方程双曲线焦点坐标
椭圆的极坐标方程-双曲线焦点坐标 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌 一、圆锥曲线的极坐标方程 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系． ep椭圆、双曲线、抛物线统一
的极坐标方程为：. 1ecos 其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ． 当0＜e＜1时，方程表示椭圆； 当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式 设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH， 〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecos ep. 1ecos当P在双曲线的左支上时，PF 推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有 112. MFNFep 三、圆锥曲线的焦点弦长
若圆锥曲线的弦MN经过焦点F， epep2ab2a2b2 c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()a ccos 2、双曲线中， epep2ab2 若M、N在双曲线同一支上，MN； 1ecos1ecos()a2c2co s2 epep2ab2 若M、N在双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecos c2cos2a2 3、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin 四、直角坐标系中的焦半径公式 设P是圆锥曲线上的点， 1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex； 2、若F1、F2分别是双曲线的左、