双曲线极坐标方程公式推导
双曲线极坐标方程公式推导
设双曲线来的普通方程为x²/a²-y²/b²=1代入x=pcosθ，y=psinθ，得：p²cos²θ/a ²-p²sin²θ/b²=1，得：p²=1/(cos²θ/a²-sin²θ/b²)。
双曲线的极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中任意位置可由一个夹角和一段相对原点—极点的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海、航空以及机器人领域。
在两点来间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。
对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲自线来说，只有极坐标方程能够表示。
极坐标与参数方程知识讲解
参数方程和极坐标系 一、 知识要点 一曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数,即 ⎩⎨ ⎧==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值,由方程组所确定的点Mx ,y 都在这条曲线上,那么方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数,简称参数． 二常见曲线的参数方程如下： 1．过定点x 0,y 0,倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= t 为参数 其中参数t 是以定点Px 0,y 0为起点,对应于t 点Mx ,y 为终点的有向线段PM 的数量,又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义,有以下结论． 错误!．设A 、B 是直线上任意两点,它们对应的参数分别为t A 和t B ,则AB ＝ A B t t -＝B A A B t t t t ⋅--4)(2． 错误!．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在x 0,y 0,半径等于r 的圆： θ θsin cos 00r y y r x x +=+= θ为参数 3．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的椭圆：
θθsin cos b y a x == θ为参数 或 θ θ sin cos a y b x == 中心在点x0,y0焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程 为参数）ααα(.sin , cos 00⎩ ⎨ ⎧+=+=b y y a x x 4．中心在原点,焦点在x 轴或y 轴上的双曲线： θθtg sec b y a x == θ为参数 或 θ θ ec a y b x s tg == 5．顶点在原点,焦点在x 轴正半轴上的抛物线： pt y pt x 222 == t 为参数,p ＞0 直线的参数方程和参数的几何意义 过定点Px 0,y 0,倾斜角为α的直线的参数方程是 ⎩ ⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x t 为参数． 极坐标系 1、定义：在平面内取一个定点O,叫做极点,引一条射线Ox,叫做极轴,再选一个长度单位和角度的正方向通常取逆时针方向;对于平面内的任意一点M,用ρ表示线段OM 的长度,θ表示从Ox 到OM 的角,ρ叫做点M 的极径,θ叫做点M 的极角,有序数对ρ, θ就叫做点M 的极坐标;这样建立的坐标系叫做极坐标系; 2、极坐标有四个要素：①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位及它的方向．极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点,在极坐标系下,一对有序实数ρ、θ对应惟一点P ρ,θ,但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标,这些坐标又有规律可循的,P ρ,θ极点除外的全部坐标为ρ,θ＋πk 2或ρ-,θ＋π)12(+k ,∈k Z ．极点的极径为0,而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外,平面上点的极坐标就惟一了,如限定ρ>0,0≤θ＜
常见的极坐标方程
常见的极坐标方程 极坐标方程是描述平面直角坐标系中的点在极坐标系中的位置和形状 的一种方式。极坐标方程通常表示为$r=f(\theta)$，其中$r$表示点到原点的距离，$\theta$表示点与$x$轴正半轴之间的夹角。 常见的极坐标方程包括： 一、基本形式 1. $r=a$：表示以原点为中心，半径为$a$的圆。 2. $r=a\cos\theta$：表示以原点为焦点，以$x$轴正半轴为对称轴，离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长度为$a$的椭圆。 3. $r=a\sin\theta$：表示以原点为焦点，以$y$轴正半轴为对称轴， 离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长度为$a$的椭圆。 4. $r=a\cos n\theta$或$r=a\sin n\theta(n\in N^*)$：分别表示以 原点为中心，半径分别是$a,a/2,a/3,\cdots,a/n$等等的$n$个同心圆。这些圆上有$n$个等分点，在这些等分点上分别作切线，则这些切线所组成的$n$边形叫做正$n$边形。
二、特殊形式 1. $r=\dfrac{a}{1\pm\cos\theta}$：表示以原点为焦点，离心率为$1$，长轴长度为$a$的双曲线。 2. $r=\dfrac{a}{1\pm\sin\theta}$：表示以原点为焦点，离心率为 $1$，长轴长度为$a$的双曲线。 3. $r=a(1+\cos\theta)$：表示以原点为焦点，以$x=-a/2$为对称轴，离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长度为$a$的摆线。 4. $r=a(1-\cos\theta)$：表示以原点为焦点，以$x=a/2$为对称轴，离心率为$\frac{1}{2}$，长轴长度为$a$的摆线。 5. $r=a(1+\sin\theta)$：表示以原点和$(a,0)$两个焦点确定的椭圆上沿着逆时针方向运动的一个质点在$x$轴正半轴上留下的投影长度。 6. $r=a(1-\sin\theta)$：表示以原点和$(a,0)$两个焦点确定的椭圆上沿着顺时针方向运动的一个质点在$x$轴正半轴上留下的投影长度。 三、其他形式
双曲线的四种参数方程
双曲线的四种参数方程 双曲线是数学中的一种曲线，它可以通过四种不同的参数方程来描述。在本文中，将分别介绍四种参数方程，并详细讨论每种方程的特点和性质。 第一种参数方程是极坐标方程。极坐标方程是用极坐标系中的径向距 离r和偏离角度θ表示双曲线的方程。对于双曲线，极坐标方程可以表 示为： r = c / cos(θ) 其中c是双曲线的焦点到中心的距离。这个方程表示了极坐标系中距 离焦点一定距离的点在角度θ上的位置。通过选择不同的θ值，可以得 到双曲线上的所有点。 第二种参数方程是直角坐标方程。直角坐标方程是用直角坐标系中的 x和y坐标表示双曲线的方程。对于双曲线，直角坐标方程可以表示为：(x/a)^2-(y/b)^2=1 其中a和b是双曲线的参数，它们分别表示x和y轴上的方向对曲线 的影响程度。这个方程表示了满足双曲线定义的所有点。 第三种参数方程是参数化方程。参数化方程是通过引入参数t，用参 数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。对于双曲线，参数化方程 可以表示为： x = a * cosh(t) y = b * sinh(t)
其中cosh和sinh是双曲函数。这个方程表示了通过参数t控制双曲线上的点。 第四种参数方程是参数值方程。参数值方程是通过引入参数t，用参数t的函数来表示双曲线上的点的x和y坐标。 x = a * sec(t) y = b * tan(t) 其中sec和tan是三角函数。这个方程通过三角函数来描述双曲线的形状。 以上是四种常见的双曲线的参数方程。每种方程都有其独特的数学性质和几何特征。它们在不同的数学和物理领域中有广泛的应用，例如椭圆轨道的描述、反应堆中的粒子运动等。同时，通过这些参数方程，我们可以更加深入地研究和理解双曲线的形态和性质。
用极坐标处理二次曲线问题
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ? ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ???===??????∴????????-===?????? 2225155( )()882 b ∴=-= 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题
双曲线的极坐标方程表达式
双曲线的极坐标方程表达式 双曲线是一种常见的曲线形状，它有着独特的数学性质和几何特征。在数学中，我们可以用极坐标方程来表达双曲线，这种方式可以提供一种更加简洁和直观的描述方法。本文将介绍双曲线的极坐标方程表达式，以及它的一些基本性质。 极坐标系简介 在了解双曲线的极坐标方程之前，我们先来回顾一下极坐标系的基本概念。极 坐标系是一种描述平面上点的坐标系统，它由一个原点O（极点）和一个与原点正交的轴（极轴）组成。对于任意一个点P，我们可以用两个坐标值(r,θ)来表示，其 中r是点P到极点O的距离（称为极径），θ是极轴与线段OP的夹角（称为极角）。 双曲线的定义 双曲线是平面上的一条曲线，它的几何特征是到两个焦点的距离之差的绝对值 恒定。双曲线有两个分支，分别向着两个焦点方向延伸。双曲线的形状和尺寸由焦点之间的距离和距离差决定。 双曲线的极坐标方程 对于一条以原点O为焦点、以x轴为对称轴的双曲线，它的极坐标方程可以表示为： r = c / cos(θ) 其中c是焦点之间的距离。这个方程说明，对于给定的极角θ，与原点的距离 r与焦点之间的距离c和角度θ的余弦函数成反比关系。换句话说，对于双曲线上 的任意点P，它到焦点之间的距离和与极轴的夹角的余弦成反比。 此外，双曲线还有一个渐近线，它与双曲线的距离趋向于零。对于上述的双曲线，它的渐近线的极坐标方程可以表示为： r = ±c / sin(θ) 需要注意的是，渐近线与双曲线的交点称为双曲线的顶点，它是双曲线的曲率 半径最大的点。渐近线的角度由焦点之间的距离和双曲线的形状决定。 双曲线的性质 双曲线具有许多有趣的数学性质和几何特征。以下是一些常见的双曲线性质： 1.对称性：双曲线关于极轴和焦点轴对称。
高中数学双曲线公式大全
高中数学双曲线公式大全 1.双曲线的标准方程：双曲线的标准方程是x^2/a^2-y^2/b^2=1，其 中a和b是正实数，分别称为双曲线的半轴。 2.双曲线的顶点坐标：双曲线的顶点坐标是(0,0)。 3.双曲线的对称轴：双曲线的对称轴是y=0。 4.双曲线的焦点坐标：双曲线的焦点坐标是(-c,0)和(c,0)，其中 c^2=a^2+b^2 5. 双曲线的准线坐标：双曲线的准线坐标是(-ae,0)和(ae,0)，其中 e = √(1 + b^2/a^2)。 6.双曲线的离心率：双曲线的离心率是e=c/a。 7. 双曲线的焦距：双曲线的焦距是2ae。 8.双曲线的直径：双曲线的直径是2b。 9.双曲线的直线渐近线：双曲线的直线渐近线方程是y=±b/a*x+0。 10.双曲线的离心率与准线之间的关系：离心率e=√(1+1/b^2)。 11.双曲线的离心率与焦距之间的关系：离心率e=c/a。 12.双曲线的离心率与半轴之间的关系：离心率e=√(1+a^2/b^2)。 13.双曲线的离心率与半焦距之间的关系：离心率e=√(1+d^2/4b^2)，其中d是焦点到直线渐近线的垂直距离。 14.双曲线的离心率与半准距之间的关系：离心率e=√(1+c^2/a^2)。 15.双曲线的离心率和焦距与准线之间的关系：e^2=c^2-a^2
16.双曲线的离心率和焦距与半焦距之间的关系：e^2=c^2-d^2 17.双曲线的离心率和焦距与半准线之间的关系：e^2=c^2+a^2 18.双曲线的引弧长度公式：双曲线的引弧长度公式是s=aθ，其中θ是弧度数。 19. 双曲线的二边切线斜率公式：双曲线的二边切线的斜率公式是dy/dx = ± b^2x/y。 20. 双曲线的极坐标方程：双曲线的极坐标方程是r^2 = a^2sec^2θ - b^2tan^2θ。 以上是双曲线的一些重要公式，希望对你的学习有所帮助。双曲线的研究是数学的重要分支之一，了解这些公式可以让我们更好地理解和应用双曲线的知识。
在极坐标下,计算以下曲线的弧长：
在极坐标下，计算以下曲线的弧长： 为了计算一个极坐标曲线在给定区间上的弧长，可以使用弧长公式： L = ∫(r^2 + (dr/dθ)^2)^0.5 dθ 其中，r表示曲线的极径，dr/dθ表示极径对θ的导数。 下面是一些常见曲线在极坐标下的弧长计算公式： 1. 圆 圆的极坐标方程为 r = r0，其中r0为圆的半径。 弧长公式简化为L = ∫(r0^2 + 0^2)^0.5 dθ = r0θ 2. 螺旋线 螺旋线的极坐标方程为r = aθ，其中a为常数，θ为角度。
弧长公式简化为L = ∫(a^2 + a^2)^0.5 dθ = ∫(2a^2)^0.5 dθ = √(2a^2)θ = √2aθ 3. 双曲线螺线 双曲线螺线的极坐标方程为r = a/θ，其中a为常数，θ为角度。 弧长公式简化为L = ∫(a^2/θ^2 + (-a/θ^2)^2)^0.5 dθ = ∫(a^2/θ^2 + a^2/θ^4) dθ = a∫(1/θ + 1/θ^3)^0.5 dθ 得到的积分无法直接求解，需要使用数值或近似方法进行计算。 4. 椭圆 椭圆的极坐标方程为 r = a(1 - ε^2)/(1 - εcosθ)，其中a为长轴的 一半，ε为离心率，θ为角度。 弧长公式无法简化为解析解，需要使用数值或近似方法进行计算。
以上是几个常见曲线在极坐标下的弧长计算方法。对于其他曲线，可以利用弧长公式进行计算，具体形式会根据曲线的极坐标方程而有所不同。如果曲线的极坐标方程过于复杂，可以使用数值或近似方法进行计算。 希望以上信息能够帮助你计算在极坐标下曲线的弧长。如果需要更详细的解释或示例，请告诉我。
圆锥曲线的极坐标方程公式推导过程
圆锥曲线的极坐标方程公式推导过程 1.引言 圆锥曲线是数学中重要的曲线，其中包括椭圆、抛物线和双曲线。在本文中，我们将介绍如何推导出圆锥曲线的极坐标方程公式。 2.极坐标系的基本概念 极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，与直角坐标系相互转化。在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角来确定。其中，极径表示点到原点的距离，极角表示点与极坐标系的极轴正方向之间的夹角。 3.圆锥曲线的定义 圆锥曲线是一个平面上的曲线，可以通过焦点和准线的定义来确定。对于椭圆、抛物线和双曲线，它们各自都有不同的定义和性质。 3.1椭圆 椭圆是指平面上到两个给定焦点的距离之和等于常数的点的集合。在极坐标系下，椭圆的极坐标方程为： r=(a*(1-e^2))/(1-e*c osθ) 其中，r表示点到原点的极径，a表示半长轴的长度，e表示离心率，θ表示极角。 3.2抛物线 抛物线是指平面上到一个给定点的距离等于到一个给定直线的距离的点的集合。在极坐标系下，抛物线的极坐标方程为： r=(2*p)/(1-c osθ) 其中，r表示点到原点的极径，p表示焦点到准线的距离，θ表示极角。 3.3双曲线
双曲线是指平面上到两个给定焦点距离之差等于常数的点的集合。在极坐标系下，双曲线的极坐标方程为： r=(a*(e^2-1))/(1-e*c osθ) 其中，r表示点到原点的极径，a表示半长轴的长度，e表示离心率，θ表示极角。 4.结论 通过上述推导，我们得出了圆锥曲线在极坐标系下的方程公式。这些公式使我们能够更加方便地描述和研究圆锥曲线的性质和特点。 希望本文能够帮助读者更好地理解圆锥曲线的极坐标方程推导过程，并在学习和研究中有所启发。
曲线方程公式
曲线方程公式 曲线方程公式（Curve Equation Formula）是用来描述曲线的函数公式，它可以用来帮助我们研究曲线的几何特性、求解该曲线的最佳拟合效果等。下面来详细的介绍以下曲线方程的形式： 一、一元曲线方程： 1. 二次曲线方程： $$ y=ax^2+bx+c $$ 2. 三次曲线方程： $$ y=ax^3+bx^2+cx+d $$ 3. 指数曲线方程： $$ y=ae^x+c $$ 4. 对数曲线方程： $$ y=a\log_b(x)+c $$ 二、二元曲线方程： 1. 椭圆曲线方程： $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$ 2. 抛物线方程： $$ y=ax^2+bx+c $$ 3. 双曲线方程： $$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$
4. 极坐标方程： $$ (r\cos\theta, r\sin\theta) $$ 三、三元曲线方程： 1. 椭圆曲线方程： $$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 $$ 2. 三次曲线方程： $$ z=ax^3+by^2+cz+d $$ 3. 圆柱曲线方程： $$ z=acos\sqrt{x^2+y^2} $$ 4. 圆锥曲线方程： $$ z=asqrt{x^2+y^2} $$ 四、多項式曲线方程： 1. 一维多项式曲线方程 $$ f(x)=ax^2+bx+c $$ 2. 二维多项式曲线方程 $$ F(x,y)=a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x^2 + a_4 xy + a_5 y^2 + \cdots + a_n x^i y^j $$ 3. 三维多项式曲线方程 $$ F(x,y,z) = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 z + a_4 x^2 + a_5 xy + a_6 xz + a_7 y^2 + a_8 yz + \cdots + a_n x^i y^j z^k $$
二次曲线的参数方程与极坐标方程
二次曲线的参数方程与极坐标方程二次曲线是数学中的一种重要曲线类型，可由参数方程或极坐标方 程描述。本文将介绍二次曲线的参数方程和极坐标方程，并比较二者 的特点和使用场景。 一、参数方程 二次曲线的参数方程可以表示为： x = f(t) = at^2 + bt + c y = g(t) = dt^2 + et + f 其中，a、b、c、d、e、f为实数，t为参数。 参数方程的优点是可以轻松地表示各种曲线形状，例如椭圆、抛物线、双曲线等。通过调整参数的取值，可以使曲线发生平移、旋转和 缩放等变换，从而得到不同的曲线形态。 以椭圆为例，椭圆的参数方程可以表示为： x = a*cos(t) y = b*sin(t) 其中，a和b分别为椭圆的长半轴和短半轴。 通过参数方程，我们可以方便地绘制出椭圆的曲线，并对其进行各 种操作。当参数t在一定范围内变化时，相应的x和y值也会不断变化，从而形成连续的曲线。
二、极坐标方程 二次曲线的极坐标方程可以表示为： r = f(θ) 其中，r为极径，θ为极角。 极坐标方程的优点是能够简洁地表示对称的曲线形状，例如圆、心形线等。通过调整函数f(θ)的形式，可以获得不同的曲线效果。 以心形线为例，心形线的极坐标方程可以表示为： r = a*(1 + sin(θ)) 其中，a为心形线的常数。 通过极坐标方程，我们可以直接得到心形线的曲线形态，而无需转换为直角坐标系。通过改变参数a的值，可以改变心形线的大小和形状。 三、比较与使用场景 参数方程和极坐标方程在表示二次曲线时各有优势，应根据需要来选择使用。 参数方程适用于需要精确控制曲线形状的情况。由于参数方程可以表示各种曲线形态，并支持平移、旋转和缩放等变换操作，因此在计算机图形学、物理学等领域得到广泛应用。参数方程能够提供更多的自由度，使得曲线的绘制和操作更加灵活。
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式(总8页) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小--
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物 线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线
（3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55ρθθ⨯ ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=， 右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规，解法二利用极坐标的定义，简洁而有 力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （2）圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ， 1、椭圆中，c b c c a p 2 2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=. 2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。）
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹． 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆； 当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线； 当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 引论（1）若 1+cos ep e ρθ = 则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线
（2 ）若1-sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep e ρθ = 当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ⨯ ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程 知识点精析椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹. 以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点,过点F 作相应准线的垂线，垂足为K,以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系. 椭圆、双曲线、抛物线统 一的极坐标方程为： θ ρcos 1e ep -=. 其中p 是定点F 到定直线的距离， ｐ>0 . 当０
当 0＜e ＜1时,方程表示极点在上焦点的椭圆 当ｅ=1时,方程表示开口向下的抛物线 当 e>1时！方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编 （1）二次曲线基本量之间的互求 例1.确定方程10 53cos ρθ = -表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。 解法一：31025333 1cos 1cos 55 ρθθ⨯ ==-- 31053 e P ∴==， 2332555851015 103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩ 52 b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25 54 长轴长，短轴长 解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0,因此只需 令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。 点睛，解法一采用待定系数法比较常规,解法二利用极坐标的定义， 简洁而有力，充分体现了极坐标处理问题的优势。下面的弦长问题的解决使极坐标处理的优势显的淋漓尽致。 （２)圆锥曲线弦长问题 若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F,
双曲线焦点坐标
双曲线焦点坐标 圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式湖北省天门中学薛德斌一、圆锥曲线的极坐标方程椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F作相应准线的垂线，垂足为K，以FK的反向延长线为极轴建立极坐标系．ep 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为：. 1ecos其中p是定点F到定直线的距离，p＞0 ．当0＜e＜1时，方程表示椭圆；当e＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线. 二、圆锥曲线的焦半径公式设F为椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)，P为椭圆(双曲线的右支、抛物线)上任一点，则∵PF e，∴PF e(PFcos p)，其中p FH，〈x轴，FP〉∴焦半径PF ep．1ecos ep. 1ecos 当P在双曲线的左支上时，PF推论：若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，则有112. MFNFep三、圆锥曲线的焦点弦长若圆锥曲线的弦MN经过焦点F，epep2ab2a2b2c1、椭圆中，p，MN222. cc1ecos1ecos()a ccos2、双曲线中，epep2ab2若M、N在双曲线同一支上，MN； 1ecos1ecos()a2c2cos2epep2ab2若M、N在
双曲线不同支上，MN. 1ecos1ecos c2cos2a23、抛物线中，MN pp2p. 21cos1cos()sin四、直角坐标系中的焦半径公式设P（x,y）是圆锥曲线上的点，1、若F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，则PF1a exPF2a ex；2、若F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，当点P在双曲线右支上时，PF1ex a，PF2ex a；当点P在双曲线左支上时，PF1a ex，PF2a ex；3、若F是抛物线的焦点，PF x p. 2坐标曲线题题型研究题型一坐标曲线题（2015年2次，2014年5次，2013年3次）热点题型精讲坐标曲线类试题一般结合数学中的平面直角坐标系考查，用横纵坐标代表不同的化学量，主要与氧气的制取、金属与酸和盐的反应、酸碱盐之间的反应、溶质质量分数和pH等知识相结合考查。 类型一溶解类解读：一定温度下，向一定量A物质的饱和溶液中加入A物质。 A不再溶解，溶质质量分数不变。 （2015盐城14A题、2014淮安10D题）解读：一定温度下，向一定量A物质的接近饱和的溶液中加入A物质。 A溶解至饱和后不再溶解，溶解质量分数先增大，后不变。 （2014盐城14D题、2013盐城14B题）类型二pH曲线1.溶液稀释时pH的变化解读：稀释碱性溶液时，开始时溶液的pH﹥7，随着加水量的增加，pH不断减小，但不会小于7。 （2014盐城14A题）解读：稀释酸性溶液时，开始时溶液的pH